ゾーン多項式

数学において、ゾーン多項式（ぞうさんたにょうぎ）とは、多変数対称 同次多項式である。ゾーン多項式は、対称多項式空間の基底を形成する。ゾーン多項式は行列変数を持つ特殊関数に現れるが、一方で行列変数分布、例えばコンパクト・リー群上の積分におけるウィシャート分布にも現れる。この理論は、1960年代から1970年代にかけて、アラン・トレレベン・ジェームズと彼の博士課程の学生アラン・グラハム・コンスタンティンによる一連の論文の中で、多変数統計学の分野で始まった。^{[1] [2] [3]}

これらは、ゲルファント対（ここでは、超八面体群）および のゾーン球面関数として現れ、これは、これらが二重類代数および の標準基底を記述することを意味します。 ${\displaystyle (S_{2n},H_{n})}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle (Gl_{n}(\mathbb {R} ),O_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [H_{n}\backslash S_{2n}/H_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [O_{d}(\mathbb {R} )\backslash M_{d}(\mathbb {R} )/O_{d}(\mathbb {R} )]}$

ゾーン多項式は、ジャック関数のC正規化の場合です。 ${\displaystyle \alpha =2}$

参考文献

1. ジェームズ、アラン・トレレヴェン (1961). 「実正定値対称行列のゾーン多項式」Annals of Mathematics . 74 (3): 456– 469. doi :10.2307/1970291. JSTOR  1970291.
2. James, Alan Treleven (1964). 「正規分布から導かれる行列変量と潜在根の分布」. Ann. Math. Statist . 35 (2): 475– 501. doi : 10.1214/aoms/1177703550 .
3. コンスタンティン、アラン・グラハム (1963). 「多変量解析における非心分布の問題」. Ann. Math. Statist . 34 (4): 1270–1285 . doi : 10.1214/aoms/1177703863 .

文学

• Robb Muirhead, Aspects of Multivariate Statistical Theory、John Wiley & Sons, Inc.、ニューヨーク、1984年。