電位
電位
2つの反対の電荷を持つ導電性球の周囲の電位。紫は最高電位、黄色はゼロ、水色は最低電位を表す。電界線は各球の表面に対して垂直に伸びている。
一般的な記号
V , φ
SI単位ボルト
その他のユニット
スタットボルト
SI基本単位ではV = kg・m 2・s −3・A −1
広範囲にわたる？はい
寸法M L 2 T −3 I −1

電位（電界電位、電位降下、静電ポテンシャルとも呼ばれる）は、静電場内の 2 点間の電荷1 単位あたりの電位エネルギーの差です。より正確には、電位は、電荷の単位に正規化された、静電場内のある基準点から特定の点に試験電荷を移動させるために必要な仕事量です。使用する試験電荷は、場を生成する電荷への擾乱が目立たないほど小さく、試験電荷が場を横切る動きは、試験電荷が運動エネルギーを獲得したり、放射線を生成したりしないように、ごくわずかな加速度で進行すると想定されています。定義により、基準点での電位は 0 単位です。通常、基準点は地球または無限遠点ですが、任意の点を使用できます。

古典静電気学において、静電場は静電ポテンシャルの勾配として表されるベクトル量であり、静電ポテンシャルはVまたは場合によってはφで表されるスカラー量である[ 1 ]。これは、任意の位置における任意の荷電粒子の電位エネルギー（ジュール単位）をその粒子の電荷（クーロン単位）で割った値に等しい。粒子の電荷を除算することで、電場自体の特性を表す商が得られる。つまり、電位とは単位電荷あたりの 電位エネルギーである。

この値は、特定の時間における静的（時間不変）電界または動的（時間変動）電界において、ジュール毎クーロン（J⋅C −1）またはボルト（V）の単位で計算できます。無限遠における電位はゼロと仮定します。

電気力学において、時間変化する場が存在する場合、電場はスカラーポテンシャルのみで表現することはできません。その代わりに、電場はスカラー電位と磁気ベクトルポテンシャルの両方で表現できます。[ 2 ]電位と磁気ベクトルポテンシャルは4元ベクトルを形成するため、ローレンツ変換によって2種類のポテンシャルが混在します。

実際には、電位はすべての空間で連続関数です。これは、不連続な電位の空間微分が、あり得ないほど無限大の電界を生成するためです。特に、理想的な点電荷による電位 ( 1 ⁄ rに比例し、rは点電荷からの距離) は、点電荷の位置を除いてすべての空間で連続です。理想的な表面電荷全体では電場が連続していませんが、どの点でも無限ではありません。したがって、電位は理想的な表面電荷全体で連続です。さらに、理想的な電荷線では、電位 ( ln( r )に比例し、rは電荷線からの半径方向距離) は、電荷線上を除くすべての場所で連続です。

導入

古典力学では、力、エネルギー、位置エネルギーなどの概念を探求します。[ 3 ]力と位置エネルギーは直接関連しています。物体に作用する正味の力は、物体を加速させます。物体が作用する力の方向に移動すると、その位置エネルギーは減少します。例えば、砲弾が丘の頂上にある場合、その重力による位置エネルギーは丘の麓にある場合よりも大きくなります。砲弾が丘を転がり落ちると、その位置エネルギーは減少し、運動、すなわち運動エネルギーに変換されます。

特定の力場のポテンシャルを定義することで、その場における物体の位置エネルギーが、その力場に対する物体の位置のみに依存するようにすることができます。このような力場には、重力場と電場（時間変化する磁場がない場合）があります。これらの場は、物体の固有の特性（質量や電荷など）と位置 によって物体に影響を与えます。

物体は電荷と呼ばれる性質を持つことがあります。電界は帯電した物体に力を及ぼすため、物体が正電荷を帯びている場合、力は電荷の位置における電界ベクトルの方向に作用します。一方、負電荷を帯びている場合、力は逆方向に作用します。

力の大きさは電荷量と電場ベクトルの大きさの積で与えられる。

|F|＝q|E|。{\displaystyle |\mathbf {F} |=q|\mathbf {E} |.}

静電気

正負の点電荷の周囲の電位は、マゼンタ（+）から黄色（0）、シアン（−）までの色で示されています。円形の等高線は等電位線です。電界線は正電荷から出て負電荷に入ります。
2 つの反対の点電荷の近傍の電位。

静電場E内の点rにおける電位は線積分で与えられる。

VE＝−∫CE⋅dℓ{\displaystyle V_{\mathbf {E} }=-\int _{\mathcal {C}}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\,}

ここで、Cはある固定された基準点からrまでの任意の経路であり、積分に加算または減算される定数を除いて一意に決定されます。静電気学では、マクスウェル-ファラデー方程式により回転角 はゼロとなり、電場は保存されます。したがって、上記の線積分は選択された経路Cに依存せず、その端点のみに依存するため、どこでも明確に定義されます。勾配定理により、次のように書けます。 ∇×E{\textstyle \nabla \times \mathbf {E} }VE{\textstyle V_{\mathbf {E} }}

E＝−∇VE{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\,}

これは、電場が低い電圧に向かって「下り坂」を向いていることを示しています。ガウスの法則によれば、電位はポアソン方程式を満たすことも分かります。 ∇⋅E＝∇⋅（−∇VE）＝−∇2VE＝ρ/ε0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\mathbf {\nabla } \cdot \left(-\mathbf {\nabla } V_{\mathbf {E} }\right)=-\nabla ^{2}V_{\mathbf {E} }=\rho /\varepsilon _{0}}

ここでρは全電荷密度であり発散を表します。 ∇⋅{\textstyle \mathbf {\nabla } \cdot }

電位の概念は位置エネルギーと密接に関連している。試験電荷qは、次式で表される 電位エネルギーU Eを持つ。

UE=qV.{\displaystyle U_{\mathbf {E} }=q\,V.}

位置エネルギー、したがって電位も、加算定数まででのみ定義されます。つまり、位置エネルギーと電位がゼロになる位置を任意に選択する必要があります。

これらの方程式は、 、すなわち非保存電場（変化する磁場によって生じる。マクスウェル方程式を参照）の場合は使用できません。この場合への電位の一般化については、 「電気力学への一般化」のセクションで説明します。 ∇×E≠0{\textstyle \nabla \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }

点電荷による電位

電荷Qによって生じる電位はV = Q /(4πε 0 r )です。Q の値が異なると、電位Vの値も異なります（図を参照）。

点電荷QからQの位置rまでの距離rにある点電荷Qから生じる電位は、ε 0が真空の誘電率[ 4 ]である 場合、V Eとして観測されます 。V E はクーロン電位として知られています。点電荷による電場の強さとは対照的に、電位は半径の2乗ではなく、半径の逆数に比例することに注意してください。 VE=14πε0Qr,{\displaystyle V_{\mathbf {E} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}},}

点電荷系における任意の位置rにおける電位は、系内の各点電荷による個々の電位の和に等しい。この事実は計算を大幅に簡素化する。なぜなら、電位（スカラー）場の加算は電場（ベクトル）場の加算よりもはるかに容易だからである。具体的には、点r iにおける離散的な点電荷q iの集合の電位は 、

VE(r)=14πε0∑i=1nqi|r−ri|{\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|}}\,}

どこ

  • rは電位が評価されるポイントです。
  • r i は非ゼロの電荷が存在する点であり、
  • q iは点r iにおける電荷です。

そして連続電荷分布のポテンシャルρ ( r )は

VE(r)=14πε0∫Rρ(r′)|r−r′|d3r′,{\displaystyle V_{\mathbf {E} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{R}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}r'\,,}

どこ

  • rは電位が評価されるポイントです。
  • Rは電荷密度がゼロでないすべての点を含む領域です。
  • r 'はR内の点であり、
  • ρ ( r ' )は点r 'における電荷密度である。

上記の電位に関する式（およびここで使用されているすべての式）は、SI単位系で要求される形式に従っています。CGSガウス単位系など、他の（あまり一般的ではない）単位系では、これらの式の多くは変更される可能性があります。

電気力学への一般化

時間とともに変化する磁場が存在する場合（時間とともに変化する電場が存在する場合は常に真であり、逆もまた同様）、電場はもはや保存的ではないため、単純にスカラーポテンシャルVとして電場を記述することはできません。は経路依存です。なぜなら、（マクスウェル-ファラデー方程式により）です。 ∫CE⋅dℓ{\displaystyle \textstyle \int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}∇×E≠0{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq \mathbf {0} }

代わりに、磁気ベクトルポテンシャルAも含めることでスカラーポテンシャルを定義することができます。具体的には、Aは以下を満たすように定義されます。

B=∇×A{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} }

ここで、Bは磁場である。ベクトル解析の基本定理によれば、磁場の発散は常にゼロであるので、そのようなAは常に存在する。マクスウェル・ファラデー方程式によれば、磁場の回転は磁場の回転によって打ち消されるため、この量 は保存場である。したがって、次のように書くことができる。 F=E+∂A∂t{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}E{\displaystyle \mathbf {E} }∂A∂t{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}E=−∇V−∂A∂t,{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}

ここで、Vは保存場Fによって定義されるスカラーポテンシャルです。

静電ポテンシャルは、Aが時間不変である場合のこの定義の特別なケースに過ぎません。一方、時間変動場の場合は、 静電気とは異なります。 −∫abE⋅dℓ≠V(b)−V(a){\displaystyle -\int _{a}^{b}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\neq V_{(b)}-V_{(a)}}

ゲージの自由度

静電ポテンシャルには、電場に影響を与えずに任意の定数を加えることができます。電気力学では、電位は無限の自由度を持ちます。任意の（時間変動または空間変動の可能性がある）スカラー場𝜓に対して、次のゲージ変換を行うことで、全く同じ電場と磁場を生成する新しいポテンシャルの集合を見つけることができます。[ 5 ]

V′=V−∂ψ∂tA′=A+∇ψ{\displaystyle {\begin{aligned}V^{\prime }&=V-{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\\\mathbf {A} ^{\prime }&=\mathbf {A} +\nabla \psi \end{aligned}}}

ゲージの選択によって、電位は全く異なる特性を持つ可能性がある。クーロンゲージでは、電位はポアソン方程式で与えられる。

∇2V=−ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}

静電気学の場合と同様です。しかし、ローレンツゲージでは、電位は光速で伝播する遅延電位であり、非同次波動方程式の解となります。

∇2V−1c2∂2V∂t2=−ρε0{\displaystyle \nabla ^{2}V-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}

ユニット

SI単位系の電位の組立単位はボルト（アレッサンドロ・ボルタにちなんで）で、Vと表記されます。そのため、空間上の2点間の電位差は電圧と呼ばれます。古い単位は現在ではほとんど使用されていません。センチメートル・グラム・秒単位系の派生単位には、アブボルトやスタットボルトなど、電位を表す様々な単位が含まれていました。

ガルバニ電位と電気化学電位

金属（およびその他の固体および液体）内部では、電子のエネルギーは電位だけでなく、その電子が位置する特定の原子環境によっても影響を受けます。2種類の異なる金属間に電圧計を接続すると、異なる原子環境を補正した電位差が測定されます。 [ 6 ]電圧計で測定される量は電気化学ポテンシャルまたはフェルミ準位と呼ばれ、純粋な未調整の電位Vはガルバニ電位ϕと呼ばれることもあります。 「電圧」と「電位」という用語はやや曖昧ですが、異なる文脈ではどちらも使用されることがあります。

一般的な公式

充電設定 形 電位
無限ワイヤー V=−λ2πε0ln⁡x,{\displaystyle V=-{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}\ln x,}

ここで均一な線電荷密度です。 λ{\displaystyle \lambda }

無限に広い表面 V=−σx2ε0,{\displaystyle V=-{\frac {\sigma x}{2\varepsilon _{0}}},}

ここで均一な表面電荷密度です。 σ{\displaystyle \sigma }

無限に長い円筒形の体積 V=−λ2πε0ln⁡x,{\displaystyle V=-{\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}}}\ln x,}

ここで均一な線電荷密度です。 λ{\displaystyle \lambda }

球形体積 V=Q4πε0x,{\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x}},}

球の外側では、体積内に均一に分布する総電荷です。 Q{\displaystyle Q}

V=Q(3R2−r2)8πε0R3,{\displaystyle V={\frac {Q(3R^{2}-r^{2})}{8\pi \varepsilon _{0}R^{3}}},}

球体内部では、総電荷は体積内に均一に分布しています。 Q{\displaystyle Q}

球面 V=Q4πε0x,{\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x}},}

球の外側では、表面上に均一に分布する総電荷です。 Q{\displaystyle Q}

V=Q4πε0R,{\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}R}},}

均一な電荷分布のために球体内部に配置。

チャージリング V=Q4πε0R2+x2,{\displaystyle V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}{\sqrt {R^{2}+x^{2}}}}},}

軸上では、リング上に均一に分布する総電荷です。 Q{\displaystyle Q}

チャージディスク V=σ2ε0[x2+R2−x],{\displaystyle V={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left[{\sqrt {x^{2}+R^{2}}}-x\right],}

軸上では、均一な表面電荷密度です。 σ{\displaystyle \sigma }

電気双極子 V=0,{\displaystyle V=0,}

赤道面上。

V=p4πε0x2,{\displaystyle V={\frac {p}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}},}

軸上（ と仮定）で、 は負の値をとって軸上の反対方向の位置を示すこともできます。 は電気双極子モーメントの大きさです。 x≫d{\displaystyle x\gg d}x{\displaystyle x}p{\displaystyle p}

参照

参考文献

  1. ^ゴールドスタイン、ハーバート（1959年6月）『古典力学』アメリカ：アディソン・ウェスレー社、383頁。ISBN 0201025108。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  2. ^グリフィス、デイビッド・J. (1999). 『電気力学入門』 ピアソン・プレンティス・ホール. pp.  416– 417. ISBN 978-81-203-1601-0。
  3. ^ヤング、ヒュー・A.；フリードマン、ロジャー・D. (2012).シアーズとゼマンスキーの『大学物理学と現代物理学』（第13版）ボストン：アディソン・ウェスレー、p. 754.
  4. ^ 「2022 CODATA値：真空誘電率」 . NIST定数、単位、不確かさに関する参考資料. NIST . 2024年5月. 2024年5月18日閲覧。
  5. ^グリフィス、デイビッド・J. (1999). 『電気力学入門（第3版）』プレンティス・ホール、p. 420. ISBN 013805326X。
  6. ^ Bagotskii VS (2006).電気化学の基礎. John Wiley & Sons. p. 22. ISBN 978-0-471-70058-6。

さらに読む

ウィキメディア コモンズには、電位に関連するメディアがあります。
  • Politzer P, Truhlar DG (1981). 『原子・分子静電ポテンシャルの化学的応用：有機・無機・生物系の反応性、構造、散乱、エネルギー論』ボストン、マサチューセッツ州：Springer US. ISBN 978-1-4757-9634-6。
  • Sen K, Murray JS (1996). 『分子静電ポテンシャル：概念と応用』アムステルダム: Elsevier. ISBN 978-0-444-82353-3。
  • グリフィスDJ (1999). 『電気力学入門』（第3版）. プレンティス・ホール. ISBN 0-13-805326-X。
  • Jackson JD (1999).古典電気力学（第3版）. 米国: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-30932-1。
  • ワングスネス・RK (1986). 『電磁場』（第2版、改訂、イラスト入り）. Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2。
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