リー群

数学において、リー群（リーぐん、発音：/ l iː /リー）は、群の乗法と逆元を取ることが両方 とも微分可能であるような、微分可能多様体でもある群です。

多様体は局所的にユークリッド空間に相似する空間であるのに対し、群は二項演算という抽象概念に加え、抽象的な意味での「変換」として考えられるために必要な追加の性質を定義する。例えば、乗算と逆元を取ること（除算を可能にするため）、あるいは同義の加算と減算の概念などである。これら2つの概念を組み合わせると、乗算点とその逆元が連続する連続群が得られる。乗算と逆元を取ることが滑らか（微分可能）であれば、リー群が得られる。

リー群は連続対称性の概念の自然なモデルを提供し、その有名な例として円群が挙げられます。円の回転は連続対称性の一例です。円の任意の回転に対して、同じ対称性が存在し、^{[ 1 ]}このような回転を連結すると、リー群の典型的な例である円群が形成されます。リー群は現代数学や物理学の多くの分野で広く用いられています。

リー群は、または⁠ ⁠に含まれる行列部分群、または⁠ ⁠上の可逆行列の群を研究することによって初めて発見されました。概念がこれらの起源をはるかに超えて拡張されたため、これらは現在では古典群と呼ばれています。リー群は、連続変換群の理論の基礎を築いたノルウェーの数学者ソーフス・リー(1842–1899) にちなんで名付けられました。リーがリー群を導入した当初の動機は、有限群がガロア理論で代数方程式の離散対称性をモデル化するのに使用されるのとほぼ同じように、微分方程式の連続対称性をモデル化することでした。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

歴史

ソフス・リーは1873年から1874年の冬を連続群の理論の誕生の日とみなした。^{[ 2 ]}しかしトーマス・ホーキンスは、この理論の創造につながったのは「1869年秋から1873年秋までの4年間のリーの驚異的な研究活動」であったと示唆している。^{[ 2 ]}リーの初期のアイデアのいくつかはフェリックス・クラインとの緊密な協力のもとで発展した。リーは1869年10月から1872年まで毎日クラインと会っており、1869年10月末から1870年2月末まではベルリンで、その後2年間はパリ、ゲッティンゲン、エアランゲンで会った。^{[ 3 ]}リーは主要な結果はすべて1884年までに得られたと述べた。しかし1870年代には彼の論文（最初のノートを除く）はすべてノルウェーの雑誌に掲載され、ヨーロッパの他の地域での彼の研究の認知を妨げた。^{[ 4 ]} 1884年、若いドイツの数学者フリードリヒ・エンゲルがリーと共に、彼の連続群の理論を体系的に解明する論文を執筆することになった。この努力の結果、1888年、1890年、1893年に出版された全3巻からなる『変換群の理論』が生まれた。フランス語で「リー群」という用語が初めて登場したのは1893年、リーの弟子アーサー・トレセの論文の中でであった。^{[ 5 ]}

リーのアイディアは数学の他の分野から孤立していたわけではない。実際、彼が微分方程式の幾何学に興味を抱くようになったのは、カール・グスタフ・ヤコビによる一階偏微分方程式の理論と古典力学の方程式に関する研究がきっかけだった。ヤコビの研究の多くは1860年代に死後に出版され、フランスとドイツで大きな関心を集めた。^{[ 6 ]}リーの固い考えは、エヴァリスト・ガロアが代数方程式に対して行ったことと同じことを微分方程式の対称性理論で実現することだった。つまり、群論に基づいて微分方程式を分類することだ。リーと他の数学者たちは、特殊関数と直交多項式の最も重要な方程式は、群論的対称性から生じる傾向があることを示した。リーの初期の仕事では、連続群の理論を構築して、フェリックス・クラインとアンリ・ポアンカレによってモジュラー形式理論で発展した離散群の理論を補完するという考えだった。リーが考えていた最初の応用は、微分方程式の理論だった。ガロア理論と多項式方程式をモデルにして、対称性の研究によって常微分方程式の全領域を統一できる理論という考え方が原動力となった。しかし、リー理論が常微分方程式の全分野を統一するという希望は叶わなかった。常微分方程式の対称性手法は研究され続けているが、この分野を支配するには至っていない。微分ガロア理論は存在するが、それはピカールやヴェシオなど他者によって発展されたもので、求積法、つまり解を表すために必要な不定積分の理論を提供している。

連続群を考察するさらなる推進力は、ベルンハルト・リーマンの幾何学の基礎に関するアイデアと、クラインによるそのさらなる発展から生まれました。こうして、リーは19世紀数学における3つの主要なテーマを統合し、新たな理論を生み出しました。

• 対称性の考え方は、ガロアが代数的群の概念を通じて例示したものです。
• ポアソンとヤコビによって解明された幾何学理論と力学の微分方程式の明示的な解。
• プリュッカー、メビウス、グラスマンなどの著作で生まれた幾何学の新しい理解であり、リーマンによるこの主題に対する革命的なビジョンに結実しました。

今日では、連続群の理論の創始者はソフス・リーであると正当に認められているが、その後の数学の発展に多大な影響を与えることになる連続群の構造理論の発展における大きな一歩は、 1888年に「連続有限変換群の合成」と題する一連の論文の最初の論文を発表したヴィルヘルム・キリングによるものであった。 ^{[ 7 ]}キリングの研究は、後にエリー・カルタンによって洗練され一般化され、半単純リー代数の分類、カルタンの対称空間の理論、およびヘルマン・ワイルによる最高の重みを使ったコンパクトで半単純リー群の表現の記述につながった。

1900年、ダヴィト・ヒルベルトはパリの国際数学者会議で第五問題を提示し、リー理論家に挑戦した。

ワイルはリー群の理論の発展の初期段階を完成に導いた。半単純リー群の既約表現を分類し群の理論を量子力学と結び付けただけでなく、リーの無限小群（すなわちリー代数）とリー群そのものとの区別を明確に表明することでリーの理論自体を強固な基盤の上に置き、リー群の位相幾何学の研究を始めたからである。^{[ 8 ]}リー群の理論はクロード・シュヴァレーのモノグラフの中で現代数学用語で体系的に書き直された。

概要

絶対値が1であるすべての複素数の集合(複素平面内の中心 0 および半径 1 の円上の点に対応) は、複素乗算に関するリー群、すなわち円群です。

リー群は滑らかな微分可能多様体であり、より一般的な位相群とは対照的に、微分積分学を用いて研究することができます。リー群理論における重要なアイデアの一つは、大域的対象である群を、その局所的あるいは線型化されたバージョンに置き換えることです。リー自身はこの群を「無限小群」と呼び、以来リー代数として知られるようになりました。

リー群は現代幾何学において、いくつかの異なるレベルで非常に重要な役割を果たしている。フェリックス・クラインはそのエアランゲン・プログラムにおいて、特定の幾何学的特性を不変にする適切な変換群を指定することによって、さまざまな「幾何学」を考えることができると論じた。したがって、ユークリッド幾何学はユークリッド空間⁠ ⁠の距離保存変換の群E(3)の選択に対応し、共形幾何学は群を共形群に拡大することに対応し、一方射影幾何学では射影群の下で不変な特性に関心がある。この考え方は後にG構造の概念につながった。ここでGは多様体の「局所的」対称性のリー群である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

リー群（およびそれに関連するリー代数）は現代物理学において重要な役割を果たしており、リー群は典型的には物理系の対称性の役割を果たしている。ここでは、リー群（またはそのリー代数）の表現が特に重要である。表現論は素粒子物理学において広く用いられている。特に重要な表現群としては、回転群SO(3)（またはその二重被覆SU(2)）、 特殊ユニタリー群SU(3)、およびポアンカレ群などが挙げられる。

「大域的」レベルでは、リー群がリーマン多様体やシンプレクティック多様体などの幾何学的対象に作用する場合には、その作用は一定の剛性を与え、豊かな代数的構造を生み出す。多様体へのリー群作用によって表現される連続対称性の存在は、その幾何学に強い制約を課し、多様体上の解析を容易にする。リー群の線型作用は特に重要であり、表現論において研究されている。

1940年代から1950年代にかけて、エリス・コルチン、アルマン・ボレル、クロード・シュヴァレーは、リー群に関する多くの基礎的結果が完全に代数的に展開できることに気づき、任意の体上に定義された代数群の理論を生み出した。この洞察は、ほとんどの有限単純群に統一的な構成を与えることで純粋代数学に新たな可能性をもたらしただけでなく、代数幾何学にも新たな可能性をもたらした。現代数論の重要な一分野である保型形式の理論は、アデール環上のリー群の類似物を広範に扱っており、p進リー群は数論におけるガロア表現との関連で重要な役割を果たしている。

定義と例

実リー群は、有限次元の実滑らかな多様体でもあり、乗算と逆変換の群演算が滑らかな写像となる群である。群の乗算の滑らかさ

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

は、 μが積多様体G × GからGへの滑らかな写像であることを意味する。この 2 つの要件は、写像

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

積多様体のGへの滑らかな写像とする。

最初の例

• 2×2の実可逆行列は、乗法に関して群を形成します。この群は2次一般線型群と呼ばれ、 ⁠ ⁠または⁠ ⁠で表されます。これは4次元の非コンパクト実リー群であり、 ⁠ ⁠の開部分集合です。この群は非連結であり、行列式の正と負の値に対応する2つの連結成分を持ちます。${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$
• 回転行列は⁠ ⁠の部分群を形成し、⁠ ⁠と表記されます。これはそれ自体がリー群であり、具体的には円に微分同相な1次元コンパクト連結リー群です。回転角をパラメータとして用いると、この群は次のようにパラメータ化できます。角度の加算は⁠ ⁠の元の乗算に相当し、逆角を取ることは反転に相当します。したがって、乗算と反転はどちらも微分可能写像です。${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$
• 1次元のアフィン群は、2次元行列リー群であり、実数の上三角行列から成り、第1対角要素は正で第2対角要素は1である。したがって、この群は次の形式の行列から構成される。${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

非例

ここで、ある位相の下でリー群ではない、 無数個の元を持つ群の例を挙げる。

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

固定された無理数を持つ は、トーラスの部分群であり、部分空間位相が与えられた場合、リー群ではない。^{[ 9 ]}例えば、⁠ ⁠内の点の任意の小さな近傍を取ると、 ⁠ ⁠内の部分は不連続である。この群は、螺旋の前の点に到達することなくトーラスの周りを繰り返し巻き、⁠ ⁠の稠密部分群を形成する。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

⁠ ⁠内のグループの一部。要素の小さな近傍は、 ⁠ ⁠上のサブセットトポロジーでは切断されています。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H}$

しかし、群には異なる位相を与えることができ、その位相では2点間の距離は、⁠ ⁠に加わる群の最短経路の長さとして定義されます。この位相では、各要素を⁠ ⁠の定義の数と同一視することにより、実数直線と同相的に同一視されます。この位相では、は加法の下での実数の群であり、したがってリー群です。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

この群は、閉じていないリー群の「リー部分群」の一例です。リー部分群については、以下の基本概念のセクションを参照してください。 ${\displaystyle H}$

行列リー群

を要素とする可逆行列の群とします。の任意の閉部分群はリー群です。^[ 10 ^]この種のリー群は行列リー群と呼ばれます。リー群の興味深い例のほとんどは行列リー群として実現できるため、ホール、^{[ 11 ]}ロスマン、^{[ 12 ]}スティルウェル^{[ 13 ]}などの教科書では、このクラスに限定して扱っています。 行列リー群に限定することで、リー代数と指数写像の定義が簡素化されます。 以下は、行列リー群の標準的な例です ^。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

• および⁠ ⁠ 、および⁠ ⁠上の特殊線型群は、行列式とまたはの要素を持つ行列から構成される。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ユニタリ群と特殊ユニタリ群、および⁠ ⁠ は、を満たす複素行列から成ります（の場合も同様です）。ここで はの共役転置です。${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ ${\displaystyle \det(U)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle U^{*}}$ ${\displaystyle U}$
• 直交群と特殊直交群、および⁠ ⁠ は、を満たす実数行列から成り（の場合も同様）、ここでは の転置である。${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$ ${\displaystyle \det(R)=1}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle R}$

前述の例はすべて、古典群の範疇に入ります。

関連概念

複素リー群は、実多様体ではなく複素多様体（例： ）と正則写像を用いて同様に定義されます。同様に、 ⁠ ⁠の代替計量完備化を用いて、 p進数上のp進リー群を定義できます。これは、群演算が解析的であるような、解析的p進多様体でもある位相群です。特に、各点にはp進近傍があります。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ヒルベルトの第5の問題は、微分可能多様体を位相多様体または解析多様体に置き換えると新しい例が得られるかどうかを問うものでした。この問いに対する答えは否定的でした。1952年にグリーソン、モンゴメリ、ジッピンは、 G が連続群演算を伴う位相多様体である場合、それをリー群に変える解析構造がG上にちょうど1つ存在することを示しています（ヒルベルト・スミス予想も参照）。基礎となる多様体が無限次元（たとえばヒルベルト多様体）であることが許される場合、無限次元リー群の概念に到達します。有限体上の多くのリー群の類似体を定義することは可能であり、これらは有限単純群のほとんどの例を与えます。

圏論の言語は、リー群の簡潔な定義を与える。リー群とは、滑らかな多様体の圏における群対象である。これは、リー群の概念をリー超群へと一般化することを可能にするため、重要である。この圏論的な観点は、リー群の別の一般化、すなわちリー類群にもつながる。リー類群は、更なる要件を伴う滑らかな多様体の圏における 類群対象である。

位相的定義

リー群は、単位元の近くでは、微分可能多様体や位相多様体を参照せずに、変換群のように見える（ハウスドルフ）位相群として定義できます。 ^{[ 14 ]}正確には、リー群は、（1）行列リー群の単位元の近くで局所的に同型であり、 （2）最大で可算個の連結成分を持つ位相群として定義されます。 ^{[ a ]}位相定義が通常の定義と同等であることを示すのは技術的なので（初心者の読者は以下を読み飛ばしてください）、おおよそ次のように行われます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. 通常の多様体的な意味でのリー群Gが与えられた場合、リー群-リー代数対応（またはリーの第三定理の一種）は、同じリー代数を共有する閉リー部分群を構成する。[ b ^{]したがって、}それらは局所同型である。したがって、は上記の位相的定義を満たす。${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G,G'}$ ${\displaystyle G}$
2. 逆に、を上記の位相的な意味でリー群である位相群とし、それぞれの恒等元に関して⁠ ⁠に局所同型な行列リー群を選ぶとします。すると、閉部分群定理のバージョンにより、は実解析多様体となり、局所同型性により、G は恒等元近傍の多様体の構造を獲得します。すると、G上の群法則は形式的冪級数; ^{[ c ]}で与えられることが示され、群演算は実解析的であり、それ自体は実解析多様体となります。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G}$

位相的定義は、2つのリー群が位相群として同型であるならば、それらはリー群としても同型であるという命題を暗示する。実際、この定義は、リー群の位相と群法則が、その群の 幾何学をある程度決定するという一般原理を述べている。

リー群のその他の例

リー群は数学と物理学のあらゆる分野で数多く見られます。行列群または代数群は（大まかに言えば）行列の群（例えば、直交群やシンプレクティック群）であり、これらはリー群のより一般的な例のほとんどを提供します。

次元1と次元2

次元が1である連結リー群は、実数直線群（群演算は加法）と、絶対値1の複素数の円周群（群演算は乗法）のみである。この群はしばしばユニタリ行列群として表記される。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

2次元において、単連結群に着目すると、群はリー代数によって分類されます。2次元のリー代数は（同型を除いて）2つしかありません。関連する単連結リー群は（群演算がベクトルの加法である）と、前の節「最初の例」で説明した1次元のアフィン群です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

追加の例

• 群SU(2)は、行列式⁠ ⁠を持つユニタリ行列の群です。位相的には、⁠ ⁠ -球面⁠ ⁠です。群としては、単位四元数の群と同一視できます。${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• ハイゼンベルク群は、次元の連結な冪零リー群であり、量子力学において重要な役割を果たしている。${\displaystyle 3}$
• ローレンツ群はミンコフスキー空間の線型等長変換の 6 次元リー群です。
• ポアンカレ群は、ミンコフスキー空間のアフィン等長変換の 10 次元リー群です。
• G ₂、F ₄、E ₆、E ₇、E ₈タイプの例外リー群の次元は、14、52、78、133、および 248 です。A–B–C–D 系列の単純リー群とともに、例外群により単純リー群のリストが完成します。
• シンプレクティック群は、⁠ ⁠上のシンプレクティック形式を保存するすべての行列から構成されます。これは次元⁠ ⁠の連結リー群です。${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle 2n^{2}+n}$

建設

古いリー群から新しいリー群を形成する標準的な方法はいくつかあります。

• 2 つのリー群の積はリー群です。
• リー群の位相的に閉じた部分群は、すべてリー群である。これは閉部分群定理またはカルタンの定理として知られている。
• リー群を閉じた正規部分群で割った商はリー群である。
• 連結リー群の普遍被覆はリー群である。例えば、群は円群⁠ ⁠の普遍被覆である。実際、微分可能多様体の任意の被覆は微分可能多様体でもあるが、普遍被覆を指定することにより、（他の構造と互換性のある）群構造が保証される。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

関連する概念

リー群ではない群の例（最大で可算個数の元を持つ任意の群は離散位相を持つ 0 次元リー群と見なせるという自明な意味を除く）には次のものがあります。

• 無限次元群、例えば無限次元実ベクトル空間の加法群や、多様体からリー群への滑らかな関数の空間⁠ ⁠、⁠ ⁠ 。これらは有限次元多様体ではないため、リー群ではありません。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• 完全に分離した群には、体の無限拡大のガロア群やp進数の加法群などがあります。これらは、その基礎空間が実多様体ではないため、リー群ではありません。（これらの群の中には「p進リー群」と呼ばれるものもあります。）一般に、ある正の整数nに対してR ⁿと同様の局所特性を持つ位相群のみがリー群となり得ます（もちろん、微分可能な構造も持たなければなりません）。

基本概念

リー群に付随するリー代数

あらゆるリー群には、その基底ベクトル空間がリー群の単位元における接空間であり、群の局所構造を完全に捉えるリー代数を関連付けることができる。非公式には、リー代数の元は群の元のうち単位元に「無限小に近い」元と考えることができ、リー代数のリー括弧はそのような2つの無限小元の交換子と関連している。抽象的な定義を示す前に、いくつか例を挙げる。

• ベクトル空間R ⁿのリー代数は、     [ A ,  B ] = 0で与えられるリー括弧を持つR ⁿです。(一般に、連結リー群のリー括弧は、リー群がアーベル群である場合に限り、常に 0 になります。)
• 可逆行列の一般線型群GL( n , C )のリー代数は、    [ A ,  B ]= AB  −  BAで与えられるリー括弧を持つ正方行列のベクトル空間M( n , C )である。
• Gが GL( n , C )の閉部分群である場合、 Gのリー代数は、非公式には、 1 + ε mがGに含まれるM( n , C ) の行列mと考えることができます。ここで、 ε は ε ² = 0となる無限小の正数です （もちろん、そのような実数 ε は存在しません）。例えば、直交群 O( n , R ) はAA ^T = 1となる行列Aで構成されている ため、リー代数は(1 + ε m )(1 + ε m ) ^{T = 1 となる行列}mで構成されます 。これはε ² = 0 である ため、m  +  m ^T = 0 と等価です 。
• これまでの説明は次のようにより厳密に行うことができる。GL ( n , C )の閉部分群Gのリー代数は次のように計算できる。

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$ ^{[ 16 ] [ 11 ]}ここで exp(tX指数行列を用いて定義される、Gは括弧演算に関して閉じた実ベクトル空間である^ことが示される。 ^[ 17 ^]${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

行列群に対する上記の具体的な定義は扱いやすいが、いくつか小さな問題がある。それを使用するには、まずリー群を行列の群として表現する必要があるが、すべてのリー群がこのように表現できるわけではなく、リー代数が使用する表現から独立していることも明らかではない。^{[ 18 ]}これらの問題を回避するために、リー群のリー代数の一般的な定義を与える（4つのステップ）。

1. 任意の滑らかな多様体M上のベクトル場は、その多様体上の滑らかな関数の環の微分Xとして考えることができ、したがって、任意の 2 つの微分に対するリー括弧が微分であるため、リー括弧[ X ,  Y ] =  XY  −  YXの下でリー代数を形成します。
2. G が多様体M上で滑らかに作用する任意の群である場合、それはベクトル場に対して作用し、群によって固定されたベクトル場のベクトル空間はリー括弧の下で閉じているため、リー代数も形成します。
3. この構成を、多様体Mがリー群Gの基礎空間であり 、G がG  =  Mに対して左並進L _g ( h ) =  ghで作用している場合に適用する。これは、リー群上の左不変ベクトル場（ G内の任意のhに対してL _{g *} X _h =  X _ghを満たすベクトル場。ここでL _{g *は}L _gの微分を表す）の空間が、ベクトル場のリー括弧の下でリー代数であることを示す。
4. リー群の恒等点における任意の接ベクトルは、その接ベクトルを多様体の他の点に左平行移動させることで、左不変ベクトル場へと拡張できる。具体的には、恒等点における接空間の元vの左不変拡張は、 v ^ _g  =  L _{g *} vで定義されるベクトル場である。これにより、恒等点における接空間T _e G は左不変ベクトル場の空間と同一視され、したがって恒等点における接空間はリー代数となる。これはGのリー代数と呼ばれ、通常はフラクトゥール で表される。したがって、 のリー括弧は[ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _eで明示的に与えられる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

このリー代数は有​​限次元であり、多様体Gと同じ次元を持つ。G のリー代数は、 G を「局所同型」まで決定する。ここで、2つのリー群は、単位元近傍で同じに見える場合、局所同型であると呼ばれる。リー群に関する問題は、多くの場合、まずリー代数に関する対応する問題を解くことによって解決され、群に関する結果は通常容易に導かれる。例えば、単純リー群は通常、まず対応するリー代数を分類することによって分類される。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

左不変ベクトル場の代わりに右不変ベクトル場を用いて、T _e上のリー代数構造を定義することもできる。これは同じリー代数につながる。なぜなら、 G上の逆写像は左不変ベクトル場と右不変ベクトル場を同一視するのに用いることができ、接空間T _e上で −1 として作用するからである。

T _e上のリー代数構造は次のようにも記述できる。交換子演算

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

G × G上の( e ,  e )をeに送るので、その導関数はT _e G上の双線型演算となる。この双線型演算は実際には零写像であるが、接空間の適切な識別の下での2次導関数はリー括弧の公理を満たす演算となり、左不変ベクトル場によって定義される演算の2倍に等しい。

準同型と同型

GとHがリー群であるとき、リー群準同型f  : G → H は滑らかな群準同型である。複素リー群の場合、そのような準同型は正則写像であることが要求される。しかし、これらの要求は少し厳格である。実リー群間の連続準同型はすべて（実）解析的写像となるからである。^{[ 19 ] [ d ]}

2つのリー準同型の合成もまた準同型であり、すべてのリー群のクラスはこれらの射とともに圏を形成する。さらに、すべてのリー群準同型は、対応するリー代数間の準同型を誘導する。をリー群準同型とし、をその恒等元における導関数とする。GとHのリー代数を、恒等元における接空間と同一視すると、は対応するリー代数間の写像となる。 ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

これはリー代数準同型（つまり、リー括弧を保存する線型写像）であることがわかる。圏論の言語では、リー群の圏からリー代数の圏への共変関手が存在し、これはリー群をそのリー代数に、リー群準同型をその恒等微分に写す。

二つのリー群が同型であるとは、それらの間に全単射準同型が存在し、その逆もリー群準同型であるときを言う。同様に、それは微分同型であり、かつ群準同型でもある。上記のことから、リー群からリー群への連続準同型がリー群の同型であるためには、それが全単射であることが必要である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

リー群とリー代数同型

同型リー群は必然的に同型リー代数を持ちます。したがって、リー群の同型類がリー代数の同型類とどのように関係するかを問うのは合理的です。

この方向における最初の結果はリーの第三定理であり、これは任意の有限次元実リー代数は何らかの（線型）リー群のリー代数であるということを述べている。リーの第三定理を証明する一つの方法は、任意の有限次元実リー代数は行列リー代数と同型であるというアドーの定理を用いることである。一方、任意の有限次元行列リー代数に対して、この代数をリー代数とする線型群（行列リー群）が存在する。^{[ 20 ]}

一方、同型リー代数を持つリー群は、必ずしも同型である必要はない。さらに、群が連結であると仮定した場合でも、この結果は成り立つ。言い換えれば、リー群の大域構造はそのリー代数によって決定されるのではない。例えば、Z がGの中心の任意の離散部分群である場合、GとG / Zは同じリー代数を持つ（例についてはリー群の表を参照）。物理学における重要な例としては、群SU(2)とSO(3)が挙げられる。これら2つの群は同型リー代数を持つが^{[ 21 ]}、群自体は同型ではない。SU(2) は単連結であるが、SO(3) は単連結ではないからである^{[ 22 ] 。}

一方、リー群が単連結であることを要求すると、その大域構造はそのリー代数によって決定される。すなわち、同型リー代数を持つ2つの単連結リー群は同型である。^{[ 23 ]}（単連結リー群の詳細については、次のサブセクションを参照してください。）リーの第3定理に照らして、有限次元実リー代数の同型類と単連結リー群の同型類の間には1対1の対応があると言える。

単連結リー群

リー群が単連結であるとは、 ⁠ ⁠ のすべてのループが⁠ ⁠内の点まで連続的に縮小できることを意味します。この概念は、単連結性を仮定とする以下の結果から重要であると言えます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

定理：^{[ 24 ]}とがリー群で、リー代数と がリー代数準同型であるとする。 が単連結であれば、 ⁠ ⁠となるようなリー群準同型が唯一存在し、 ⁠ ⁠となる。ここで ⁠は恒等関数における ⁠の微分である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \phi _{*}=f}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

リーの第三定理は、任意の有限次元実リー代数はリー群のリー代数であるということを述べています。リーの第三定理と前の結果から、任意の有限次元実リー代数は、唯一の単連結リー群のリー代数であることが示されます。

単連結群の例としては、特殊ユニタリー群SU(2)が挙げられる。これは多様体としては3次元球面である。一方、回転群 SO(3)は単連結ではない。（ SO(3) の位相を参照。）SO(3) が単連結でないことは、量子力学における整数スピンと半整数スピンの区別と密接に関係している。単連結リー群の他の例としては、特殊ユニタリー群SU(n)、スピン群（回転群の二重被覆）Spin( n ) （ ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 3}$ ） 、コンパクトシンプレクティック群Sp(n)などがある。^{[ 25 ]}

リー群が単連結かどうかを判断する方法については、リー群の基本群に関する記事で説明します。

指数マップ

一般線型群のリー代数からへの指数写像は、通常のべき級数で与えられる行列 指数によって定義されます。${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

行列⁠ ⁠${\displaystyle X}$ について。⁠ ⁠の閉部分群であれば、指数写像は ⁠ ⁠のリー代数を⁠ ⁠に写す。したがって、すべての行列群に対して指数写像が得られる。 の元のうち単位元に十分近い元はすべて、リー代数における行列の指数写像となる。^{[ 26 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

上記の定義は使いやすいですが、行列群ではないリー群に対しては定義されておらず、リー群の指数写像が行列群としての表現に依存しないことは明確ではありません。これらの問題は、以下のように、すべてのリー群に適用できる、より抽象的な指数写像の定義を用いることで解決できます。

のリー代数（すなわち、単位元における への接空間）の各ベクトルに対して、 ⁠ ⁠となる唯一の1パラメータ部分群が存在することが証明される。が1パラメータ部分群であるということは、単にが への滑らかな写像であり、 が であること を意味する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$ ${\displaystyle c'(0)=X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

と⁠ ⁠に対して成り立つ。右辺の演算は⁠ ⁠における群乗法である。この式は指数関数に有効な式と形式的に類似しており、定義は ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

これは指数写像と呼ばれ、リー代数をリー群⁠ ⁠に写します。これは、 ⁠ ⁠における 0 の近傍と⁠ ⁠におけるの近傍との間の微分同相写像を提供します。この指数写像は、実数（ は乗算を含む正の実数のリー群のリー代数であるため）、複素数（ は乗算を含む非ゼロ複素数のリー群のリー代数であるため）、および行列（正則交換子により はすべての可逆行列のリー群のリー代数であるため） に対する指数関数の一般化です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

指数写像は⁠ ⁠のある近傍に射影的であるため、リー代数の元は⁠ ⁠群の無限小生成元と呼ばれることが一般的です。 ⁠ ⁠によって生成される の部分群は⁠ ⁠の恒等成分です。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

指数写像とリー代数は、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式により、連結されたすべてのリー群の局所群構造を決定します。 つまり、⁠ ⁠の零元の近傍が存在し、${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

ここで省略された項は既知であり、4つ以上の要素からなるリー括弧を含みます。と が可換な場合、この式はよく知られた指数法則⁠ ⁠に帰着します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

指数写像はリー群準同型を関連付ける。つまり、がリー群準同型であり、対応するリー代数上の誘導写像である とき、すべての${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

言い換えれば、次の図は可換である、^{[ 27 ]}

(簡単に言うと、exp は、リー群のカテゴリ上の Lie 関手から恒等関手への 自然変換です。)

リー代数からリー群への指数写像は、群が連結であっても、必ずしも上へ写るわけではない（ただし、連結群がコンパクトまたは冪零である場合は、リー群へ写像する）。例えば、 SL(2, R )の指数写像は射影的ではない。また、 C ^∞フレシェ空間をモデルとした無限次元（下記参照）リー群の場合、指数写像は、任意の 0 の小さな近傍から対応する 1 の近傍への写像であっても、射影的でも単射的でもない。

リー部分群

リー群のリー部分群 とは、と の部分集合であり、からへの包含写像が の単射的埋め込みかつ群準同型となるようなリー群である。カルタンの定理によれば、の閉部分群は、 の埋め込みリー部分群となる唯一の滑らかな構造を持つ。つまり、 の埋め込みリー部分群、すなわち、包含写像が滑らかな埋め込みとなるようなリー部分群である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

閉じていない部分群の例は数多くあります。例えば、 を2次​​元以上のトーラスとし、 を無理数傾きの1パラメータ部分群、つまりGを周回する部分群とします。すると、 ⁠ ⁠とのリー群準同型が存在します。の閉包は⁠ ⁠内の部分トーラスになります。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

指数写像は、連結リー群の連結リー部分群とリー代数の部分代数との間に一対一対応を与える。^{[ 28 ]}典型的には、部分代数に対応する部分群は閉部分群ではない。どの部分代数が閉部分群に対応するかを、その 構造のみに基づいて決定する基準は存在しない。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

表現

リー群の研究で重要な点の 1 つは、その表現、つまりベクトル空間に対して (線型的に) 作用する方法です。物理学では、リー群は物理系の対称性を符号化することがよくあります。この対称性を利用して系の解析に役立てる方法として、表現論がよく用いられます。たとえば、量子力学における時間に依存しないシュレーディンガー方程式⁠ ⁠${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ を考えてみましょう。問題の系が回転群 SO(3)を対称性として持つ、つまりハミルトニアン演算子が波動関数⁠ ⁠に対する SO(3) の作用と交換すると仮定します。(このような系の重要な例の 1 つは、球対称のポテンシャルを持つ水素原子です。) この仮定は、解が回転不変な関数であることを必ずしも意味するわけではありません。むしろ、の解の空間は( の各固定値に対して) 回転に対して不変であることを意味します。したがって、この空間は SO(3) の表現を構成します。これらの表現は分類されており、分類によって問題が大幅に簡素化され、本質的には 3 次元偏微分方程式が 1 次元常微分方程式に変換されます。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle E}$

連結コンパクトリー群Kの場合（前述の SO(3) の場合を含む）は特に扱いやすい。^{[ 29 ]}この場合、Kのあらゆる有限次元表現は、既約表現の直和として分解される。既約表現は、ヘルマン・ワイルによって分類された。この分類は、表現の「最大の重み」に基づいている。この分類は、半単純リー代数の表現の分類と密接に関連している。

任意のリー群（必ずしもコンパクトではない）の（一般に無限次元の）ユニタリ表現を研究することもできます。例えば、 SL(2, R )群の表現やポアンカレ群の表現を比較的単純かつ明示的に記述することが可能です。

分類

リー群は、滑らかに変化する対称性の族と考えることができます。対称性の例としては、軸を中心とした回転が挙げられます。理解すべきは、「小さな」変換、例えば微小な角度の回転など、近傍の変換を結びつける性質です。この構造を捉えた数学的対象はリー代数と呼ばれます（リー自身はこれを「無限小群」と呼んでいました）。リー群は滑らかな多様体であるため、各点に 接空間を持つため、無限小群を定義することができます。

任意のコンパクト・リー群（非常に大まかに言えば、対称性が有界集合を形成するもの）のリー代数は、アーベル・リー代数といくつかの単純リー代数の直和として分解できます。アーベル・リー代数の構造は数学的には興味深いものではありません（リー括弧が常にゼロであるため）。興味深いのは、単純な和分です。そこで、次のような疑問が生じます。コンパクト群の単純リー代数とは一体何でしょうか？ それらは主に、ユークリッド空間の対称性を用いて簡単に記述できる「古典リー代数」A _n、B _n、C _n、D _nという4つの無限族に分類されます。しかし、これらのいずれにも分類されない「例外リー代数」もわずか5つ存在します。E ₈はその中で最大のものです。

リー群は、代数的性質（単純、半単純、可解、冪零、アーベル）、連結性（連結または単連結）、コンパクト性に応じて分類されます。

最初の重要な結果はレヴィ分解であり、これは、すべての単連結リー群は、解ける正規部分群と半単純部分群の半直積であるということを示しています。

• 連結コンパクト リー群はすべて既知です。連結コンパクト リー群は、円群S ¹のコピーと単純コンパクト リー群 (連結ディンキン図に対応) の積の有限中心商です。
• 任意の単連結な可解リー群は、ある階数の可逆上三角行列群の閉部分群と同型であり、そのような群の任意の有限次元既約表現は1次元である。可解群は、いくつかの小さな次元を除いて、分類するには複雑すぎる。
• 任意の単連結な冪零リー群は、ある階数の対角線上に1を持つ可逆上三角行列群の閉部分群と同型であり、そのような群の任意の有限次元既約表現は1次元である。可解群と同様に、冪零群は、いくつかの小さな次元を除いて分類するには複雑すぎる。
• 単純リー群は、抽象群として単純な群として定義される場合もあれば、単純リー代数を持つ連結リー群として定義される場合もあります。例えば、SL(2, R )は2番目の定義によれば単純ですが、1番目の定義によれば単純ではありません。これらはすべて（どちらの定義においても）分類されています。
• 半単純リー群は、そのリー代数が単純リー代数の積であるリー群である。^{[ 30 ]}それらは単純リー群の積の中心的拡張である。

任意のリー群の恒等成分は開正規部分群であり、商群は離散群である。任意の連結リー群の普遍被覆は単連結リー群であり、逆に任意の連結リー群は単連結リー群を中心の離散正規部分群で割ったものである。任意のリー群Gは、以下のように標準的な方法で離散群、単純群、およびアーベル群に分解できる。

恒等式の連結成分のG _con

最大の連結正規可解部分群のG _sol

最大の連結正規冪零部分群の場合、G _nil

正規部分群の列が得られる。

1 ⊆ G_ゼロ⊆ G_ソル⊆ G_コン⊆ G .

それから

G / G _conは離散的である

G _con / G _{sol は、}単純な連結リー群の積の中心拡張です。

G _sol / G _nilはアーベル群である。連結アーベルリー群は、Rと円群S ¹のコピーの積に同型である 。

G _nil /1 は冪零であるため、その上昇中心級数のすべての商はアーベルです。

これを使用すると、リー群に関するいくつかの問題 (ユニタリ表現の検出など) を、連結された単純群と、より小さい次元の冪零かつ可解な部分群に関する同じ問題に減らすことができます。

• リー群の微分同相群はリー群に推移的に作用する。
• すべてのリー群は平行化可能であり、したがって向き付け可能な多様体である（その接バンドルとそれ自身と恒等点における接空間との積の間にバンドル同型性がある）

無限次元リー群

リー群は有限次元として定義されることが多いが、無限次元であることを除いてリー群に似た群も多数存在する。無限次元リー群を定義する最も簡単な方法は、 （有限次元の場合のユークリッド空間ではなく）バナッハ空間上で局所的にモデル化することであり、この場合、基本理論の多くは有限次元リー群の基礎理論に類似している。しかし、これは多くの応用には不十分である。なぜなら、無限次元リー群の多くの自然な例はバナッハ多様体ではないからである。その代わりに、より一般的な局所凸位相ベクトル空間上でモデル化されたリー群を定義する必要がある。この場合、リー代数とリー群の関係はかなり微妙になり、有限次元リー群に関するいくつかの結果はもはや成り立たなくなる。

無限次元群のどのような性質が、リー群におけるリー接頭辞「リー」の資格を与えるのかという点については、文献の用語法が完全に統一されているわけではありません。リー代数側では、リー代数におけるリー接頭辞「リー」の資格基準は純粋に代数的なものであることから、状況はより単純です。例えば、無限次元リー代数には対応するリー群が存在する場合もあれば、存在しない場合もあります。つまり、リー代数に対応する群が存在する可能性はありますが、リー群と呼ぶには「十分に良好」ではないかもしれませんし、群とリー代数の関係が「十分に良好」ではないかもしれません（例えば、指数写像が恒等写像の近傍上に存在しないなど）。「十分に良好」かどうかは普遍的に定義されていません。

研究された例には次のようなものがあります。

• 多様体の微分同相写像群。円の微分同相写像群については多くのことが知られている。そのリー代数は（多かれ少なかれ）ウィット代数であり、その中心的な拡張であるヴィラソロ代数（この事実の導出についてはウィット代数におけるヴィラソロ代数を参照）は、2次元共形体理論の対称代数である。より高次元のコンパクト多様体の微分同相写像群は正則フレシェ・リー群であるが、その構造についてはほとんど知られていない。
• 時空の微分同相群は、重力を量子化しようとするときに時々現れます。
• 多様体から有限次元リー群への滑らかな写像の群は、ゲージ群（点ごとの乗算を伴う）の例であり、量子場の理論とドナルドソン理論で用いられる。多様体が円の場合、これらはループ群と呼ばれ、その中心拡大のリー代数は（多かれ少なかれ）カッツ・ムーディ代数となる。
• 一般線型群、直交群などには、無限次元の類似例が存在する。^{[ 31 ]}重要な点の一つは、これらはより単純な位相的性質を持つ可能性があることである。例えばカイパーの定理を参照のこと。例えばM理論では、10次元SU( N )ゲージ理論は、 Nが無限大になると11次元の理論になる。

参照

• リー群の随伴表現
• ハール測度
• 均質空間
• リー点対称性、リー群の微分方程式の研究への応用について
• リー群のトピック一覧
• リー群の表現
• 量子力学における対称性

注記

説明ノート

1. 引用文献では、線型リー群は一般線型群の浸漬部分群として定義され、リー群は最大可算数の連結成分を持つ位相群、すなわち恒等群に近い線型リー群として定義されています。浸漬の意味での線型リー群は必ずしも行列リー群ではありません。しかし、それでも行列リー群と局所的に同型です。したがって、ここでの定義は参考文献の定義と同等です。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. この対応は一般線型群の浸漬部分群に対してよく述べられるが、Morikuni Goto: Faithful representations of Lie groups. II. Nagoya Math. J. 1, (1950). 91–107. によれば、そのような群は一般線型群の閉部分群とみなすことができる。 [1]、 [2]を参照。
3. これはリー群が形式リー群であるという主張である。後者の概念についてはBruhatを参照のこと。 ^{[ 15 ]}
4. ホールは滑らかさだけを主張しているが、同じ議論は解析性も示している。

引用

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9. ロスマン 2001、第2章
10. ホール 2015系 3.45
11. ホール 2015
12. ロスマン 2001
13. スティルウェル 2008
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15. Bruhat, F. (1958). 「リー群と局所コンパクト群の表現に関する講義」(PDF) . タタ基礎研究所、ボンベイ.
16. ヘルガソン 1978、Ch. II、§ 2、命題 2.7
17. ホール 2015定理 3.20
18. ただし、 Hall 2015、命題3.30および第3章演習8を参照。
19. ホール 2015系 3.50
20. ホール 2015定理 5.20
21. ホール 2015例 3.27
22. ホール 2015セクション 1.3.4
23. ホール 2015系 5.7
24. ホール 2015定理 5.6
25. ホール 2015セクション 13.2
26. ホール 2015定理 3.42
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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおけるリー群に関連するメディア
• 嘘理論ジャーナル