リー点対称性

リー点対称性は、高度な数学の概念です。19世紀末に、ソフス・リーは常微分方程式[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] (ODE)の解を研究するためにリー群の概念を導入しました。彼は次の主要な特性を示しました。常微分方程式の位数は、1パラメータのリー群の点変換に対して不変であれば1つ減らすことができます。[ 4 ]この観察により、利用可能な積分手法が統合され、拡張されました。リーはその後の数学者としてのキャリアを、現在では数学に基づく科学の多くの分野に影響を与えているこれらの連続群の開発に費やしました。微分系へのリー群の応用は、主にリーとエミー・ノイマンによって確立され、その後エリー・カルタンによって提唱されました。

大まかに言えば、系のリー点対称性とは、系のあらゆる解を同じ系の別の解に写す変換の局所群です。言い換えれば、系の解の集合をそれ自身に写すものです。リー群の基本的な例としては、並進、回転、スケーリングなどが挙げられます。

リー対称性理論はよく知られたテーマです。この理論では、例えば離散対称性ではなく連続対称性について議論されています。この理論に関する文献は、特にこのノートに掲載されています。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

概要

対称性の種類

リー群、ひいてはその無限小生成子は、独立変数、状態変数（従属変数）、および状態変数の任意の有限次数までの導関数の空間に作用するように自然に「拡張」できる。他にも多くの種類の対称性が存在する。例えば、接触変換では、変換の無限小生成子の係数は座標の1次導関数にも依存する。リー・バックルンド変換では、変換に任意の次数までの導関数が含まれる。このような対称性の存在の可能性は、ノイマンによって認識された。[ 10 ]リー点対称性では、無限小生成子の係数は座標のみに依存し、 で表される。 Z{\displaystyle Z}

アプリケーション

リー対称性は、常微分方程式を解くためにリーによって導入されました。対称性法のもう一つの応用は、微分方程式系を縮約し、より単純な形の等価な微分方程式系を見つけることです。これは縮約と呼ばれます。文献には、古典的な縮約法[ 4 ]と、移動フレームに基づく縮約法[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]が挙げられます。また、対称群は、解の異なる対称性クラスを分類するためにも使用できます。

幾何学的枠組み

微小アプローチ

リーの基本定理は、リー群が無限小生成元と呼ばれる元によって特徴付けられることを強調している。これらの数学的対象は、無限小生成元のリー代数を形成する。導出された「無限小対称条件」（対称群の定義方程式）を明示的に解くことで、対称群の閉形式、ひいては関連する無限小生成元を見つけることができる。

が定義される座標系とする。ここで はの濃度である。体 における無限小生成子は、その核にを持ち、ライプニッツ則 を満たす線形作用素である。 Z＝（z1、…、zn）{\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}n{\displaystyle n}Z{\displaystyle Z}δ{\displaystyle \delta}R（Z）{\displaystyle \mathbb {R} (Z)}δ:R（Z）→R（Z）{\displaystyle \delta :\mathbb {R} (Z)\rightarrow \mathbb {R} (Z)}R{\displaystyle \mathbb {R} }

た（f1、f2）∈R（Z）2、δf1f2＝f1δf2+f2δf1{\displaystyle \forall (f_{1},f_{2})\in \mathbb {R} (Z)^{2},\delta f_{1}f_{2}=f_{1}\delta f_{2}+f_{2}\delta f_{1}}。

基本導出の標準的な基礎では、次のように書かれています。 {∂∂z1、…、∂∂zn}{\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right\}}

δ＝∑私＝1nξz私（Z）∂∂z私{\displaystyle \delta =\sum _{i=1}^{n}\xi _{z_{i}}(Z){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}}

すべて のに対してはです。 ξz私{\displaystyle \xi _{z_{i}}}R（Z）{\displaystyle \mathbb {R} (Z)}私{\displaystyle i}{1、…、n}{\displaystyle \left\{1,\dots ,n\right\}}

リー群と無限小生成元のリー代数

リー代数は、上で定義した無限小生成元生成集合によって生成できます。すべてのリー群には、リー代数を関連付けることができます。大まかに言えば、リー代数とは、リー括弧を追加演算として備えたベクトル空間で構成される代数です。リー代数の基底体は不変式の概念に依存します。ここでは有限次元リー代数のみを扱います。 グラム{\displaystyle {\mathfrak {g}}}

連続動的システム

力学系（またはフロー）は、1パラメータの群作用である。このような力学系、より正確には、多様体への群の（左）作用を次のように表す。 D{\displaystyle {\mathcal {D}}}（G、+）{\displaystyle (G,+)}M{\displaystyle M}

D:G×M→Mν×Z→D（ν、Z）{\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&G\times M&\rightarrow &M\\&\nu \times Z&\rightarrow &{\mathcal {D}}(\nu ,Z)\end{array}}}

のすべての点に対して次の関係が成り立つ: Z{\displaystyle Z}M{\displaystyle M}

  • D(e,Z)=Z{\displaystyle {\mathcal {D}}(e,Z)=Z}ここで、 の中立要素は です。e{\displaystyle e}G{\displaystyle G}
  • すべて、。​(ν,ν^){\displaystyle (\nu ,{\hat {\nu }})}G2{\displaystyle G^{2}}D(ν,D(ν^,Z))=D(ν+ν^,Z){\displaystyle {\mathcal {D}}(\nu ,{\mathcal {D}}({\hat {\nu }},Z))={\mathcal {D}}(\nu +{\hat {\nu }},Z)}

連続的な動的システムは、グループ要素が連続していること が識別できるグループ上で定義されます。G{\displaystyle G}R{\displaystyle \mathbb {R} }

不変量

不変量とは、大まかに言えば、変換によって変化しない要素です。

リー点対称性の定義

この段落では、正確に拡張されたリー点対称性を考慮します。つまり、独立変数、状態変数、およびパラメータ間の区別が可能な限り回避される拡張空間で作業します。

系の対称群とは、多様体 に作用する局所リー群 上に定義された連続力学系である。説明を分かりやすくするために、ここでは n 次元実多様体に限定する。ここでは系座標の数である。 G{\displaystyle G}M{\displaystyle M}M=Rn{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}n{\displaystyle n}

代数系のリー点対称性

これから述べる対称性の定義で使用される 代数システムを定義しましょう。

代数システム

を体上の有理関数の有限集合とし、およびはの多項式、すなわち の係数を持つ変数の多項式とする。に関連する代数系は、以下の等式および不等式によって定義される。 F=(f1,…,fk)=(p1/q1,…,pk/qk){\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})=(p_{1}/q_{1},\dots ,p_{k}/q_{k})}R{\displaystyle \mathbb {R} }pi{\displaystyle p_{i}}qi{\displaystyle q_{i}}R[Z]{\displaystyle \mathbb {R} [Z]}Z=(z1,…,zn){\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}R{\displaystyle \mathbb {R} }F{\displaystyle F}

{p1(Z)=0,⋮pk(Z)=0and{q1(Z)≠0,⋮qk(Z)≠0.{\displaystyle {\begin{array}{ccc}\left\{{\begin{array}{l}p_{1}(Z)=0,\\\vdots \\p_{k}(Z)=0\end{array}}\right.&{\mbox{and}}&\left\{{\begin{array}{l}q_{1}(Z)\neq 0,\\\vdots \\q_{k}(Z)\neq 0.\end{array}}\right.\end{array}}}

によって定義される代数系は、系の階数が最大である場合に正則（または滑らか）です。つまり、関連する半代数多様体 のどの解においても、ヤコビ行列の階数が であることを意味します。 F=(f1,…,fk){\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}F{\displaystyle F}k{\displaystyle k}(∂fi/∂zj){\displaystyle (\partial f_{i}/\partial z_{j})}k{\displaystyle k}Z{\displaystyle Z}

リー点対称性の定義

次の定理（ [ 5 ]の第2章2.8節参照）は、局所リー群が代数系の対称群となる ための必要十分条件を与えている。G{\displaystyle G}

定理。n次元空間 に作用する連続力学系の連結局所リー群を とする。で正規代数方程式系を定義する。 G{\displaystyle G}Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}F:Rn→Rk{\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}k≤n{\displaystyle k\leq n}

fi(Z)=0∀i∈{1,…,k}.{\displaystyle f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}.}

すると、この代数系の対称群は、 G{\displaystyle G}

δfi(Z)=0∀i∈{1,…,k} whenever f1(Z)=⋯=fk(Z)=0{\displaystyle \delta f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}{\mbox{ whenever }}f_{1}(Z)=\dots =f_{k}(Z)=0}

のリー代数におけるすべての無限小生成子に対して。 δ{\displaystyle \delta }g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}G{\displaystyle G}

例

次のような 6 変数の空間で定義された代数システムを考えます。 Z=(P,Q,a,b,c,l){\displaystyle Z=(P,Q,a,b,c,l)}

{f1(Z)=(1−cP)+bQ+1,f2(Z)=aP−lQ+1.{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(Z)=(1-cP)+bQ+1,\\f_{2}(Z)=aP-lQ+1.\end{array}}\right.}

無限小ジェネレータ

δ=a(a−1)∂∂a+(l+b)∂∂b+(2ac−c)∂∂c+(−aP+P)∂∂P{\displaystyle \delta =a(a-1){\dfrac {\partial }{\partial a}}+(l+b){\dfrac {\partial }{\partial b}}+(2ac-c){\dfrac {\partial }{\partial c}}+(-aP+P){\dfrac {\partial }{\partial P}}}

は1パラメータ対称群の1つに関連付けられています。4つの変数、すなわち と に作用します。とであることは簡単に証明できます。したがって、代数系がゼロとなる 任意の に対して、関係式が満たされます。a,b,c{\displaystyle a,b,c}P{\displaystyle P}δf1=f1−f2{\displaystyle \delta f_{1}=f_{1}-f_{2}}δf2=0{\displaystyle \delta f_{2}=0}δf1=δf2=0{\displaystyle \delta f_{1}=\delta f_{2}=0}Z{\displaystyle Z}R6{\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}

力学系のリー点対称性

これから述べる対称性の定義で使用される 1 次ODEのシステムを定義しましょう。

常微分方程式系とそれに関連する微小生成子

を連続独立変数 に関する微分とする。2つの集合とを考える。関連する座標集合 は で定義され、その基数は である。これらの表記を用いると、1階常微分方程式系は次の条件を満たす系となる。 d⋅/dt{\displaystyle d\cdot /dt}t{\displaystyle t}X=(x1,…,xk){\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{k})}Θ=(θ1,…,θl){\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}Z=(z1,…,zn)=(t,x1,…,xk,θ1,…,θl){\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})=(t,x_{1},\dots ,x_{k},\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}n=1+k+l{\displaystyle n=1+k+l}

{dxidt=fi(Z) with fi∈R(Z)∀i∈{1,…,k},dθjdt=0∀j∈{1,…,l}{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(Z){\mbox{ with }}f_{i}\in \mathbb {R} (Z)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\},\\{\dfrac {d\theta _{j}}{dt}}=0\quad \forall j\in \{1,\dots ,l\}\end{array}}\right.}

集合は、常微分方程式の状態変数の独立変数に関する発展を規定する。集合の要素は状態変数と呼ばれ、これらはパラメータと呼ばれる。 F=(f1,…,fk){\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}X{\displaystyle X}Θ{\displaystyle \Theta }

連続動的システムの方程式を解くことによって、それを ODE システムに関連付けることもできます。

無限小生成子は、常微分方程式系（より正確には連続力学系）と密接に関連する導出である。常微分方程式系、それに関連するベクトル場、そして無限小生成子の関係については、[ 4 ]の1.3節を参照のこと。上述の常微分方程式系に関連する無限小生成子は、以下の同じ表記法で定義される。 δ{\displaystyle \delta }

δ=∂∂t+∑i=1kfi(Z)∂∂xi⋅{\displaystyle \delta ={\dfrac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{k}f_{i}(Z){\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot }

リー点対称性の定義

このような対称性の幾何学的定義は以下の通りである。連続力学系とその無限小生成子を仮定する。連続力学系は、のリー点対称性を持つ。この場合、 はのすべての軌道をの軌道に送る。したがって、無限小生成子は、リー括弧に基づいて以下の関係式[ 8 ]を満たす。 D{\displaystyle {\mathcal {D}}}δD{\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}S{\displaystyle {\mathcal {S}}}D{\displaystyle {\mathcal {D}}}S{\displaystyle {\mathcal {S}}}D{\displaystyle {\mathcal {D}}}δS{\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}

[δD,δS]=λδD{\displaystyle [\delta _{\mathcal {D}},\delta _{\mathcal {S}}]=\lambda \delta _{\mathcal {D}}}

ここでは の任意の定数、すなわちです。これらの生成子は線形独立です。 λ{\displaystyle \lambda }δD{\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}δS{\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}δDλ=δSλ=0{\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}\lambda =\delta _{\mathcal {S}}\lambda =0}

対称性の無限小生成元を計算するために、 の明示的な式は必要ありません。D{\displaystyle {\mathcal {D}}}

例

ピエール・フランソワ・ヴェルフルストによる線形捕食を伴うロジスティック成長モデル[ 14 ]を考えてみよう。ここで状態変数は個体群を表す。パラメータは成長率と捕食率の差であり、パラメータは環境の受容能力に対応する。 x{\displaystyle x}a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}

dxdt=(a−bx)x,dadt=dbdt=0.{\displaystyle {\dfrac {dx}{dt}}=(a-bx)x,{\dfrac {da}{dt}}={\dfrac {db}{dt}}=0.}

この常微分方程式系に関連付けられた連続動的システムは次のとおりです。

D:(R,+)×R4→R4(t^,(t,x,a,b))→(t+t^,axeat^a−(1−eat^)bx,a,b).{\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&(\mathbb {R} ,+)\times \mathbb {R} ^{4}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{4}\\&({\hat {t}},(t,x,a,b))&\rightarrow &\left(t+{\hat {t}},{\frac {axe^{a{\hat {t}}}}{a-(1-e^{a{\hat {t}}})bx}},a,b\right).\end{array}}}

独立変数は連続的に変化するため、関連するグループは で識別できます。 t^{\displaystyle {\hat {t}}}R{\displaystyle \mathbb {R} }

この常微分方程式系に関連付けられた無限小生成子は次のとおりです。

δD=∂∂t+((a−bx)x)∂∂x⋅{\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}+((a-bx)x){\dfrac {\partial }{\partial x}}\cdot }

次の無限小生成元は の 2 次元対称群に属します。 D{\displaystyle {\mathcal {D}}}

δS1=−x∂∂x+b∂∂b,δS2=t∂∂t−x∂∂x−a∂∂a⋅{\displaystyle \delta _{{\mathcal {S}}_{1}}=-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+b{\dfrac {\partial }{\partial b}},\quad \delta _{{\mathcal {S}}_{2}}=t{\dfrac {\partial }{\partial t}}-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}-a{\dfrac {\partial }{\partial a}}\cdot }

ソフトウェア

この分野には多くのソフトウェアパッケージが存在する。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]例えば、Mapleのパッケージ liesymm はPDEのリー対称性法をいくつか提供している。[ 18 ]これは決定系の積分と微分形式を操作します。小規模なシステムでは成功しているものの、決定系を自動的に解く積分機能は複雑さの問題によって制限されています。 DETools パッケージは、ODE のリー対称性を検索するためにベクトル場の延長を使用します。一般的な場合、ODE のリー対称性を見つけることは、元のシステムを解くのと同じくらい複雑になる可能性があります。

参考文献

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