Zhao Youqin のπアルゴリズム

Zhao Youqin のπアルゴリズム

Zhao Youqin の著書『Ge Xiang Xin Shu』第 5 巻のページ

趙有欽のπアルゴリズムは、元代の中国の天文学者で数学者の趙有欽（赵友钦、? - 1330）が著書『革象新書』の中でπの値を計算するために考案したアルゴリズムです 。

アルゴリズム

趙有欽は半径rの円に内接する正方形から始めました。^{[ 1 ]}

正方形の一辺の長さを とすると、円の中心から辺lに垂線dを引きます。eをr  −  dとします。図から、次の式が 成り立ちます。${\displaystyle \ell}$

${\displaystyle d={\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle e=rd=r-{\sqrt {r^{2}-\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}}}.}}$

垂線dを延長して円を八角形に分割します。八角形の 1 辺の長さを表します。 ${\displaystyle \ell_{2}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\sqrt {\left({\frac {\ell }{2}}\right)^{2}+e^{2}}}}$

${\displaystyle \ell _{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell ^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell ^{2}}}\right)^{2}}}}$

16角形の辺の長さを表すものとする ${\displaystyle l_{3}}$

${\displaystyle \ell _{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{2}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{2}^{2}}}\right)^{2}}}}$

同様に

${\displaystyle \ell _{n+1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\ell _{n}^{2}+4\left(r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-\ell _{n}^{2}}}\right)^{2}}}}$

この方法を続けると、彼は最終的に16384角形の辺を計算し、それに16384を掛けて、直径が1000単位の円の場合は3141.592を得ました。

${\displaystyle \pi =3.141592.\,}$

彼はこの数に113を掛けて355を得た。これから彼はπの伝統的な値、すなわち3、3.14、⁠22/7⁠と⁠355/113⁠、最後のものが最も正確です。^{[ 2 ]}

参照

• 劉輝のπアルゴリズム

参考文献

1. 三上義夫『中国と日本の数学の発展』第20章「πの値の研究など」135～138頁
2. 三上義雄、p136