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枢機卿0、ゼロ、ゼロ、ゼロ、「オー」（/ oʊ /）
序数ゼロ、0、0番目
ラテン語の接頭辞ヌル
バイナリ0 2
三元法0 3
セナリー0 6
8進数0 8
12進数0 12
16進数0 16
アラビア語、クルド語、ペルシア語、シンド語、ウルドゥー語٠
ヒンドゥー数字1
サンタリ᱐
中国語ゼロ、〇
ビルマ語၀
クメール語០
タイ語๐
アッサム語、ベンガル語০
マヤ数字𝋠
モールス信号_ _ _ _ _

0（ゼロ）は、空の数を表す数です。任意の数に0を加算（または減算）しても、その数は変化しません。数学用語では、0は整数、有理数、実数、複素数、およびその他の代数構造の加法的な恒等式です。任意の数に0を乗じると0になるため、0で割ることは一般的に算術において未定義とみなされます。

0は数値として、 10進表記において重要な役割を果たします。0は、その位の10の累乗が合計に寄与しないことを示します。例えば、10進数で「205」は、百が2つ、十が0つ、一が5つを意味します。同じ原則は、2進数や16進数など、10以外の基数を使用する位取り記数法にも適用されます。このように0が現代的に使用されるようになったのは、中世イスラムの数学者を通じてヨーロッパに伝わり、フィボナッチによって普及したインド数学に由来します。マヤ文明では、この0は独自に使用されていました。

英語における数字0の一般的な呼び方としては、 zero、nought、naught（/ nɔː t /）、nil（ゼロ）などがあります。隣接する数字の少なくとも1つがOと区別できる文脈では、ohまたはo（/ oʊ /）と発音されることもあります。0の非公式な俗語には、 zilchやzipなどがあります。歴史的には、ought、aught（/ ɔː t /）、cipherも使われてきました。

語源

ゼロという語は、イタリア語のゼロ（ zefiroのヴェネツィア語形zeveroがṣafiraまたはṣifrを経て短縮したもの）からフランス語zéroを経て英語に入りました。 [ 1 ]イスラム以前の時代、 ṣifr（アラビア語صفر ）という言葉は「空」を意味していました。[ 2 ] Sifrはインドのśūnya（サンスクリット語：शून्य ）を翻訳する際に使われ、ゼロを意味するようになりました。 [ 2 ]英語文学でゼロが借用語として最も古く使用されたのは1598年です。[ 3 ]

北アフリカで生まれ、ヨーロッパに十進法を導入したとされるイタリアの数学者フィボナッチ（ 1170年頃- 1250 年頃）は、 zephyrumという用語を用いていました。これはイタリア語でzefiroとなり、その後ヴェネツィア語でzeroに短縮されました。イタリア語のzefiro（西風を意味するラテン語およびギリシャ語のZephyrusに由来）は既に存在しており、アラビア語のṣifr（シフル）の表記に影響を与えた可能性があります。[ 4 ]

現代の用法

文脈によっては、数字のゼロ、あるいはゼロという概念を表す言葉が異なる場合があります。単に「何もない」という概念を表す場合は、「nothing」（ただしこれは正確ではありません）や「none」という言葉がよく使われます。イギリス英語の「nought」や「naught」、そして「nil」も同義語です。[ 5 ] [ 6 ]

電話番号、住所、クレジットカード番号、軍用時刻、年号など、数字の列を読み上げる際に「オー」と呼ばれることがよくあります。例えば、市外局番201は「ツー・オー・ワン」と発音され、1907年は「ナインティーン・オー・セブン」と発音されることがよくあります。他の数字が存在することで、その列が数字のみで構成されていることが示され、文字「オー」との混同が避けられます。このため、文字と数字の両方を含む列（英国の郵便番号など）では、文字「オー」の使用が除外される場合があります。[ 7 ]

ゼロを表す俗語には、「zip」、「zilch」、「nada」、「scratch」などがある。[ 8 ]スポーツの文脈では、特にイギリス英語では「nil」が使われることがある。いくつかのスポーツでは、スコアがゼロであることを表す特有の言葉がある。例えば、テニスの「 love」（おそらくフランス語の「 l'œuf」（卵）に由来）や、クリケットの「 duck 」 （「duck's egg」の短縮形）などである。「goose egg」（グースエッグ）も、ゼロを表す一般的な俗語である。[ 8 ]

歴史

古代近東

nfr  気管のある心臓は美しく、心地よく、良い
F35

古代エジプトの数字は10進数であった。[ 9 ]数字には象形文字が使用され、位置は関係なかった。紀元前1770年頃に書かれたパピルスには、書記がファラオの宮廷の日々の収入と支出を記録し、受け取った食料品の量が支出額と完全に等しい場合を示すためにnfr象形文字が使用されていた。エジプト学者のアラン・ガーディナーは、 nfr象形文字がゼロの記号として使われていたと示唆した。 [ 10 ]同じ記号は、墓やピラミッドの図面で基準レベルを示すためにも使用され、距離は基準線から上または下として測定された。[ 11 ]

紀元前2千年紀の中頃までに、バビロニアの数学は60進法の高度な位取り記数法を採用していました。位取り値（またはゼロ）の欠如は、60進数の間のスペースで示されました。キシュで出土した粘土板（紀元前700年頃の物）では、書記官ベル・バン・アプルが同じバビロニアの記数法で3つのフックを仮置きとして使っていました。[ 12 ]紀元前300年までに、句読点記号（2つの斜めのくさび形）が仮置きとして再利用されました。[ 13 ] [ 14 ]しかし重要なのは、バビロニア人によって発明されたこれらのゼロの仮置き記号には、それ自体に数値的または概念的な価値がなく、数としてではなく数学的な構文として現れるということです。「したがって、これらをゼロという概念や数の表現として解釈することはできません。」[ 15 ]

バビロニアの位取り記数法は、後のヒンドゥー・アラビア数字法とは異なり、先頭の60進数の桁数を明示的に指定しなかった。例えば、単独の数字1（）は、1、60、3600 = 60 2などを表す可能性があり、これは浮動小数点数の仮数部に似ているが、明示的な指数部がなく、文脈から暗黙的に区別されるだけであった。ゼロのようなプレースホルダー記号は、数字と数字の間にのみ使用され、単独で、または数字の末尾に使用されることはなかった。[ 16 ]

コロンブス以前のアメリカ大陸

マヤ数字のゼロ

メキシコ中南部と中央アメリカで発達したメソアメリカ長期暦では、20進法（基数20）の位取り記数法において、ゼロを仮置きとして用いる必要がありました。これらの長期暦の日付を表すゼロ記号として、四つ葉の部分を含む様々な象形文字が用いられました。最も古い象形文字（チアパス州チアパ・デ・コルソの石碑2 ）には紀元前36年の日付が刻まれています。[ a ] [ 17 ]

最も古い8つの長期カウントの日付はマヤの故郷の外で見られることから[ 18 ] 、アメリカ大陸でのゼロの使用はマヤよりも古く、オルメカ人の発明である可能性があると一般的に考えられています。[ 19 ]最も古い長期カウントの日付の多くはオルメカの中心地で発見されましたが、オルメカ文明は紀元前4世紀までに終焉を迎えました。[ 20 ]これは最も古い長期カウントの日付より数世紀も前のことです。[ 21 ]

ゼロはマヤの数字の不可欠な部分となり、多くの「ゼロ」の数字の描写には異なる空の亀のような「甲羅の形」が使われましたが、旧世界の数字システムに影響を与えなかったと考えられています。[ 22 ]

キプーは、インカ帝国とその前身であるアンデス地方の社会で会計やその他のデジタルデータを記録するために使用されていた、結び目のある紐状の装置であり、 10進法で符号化されています。ゼロは、適切な位置に結び目がないことで表されます。[ 23 ]

古典古代

ヘレニズム時代のゼロがギリシャで使用された例として、最も古く自信を持って引用されているのは、西暦 140 年のヒッパルコスによる著書です。

古代ギリシャにはゼロを表す記号 ( μηδέν 、 mēdénと発音) はなく、ゼロの代わりに数字のプレースホルダーを使用していませんでした。 [ 24 ]数学者Charles Seifeによると、バビロニアのプレースホルダー 0 が紀元前 500 年直後に登場した後、ギリシャの天文学者は小文字のギリシャ文字ό ( όμικρον :オミクロン) をプレースホルダーまたは基底レベル/ヌル度数値の表現として使い始めました。[ 25 ]しかし、バビロニアのプレースホルダー 0 を天文学的計算に使用した後、彼らは通常、その数字をギリシャ数字に戻しました。ピタゴラスが無限小数を拒絶したのと同様に、ギリシャ人はゼロを数として使用することに哲学的な反対を続けているようです。[ 26 ]「ギリシャの宇宙全体はこの柱の上にありました。空虚はありません。」[ 27 ]ニーダーはギリシャの天文学文献にゼロが登場したのは紀元前400年以降であるとし、数学者ロバート・カプランはさらにアレクサンドロス大王の征服後であったと指摘している。[ 28 ] [ 29 ]

ギリシャ人は、ゼロの数としての地位について確信が持てなかったようである。彼らの中には「存在が存在しないなどあり得ない」と自問する者もおり、ゼロと真空の性質と存在について哲学的な議論、そして中世には宗教的な議論へと発展した。エレアのゼノンのパラドックスは、ゼロの不確かな解釈に大きく依存している。[ 30 ]

ギリシャ文字がはっきりと書かれたパピルスの断片。右下隅に小さなゼロとその上に両方向の矢印の形が描かれている。
2世紀のパピルスに描かれた、初期ギリシャ語のゼロを表す記号の例（右下隅）

西暦 150年までに、ヒッパルコスとバビロニア人の影響を受けたプトレマイオスは、ゼロを表す記号（—°) [ 31 ] [ 32 ]は数理天文学の著作Syntaxis Mathematica（別名Almagest ）の中でゼロを用いている。[ 33 ]このヘレニズム時代のゼロは、おそらく旧世界でゼロを表す数字が文書化された最古のものであろう。[ 34 ]プトレマイオスは日食と月食の大きさを表すためにアルマゲスト（VI.8）でこれを何度も使用している。これは最初と最後の接触における数字と没入分の両方の値を表していた。月が太陽の上を通過する（三角波）につれて数字は 0 から 12 へ、そして 0 へと連続的に変化した。12 桁は太陽の角直径であった。浸水時間は0′0 ″から31′20 ″、そして0′0 ″まで表にまとめられました。0′0″は、彼の六十進法における2つの位置の仮置き記号として用いられ、[ b ]、その組み合わせは角度ゼロを意味しました。浸水時間は連続関数でもありました。1/12⁠ 31 ′ 20″ √ d(24−d) （凸状の三角形のパルス）で、d は数字関数、31 ′ 20″ は太陽と月の円盤の半径の合計である。 [ 35 ]プトレマイオスの記号は、2つの連続した数学関数（一方が他方の内側にある）で使用される数字であると同時に、プレースホルダーでもあったため、ゼロではなくゼロを意味していた。時が経つにつれて、プトレマイオスのゼロは大きくなり、上線がなくなる傾向があり、時には大きく細長い0のようなオミクロン "Ο" として、または上線付きの点ではなく上線付きのオミクロン "ō" として描かれるようになった。 [ 36 ]

ユリウス暦の復活祭の計算においてゼロが最初に使用されたのは西暦311年より前で、 311年から369年までのエチオピア語の文書に保存されているエパクト 表の最初の項目においてである。この表ではゲエズ語で「なし」（英語の翻訳は他の場所では「0」）を意味する言葉がゲエズ数字（ギリシャ数字に基づく）とともに使用されており、この表は中世ギリシャ語でアレクサンドリア教会が出版した同等の表から翻訳されたものである。[ 37 ]この使用は525年に同等の表で繰り返され、これはディオニュシウス・エクシグスによってラテン語のnulla（「なし」）を介してローマ数字とともに翻訳された。[ 38 ]割り算の余りがゼロになった場合は、 「何もない」を意味するnihilが使用された。これらの中世のゼロは、それ以降のすべての中世の復活祭計算器で使用された。頭文字の「N」は、西暦725年頃にベーダ（あるいは彼の同僚）によってローマ数字の表の中でゼロの記号として使用されました。[ 39 ] 

中国

左から右に、T字型、空のボックス、3本の縦棒、その上に逆T字型をした3本の横棒、そしてもう一つの空のボックスが描かれている5つのボックス。その下の数字は左から右に6、0、3、9、0である。
これは『数学史』に示された例に基づいて、中国の数え棒で表現されたゼロの描写である。ゼロを表すために空白が用いられている。[ 40 ]

『孫子算経』は年代は不明だが、紀元後1世紀から5世紀と推定され、紀元前4世紀の中国の算木システムがどのようにして位置による小数計算を可能にしたかを説明している。[ 41 ] [ 42 ] 『夏后楊算経』 （紀元後425年–468年）に記されているように、数を10、100、1000、または10000で乗算または除算するには、算木を計算盤の上で1、2、3、または4桁前または後ろに動かすだけでよい。[ 43 ]棒は数を10進数で表現し、空白はゼロを示す。[ 40 ] [ 44 ]西暦190年頃の許岳の『算数補注』というマニュアルにも、数え棒やそろばんなどの計数器具を使って、小数点以下のゼロを含む数を加算、減算、乗算、除算する技法が概説されている。[ 45 ] [ 46 ]中国の著述家は、漢王朝（西暦2世紀）の頃には、すでに負の数や小数の概念に精通しており、これは『九章算術』に見られる。[ 47 ]秦久韶の1247年の『九部算術論』は、ゼロを表す丸い記号「〇」を使った現存する最古の中国の数学テキストである。[ 48 ]この記号の起源は不明であるが、四角い記号を改変して作られた可能性がある。[ 49 ] 当時、ゼロは数字として扱われておらず、「空いている位置」として扱われていました。[ 50 ]

中国の碑文学

歴史を通じて、ゼロを表すために「空」、「零」、「洞」、「〇」といった さまざまな漢字が使われてきました。

インド

サンスクリット韻律学者のピンガラ（紀元前3 世紀または2世紀頃）[ 51 ]は、 [ 52 ] 、短い音節と長い音節（後者は2つの短い音節の長さに等しい）の形で2進シーケンスを使用して、有効なサンスクリットの韻律を特定しました。これはモールス信号に似た表記法です。[ 53 ]ピンガラはサンスクリット語のśūnyaをゼロを指すために明示的に使用しました。[ 51 ]

バクシャーリ写本。数字の「ゼロ」は黒い点で表されているが、年代は不明である。[ 54 ]

ゼロを表す小数点値Graphemeはインドで開発された。[ 55 ]

ジャイナ教の宇宙論に関する文献であるローカヴィバーガは、プラークリット語原文の中世サンスクリット語訳として現存し、内部的には西暦458年（サカ暦380年）に遡る。この文献では、ゼロを含む十進法の位取り法が用いられている。この文献では、śūnya（「空虚、空」）もゼロを表すのに用いられている。[ 56 ]

アーリヤバティーヤ（ 499年頃）には、「場所から場所へ、それぞれ前の場所の10倍である」と記されている。 [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]

ゼロの使用規則はブラフマグプタのブラフマスータ・シッダーンタ（7世紀）に登場し、ゼロをゼロとして足し合わせることについて述べており、ゼロによる割り算については次のように誤って説明している。[ 60 ] [ 61 ]

正の数または負の数をゼロで割ると、ゼロを分母とする分数になります。ゼロを負の数または正の数で割ると、ゼロ、または分子がゼロで分母が有限量である分数として表されます。ゼロをゼロで割るとゼロになります。

12世紀のバースカラ2世は、ゼロ除算は無限量になると主張した。[ 62 ]

量をゼロで割ると、分母がゼロとなる分数となる。この分数は無限量と呼ばれる。この量は、その除数がゼロである量であり、たとえ多くのものが挿入されたり抽出されたりしても、変化は起こらない。無限にして不変の神においては、たとえ世界が創造されたり破壊されたりしても、無数の生命体が吸収されたり放出されたりしても、何の変化も起こらないのと同様である。

初期アジアの碑文学

サンボル碑文
サンボル碑文に見られる、小数点としてゼロが用いられた最古かつ確実な年代の記録です。「605」という数字はクメール数字で記されており（上）、これは碑文が作られた年、サカ暦605年（西暦683年）を示しています。古代クメール語で刻まれたこの断片は、かつて寺院の出入り口の一部であり、カンボジアのクラティエ州で発見されました。

同じ小さな「O」が刻まれた銅板碑文が数多く存在し、そのいくつかは6世紀のものと考えられているが、その年代や真正性には疑問の余地がある。[ 12 ]

カンボジア、クラティエ州メコン川沿いのサンボル近郊の寺院遺跡で発見された石板には、クメール数字（ヒンドゥー・アラビア数字体系の数字記号）で「605」という数字が刻まれている。この数字はサカ朝時代の碑文の年号であり、西暦683年に相当する。[ 63 ]

十進数に特別な記号が使われた最初の例は、インドのグワリオルにあるチャトゥルブジ寺院で発見された、西暦876年の石碑に刻まれており、そこには数字のゼロを表す小さな円の紛れもない出現が含まれている。[ 64 ] [ 65 ]

商人のための算術実用マニュアルであるバクシャーリー写本では、ゼロを表す記号である黒点が全体に用いられている。ボドリアン図書館は、この写本から6つのフォリオについて放射性炭素年代測定の結果を報告し、それぞれ異なる世紀のものであるものの、写本全体の年代は西暦799年から1102年と推定した。[ 54 ]

中世

イスラム文化への伝承

アラビア語による科学の継承は主にギリシャ語であり[ 66 ]、続いてヒンドゥー教の影響を受けた[ 67 ] 。 773年、アル・マンスールの命令で、ギリシャ、ローマ、インドなどの多くの古代の論文が翻訳された。

西暦813年、ペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムサー・アル＝フワーリズミーはヒンドゥー数字を用いて天文表を作成しました。[ 67 ]そして825年頃、彼はギリシャとヒンドゥーの知識を統合した本を出版しました。また、ゼロの使用法の説明など、数学への自身の貢献も含まれています。[ 68 ]この本は後に12世紀に『アルゴリツミ・デ・ヌメロ・インドルム』というタイトルでラテン語に翻訳されました。このタイトルは「インド人の数字に関するアル＝フワーリズミー」を意味します。「アルゴリツミ」という言葉は翻訳者がアル＝フワーリズミーの名前をラテン語化したものであり、「アルゴリズム」または「アルゴリズム主義」という言葉は、小数に基づくあらゆる算術を意味するようになりました。[ 67 ]

ムハンマド・イブン・アフマド・アル＝フワーリズミーは976年、計算において十の位に数字がない場合、「行を区切るために」小さな円を描くべきだと述べました。この円はシフルと呼ばれていました。[ 69 ]

ヨーロッパへの伝播

ヒンドゥー・アラビア数字体系（10進法）は、11世紀にアル・アンダルス、スペインのイスラム教徒、ムーア人を経て西ヨーロッパに伝わり、古典天文学の知識やアストロラーベなどの器具も伝わった。オーリヤックのジェルベルトは、失われた教えをカトリックヨーロッパに再導入した功績を認められている。このため、この数字はヨーロッパで「アラビア数字」として知られるようになった。イタリアの数学者フィボナッチ（レオナルド・ディ・ピサ）は、1202年にこの体系をヨーロッパ数学に導入する上で重要な役割を果たし、次のように述べている 。

私の父が故郷からブギアの税関に詰めかけるピサの商人のための国家官僚に任命された後、父が管理を引き継ぎました。父は将来の有用性と利便性を考慮して、少年時代の私を父のもとへ連れて行き、そこで数日間計算の研究に専念し、指導を受けさせたのです。そこで、素晴らしい技術指導の結果、ヒンズー教徒の9桁の数字に触れた後、その技術の知識は何よりも私にとって魅力的でした。エジプト、シリア、ギリシャ、シチリア、プロヴァンスでは、そのあらゆる側面が様々な方法で研究されており、その後も仕事でこれらの場所を訪れていることに気づきました。私は深く研究を進め、議論の応酬を学びました。しかし、これらすべて、そしてアルゴリズム、そしてピタゴラスの術さえも、ヒンズー教徒の方法（モダス・インドルム）からするとほとんど間違いだと考えていました。したがって、ヒンズー教徒の方法を厳格に受け入れ、その研究に一層の努力を払いつつ、私自身の理解からいくつかの点を加え、またユークリッドの幾何学の技巧の細部からもいくつかの点を取り入れました。本書全体を可能な限り分かりやすくまとめ、15章に分けました。私が紹介したほぼすべての点について、正確な証明を示しました。これは、この卓越した方法論に基づく知識をさらに探求する人々が理解できるよう、また、ラテン系の人々がこれまでのように、この知識を知らないままでいることがないよう配慮するためです。もし私が、多少なりとも適切あるいは必要と思われる点を省略していたとしても、ご容赦ください。なぜなら、あらゆることにおいて完全に賢明で、非難の余地のない人間など存在しないからです。インドの9つの数字は、9、8、7、6、5、4、3、2、1です。これらの9つの数字と記号0を用いて、 あらゆる数字を書くことができます。[ 70 ]

13世紀以降、計算（加算、乗算、根号の抽出など）に関するマニュアルがヨーロッパで普及し、ペルシャの数学者アル・フワーリズミーにちなんでアルゴリズムスと呼ばれました。人気のあるマニュアルの一つは、1200年代初頭にヨハネス・デ・サクロボスコによって書かれ、 1488年に印刷された最も初期に出版された科学書の一つでした。 [ 71 ] [ 72 ]紙の上でヒンドゥー・アラビア数字を使用して計算する習慣は、徐々にそろばんによる計算とローマ数字による記録に取って代わりました。[ 73 ] 16世紀には、ヒンドゥー・アラビア数字がヨーロッパで主流の数字になりました。[ 71 ]

記号と表現

水平のガイドライン。左から右に、0 が上下に接し、3 が下に下がり、6 がガイドラインの上に頂点を成す。
オスロ空港駅、0番線

今日では、数字の0は通常、円または楕円で表記されます。伝統的に、多くの印刷書体では、大文字のOは、より細く楕円形の数字の0よりも丸みを帯びていました。 [ 74 ]元々、タイプライターはOと0の形状を区別していませんでした。中には、数字の0専用のキーさえ備えていない機種もありました。この区別は、現代の文字ディスプレイで顕著になりました。[ 74 ]

斜線付きのゼロ（）は、数字と文字を区別するためによく使用されます（主にコンピューター、ナビゲーション、軍事などで使用されます）。中央にドットが付いた数字の0は、IBM 3270ディスプレイのオプションとして始まったようで、 Andalé Monoなどの現代のコンピューター書体や一部の航空会社の予約システムに引き継がれています。あるバリエーションでは、ドットの代わりに短い縦線が使用されています。コンピューター用に設計されたフォントの中には、「0」の文字の端が長方形のように角張っていて、「O」の文字はより丸みを帯びています。ドイツの車のナンバープレートに使用されている偽造防止書体では、数字の0の右上を切り取ることで、さらに区別されています。一部のシステムでは、混乱を避けるため、文字のOまたは数字の0、あるいはその両方が使用されていません。 0/{\displaystyle 0\!\!\!{/}}

数学

ゼロの概念は数学において複数の役割を果たします。数字として、数値を表す位置表記法の重要な部分である一方、多くの代数設定において数値自体としても重要な役割を果たします。

数字として

位取り記数法（数値を表すための通常の10進記法など）では、数字0はプレースホルダーの役割を果たしており、その基数の特定の累乗が寄与しないことを示します。例えば、10進数205は2つの百と5つの一の合計であり、数字0は10が追加されていないことを示します。この数字は、小数や他の実数の10進表現（10分の1、100分の1、1000分の1などが存在するかどうかを示す）や10以外の基数（例えば2進数では、2のどの累乗が省略されているかを示す）においても同様の役割を果たします。[ 75 ]

初等代数学

-3から3までの数直線で、中央に0がある

数0は最小の非負整数であり、最大の非正整数である。0の次の自然数は1であり、0の前にある自然数は存在しない。数0は自然数と見なされることもあればそうでないこともあるが[ 76 ] [ 77 ] 、整数であり、したがって有理数であり実数でもある。[ 78 ]有理数はすべて代数的数であり、0も含まれる。実数を拡張して複素数を形成すると、0は複素平面の 原点となる。

数 0 は、正でも負でもない[ 79 ]、あるいは正と負の両方であるとみなすことができ[ 80 ] 、通常は数直線上の中央の数として表示されます。ゼロは偶数[ 81 ]（つまり、2 の倍数）であり、他の任意の整数、有理数、実数の整数倍でもあります。ゼロは素数でも合成数でもありません。素数は定義により 1 より大きいため素数ではなく、2 つの小さい自然数の積として表すことができないため合成数でもありません。[ 82 ]（ただし、単集合{0} は整数環の 素イデアルです。）

5 つの点の集合と 0 個の点の集合が 5 つの点の 1 つに結合されます。
5+0=5 を点の集合で表します。

以下は、数値 0 を扱うための基本的なルールです。特に明記しない限り、これらのルールは任意の実数または複素数xに適用されます。

表現⁠0/0⁠ 、これは、 ⁠という形式の式の極限を決定しようとする試みで得られるかもしれない。f ( x )/g ( x )⁠ は、分数の両被演算子に独立にlim演算子を適用した結果、いわゆる「不定形」となります。これは、求める極限が必ずしも未定義であることを意味するのではなく、 ⁠の極限がf ( x )/g ( x )⁠が存在する場合、それはロピタルの法則などの別の方法で見つけられなければならない。[ 84 ]

0個の数の和（空和）は0であり、0個の数の積（空積）は1である。階乗0!は空積の特別な場合として1に評価される。[ 85 ]

数学におけるその他の用途

空集合には要素が0個あります

0 が最小の数であるという役割は、様々な方法で一般化または拡張することができます。集合論では、0 は空集合の基数です（「{}」、「" "、または "∅" と表記されます）。つまり、リンゴが 1 つもなければ、リンゴは 0 個あります。実際、集合論から派生した数学の公理的発展において、0 は空集合であると定義されています。 [ 86 ]このように定義されると、空集合は要素のない集合、つまり空集合に対するフォン・ノイマン基数割り当てになります。空集合に適用される基数関数は、空集合を値として返し、それによって 0 個の要素を割り当てます。 ∅{\textstyle \emptyset }

集合論においても、0は最小の順序数であり、空集合を整列集合として捉えた場合に対応する。順序論（特にそのサブフィールドである格子理論）においては、0は格子やその他の半順序集合の最小元を表す場合がある。

0 の加法単位元としての役割は、初等代数学を超えて一般化します。抽象代数学では、 0 は通常、零元を表すために使用されます。零元は、加算の単位元( 検討中の構造で定義されている場合 ) および乗算の吸収元( 定義されている場合 ) です。(このような元は零元と呼ばれることもあります。) 例として、加法群やベクトル空間の単位元が挙げられます。別の例として、領域D上の零関数(または零写像) があります。これは、 0 を唯一の可能な出力値とする定数関数、つまり、D内のすべてのxに対してf ( x ) = 0で定義される関数fです。実数から実数への関数として、零関数は偶数と奇数の両方である唯一の関数です。

数字 0 は、数学のさまざまな分野で他のさまざまな方法でも使用されます。

物理

ゼロの値は、多くの物理量にとって特別な役割を果たしている。ゼロレベルは、いくつかの量に対しては、自然に他のすべてのレベルと区別されるが、他の量に対しては、ゼロレベルは多かれ少なかれ任意に選択される。例えば、絶対温度（通常はケルビンで測定される）の場合、ゼロは取り得る最低の値である。（一部の物理システムでは負の温度を定義できるが、負の温度のシステムは実際にはより低温ではない。）これは、例えばゼロが水の凝固点であると任意に定義される摂氏目盛りの温度とは対照的である。 [ 89 ] [ 90 ]音の強さをデシベルまたはフォンで測定する場合、ゼロレベルは、例えば可聴閾値の値などの基準値に任意に設定される。物理学では、ゼロ点エネルギーは、量子力学的な物理システムが持つことができる最低のエネルギーであり、システムの 基底状態のエネルギーである。

コンピュータサイエンス

現代のコンピュータは、情報を2進法、つまり「0」と「1」の2つの記号のみを含む「アルファベット」で保存します。2進法はデジタル電子機器に適しており、「0」と「1」は電線における電流の有無を表すことができます。[ 91 ]コンピュータプログラマーは通常、中央処理装置（CPU）によって直接実行される2進命令よりも人間にとって理解しやすい高水準プログラミング言語を使用します。0は高水準言語において様々な重要な役割を果たします。例えば、ブール変数は真または偽のいずれかの値を格納し、 0は多くの場合、偽を表す数値表現です。[ 92 ]

0 は配列のインデックス付けでも役割を果たします。人類の歴史を通じて最も一般的な慣習は 1 から数え始めることであり、これはFortranやCOBOLなどの初期の古典的なプログラミング言語で行われていました。[ 93 ]しかし、1950 年代後半にLISP は配列のゼロベースの番号付けを導入し、一方Algol 58 は配列の添え字に対して完全に柔軟な基数付け（配列の添え字の基数として正、負、または 0 の任意の整数を許可）を導入し、その後のほとんどのプログラミング言語はこれらの位置のいずれかを採用しました。たとえば、Cでは配列の要素は 0 から番号が付けられるため、 n 個の項目を持つ配列の場合、配列インデックスのシーケンスは 0 からn −1までになります。[ 94 ]

0から始まるインデックスと1から始まるインデックスは混同される可能性があります。たとえば、Java自体は0から始まるインデックスを使用していますが、JavaのJDBCはパラメータを1からインデックスします。[ 95 ]

C言語では、値0を含むバイトは文字列の終了位置を示すために使用されます。また、コード内で0はヌルポインタを参照する標準的な方法でもあります。[ 96 ]

データベースでは、フィールドに値が存在しない場合があります。このようなフィールドは、ヌル値を持つと言われています。[ 97 ]数値フィールドの場合、ヌル値はゼロではありません。テキストフィールドの場合、ヌル値は空白でも空文字列でもありません。ヌル値の存在は、3値論理につながります。条件はもはや真か偽かではなく、不確定な状態になる可能性があります。ヌル値を含む計算はすべてヌル結果を返します。[ 98 ]

数学では、ゼロと明確に区​​別できる「正のゼロ」や「負のゼロ」は存在しません。-0 と +0 はどちらも全く同じ数を表します。ただし、一部のコンピュータハードウェアの符号付き数値表現では、ゼロは正の数とグループ化された正のゼロと、負の数とグループ化された負のゼロの 2 つの異なる表現を持ちます。このような二重表現は符号付きゼロと呼ばれ、後者は負のゼロと呼ばれることもあります。これらの表現には、符号付き絶対値と1 の補数の2 進整数表現（ただし、ほとんどの最新のコンピュータで使用されている2 の補数の2 進形式は除く）、およびほとんどの浮動小数点数表現（ IEEE 754やIBM S/360浮動小数点形式 など）が含まれます。

コンピュータ用語におけるエポックとは、タイムスタンプ0に関連付けられた日付と時刻のことです。Unixのエポックは1970年1月1日の午前0時から始まります。[ 99 ] [ 100 ] [ 101 ] Classic Mac OSとPalm OSのエポックは1904年1月1日の午前0時から始まります。[ 102 ]

アプリケーションが終了ステータスとして整数値を返すことを要求する多くのAPIやオペレーティングシステムでは、通常、成功を示すためにゼロを使用し、特定のエラーまたは警告状態を示すためにゼロ以外の値を使用します。[ 103 ]

プログラマーは文字「O 」との混同を避けるために、スラッシュ付きのゼロをよく使用します。[ 104 ]

その他の分野

生物学

比較動物学と認知科学では、一部の動物がゼロの概念を認識していることを認識することで、数値抽象化の能力は種の進化の初期に生まれたという結論に至ります。[ 105 ]

デートシステム

紀元前暦では、紀元前1年 は紀元後1年の前の最初の年であり、 0年 は存在しない。対照的に、天文学的な年号では、紀元前1年は0、紀元前2年は-1、というように番号が付けられる。[ 106 ]  

参照

注記

  1. ^実際に数字の 0 を使用した長い計算の日付は西暦 3 世紀以前には見つかっていないが、長い計算システムはプレースホルダーがなければ意味をなさないため、またメソアメリカの文字には通常空白が残らないため、これらの初期の日付は当時すでに 0 の概念が存在していたことの間接的な証拠と見なされている。
  2. ^プトレマイオスの60進法の各桁は0から59までのギリシャ数字で表記され、31は30+1を意味するλαと表記され、20は20を意味するκと表記された。

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  106. ^スティール、ダンカン（2000年）『マーキング・タイム：完璧なカレンダーを発明するための壮大な探求』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 113ページ 、ISBN 978-0-471-29827-4OCLC  1135427740 .紀元前/紀元後方式では、年0は存在しません。紀元前1年12月31日の後には、紀元後1年1月1日が来ます。…もしこの年0がない方式に異議があるなら、使わないでください。天文学者の計算方式を使用し、負の年数を使用してください。 

参考文献

歴史研究

  • ブルバキ、ニコラ（1998年）『数学史の要素』ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 3-540-64767-8。
  • ディール、リチャード・A.（2004年）『オルメカ：アメリカ最初の文明』ロンドン、イギリス：テムズ・アンド・ハドソン社、ISBN 978-0-500-28503-9。
  • イフラ、ジョルジュ（2000年）『数の普遍史：先史時代からコンピュータの発明まで』ワイリー社、ISBN 0-471-39340-1。
  • カプラン、ロバート（2000年）『ゼロの自然史：ある無』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-198-02945-8。
  • セイフ、チャールズ（2000年）『ゼロ：危険な思想の伝記』ペンギンUSA. ISBN 0-14-029647-6。
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