実射影空間

数学において、実射影空間(⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ または⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),}$ と表記)は、実空間⁠ ⁠において原点 0 を通る直線の位相空間です。これは、 n次元のコンパクトで滑らかな多様体であり、グラスマン空間の特殊なケースです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})}$

基本的なプロパティ

工事

すべての射影空間と同様に、⁠ ⁠ は、すべての${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ 実数⁠ ⁠に対して同値関係⁠ ⁠の下での商をとることによって形成されます。 ⁠ ⁠内のすべての⁠ ⁠に対して、 ⁠ ⁠がノルム1を持つような⁠ ⁠が必ず見つかります。そのような ⁠ ⁠ は、符号が異なる⁠ ⁠ ⁠ がちょうど2つ存在します。したがって、⁠ ⁠ は、 ⁠ ⁠における単位球面、 ⁠ ⁠ 、の対心点を特定することによって得られる位相を持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x\sim \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

あるいは、 ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}}$ の上半球面に限定し、境界赤道上の対心点を単に特定することもできます。これは、⁠ ⁠ が${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ 、境界上の対心点を特定した閉⁠ ⁠${\displaystyle n}$ 次元円板⁠ ⁠${\displaystyle D^{n}}$ と位相的に同値であることを示しています。 ${\displaystyle \partial D^{n}=S^{n-1}}$

低次元の例

• ⁠ ⁠は${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ 実射影直線と呼ばれ、位相的には円と同値です。 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ の点を符号を除いて単位ノルムの複素数と考えると、微分同相写像⁠ ⁠は で与えられます。幾何学的には、 の直線は​​角度によってパラメータ化され、この閉区間の端点は同じ直線に対応します。${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$
• ⁠ ⁠は${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ 実射影平面と呼ばれます。この空間は⁠ ⁠に埋め込むことはできません。しかし、⁠ ⁠に埋め込むことはでき、また⁠ ⁠に浸漬することはできます（こちらを参照）。射影⁠ ⁠空間の埋め込み可能性と浸漬可能性の問題は、よく研究されてきました。^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle n}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$ はSO(3)に微分同相であるため、群構造を許容します。被覆写像⁠ ⁠は群Spin(3) → SO(3)の写像であり、Spin(3)はSO(3)の普遍被覆であるリー群です。${\displaystyle S^{3}\to \mathbb {RP} ^{3}}$

トポロジー

⁠ ⁠${\displaystyle n}$ 球面上の反対称写像（ ⁠ ⁠を${\displaystyle x}$ ⁠ ⁠${\displaystyle -x}$ に送る写像）は、⁠ ⁠上にZ ₂ 群作用を生成します。前述のように、この作用の軌道空間は⁠ ⁠です。この作用は、実際には⁠ ⁠ を⁠ ⁠の二重被覆として与える被覆空間作用です。⁠ ⁠は⁠ ⁠に対して単に接続されているため、これらの場合には普遍被覆としても機能します。したがって、⁠ ⁠のとき、 ⁠ ⁠の基本群は⁠ ⁠となります。（基本群が ⁠ ⁠ との同相により ⁠ ⁠ となる場合）。基本群の生成元は、⁠ ⁠内の反対称点を結ぶ任意の曲線を⁠ ⁠に投影することによって得られる閉曲線です。 ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$

射影⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -空間​​はコンパクトで連結であり、位数2の巡回群と同型な基本群を持つ。その普遍被覆空間は単連結空間である⁠ ⁠ -${\displaystyle n}$ 球面からの反対称商写像によって与えられる。これは二重被覆である。 ⁠ ⁠上の反対称写像は符号 を持つので、 ⁠ ⁠が偶数のときのみ向きを保存する。向きの特徴は次のように表される。 ⁠ ⁠ の非自明なループは⁠ ⁠上の向きとして作用するので、 ⁠ ⁠が向き付け可能であるのは⁠ ⁠が偶数、すなわち⁠ ⁠が奇数のときのみである。^[2]${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle (-1)^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {RP} ^{n})}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

射影空間${\displaystyle n}$ は、実際には、冪等線形変換でもあるトレース1のすべての対称行列からなる の部分多様体と微分同相である。[^要出典]${\displaystyle \mathbb {R} ^{(n+1)^{2}}}$ ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

実射影空間の幾何学

実射影空間は、標準的な球面による二重被覆から生じる一定の正のスカラー曲率計量を認めます (対蹠写像は局所的に等長写像です)。

標準的な円形メトリックの場合、断面曲率は1 と同じです。

標準的な円形メトリックでは、射影空間の測定値は球面の測定値のちょうど半分になります。

滑らかな構造

実射影空間は滑らかな多様体である。S n 上の同^次座標 ( x ₁ , ..., x _{n +1 ) において、} x _i ≠ 0となる部分集合U _iを考える。各U _{i は}、 R ⁿ内の2つの開単位球体の互いに素な和集合に同相であり、これらの開単位球体はRP ⁿの同じ部分集合に写像され、座標遷移関数は滑らかである。これにより、RP ^{n は}滑らかな構造となる。

CW複合体としての構造

実射影空間RP ^{n は、}各次元に 1 つのセルを持つ CW 複合体の構造を許容します。

S ⁿ上の同次座標 ( x ₁ ... x _{n +1} )において、座標近傍U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x _{1 ≠ 0} は}n次元円板 D ⁿの内部と同一視できる。x _i = 0 のとき、 RP ^{n −1}となる。したがって、RP ⁿのn −1 スケルトンはRP ^{n −1}であり、それに対応する写像f  : S ^{n −1} → RP ^{n −1}は 2 対 1 被覆写像となる。 $${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$$

帰納法により、RP ⁿはnまでの各次元に 1 つのセルを持つ CW 複合体であることが示されます。

セルは旗多様体上のシュベルトセルである。つまり、完全な旗（例えば標準旗）0 = V ₀ < V ₁ <...< V _nをとると、閉じたkセルはV _kに含まれる直線となる。また、開いたkセル（ kセルの内部）はV _k \ V _{k −1}に含まれる直線（V _kに含まれるがV _{k −1}には含まれない直線）となる。

同次座標（旗を基準に）では、セルは $${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}}$$

これは、接線写像が2対1であるため、正則CW構造ではありません。しかし、その被覆は球面上の正則CW構造であり、各次元に2つのセルがあります。これは、球面上の最小の正則CW構造です。

滑らかな構造を考慮すると、モース関数の存在はRP ⁿがCW複素数である ことを示す。そのような関数の一つは、同次座標において次のように与えられる。$${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$$

各近傍U _iにおいて、g は非退化臨界点 (0,...,1,...,0) を持ち、ここで 1 はモース指数iのi番目の位置に出現する。これは、 RP ^{n が}各次元に 1 つのセルを持つ CW 複体であること を示す。

トートロジーバンドル

実射影空間には、その上にトートロジー束と呼ばれる自然な直線束が存在する。より正確には、これはトートロジー部分束と呼ばれ、また、トートロジー商束と呼ばれる n次元の双対束も存在する。

実射影空間の代数的位相

ホモトピー群

RP ⁿの高次ホモトピー群は、ファイブレーションに関連付けられたホモトピーの長い正確なシーケンスを介して、S ⁿの高次ホモトピー群とまったく同じです。

明示的には、ファイバー バンドルは次のようになります。これは、複素射影空間との類推により 、と 書くこともできます。 $${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$$ $${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$ $${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

ホモトピー群は以下のとおりです。 $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$$

相同性

上記のCW構造に関連する細胞鎖複合体は、各次元0, ..., nに1つの細胞を持つ。各次元kについて、境界写像d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2は、赤道を}S ^{k −1}に縮約し、対蹠点を特定する写像である。奇数次元（偶数次元）では、次数は0（次数2）である。

$${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$$

したがって、積分ホモロジーは $${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$$

上記のホモロジー計算が示すように、 RP ^{n は}nが奇数の場合にのみ有向可能です。

無限実射影空間

無限実射影空間は有限射影空間の 直接の極限または和として構成される。 この空間はO (1)の分類空間であり、最初の直交群である。 $${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$$

この空間の二重被覆は無限球面であり、これは縮約可能である。したがって、無限射影空間はアイレンバーグ・マクレーン空間K ( Z ₂ , 1 ) である。 ${\displaystyle S^{\infty }}$

各非負整数qに対して、法 2 ホモロジー群。 ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}$

2 を 法とするそのコホモロジー環 は であり、は最初のスティフェル・ホイットニー類である。これは上の自由 -代数であり、次数は 1 である。 $${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],}$$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}}$

係数 を持つコホモロジー環は次数2 で、となる。これは、係数を持つ細胞コチェイン複体間のチェイン写像から演繹でき、正次元に単射な環準同型を与え 、像は の偶数次元部分となる。あるいは、普遍係数定理を用いて結果を得ることもできる。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ $${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} [\alpha ]/(2\alpha ),}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2}$ $${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} )\rightarrow H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$$ ${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )}$

参照

• 複素射影空間
• 四元数射影空間
• レンズスペース
• 実射影平面

注記

1. 参考文献と結果のリストについては、Don Davis の表を参照してください。
2. JT Wloka; B. Rowley; B. Lawruk (1995). 楕円システムの境界値問題. ケンブリッジ大学出版局. p. 197. ISBN 978-0-521-43011-1。

参考文献

• ブレドン、グレン.位相幾何学と幾何学、数学大学院テキスト、シュプリンガー出版、1993年、1996年
• デイビス、ドナルド. 「実射影空間の浸漬と埋め込みの表」 . 2011年9月22日閲覧。
• ハッチャー、アレン（2001年）『代数的位相幾何学』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-79160-1。