零因子グラフ

の零因子グラフは、木であり星ではない唯一の零因子グラフである。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$

数学、特に組合せ論的可換代数において、零因子グラフ（零因子グラフ）は可換環の零因子を表す無向グラフである。可換環の元を頂点とし、積が零となる元同士の対を辺とする。^{[ 1 ]}

意味

零因子グラフには、一般的に2つのバリエーションが用いられている。Beck (1988)のオリジナルの定義では、頂点は環のすべての元を表す。^{[ 2 ]} Anderson & Livingston (1999)が研究した後期の変種では、頂点は与えられた環の零因子のみを表す。 ^{[ 3 ]}

例

が半素数（2つの素数の積）である場合、 を法とする整数環の零因子グラフ（零因子のみを頂点とする）は、完全グラフまたは完全二部グラフのいずれかである。ある素数 に対して となる場合、それは完全グラフである。この場合、頂点はすべて の非零の倍数であり、これらの数の任意の2つの積は を法として零となる。^{[ 3 ]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K_{p-1}}$ ${\displaystyle n=p^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$

2つの異なる素数とに対して となる場合、これは完全二部グラフである。二分割の両側はそれぞれの非ゼロの倍数との非ゼロの倍数である。 を法としてゼロにならない2つの数は、一方が の倍数でもう一方が の倍数である場合に限り、 を法としてゼロに乗じられる。したがって、このグラフは二分割の反対側にある頂点の各ペアの間に辺を持ち、それ以外の辺を持たない。より一般的には、ゼロ因子グラフは、 2つの整域の積である任意の環に対して完全二部グラフである。^{[ 3 ]}${\displaystyle K_{p-1,q-1}}$ ${\displaystyle n=pq}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

ゼロ積グラフ（頂点がゼロ因子）として実現できるサイクルグラフは、長さが3または4のサイクルのみです。[ 3 ]^{ゼロ因子グラフ}として実現できる木は、星（木である完全な二部グラフ）と、のゼロ因子グラフとして形成される5頂点木のみです。^{[ 1 ] [ 3 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$

プロパティ

すべての元を含むグラフのバージョンでは、0 は普遍頂点であり、零因子は 0 以外の隣接頂点を持つ頂点として識別できます。普遍頂点を持つため、すべての環元のグラフは常に連結であり、直径は最大で 2 です。すべての零因子のグラフは、整域でないすべての環に対して空ではありません。連結性を保ち、直径は最大で 3 であり、^{[ 3 ]} 、（サイクルを含む場合）内周は最大で 4 です。^{[ 4 ] [ 5 ]}

整域でない環の零因子グラフが有限となるのは、環が有限である場合に限る。^{[ 3 ]}より具体的には、グラフの最大次数 が である場合、環は最大で個の要素を持つ。環とグラフが無限である場合、すべての辺は無限個の近傍を持つ端点を持つ。^{[ 1 ]}${\displaystyle d}$ ${\displaystyle (d^{2}-2d+2)^{2}}$

Beck (1988) は 、（パーフェクトグラフと同様に）零因子グラフは常にクリーク数と彩色数が等しいと予想した。しかし、これは正しくなく、Anderson & Naseer (1993)によって反例が発見された。^{[ 6 ]}

参考文献

1. アンダーソン、デイビッド・F.; アクステル、マイケル・C.; スティックルズ、ジョー・A.・ジュニア (2011)、「Zero-divisor graphs in commutative rings」、可換代数—ノイザン的および非ノイザン的視点、シュプリンガー、ニューヨーク、pp.  23– 45、doi : 10.1007/978-1-4419-6990-3_2、ISBN 978-1-4419-6989-7、MR  2762487
2. Beck, István (1988)、「可換環の色付け」、Journal of Algebra、116 (1): 208– 226、doi : 10.1016/0021-8693(88)90202-5、MR 0944156 
3. アンダーソン、デイビッド・F.; リビングストン、フィリップ・S. (1999)、「可換環の零因子グラフ」、代数ジャーナル、217 (2): 434– 447、doi : 10.1006/jabr.1998.7840、MR 1700509 
4. Mulay, SB (2002)、「零因子のサイクルと対称性」、Communications in Algebra、30 (7): 3533– 3558、doi : 10.1081/AGB-120004502、MR 1915011 
5. フランク・デマイヤー; Schneider、Kim (2002)、「可換環の自己同型およびゼロ除数グラフ」、可換環、ニューヨーク州ホーポージ: Nova Science、  25–37ページ、MR 2037656 
6. アンダーソン, DD; ナシール, M. (1993)、「可換環のベックの色付け」、代数ジャーナル、159 (2): 500– 514、doi : 10.1006/jabr.1993.1171、MR 1231228