ゼロサムゲーム

ゼロサムゲームとは、ゲーム理論と経済理論において、2つの競合する主体が関与する状況の数学的表現であり、その結果、一方が利益を得て、他方が同等の損失を被るというものである。[ 1 ]言い換えれば、プレイヤー1の利益はプレイヤー2の損失と等しく、結果としてゲームの純利益はゼロとなる。[ 2 ]

参加者の利益の合計を合計し、損失の合計を差し引くと、その合計はゼロになります。つまり、ケーキを切る際​​、より大きな部分を取った人が取れる量が増えるのと同程度に、他の人が取れるケーキの量が減る場合、参加者全員がケーキの各単位を平等に評価するなら、ゼロサムゲームとなります。日常生活におけるゼロサムゲームの他の例としては、ポーカー、チェス、スポーツ、ブリッジなどがあり、これらのゲームでは、1人が得をして別の人が損をするため、すべてのプレイヤーの純利益はゼロになります。[ 3 ]市場や金融商品では、先物契約やオプションもゼロサムゲームです。[ 4 ]

対照的に、非ゼロ和ゲームとは、相互作用する当事者の総利益と総損失がゼロ未満になることもあれば、ゼロを超えることもある状況を指します。ゼロ和ゲームは厳密に競争的なゲームとも呼ばれ、非ゼロ和ゲームは競争的または非競争的のいずれかです。ゼロ和ゲームは、線形計画法の双対性と密接に関連するミニマックス定理[ 5 ]、またはナッシュ均衡によって解かれることが最も多いです。囚人のジレンマは、典型的な非ゼロ和ゲームです。[ 6 ]

意味

選択肢1 選択肢2
選択肢1 −A, A B、−B
選択肢2 C、−C −D、D
一般的なゼロサムゲーム
オプション1 オプション2
オプション1 2, −2 −2, 2
オプション2 −2, 2 2, −2
典型的なゼロサムゲームのもう一つの例

ゼロサム性（一方が利益を得ると他方が損失する）とは、ゼロサム状況のあらゆる結果がパレート最適であることを意味します。一般的に、すべての戦略がパレート最適であるゲームは、コンフリクトゲームと呼ばれます。[ 7 ] [ 8 ]

ゼロサムゲームは、各結果の合計が常にゼロになる定和ゲームの具体的な例です。[ 9 ]このようなゲームは分配的であり、統合的ではありません。つまり、パイは適切な交渉によって大きくすることはできません。

ある意思決定者の利益（または損失）が必ずしも他の意思決定者の損失（または利益）につながらない状況は、非ゼロ和と呼ばれます。[ 10 ]例えば、バナナの過剰生産国が、リンゴの過剰生産国と取引を行い、双方が取引から利益を得る場合、非ゼロ和の状況となります。その他の非ゼロ和ゲームとは、プレイヤーの利益と損失の合計が、当初の金額よりも多くなる場合もあれば、少なくなる場合もあるゲームです。

ゼロサムゲームにおけるパレート最適利得の考え方は、一般化された相対的利己的合理性基準、すなわち「相手を罰する基準」を生み出す。この基準では、両プレイヤーは、より少ない利益よりも多くの利益を優先するのではなく、常に自分にとって有利なコストで相手の利益を最小化しようと努める。「相手を罰する基準」は、ゼロサムゲーム（例えば、戦争ゲーム、チェス）と非ゼロサムゲーム（例えば、プーリング選択ゲーム）の両方で適用できる。[ 11 ]ゲームにおけるプレイヤーは、自分の利益を最大化したいという単純な欲求を持ち、相手はそれを最小化したいと願う。[ 12 ]

解決

2人制有限ゼロ和ゲームにおいて、プレイヤーが混合戦略を採用できる場合、ゲームには常に少なくとも1つの均衡解が存在します。ナッシュ均衡、ミニマックス、マキシミンといったゲーム理論的に 異なる解の概念は、いずれも同じ解を与えます。これは純粋戦略には当てはまらないことに注意してください。

例

ゼロサムゲーム（二人）
青
赤
あBC
1
−30
30
10
−10
−20
20
2
10
−10
−20
20
20
−20

ゲームの利得行列は、状況を表す便利な表現です。例えば、右または上に示した2人プレイのゼロサムゲームを考えてみましょう。

ゲームの進行は次のようになります: 最初のプレイヤー (赤) は、秘密裏にアクション 1 または 2 のいずれかを選択します。2 番目のプレイヤー (青) は、最初のプレイヤーの選択を知らずに、秘密裏にアクション A、B、または C のいずれかを選択します。その後、選択内容が明らかにされ、各プレイヤーのポイント合計は、それらの選択に対する報酬に応じて影響を受けます。

例: 赤はアクション 2 を選択し、青はアクション B を選択します。支払いが割り当てられると、赤は 20 ポイントを獲得し、青は 20 ポイントを失います。

この例のゲームでは、両プレイヤーとも利得マトリックスを把握しており、獲得できるポイントを最大化しようとします。赤は次のように考えます。「アクション2では最大20ポイント失う可能性があり、獲得できるのは20ポイントだけ。一方、アクション1では10ポイントしか失わないものの、最大30ポイント獲得できるため、アクション1の方がはるかに有利だ」。同様の推論で、青はアクションCを選択するでしょう。両プレイヤーがこれらのアクションを取れば、赤は20ポイント獲得します。青が赤の推論とアクション1の選択を予測した場合、青はアクションBを選択して10ポイント獲得できます。一方、赤がこのトリックを予測してアクション2を選択した場合、赤は20ポイント獲得します。

エミール・ボレルとジョン・フォン・ノイマンは、確率がこの難問を解決する方法を提供するという根本的な洞察を持っていました。2人のプレイヤーは、特定の行動を決定する代わりに、それぞれの行動に確率を割り当て、それらの確率に基づいて行動を選択するランダム装置を使用します。各プレイヤーは、対戦相手の戦略とは無関係に、期待される最大ポイント損失を最小化するように確率を計算します。これは、各プレイヤーにとって最適な戦略を持つ線形計画問題につながります。このミニマックス法は、すべての2人プレイのゼロサムゲームにおいて、おそらく最適な戦略を計算することができます。

上記の例では、赤は確率 ⁠ でアクション 1 を選択することがわかります。4/7⁠そして確率⁠でのアクション23/7⁠、そして青は確率0、⁠を割り当てる必要があります。4/7⁠、そして⁠3/7⁠ 3つのアクションA、B、Cを実行します。赤が勝ちます⁠20/7⁠ 1試合あたり平均ポイント。

解決する

2人プレイのゼロサムゲームのナッシュ均衡は、線形計画問題を解くことで見つけることができます。ゼロサムゲームに利得行列Mがあるとします。ここで、要素M i , jは、最小化プレイヤーが純粋戦略iを選択し、最大化プレイヤーが純粋戦略jを選択した場合に得られる利得です（つまり、利得を最小化しようとするプレイヤーは行を選択し、利得を最大化しようとするプレイヤーは列を選択します）。Mのすべての要素は正であると仮定します。ゲームには少なくとも1つのナッシュ均衡が存在します。ナッシュ均衡は、次の線形計画を解いてベクトルuを見つけることで見つけることができます（Raghavan 1994、p. 740）。

最小化:

∑私あなた私{\displaystyle \sum _{i}u_{i}} 以下の制約が適用されます:

u ≥ 0
M u ≥ 1。

最初の制約は、uベクトルの各要素が非負でなければならないこと、そして2番目の制約は、M uベクトルの各要素が少なくとも1でなければならないことを規定しています。結果として得られるuベクトルにおいて、その要素の合計の逆数がゲームの価値となります。この値をuに掛けると確率ベクトルが得られ、これは最大化を目指すプレイヤーがそれぞれの可能な純粋戦略を選択する確率を与えます。

ゲーム行列の要素がすべて正でない場合、すべての要素に、すべてが正になるのに十分な大きさの定数を加算します。これにより、ゲームの価値はその定数分だけ増加しますが、均衡における混合戦略には影響しません。

最小化プレイヤーの均衡混合戦略は、与えられた線形計画の双対を解くことによって求めることができます。あるいは、上記の手順を用いて、Mの転置と反転（正になるように定数を加える）である修正利得行列を解き、その結果得られるゲームを解くことによっても求めることができます。

線形計画法の解がすべて見つかった場合、それらはゲームのすべてのナッシュ均衡を構成する。逆に、任意の線形計画法は、変数変換によって上記の式の形になることで、2人制のゼロ和ゲームに変換することができ、したがって、そのようなゲームは一般に線形計画法と等価である。[ 13 ]

普遍的な解決策

ゼロサムゲームを回避することがプレイヤーにとってある程度の確率で選択できる行動である場合、回避は常にゼロサムゲームにおける少なくとも1人のプレイヤーにとって均衡戦略となる。ポーカーのように、ゲーム開始後にゼロゼロ引き分けが不可能または不可能とみなされる2人制ゼロサムゲームにおいては、ゲームを回避する以外にナッシュ均衡戦略は存在しない。ゼロサムゲーム開始後にゼロゼロ引き分けが起こり得るとしても、それは回避戦略よりも優れているわけではない。この意味で、ゲーム開始の有無に関わらず、最適選択計算における報酬型（reward-as-you-go）がすべての2人制ゼロサムゲームにおいて優位に立つという結果は興味深い。[ 14 ]

社会心理学の分野における最も一般的、あるいは単純な例は、「社会的罠」の概念です。個人の利益追求が集団全体の幸福を高めるケースもあれば、全員が利益を追求することで相互に破壊的な行動につながるケースもあります。

コープランドのレビューでは、n人プレイヤーの非ゼロ和ゲームは(n+1)人プレイヤーのゼロ和ゲームに変換できることが指摘されており、このゲームでは、架空のプレイヤーと示されるn+1人目のプレイヤーは、他のn人プレイヤーの利益の合計の負数（全体的な利益/損失）を受け取る。[ 15 ]

ゼロサム3人ゲーム

ゼロサム三人ゲーム
ゼロサム三人ゲーム

ゼロサムの3人ゲームでは、プレイヤー間に多様な関係があることは明らかですが、ゼロサムの2人ゲームでは、1人のプレイヤーが勝ったものは必然的にもう1人のプレイヤーが負け、その逆もまた同様です。したがって、常に絶対的な利益の対立があり、これは3人ゲームでも同様です。[ 16 ]ゼロサムの3人ゲームにおけるプレイヤーの特定の動きはそのプレイヤーには明らかに有益であると考えられ、他の2人のプレイヤーには不利益となることもあれば、一方に利益をもたらし、もう一方のプレイヤーに不利益をもたらすこともあります。[ 16 ]特に、2人のプレイヤー間の利益の平行性は協力を望ましいものにします。プレイヤーがさまざまな方針の中から選択する場合があります。自分の行動を調整して他のプレイヤーと利益の平行性を得る、またはその逆を行う。他の2人のプレイヤーのどちらとどの程度平行性を築きたいかを選択できる。[ 16 ]左の図は、ゼロサムの3人ゲームの典型的な例を示しています。プレイヤー1がディフェンスを選択し、プレイヤー2と3がオフェンスを選択した場合、両者とも1ポイントを獲得します。同時に、プレイヤー1は他のプレイヤーにポイントを奪われるため2ポイントを失います。これは、プレイヤー2と3の利害が平行していることを示しています。

実例

飽和市場における格安航空会社の経済的利益 - 純利益かゼロサムゲームか[ 17 ]

調査によると、格安航空会社の香港市場参入により6億7,100万ドルの収益がもたらされ、2億9,400万ドルの流出が生じたという。

したがって、新しいモデルを導入する際には、代替効果を考慮する必要があり、これは経済の漏出と注入につながるため、注意が必要です。例えば、空港を離発着する新しい航空会社の数が同じであれば、開催都市への経済貢献はゼロサムゲームになる可能性があります。香港にとって、香港における海外旅行者の消費は収入であり、反対都市の香港住民の消費は流出だからです。さらに、新しい航空会社の導入は既存の航空会社にマイナスの影響を与える可能性もあります。

したがって、新しい航空モデルが導入される場合には、そのモデルによってもたらされる経済の流入と流出、および移転の影響を考慮し、あらゆる側面から実現可能性テストを実施する必要がある。

金融市場におけるゼロサムゲーム

デリバティブ取引はゼロサムゲームであると考えられる。取引において一方の当事者が得たドルは、もう一方の当事者が失うため、純資産の移転はゼロとなるからである。[ 18 ]

オプション契約（買い手が、売り手から特定の権利行使価格で、特定の満期日までに原資産を購入する権利を提供するデリバティブ契約を購入する契約）は、ゼロサムゲームの一例です。先物契約（買い手が、売り手から特定の日に特定の価格で原資産を購入するデリバティブ契約を購入する契約）もゼロサムゲームの一例です。[ 19 ]これらの契約の基本原則は、2者間の合意であり、一方の当事者が得た利益は、もう一方の当事者が被った損失と一致する必要があるためです。

満期日前に原資産価格が上昇した場合、買い手はオプション／先物契約を行使／決済することができます。買い手の利益とそれに対応する売り手の損失は、権利行使価格とその時の原資産価値の差額となります。したがって、純資産移転はゼロとなります。

2つの異なる金融商品からのキャッシュフローの交換を伴うスワップもゼロサムゲームと見なされます。[ 20 ]標準的な金利スワップで、企業Aが固定金利を支払い変動金利を受け取り、それに応じて企業Bが変動金利を支払い固定金利を受け取る場合を考えてみましょう。金利が上昇すると、企業Aは利益を得て、企業Bは金利差（変動金利-固定金利）によって損失を被ります。金利が下落すると、企業Aは損失を被り、企業Bは金利差（固定金利-変動金利）によって利益を得ます。

デリバティブ取引はゼロサムゲームとみなされるかもしれませんが、必ずしもそうではないことを忘れてはなりません。金融市場は複雑かつ多面的であり、多様な参加者が多様な活動を行っています。一部の取引は、一方から他方への単純な富の移転につながる場合もありますが、市場全体は純粋な競争ではなく、多くの取引が重要な経済的機能を果たしています。

株式市場はプラスサムゲームの好例ですが、しばしば誤ってゼ​​ロサムゲームと分類されます。これはゼロサムの誤謬です。株式市場において、あるトレーダーが保有株の価値を増やすと、別のトレーダーが保有株の価値を減らすという認識です。[ 21 ]

株式市場の第一の目的は買い手と売り手をマッチングさせることですが、実勢価格は需要と供給を均衡させる価格です。株価は一般的に、買収発表、予想外の利益の上方修正、ガイダンスの改善など、将来の期待の変化に応じて変動します。[ 22 ]

例えば、C社がD社を買収する契約を発表し、投資家が買収によってC社のシナジー効果が生まれ、収益性が向上すると確信した場合、C社の株式の需要が増加します。このシナリオでは、C社の株式を保有するすべての既存株主は、他の投資家に測定可能な損失を与えることなく、利益を享受できます。

さらに、長期的には株式市場はプラスサムゲームです。経済成長に伴い、需要が増加し、生産量が増加し、企業が成長し、企業価値が上昇し、市場における価値創造と富の蓄積につながります。

複雑

ロバート・ライトは著書『ノンゼロ：人間の運命の論理』の中で、社会がより複雑化し、専門化し、相互依存的になるにつれて、社会はますます非ゼロサム的になると 理論づけています。

拡張機能

非ゼロサムゲームをゼロサムゲームに縮小する

1944年、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンは、 n人のプレイヤーによる非ゼロ和ゲームはn  +1人のプレイヤーによるゼロ和ゲームと等価であることを証明した。つまり、 n +1番目のプレイヤーは最初のn人のプレイヤー 間の総利益の負を表すということである。[ 23 ]

非線形ユーティリティ

アローとハーウィッツ[ 24 ]は、2人プレイのゼロサムゲームにおいて、利得関数が非線形となる可能性がある（凹ゲームのように）ゲームを研究した。彼らは、そのようなゲームの価値を計算するための 勾配法を提示した。

誤解

ゼロサムゲーム、特にその解法は、ゲーム理論の批判者によってしばしば誤解されている。特に、プレイヤーの独立性と合理性、そして効用関数の解釈に関して誤解されている。さらに、「ゲーム」という言葉は、このモデルがレクリエーションゲームにのみ有効であることを意味するものではない。[ 5 ]

政治はゼロサムと呼ばれることがある[ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]。これは、一般的に膠着状態が「ゼロサム」と認識されているためである。しかし、政治とマクロ経済学は保存系を構成していないため、ゼロサムゲームではない。[ 28 ] [ 29 ]本質的にゼロサムではないシナリオにゼロサムゲームの論理を適用すると、誤った結論に至る可能性がある。ゼロサムゲームは、一方の勝利は他方の損失をもたらすという概念に基づいているため、当然、両者の間には競争が存在する。しかし、そうではないシナリオもある。例えば、両者が協力し、共に働くことで、双方が本来得るべき以上の利益を得られる場合がある。ゼロサムの論理を適用することで、不必要で、潜在的に有害な、希少性と敵意の感覚を生み出してしまう。[ 30 ]したがって、ゼロサムの適用が特定の状況に適合していることを確認することが重要である。

ゼロサム思考

心理学において、ゼロサム思考とは、ある状況がゼロサムゲーム、つまりある人の利益が別の人の損失に等しいという認識を指します。この用語はゲーム理論に由来しています。しかし、ゲーム理論の概念とは異なり、ゼロサム思考は心理的な概念、つまり状況に対する人の主観的な解釈を指します。ゼロサム思考は、「あなたの利益は私の損失」（あるいは逆に「あなたの損失は私の利益」）という言い回しで表現されます。

参照

参考文献

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さらに読む

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