ツヴァンツィヒ射影演算子

ツヴァンツィヒ射影演算子は、統計力学において用いられる数学的手法である。^[1]この射影演算子は、位相空間関数 の線形空間に作用し、「遅い」位相空間関数の線形部分空間に射影する。これは、ロバート・ツヴァンツィヒによって、一般的なマスター方程式を導出するために導入された。この演算子は、主にこの文脈、あるいは類似の文脈において、いくつかの「遅い」集団変数の運動方程式を導出するために、形式的に用いられる。[ ^2]

遅い変数とスカラー積

ツヴァンツィヒ射影演算子は、座標と運動量を持つ点粒子の次元位相空間における関数に作用します。これらの関数の特別なサブセットは、「遅い変数」 の可算な集合です。これらの変数の候補としては、質量密度の長波長フーリエ成分や、波数ベクトルがで識別される運動量密度の長波長フーリエ成分などが挙げられます。ツヴァンツィヒ射影演算子はこれらの関数に依存していますが、与えられたハミルトニアンの遅い変数をどのように見つけるかは示していません。 ${\displaystyle 6N}$ ${\displaystyle \Gamma =\{\mathbf {q} _{i},\mathbf {p} _{i}\}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle A(\Gamma )=\{A_{n}(\Gamma )\}}$ ${\displaystyle \rho _{k}(\Gamma )}$ ${\displaystyle \mathbf {\pi } _{\mathbf {k} }(\Gamma )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H(\Gamma )}$

2つの任意の位相空間関数間のスカラー積^[3]は平衡相関によって定義される。 ${\displaystyle f_{1}(\Gamma )}$ ${\displaystyle f_{2}(\Gamma )}$

${\displaystyle \left(f_{1},f_{2}\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f_{1}\left(\Gamma \right)f_{2}\left(\Gamma \right),}$

どこ

${\displaystyle \rho _{0}\left(\Gamma \right)={\frac {\delta \left(H\left(\Gamma \right)-E\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\delta \left(H\left(\Gamma ^{\prime }\right)-E\right)}},}$

ミクロカノニカル均衡分布を表す。定義により、「高速」変数は、このスカラー積の下でのすべての関数と直交する。この定義は、高速変数と低速変数の変動は無相関であると述べており、エルゴード仮説によれば、これは時間平均についても成り立つ。一般関数がいくつかの低速変数と相関している場合、 の無相関の高速部分が残るまで、低速変数の関数を減算することができる。低速変数と高速変数の積は高速変数である。 ${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle f(\Gamma )}$ ${\displaystyle f(\Gamma )}$

射影演算子

定数の連続関数集合を考える。を通して のみに依存する任意の位相空間関数はの関数であり、すなわち $${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)=\prod _{n}\delta (A_{n}(\Gamma )-a_{n})}$$ ${\displaystyle a=a_{n}}$ ${\displaystyle G(A(\Gamma ))}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Phi _{a}}$

${\displaystyle G(A\left(\Gamma \right))=\int daG\left(a\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

一般的な位相空間関数は次のように分解される。 ${\displaystyle f(\Gamma )}$

${\displaystyle f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)+R\left(\Gamma \right),}$

ここでは の高速部分です。 の低速部分の式を得るには、低速関数 とのスカラー積をとります。 ${\displaystyle R(\Gamma )}$ ${\displaystyle f(\Gamma )}$ ${\displaystyle F(\Gamma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta (A(\Gamma )-a)}$

${\displaystyle \int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)f\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)F\left(A\left(\Gamma \right)\right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right)=F\left(a\right)\int d\Gamma \rho _{0}\left(\Gamma \right)\delta \left(A\left(\Gamma \right)-a\right).}$

これは の式を与え、したがってを通して のみに依存する任意の関数をその「遅い」部分に投影する演算子 の式を与えます。 ${\displaystyle F(\Gamma )}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=F\left(A\left(\Gamma \right)\right)={\frac {\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)f\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}{\int d\Gamma ^{\prime }\rho _{0}\left(\Gamma ^{\prime }\right)\delta \left(A\left(\Gamma ^{\prime }\right)-A\left(\Gamma \right)\right)}}.}$

^{この表現は、ツワンジグ[1]}によって与えられた表現と一致するが、ツワンジグが遅い変数を包含する点が異なる。ツワンジグ射影演算子はおよび を満たす。 の速い部分はである。遅い変数の関数、特に遅い変数の積は遅い変数である。したがって、遅い変数の空間は代数である。一般に、この代数はポアソン括弧の下で閉じておらず、ハミルトニアンを含むポアソン括弧も例外ではない。 ${\displaystyle H(\Gamma )}$ ${\displaystyle PG(A(\Gamma ))=G(A(\Gamma ))}$ ${\displaystyle P^{2}=P}$ ${\displaystyle f(\Gamma )}$ ${\displaystyle (1-P)f(\Gamma )}$

リウヴィルとマスターの方程式との関連

上記の定義の最終的な正当性は、遅い変数の時間依存確率分布のマスター方程式（または遅い変数自体の ランジュバン方程式）を導出できることです。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p(a,t)}$

典型的な手順を概説するために、 位相空間における時間依存確率分布を とおく。位相空間密度（および）はリウヴィル方程式の解である。${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)=\rho _{0}(\Gamma )\sigma (\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \sigma (\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\sigma (\Gamma ,t)=L\sigma (\Gamma ,t).}$

重要なステップは、 と書き、 リウヴィル方程式を低速部分空間と高速部分空間に投影することである。^[1]${\displaystyle \rho _{1}=P\sigma }$ ${\displaystyle \rho _{2}=(1-P)\sigma }$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{1}=PL\rho _{1}+PL\rho _{2},}$

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{2}=\left(1-P\right)L\rho _{2}+\left(1-P\right)L\rho _{1}.}$

2番目の方程式を について解き、 を1番目の方程式に代入すると、 についての閉方程式が得られます（中島–ツヴァンツィッヒ方程式 を参照）。後者の方程式は最終的に についての方程式を与えます。 ここで は遅い変数の平衡分布を表します。 ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho _{2}(\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle p(A(\Gamma ),t)=p_{0}(A(\Gamma ))\rho _{1}(\Gamma ,t),}$ ${\displaystyle p_{0}(a)}$

非線形ランジュバン方程式

ランジュバン方程式の標準微分における出発点は恒等式 であり、ここで は高速部分空間に射影される。発展演算子 を持つ離散的な微小時間ステップを考える。ここではリウヴィル演算子である。目標はと を用いて表現することである。その動機は、 が低速変数の汎関数であり、各時間ステップで高速変数となる式を生成することである。このように分離された高速変数は、例えばガウス白色ノイズなどのモデルデータによって表現できると期待される。分解は、最後の項を除いてを左から乗算することで達成される。反復により、以下の式が得られる。 ${\displaystyle 1=P+Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U\cong 1+i\tau L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U^{n}}$ ${\displaystyle U^{k}P}$ ${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$ ${\displaystyle U^{k}P}$ ${\displaystyle Q(UQ)^{m}}$ ${\displaystyle 1=P+Q}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=PU+QU}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=P+Q,\\U&=UP+PUQ+QUQ,\\...&=...\\U^{n}&=U^{n}P+\sum _{m=1}^{n}U^{n-m}P\left(UQ\right)^{m}+Q\left(UQ\right)^{n}.\end{aligned}}}$

最後の行は帰納法によっても証明できる。極限を仮定して実行すると、川崎作用素の恒等式が直接得られる^[2]。${\displaystyle U=1+itL/n}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$

${\displaystyle e^{itL}=e^{itL}P+i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}+Qe^{itLQ}.}$

この方程式を遅い変数の時間微分に適用することで、一般的なランジュバン方程式が得られる。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle dA(\Gamma ,t)/dt=e^{itL}(dA(\Gamma ,t)/dt)_{t=0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dA}{dt}}\left(\Gamma ,t\right)&=V+K+R,\\V&=e^{itL}P{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right),\\K&=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLQe^{isLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right)=i\int _{0}^{t}dse^{i\left(t-s\right)L}PLR\left(s\right),\\R&=Qe^{itLQ}{\dot {A}}\left(\Gamma ,0\right).\end{aligned}}}$

ここで、変動力は（高速変数のみに依存する）である。モード結合項と減衰項は、およびの関数であり、かなり簡略化することができる。^{[1] [2] [4]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle A(t-s)}$

離散関数の集合、森射影演算子との関係

関数の連続集合における遅い部分を展開する代わりに、関数の可算集合を使うこともできる。これらの関数が完全な直交関数集合を構成する場合、射影演算子は単に次のように書ける。 ${\displaystyle f(\Gamma )}$ ${\displaystyle \Phi _{a}(\Gamma )=\delta (A(\Gamma )-a)}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$

${\displaystyle P\cdot f\left(\Gamma \right)=\sum _{n}\left(f,\Phi _{n}\right)\Phi _{n}\left(A\left(\Gamma \right)\right).}$

の特別な選択は、遅い変数の正規直交化された線形結合です。これは森射影演算子につながります。^[3]しかし、線形関数の集合は完全ではなく、直交変数は、の非線形性が作用する 場合、高速でもランダムでもありません。${\displaystyle \Phi _{n}(A(\Gamma ))}$ ${\displaystyle A(\Gamma )}$ ${\displaystyle A}$

参照

• モリ・ツヴァンツィヒ形式主義

参考文献

1. Zwanzig, Robert (1961). 「不可逆熱力学における記憶効果」. Phys. Rev. 124 ( 4): 983– 992. Bibcode :1961PhRv..124..983Z. doi :10.1103/physrev.124.983.
2. Kawasaki, K. (1973). 「一般化線形および非線形ランジュバン方程式の簡単な導出」. J. Phys. A: Math. Nucl. Gen. 6 ( 9): 1289– 1295. Bibcode :1973JPhA....6.1289K. doi :10.1088/0305-4470/6/9/004.
3. Mori, H. (1965). 「輸送、集団運動、そしてブラウン運動」. Prog. Theor. Phys . 33 (3): 423– 455. Bibcode :1965PThPh..33..423M. doi : 10.1143/ptp.33.423 .
4. Gunton, JD (1979). 「動的再正規化群法と関連したモード結合理論」.動的臨界現象と関連トピック. 物理学講義ノート. 第104巻. pp.  1– 24. Bibcode :1979LNP...104....1G. doi :10.1007/3-540-09523-3_1. ISBN 978-3-540-09523-1。