ザカイ方程式

フィルタリング理論において、ザカイ方程式は隠れた状態の非正規化密度についての線型確率偏微分方程式である。対照的に、クシュナー方程式は隠れた状態の正規化密度についての非線型確率偏微分方程式を与える。原理的にはどちらのアプローチも、システムが非線形であっても、ノイズの多い測定から量の関数（動的システムの状態）を推定することができる（したがって、ウィーナーとカルマンの以前の結果を線型システムに対して一般化し、推定理論における中心的な問題を解決する）。ただし、これらの方程式は非常に複雑であるため、このアプローチを特定の工学的状況に適用することは困難である。^{[1] [2]}ザカイ方程式は双線型確率偏微分方程式である。モシェ・ザカイにちなんで名付けられた。^[3]

概要

システムの状態は次のように変化すると仮定する。

${\displaystyle dx=f(x,t)dt+dw}$

システム状態のノイズ測定も利用可能である。

${\displaystyle dz=h(x,t)dt+dv}$

ここで、独立ウィーナー過程は、時刻tにおける状態の 非正規化条件付き確率密度は、ザカイ方程式で与えられる。${\displaystyle w,v}$ ${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle dp=L[p]dt+ph^{T}dz}$

どこ

${\displaystyle L[p]=-\sum {\frac {\partial (f_{i}p)}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {\partial ^{2}p}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$

コルモゴロフ順方向演算子です。

前述のように、は正規化されていない密度なので、必ずしも 1 に積分されるわけではありません。 を解いた後、必要に応じて積分と正規化を行うことができます (Kushner のアプローチでは、この追加手順は必要ありません)。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

右辺の最後の項を省略すると（h を常にゼロに選択する）、結果は非確率的 PDE、つまり測定情報がない場合の状態の変化を記述する よく知られたフォッカー–プランク方程式になることに注意してください。

参照

• クシュナー方程式
• カルマンフィルタ
• ウィーナーフィルタ

参考文献

1. Sritharan, SS (1994). 「確率ナビエ・ストークス方程式の非線形フィルタリング」 Funaki, T.; Woyczynski, WA (編). 非線形確率偏微分方程式：バーガース乱流と流体力学的極限(PDF) . Springer-Verlag . pp.  247– 260. ISBN 0-387-94624-1。
2. Hobbs, SL; Sritharan, SS (1996). 「確率的反応拡散方程式のための非線形フィルタリング理論」. Gretsky, N.; Goldstein, J.; Uhl, JJ (編). 確率と現代解析(PDF) . Marcel Dekker . pp.  219– 234.
3. ザカイ、M. (1969). 「拡散過程の最適なフィルタリングについて」。Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie および Verwandte Gebiete。11 (3): 230–243。土井: 10.1007/BF00536382。MR  0242552。S2CID 119763576。Zbl 0164.19201  。 ​

さらに読む

• Grigelionis, B.; Mikulevičius, R. (1983). 「確率的発展方程式と条件付き分布の密度」.確率場理論と応用. ベルリン: Springer. pp.  49– 88. doi :10.1007/BFb0044682.
• Schuss, Zeev (2012). 「非線形フィルタリングと拡散の平滑化」.非線形フィルタリングと最適位相トラッキング. ボストン: Springer. pp.  85– 106. doi :10.1007/978-1-4614-0487-3_3. ISBN 978-1-4614-0486-6。