シンプルなモジュール
数学、特に環論において、環R上の単純加群とは、環R上の（左または右の）加群のうち、非零であり、非零の真部分加群を持たないものである。同様に、加群Mが単純であることと、Mの非零元によって生成されるすべての巡回部分加群がMに等しいことは同値である。単純加群は有限長の加群の構成要素であり、群論における単純群に類似している。
この記事では、すべてのモジュールが環R上の右単位モジュールであると仮定します。
例
Z加群はアーベル群と同じなので、単純Z加群は非零の真部分群を持たないアーベル群である。これらは素数位数の巡回群である。
I がRの右イデアルである場合、I が極小非零右イデアルであるとき、かつその場合に限り、I は右加群として単純である。すなわち、 MがIの非零の真部分加群である場合、これも右イデアルであるため、Iは極小ではない。 逆に、Iが極小でない場合、 Iに真に含まれる非零右イデアルJが存在する。 JはIの右部分加群であるため、Iは単純ではない。
I がRの右イデアルである場合、商加群R / Iが単純であるための必要十分条件は、 I が最大右イデアルである場合である。すなわち、 MがR / Iの非零の真部分加群である場合、商写像R → R / IによるMの逆像は、 Rに等しくなく、 I を適切に含む右イデアルである。したがって、Iは最大ではない。逆に、I が最大でない場合は、 I を適切に含む右イデアルJが存在する。商写像R / I → R / Jには、 R / Iに等しくない非零の核があるため、R / Iは単純ではない。
すべての単純R加群は、商R / mと同型で、 mはRの最大右イデアルである。[ 1 ] 上の段落により、任意の商R / mは単純加群である。逆に、Mが単純R加群であるとする。このとき、 Mの任意の非ゼロ元xに対して、巡回部分加群xR はMと等しくなければならない。そのようなxを固定する。xR = Mというステートメントは、 rをxrに送る準同型R → Mの射影性と同等である。この準同型の核はRの右イデアルIであり、標準定理によれば、MはR / Iと同型である。上の段落により、 Iは最大右イデアルであることがわかる。したがって、 Mは最大右イデアルによるRの商と同型である。
kが体でGが群であるとき、Gの群表現は群環k [ G ]上の左加群である（詳細はこの関係のメインページを参照）。[ 2 ]単純k [ G ] 加群は既約表現とも呼ばれる。表現論の主要な目的は、群の既約表現を理解することである。
単純モジュールの基本特性
単純モジュールはまさに長さ1 のモジュールです。これは定義の再定式化です。
すべての単純なモジュールは分解不可能ですが、その逆は一般には当てはまりません。
すべての単純なモジュールは循環的であり、つまり 1 つの要素によって生成されます。
すべてのモジュールに単純なサブモジュールがあるわけではありません。たとえば、上記の最初の例に照らして ZモジュールZを考えてみましょう。
MとN を同じ環上の（左または右）加群とし、 f : M → Nを加群準同型とする。M が単純であれば、fの核はMのサブ加群であるため、 fは零準同型または単射のいずれかである。Nが単純であれば、fの像はNのサブ加群であるため、 f は零準同型または全射のいずれかである。M = Nであれば、fはMの自己準同型であり、M が単純であれば、前の 2 つのステートメントから、fは零準同型または同型のいずれかであることがわかる。したがって、任意の単純加群の自己準同型環は除算環である。この結果はシュアーの補題として知られている。
シュアーの補題の逆は一般には成り立たない。例えば、Z加群Qは単純ではないが、その自己準同型環は体Qと同型である。
シンプルなモジュールと構成シリーズ
Mが非零の真部分加群Nを持つ加群である場合、短完全列が存在する。
Mに関する事実を証明する一般的なアプローチは、短い完全列の中央項について、左項と右項についてその事実が真であることを示すことであり、次にNとM / Nについてその事実を証明する。Nが非ゼロの真部分加群を持つ場合、このプロセスを繰り返すことができる。これにより、部分加群の連鎖が生成される。
この方法で事実を証明するためには、このシーケンスとモジュールM i / M i +1に対する条件が必要です。特に有用な条件の 1 つは、シーケンスの長さが有限であり、各商モジュールM i / M i +1が単純であるというものです。この場合、シーケンスはMの合成シリーズと呼ばれます。合成シリーズを使用してステートメントを帰納的に証明するためには、ステートメントは、帰納法の基本ケースを形成する単純モジュールに対して最初に証明され、次にステートメントは、単純モジュールによるモジュールの拡張の下でも真のままであることを証明されます。たとえば、フィッティング補題は、有限長の分解不可能なモジュールの自己準同型環が局所環であることを示しています。そのため、強いKrull-Schmidt 定理が成り立ち、有限長モジュールのカテゴリはKrull-Schmidt カテゴリになります。
ジョルダン・ヘルダーの定理とシュライアーの細分化定理は、単一の加群のすべての合成系列間の関係を記述する。グロタンディーク群は合成系列の順序を無視し、すべての有限長加群を単純加群の形式和とみなす。半単純環上では、すべての加群が半単純加群であり、したがって単純加群の 直和であるため、これは損失にならない。通常の指標理論はより優れた算術制御を提供し、有限群Gの構造を理解するために単純C G加群を使用する。 加群表現理論は、ブラウアー指標を使用して加群を単純加群の形式和とみなすが、それらの単純加群が合成系列内でどのように結合されるかにも関心がある。これは、Ext 関手を研究し、加群カテゴリをさまざまな方法で記述することによって形式化される。これには、箙（ノードが単純加群で、エッジが長さ 2 の非半単純加群の合成系列）や、関連するグラフがすべての分解不可能な加群を頂点とする アウスランダー・ライテン理論が含まれる。
ヤコブソン密度定理
単純加群理論における重要な進歩は、ヤコブソンの密度定理であった。ヤコブソンの密度定理は次のように述べている。
- U を単純右R加群とし、D = End R ( U ) とする。AをU上の任意のD線型作用素とし、X をUの有限D線型独立部分集合とする。すると、 Rの元rが存在し、 Xの任意のxに対してx ⋅ A = x ⋅ rが成立する。[ 3 ]
特に、任意の原始環は、何らかのD空間上のD線型作用素の環として（つまり同型として）見ることができます。
ヤコブソン密度定理の帰結としてウェダーバーンの定理が成立する。すなわち、任意の右アルティン単純環は、あるnに対してn行n列の行列からなる完全行列環と同型である。これはアルティン・ウェダーバーン定理の系としても成立する。
参照
参考文献
