ZNモデル

このモデル（時計モデルとも呼ばれる）は、簡略化された統計力学スピンモデルである。これはイジングモデルの一般化である。任意のグラフ上で定義できるが、いくつかの特殊なケースにおいて、 1次元および2次元格子上でのみ積分可能である。 ${\displaystyle Z_{N}}$

意味

このモデルは、グラフ上の各ノードにスピン値を割り当てることで定義されます。スピンは値（ただし ）を取ります。したがって、スピンは複素根の形で値を取ります。大まかに言えば、モデルの各ノードに割り当てられたスピンは、等距離の方向のいずれかを指していると考えることができます。一般的なエッジのボルツマン重みは次のとおりです。 ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$ ${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle rr'}$

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

ここで、は複素共役を表し、 はエッジ に沿った相互作用の強さと関係しています。およびは1に設定されることが多いことに注意してください。（実数値）ボルツマン重みは、 および の変換に対して不変であり、それぞれユニバーサル回転と鏡映に類似しています。 ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$ ${\displaystyle rr'}$ ${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{Nk}^{\left(rr'\right)}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$ ${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$

自己双対臨界解

一般に異方性の正方格子上に定義されたモデルの解のクラスが存在する。モデルがクラマース・ワニエの意味で自己双対であり、したがって臨界 であり、格子が2つの可能なエッジ方向に対して2つの可能な「重み」と が存在するような場合、において次のパラメータ化を導入することができる。 ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle x_{k}^{1}}$ ${\displaystyle x_{k}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$ –

積分可能性を保証する双対関係と星型三角形関係が成り立つことを前提に、解を求めることができます。

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

となる。このモデルの特別なケースは、この解を最初に計算したVA FateevとAB Zamolodchikovにちなんで、しばしばFZモデルと呼ばれる。FZモデルは、極限においてXYモデルに として近づく。これはカイラル・ポッツモデルと柏原–三輪モデル の特別なケースでもある。${\displaystyle x_{0}=1}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N\rightarrow\infty}$

解決可能な特殊なケース

統計力学におけるほとんどの格子モデルの場合と同様に、このモデルの3次元における厳密な解は知られていない。しかし、2次元では、および/または「重み」の特定の値に対して、正方格子上でこのモデルを正確に解くことができる。おそらく最もよく知られている例は、2つの反対方向（すなわち ）のスピンを許容するイジングモデルである。これはまさにのモデルであり、したがってこのモデルはイジングモデルの一般化と考えることができる。このモデルの特定のケースに対応する他の厳密な解が可能なモデルには、 および（はある臨界値（FZ））の3状態ポッツモデルや、 の臨界アスキン・テラーモデル がある。 ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N=2}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle Z_{N}}$ ${\displaystyle N=3}$ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$ ${\displaystyle x_{c}}$ ${\displaystyle N=4}$

量子バージョン

時計モデルの量子バージョンは、横磁場イジングモデルに類似した方法で構築できます。このモデルのハミルトニアンは次のとおりです。 ${\displaystyle Z_{N}}$

${\displaystyle H=-J(\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger }))}$

ここで、添え字は格子点を指し、和は最近傍点と最近傍点のペアについて行われる。時計行列とは次の条件を満たす パウリ行列の一般化である。${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle Z_{j}}$

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

そして

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

ここで、とが同じサイトの場合は 1 になり、そうでない場合は 0 になります。はエネルギーの次元を持つ前置係数であり、は最近接相互作用と比較した外部フィールドの相対的な強度を決定する別の結合係数です。 ${\displaystyle \delta_{j,k}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$

参考文献

• VA FateevとAB Zamolodchikov (1982);「-モデルにおける星型-三角形関係の自己双対解」、Physics Letters A、92、pp. 37–39${\displaystyle Z_{N}}$
• MA RajabpourとJ. Cardy (2007);「格子Z N {\displaystyle Z_{N}} モデルにおける離散的正則パラフェルミオン」J. Phys. A 22 40, 14703–14714