実座標空間

デカルト座標はユークリッド平面上の点を実数のペアで表す。

数学において、n次元の実座標空間（じっせつこくかんきょうかん、英: real coordinate space ）または実座標n空間（じっせつnきょうかんきょうnきょうかん）は、 R ⁿまたは と表記され、実数のn組の順序付けられた集合、すなわちn個の実数の列（座標ベクトルとも呼ばれる）全体の集合である。特殊なケースとして、実数直線R ¹、実座標平面R ²、実座標三次元空間R ³などと呼ばれる。成分ごとの加算とスカラー乗算により、実ベクトル空間となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

実ベクトル空間の任意の基底上の座標は、ベクトル空間の次元と同じ次元の実座標空間を形成する。同様に、 n次元ユークリッド空間E ⁿ（ユークリッド直線E 、ユークリッド平面E ²、三次元ユークリッド空間E 3 ^）上の点の直交座標は、 n次元の実座標空間を形成する。

ベクトル、点、座標ベクトル間のこれらの一対一の対応は、座標空間と座標ベクトルという名称の由来となっています。これにより、実座標空間の研究に幾何学用語と手法を用いることができ、逆に幾何学において微積分の手法を用いることが可能になります。この幾何学的アプローチは、17世紀にルネ・デカルトによって提唱されました。ユークリッド空間における点の位置を特定し、それらを用いて計算を行うことを可能にするため、広く用いられています。

定義と構造

任意の自然数 nに対して、集合 R ^{n は}実数( R )のn組すべてから構成されます。これは「n次元実空間」または「実n空間」と呼ばれます。

R ⁿの元はn組であり、 各x _{i が}実数であるとき、 と書き表される 。したがって、多変数微分積分学においては、複数の実変数を持つ関数の定義域と実ベクトル値関数の余定義域は、あるnに対するR ⁿの部分集合となる。 $${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

実数n空間には、特に注目すべきいくつかの追加の特性があります。

• 成分ごとの加法とスカラー乗算により、これは実ベクトル空間となる。すべてのn次元実ベクトル空間はこれに同型である。
• ドット積（成分の項ごとの項積の和）により、これは内積空間となる。すべてのn次元実内積空間はこれに同型である。
• すべての内積空間と同様に、これは位相空間であり、位相ベクトル空間です。
• これはユークリッド空間であり、実アフィン空間でもあり、すべてのユークリッド空間またはアフィン空間はこれに同型です。
• これは解析多様体であり、定義により多様体は各点の近くでR ⁿの開集合と同型であるため、すべての多様体の原型と考えることができます。
• これは代数多様体であり、すべての実代数多様体はR ⁿのサブセットです。

R ⁿのこれらの特性と構造により、 R n は統計学、確率論、物理学の多くの部分など、数学のほぼすべての分野とその応用領域において基礎的なものとなっています。

多変数関数の定義域

n個の実変数を持つ任意の関数f ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n )は、 R ⁿ上の（つまり、R ^{n を}定義域とする）関数とみなすことができます。複数の変数を個別に考える代わりに、実数n空間を用いることで、表記を簡素化し、合理的な定義を導き出すことができます。n = 2のとき、以下の形式の 関数合成を考えます。ここで、 関数g ₁とg ₂は連続です。もし $${\displaystyle F(t)=f(g_{1}(t),g_{2}(t)),}$$

• ∀ x ₁  ∈  R  : f ( x ₁ , ·)は連続である（ x ₂によって）
• ∀ x ₂  ∈  R  : f (·,  x ₂ )は連続である（ x ₁によって）

すると、Fは必ずしも連続ではない。連続性はより強い条件である。すなわち、自然なR ²位相（後述）におけるfの連続性（多変数連続性とも呼ばれる）は、合成Fの連続性を満たすのに十分である。

ベクトル空間

座標空間R ^{n は、}線型性の構造が加わった実数体上のn次元ベクトル空間を形成し、しばしばR ^{n と}表記される。ベクトル空間としてのR ⁿ上の演算は、典型的には次のように定義される。 零ベクトルは次のように与えられ 、ベクトルxの加法逆ベクトルは次のように与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})}$$ $${\displaystyle \alpha \mathbf {x} =(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n}).}$$ $${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\ldots ,0)}$$ $${\displaystyle -\mathbf {x} =(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n}).}$$

この構造は、任意のn次元実ベクトル空間がベクトル空間R ⁿと同型であるため重要です。

行列表記

標準的な行列表記では、 R ⁿの各要素は通常は列ベクトル として表され 、行ベクトルとして表されることもあります。 $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

座標空間R ^{n は}、すべてのn  × 1 列ベクトル、または加算とスカラー乗算という通常の行列演算を使用したすべての1 ×  n 行ベクトルの空間として解釈できます。

R ⁿからR ^mへの線型変換は、 m  ×  n行列として表すことができます。これらの行列は、 R ⁿの要素に対しては左乗算（ R ⁿの要素が列ベクトルの場合）によって作用し、 R ^mの要素に対しては右乗算（行ベクトルの場合）によって作用します。行列乗算の特殊なケースである左乗算の式は、以下のとおりです。 $${\displaystyle (A{\mathbf {x} })_{k}=\sum _{l=1}^{n}A_{kl}x_{l}}$$

任意の線形変換は連続関数です（下記参照）。また、行列がR ⁿからR ^mへの開写像を定義するのは、行列の階数がmに等しい場合のみです。

標準基準

座標空間R ^{n に}は標準的な基底が付属しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,\ldots ,0)\\&{}\;\;\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$$

これが基底であることを確認するために、 R ⁿの任意のベクトルが次のように一意に書ける ことに注意する。$${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}.}$$

幾何学的特性と用途

オリエンテーション

実数は他の多くの体とは異なり、順序体を構成するという事実は、 R ⁿ上の向き構造をもたらす。R ⁿからそれ自身への任意のフルランク線型写像は、その行列の行列式の符号に依存して、空間の向きを保存するか反転させる。座標（言い換えれば、基底の要素）を置換した場合、結果として生じる向きは、置換の偶奇性に依存する。

R ⁿの微分同相写像またはその中の領域は、零ヤコビアンを回避するという性質から、向きを保存するものと向きを反転させるものに分類される。これは微分形式理論に重要な意味を持ち、その応用には電磁力学が含まれる。

この構造のもう一つの現れは、R ⁿにおける点の鏡映がnの偶数性に応じて異なる性質を持つことである。n が偶数の場合は向きが維持されるが、 nが奇数の場合は向きが逆になる（不適切回転も参照）。

アフィン空間

R ^{n を}アフィン空間として理解することは、ベクトル空間としてのR ^{n が}並進作用をと同じ空間です。逆に、ベクトルは「 2点間の差」として理解する必要があり、通常は2点を結ぶ有向線分で表されます。この区別は、アフィンn空間において原点がどこに位置すべきかという標準的な選択肢は存在しないことを示しています。なぜなら、原点はどこにでも並進できるからです。

凸状性

n単体(下記参照) は、あらゆる多面体にマッピングされる標準凸集合であり、標準( n + 1)アフィン超平面 (標準アフィン空間) と標準( n + 1)正多面体 (標準円錐) の交差です。

R ⁿのような実ベクトル空間では、そのベクトルの非負線形結合をすべて含む凸錐を定義できます。アフィン空間における対応する概念は凸集合であり、凸結合（和が1となる非負線形結合） のみを許容します。

普遍代数の言語において、ベクトル空間とは、ベクトルの有限和に対応する係数の有限列からなる普遍ベクトル空間R ^∞上の代数であり、アフィン空間とは、この空間内の（和が1となる有限列からなる）普遍アフィン超平面上の代数であり、円錐とは（和が1となる有限列からなる）普遍直交座標上の代数であり、凸集合とは（和が1となる有限列からなる）普遍単体上の代数である。これは、公理を「座標に（可能な）制約を課した和」という観点から幾何学化する。

凸解析のもう 1 つの概念は、R ⁿから実数への凸関数です。これは、凸の点の組み合わせにおけるその値と、同じ係数を持つ点の値の合計との間の不等式を通じて定義されます。

ユークリッド空間

ドット積は ベクトル空間R ⁿ上のノルム| x | = √ x ⋅ x を定義します。すべてのベクトルがユークリッドノルムを持つ場合、任意の点のペアに対して距離 が定義され、R ⁿ上のアフィン構造に加えて 距離空間構造が与えられます。$${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}}$$ $${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$$

ベクトル空間構造に関しては、内積とユークリッド距離は、特別な説明なしにR ⁿに存在すると想定されることが多い。しかし、厳密に言えば、実n空間とユークリッドn空間は異なる対象である。任意のユークリッドn空間には、内積とユークリッド距離が上記のような形になる座標系があり、これを直交座標系と呼ぶ。しかし、ユークリッド空間上には 多くの直交座標系が存在する。

逆に、ユークリッド計量の上記の式はR ⁿ上の標準的なユークリッド構造を定義しますが、それが唯一の可能な構造ではありません。実際には、任意の正定値二次形式q は独自の「距離」√ q ( x − y )を定義しますが、それはユークリッド距離とそれほど変わりません。 このような計量の変更は、例えば完備計量空間であるという性質など、その特性の一部を保持します。これはまた、 R ⁿの任意のフルランク線形変換、またはそのアフィン変換は、距離をある一定のC ₂以上に拡大することはなく、距離を1 /  C ₁倍、つまり一定の有限倍より小さくすることもないことを意味します。 ^{[説明が必要]} $${\displaystyle \exists C_{1}>0,\ \exists C_{2}>0,\ \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:C_{1}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\leq {\sqrt {q(\mathbf {x} -\mathbf {y} )}}\leq C_{2}d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$$

前述の計量関数の同値性は、√ q ( x − y )をM ( x − y )に置き換えても成立する。ここで、Mは任意の次数 1 の凸正同次関数、すなわちベクトルノルムである（有用な例についてはミンコフスキー距離を参照）。R ⁿ上の任意の「自然な」計量はユークリッド計量と特に異なるわけではないため、専門的な数学の著作においても、 R ⁿはユークリッドn空間と必ずしも区別されるわけではない。

代数幾何学と微分幾何学において

多様体の定義ではそのモデル空間がR ⁿである必要はありませんが、この選択は最も一般的であり、微分幾何学ではほぼ排他的です。

一方、ホイットニーの埋め込み定理によれば、任意の実微分可能m次元多様体はR ^{2 m}に埋め込むことができます。

その他の出演

R ⁿ上の他の構造としては、擬ユークリッド空間、シンプレクティック構造（偶数n）、接触構造（奇数n ）などが考えられる。これらの構造はすべて座標に依存しない方法で定義できるものの、座標系においては標準的な（そして比較的単純な）形式をとることができる。

R ^nはC ⁿの実ベクトル部分空間でもあり、これは複素共役に対して不変です。複素化も参照してください。

Rにおける多面体ⁿ

任意のnに対してR ⁿ空間で単純な表現を持つ多面体の族が 3 つあり、それらを使用して、実数n空間の任意のアフィン座標系を視覚化できます。超立方体の頂点には座標( x ₁、  x ₂、...、  x _n )があり、各x _{k は}通常 0 または 1 の 2 つの値のいずれかをとります。ただし、0 と 1 の代わりに任意の 2 つの数値 (たとえば-1と 1)を選ぶことができます。 n超立方体は、実数直線上のn個の同一区間(単位区間[0,1]など) の直積と考えることができます。n次元の部分集合として、これは2 n 個の不等式( [0,1]の場合、 [−1,1]の場合)のシステムで記述できます。 $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\leq 1\\\vdots \\0\leq x_{n}\leq 1\end{matrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{matrix}|x_{1}|\leq 1\\\vdots \\|x_{n}|\leq 1\end{matrix}}}$$

交差多面体の各頂点は、あるkに対して、x _k座標が ±1 に等しく、その他のすべての座標が 0 に等しい（つまり、符号を除いてk番目の標準基底ベクトルとなる）。これは超立方体の双対多面体である。n次元部分集合として、これは絶対値演算を 用いる単一の不等式で記述できるが、 2 ^{n 個}の線形不等式 系で表現することもできる。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}|\leq 1\,,}$$

単数座標を持つ3番目の多面体は標準単体であり、その頂点はn個の標準基底ベクトルと原点 (0, 0, ..., 0)である。n次元部分集合として、これはn + 1個の線形不等式で記述される。 すべての「≤」を「<」に置き換えると、これらの多面体の内部が得られる。 $${\displaystyle {\begin{matrix}0\leq x_{1}\\\vdots \\0\leq x_{n}\\\sum \limits _{k=1}^{n}x_{k}\leq 1\end{matrix}}}$$

位相的性質

R ⁿの位相構造(標準位相、ユークリッド位相、または通常の位相と呼ばれる) は、直積からだけではなく、上で説明したユークリッド計量によって誘導される自然な位相とも同一です。つまり、集合がユークリッド位相において開集合であるためには、その各点の周りに開球が含まれる必要があります。また、 R ⁿは線型位相空間(上記の線型写像の連続性を参照) であり、その線型構造と両立する (自明でない) 位相は 1 つしかありません。R n からそれ自身への等長写像ではない開線型写像は多数存在するため^{、同じ位相に対応するユークリッド構造も R n 上に多数存在できます。実際には、それは線型構造にさえあまり依存しません。R n}からそれ自身、^またはその部分 (ユークリッド開球や超立方体の内部など) への非線型^微分同相写像 (およびその他の同相写像)は多数存在します。

R ⁿは位相次元 nを持ちます。

R ⁿの位相に関する重要な結果の一つは、決して表面的なものではないが、ブラウワーの領域不変性である。R nの任意の部分集合（その部分空間位相を含む）が、R ⁿの他の開部分集合と同相である場合^、それ自体は開集合である。このことから直ちに導かれる結論は、m ≠ nならばR ^{m は}R ⁿと同相ではないということである。これは直感的に「自明」な結果であるが、証明は困難である。

位相次元の違いにもかかわらず、そして素朴な認識に反して、より低次元の^[要説明]実空間をR ⁿ上に連続的かつ射影的に写像することが可能です。連続的な（ただし滑らかではない）空間充填曲線（ R ¹の像）も考えられます。^[要説明]

例

n≤ 1

0 ≤ n ≤ 1の場合、特に新しいことは見出されません。R 1は実数直線ですが、R ⁰（空列ベクトルを含む空間）は単集合であり、零ベクトル空間として理解されます。しかし、異なるnを記述する理論の自明な例として^、これらを含めることは有用です。

n= 2

R ²の超立方体と交差多面体はどちらも正方形ですが、頂点の座標の配置が異なります。

( x, y )の場合（xとyは実数）は、直交平面 Pとして展開されている。さらに、 P内の有向線分を表すユークリッドベクトルが付加された構造も存在する。この平面は、実体にX ^{2 + 1 = 0 の根を付加することで、}体拡張としても展開されている。根 i は、P に対して反時計回りの1/4回転として作用する。この根は群を生成する。( x, y ) をx + y iと書くと、複素数となる。 ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} .}$ ${\displaystyle \{i,-1,-i,+1\}\equiv \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$

による別の群作用（作用素をjと表記）は、直線y = xを用いて平面( x,y )↦( y,x )を反転する反転、すなわち座標の交換を行う。この場合、Pの点はx + y jと表記され、分割複素数と呼ばれる。これらの数は、 jj =+1に従って座標ごとの加法と乗法を行うと、体ではない 環を形成する。${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

P上の別の環構造では、冪零eを用いて( x,y ) に対してx + y eと書きます。P への e の作用は平面を直線に縮約します。これはx 座標への射影に分解でき、その結果を y 軸に 1/4 回転させると e ( x + y e) = x e となります（e ² = 0 より）。数x + y e は双対数です。これらの双対数は環を形成しますが、e には逆元がないため群を生成せず、したがって作用は群作用ではありません。

Pから (0,0) を除くと、実射影直線である 1 次元空間を記述する[ x  : y ]射影座標が作成されます。原点が除外されているため、比x / yとy / xの少なくとも一方が存在します。すると [ x  : y ] = [ x / y  : 1] または [ x  : y ] = [1 : y / x ] となります。射影直線P ¹ ( R ) は、アトラスを形成する2 つの座標チャート[ z  : 1] → zまたは [1 : z ] → zで覆われた位相多様体です。両方のチャートで覆われた点の場合、遷移関数は点の開近傍での乗法的反転であり、多様体で必要な同相写像を提供します。実射影直線の 1 つの応用は、ケーリー–クライン計量幾何学に見られます。

n= 3

R ³の立方体（超立方体）と八面体（交差多面体）。座標は示されていない。

n= 4

R ^{4 は}、 16個の点( x ₁、  x ₂、  x ₃、  x ₄ ) (各x _kは 0 または 1) が四次元立方体(図参照) の頂点、つまり 4 次元超立方体 (上記参照) であるという事実を使って想像できます。

R ⁴の最初の主な用途は時空モデルです。3 つの空間座標と 1 つの時間座標です。これは通常、相対性理論と関連付けられますが、ガリレイ以来、このようなモデルには 4 次元が使用されていました。ただし、理論の選択によって異なる構造になります。ガリレイの相対性理論ではt座標が優先されますが、アインシュタインの相対性理論ではそうではありません。特殊相対性理論はミンコフスキー空間で設定されます。一般相対性理論では曲がった空間を使用しますが、これはほとんどの実用目的では曲がった計量を持つR ⁴と考えることができます。これらの構造のいずれも、 R ⁴上に(正定値の)計量を提供しません。

ユークリッドR ^{4 は}、例えば4次元実代数である四元数との関係などから、数学者の注目を集めています。詳細については、 4次元ユークリッド空間における回転を参照してください。

微分幾何学では、n = 4はR ^{n が}非標準の微分構造を許容する唯一のケースです。エキゾチック R ⁴を参照してください。

規範R ⁿ

ベクトル空間 R ⁿには多くのノルムを定義することができる。一般的な例としては、

• pノルム は、が正の整数であるすべての に対してで定義されます。この場合、これはユークリッドノルムと全く同じであるため、非常に重要です。${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$
• あらゆるpノルムに対して によって定義される-ノルムまたは最大ノルム。これはすべてのpノルムの極限である：。${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}}}$

実に驚くべき、そして役に立つ結果は、R ⁿ上で定義されたすべてのノルムがと等しいということです。これは、任意の2つのノルムとR ⁿ上で、すべての に対してとなるよう な正の実数が常に存在することを意味します。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|'}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta >0}$ $${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|\leq \|\mathbf {x} \|'\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

これは、R ⁿ上のすべてのノルムの集合に同値関係を定義します。この結果から、 R ⁿのベクトル列がで収束する場合、かつそれが で収束する場合に限り、で収束することを確認できます。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|'}$

この結果の証明がどのようなものになるかを示したスケッチを以下に示します。

同値関係より、^{R n 上の任意のノルムがユークリッドノルムと同値であることを示すだけで十分です。R n}上^の任意 のノルムを とします。証明は2つのステップに分かれています。 ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

• 任意の に対して となる が存在することを示します。このステップでは、任意の が標準基底の線形結合として表せるという事実を利用します。次に、 のコーシー・シュワルツ不等式を用いて、 となります。${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\leq \beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\textstyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}}$ $${\displaystyle \|\mathbf {x} \|=\left\|\sum _{i=1}^{n}e_{i}\cdot x_{i}\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|\cdot |x_{i}|\leq {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}=\beta \cdot \|\mathbf {x} \|_{2},}$$ ${\textstyle \beta :={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}\|e_{i}\|^{2}}}}$
• ここで、すべての に対してとなるようなを見つけなければなりません。そのような は存在しないと仮定します。すると、すべてのaに対してとなるような が存在します。により2 番目の数列を定義します。この数列は であるため有界です。したがって、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理により、極限R ⁿを持つ収束部分列が存在します。ここで、 であることを示しますが、これは矛盾です。であり であるため、 です。したがって、 です。これは を意味するため、 です。一方、 であるため、 です。これは決して真ではあり得ないので、仮定は誤りであり、そのような が存在します。${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \alpha \cdot \|\mathbf {x} \|_{2}\leq \|\mathbf {x} \|}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k\in \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{k}\in \mathbf {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\mathbf {x} _{k}\|_{2}>k\cdot \|\mathbf {x} _{k}\|}$ ${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k})_{k\in \mathbf {N} }}$ ${\textstyle {\tilde {\mathbf {x} }}_{k}:={\frac {\mathbf {x} _{k}}{\|\mathbf {x} _{k}\|_{2}}}}$ ${\displaystyle \|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k}\|_{2}=1}$ ${\displaystyle ({\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}})_{j\in \mathbf {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \in }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$ $${\displaystyle \|\mathbf {a} \|\leq \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|+\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|\leq \beta \cdot \left\|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}+{\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\ {\overset {j\to \infty }{\longrightarrow }}\ 0,}$$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} -{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\|\to 0}$ ${\displaystyle 0\leq {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}<{\frac {1}{k_{j}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|}{\|\mathbf {x} _{k_{j}}\|_{2}}}\to 0}$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|=0}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=1}$ ${\displaystyle \|\mathbf {a} \|_{2}=\left\|\lim _{j\to \infty }{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=\lim _{j\to \infty }\left\|{\tilde {\mathbf {x} }}_{k_{j}}\right\|_{2}=1}$ ${\displaystyle \alpha >0}$

参照

• 指数オブジェクト、上付き文字表記の理論的説明
• 幾何学空間
• 実射影空間

出典

• ケリー、ジョン・L. (1975).一般位相幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90125-6。
• マンクレス、ジェームズ (1999).トポロジー. プレンティス・ホール. ISBN 0-13-181629-2。