モジュール（数学）

数学において、加群とはベクトル空間の概念を一般化したものであり、スカラー体を（必ずしも可換ではない）環に置き換えたものである。加群の概念はアーベル群の概念も一般化する。なぜなら、アーベル群は整数環上の加群そのものだからである。[ 1 ]

ベクトル空間と同様に、モジュールは加法アーベル群であり、スカラー乗算はリングまたはモジュールの要素間の加算演算に対して分配的であり、リング乗算と 互換性があります。

加群は群の表現論と非常に密接に関連しています。また、可換代数とホモロジー代数の中心的な概念の一つでもあり、代数幾何学と代数位相幾何学において広く用いられています。

はじめにと定義

モチベーション

ベクトル空間において、スカラーの集合は体であり、分配法則などの特定の公理に従って、ベクトルにスカラー乗算として作用する。加群では、スカラーは環であればよいため、加群の概念は重要な一般化を表す。可換代数では、イデアルと商環の両方が加群であるため、イデアルまたは商環に関する多くの議論は、加群に関する単一の議論にまとめることができる。非可換代数では、左イデアル、イデアル、加群の区別はより明確になるが、環論的条件の一部は左イデアルまたは左加群のいずれかについて表現できる。

加群の理論の大部分は、ベクトル空間の望ましい特性のできるだけ多くを、主イデアル領域などの「行儀のよい」環上の加群の領域に拡張することから成ります。しかし、加群はベクトル空間よりもかなり複雑になることがあります。たとえば、すべての加群が基底を持つわけではなく、基底 を持つ加群 (自由加群) であっても、基底の元数は、基底となる環が不変基底数条件を満たさない場合は、すべての基底に対して同じである必要はありません (つまり、一意のランク を持たない可能性があります)。これは、常に基数が一意である (無限の場合もある) 基底を持つベクトル空間とは異なります。(これらの最後の 2 つの主張は一般に選択公理を必要としますが、有限次元ベクトル空間や、 L p空間などの特定の行儀のよい無限次元ベクトル空間の場合は必要ではありません。)

正式な定義

Rを環とし、1 をその乗法単位元とする。左R加群Mはアーベル群( M , +)と演算·  : R × M → Mから成り、 Rのすべてのr , sおよびMのすべてのx , yに対して、次が成り立つ。

r⋅（×+y）＝r⋅×+r⋅y{\displaystyle r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y}、
（r+s）⋅×＝r⋅×+s⋅×{\displaystyle (r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x}、
（rs）⋅×＝r⋅（s⋅×）{\displaystyle (rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)}、
1⋅×＝×。{\displaystyle 1\cdot x=x.}

演算 · はスカラー乗算と呼ばれます。記号 · は省略されることが多いですが、この記事ではこれを使用し、Rにおける乗算にのみ並置します。 M がR左加群であることを強調するためにR Mと書くこともできます。R右加群M R も同様に演算· : M × R → Mによって定義されます。

左モジュールか右モジュールかという限定は、スカラーが左に書かれているか右に書かれているかではなく、性質3に依存します。上記の定義において、性質3が次のように置き換えられるとします。

（rs）⋅×＝s⋅（r⋅×）、{\displaystyle (rs)\cdot x=s\cdot (r\cdot x),}

スカラーを左辺に記述した場合でも、右加群が得られます。ただし、左加群の場合はスカラーを左辺に、右加群の場合はスカラーを右辺に記述することで、特性3の操作がはるかに容易になります。

環がユニタルであることを要求しない著者は、上記の定義の条件4を省略し、上記の構造を「ユニタル左R加群」と呼ぶ。本稿では、環論用語集に従い、すべての環と加群はユニタルであると仮定する。[ 2 ]

( R , S )-双加群は、 Rの元による左スカラー乗算 ·とSの元による右スカラー乗算 ∗ の両方を備えたアーベル群であり、同時に左R加群と右S加群となり、 Rのすべてのr、Mのすべてのx、Sのすべてのsに対して追加条件( r · x ) ∗ s = r ⋅ ( x ∗ s )を満たします。

Rが可換な場合、左R加群は右R加群と同じであり、単にR加群と呼ばれる。この場合、スカラーは左側に記述されることが多い。

例

  • Kが体である場合、K加群はKベクトル空間( K上のベクトル空間)と呼ばれます。
  • Kが体であり、K [ x ] が一変数多項式環である場合、K [ x ]-加群Mは、 KのMへの作用と可換な群準同型によるxのMへの追加作用を持つK -加群である。言い換えれば、K [ x ]-加群は、MからMへの線型写像と組み合わされたK -ベクトル空間Mである。主イデアル領域上の有限生成加群の構造定理をこの例に適用すると、有理形式とジョルダン標準形式の存在が示される。
  • Z加群の概念は、アーベル群の概念と一致する。つまり、すべてのアーベル群は、一意に整数環Z上の加群である。 n > 0の場合、n ⋅ x = x + x + ... + x ( n個の加数)、0 ⋅ x = 0、(− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x )とする。このような加群は基底を持つ必要はなく、捩れ元を含む群は基底を持たない。 (例えば、 3 を法とする整数群では、3 や 6 などの整数を元に乗じると結果が 0 になるため、線型独立集合の定義を満たす元は 1 つも見つからない。ただし、有限体を、それを環として取った同じ有限体上の加群と考えると、ベクトル空間となり、基底を持つ。)
  • 小数（負の数を含む）は整数上の加群を形成します。単項のみが線型独立な集合ですが、基底となり得る単項は存在しません。そのため、この加群は線型代数の通常の意味では基底も階数も持ちません。ただし、この加群の捩れのない階数は1です。
  • Rが任意の環でnが自然数である場合、成分ごとの演算を用いると、直積R n はR上の左R加群と右 R 加群の両方となる。したがって、 n = 1 のとき、RはR加群となり、スカラー乗算は環乗算となる。 n = 0 のときは、単位元のみからなる自明なR加群 {0} が得られる。このタイプの加群は自由加群と呼ばれ、 R が不変基底数（例えば任意の可換環または体）を持つ場合、数nは自由加群の階数となる。
  • M n ( R ) が環R上のn × n行列の環で、Mが M n ( R )-加群であり、e iが( i , i )要素が1 (その他は 0) であるn × n行列である場合、e i MはR -加群です。これは、 re i m = e i rm ∈ e i Mです。したがって、M はR -加群の直和、M = e 1 M ⊕ ... ⊕ e n Mとして分解されます。逆に、R -加群M 0が与えられている場合、M 0 ⊕ nは M n ( R )-加群です。実際、R -加群のカテゴリとM n ( R )-加群のカテゴリは同値です。特殊な場合は、加群Mがそれ自身の上の加群としてRである場合であり、その場合、 R nは M n ( R )-加群になります。
  • Sが空でない 集合、Mが左R加群、M S がすべての関数f  : S → Mの集合である場合、 M Sにおける加算とスカラー乗算が( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s )および( rf )( s ) = rf ( s )によって点ごとに定義されるとき、M Sは左R加群である。右R加群の場合も同様である。特に、Rが可換である場合、 R 加群準同型h  : M → N (以下を参照)の集合はR加群（実際にはN Mのサブ加群）である。
  • Xが滑らかな多様体である場合、Xから実数への滑らかな関数は環C ∞ ( X ) を形成します。 X上で定義されたすべての滑らかなベクトル場全体の集合はC ∞ ( X )上の加群を形成し、 X上のテンソル体と微分形式も同様です。より一般的には、任意のベクトル束の切断はC ∞ ( X )上の射影加群を形成し、スワンの定理により、すべての射影加群はあるベクトル束の切断の加群と同型です。つまり、 C ∞ ( X ) 加群のカテゴリとX上のベクトル束のカテゴリは同値です。
  • Rが任意の環であり、IがR内の任意の左イデアルである場合、I は左R加群であり、同様にR内の右イデアルは右R加群である。
  • Rが環である場合、同じ基礎集合と加算演算を持ち、乗算が逆である逆環R opを定義できる。すなわち、 Rにおいてab = cならば、R opにおいてba = cである。したがって、任意のR左加群M はR op上の右加群とみなすことができ、R上の任意の右加群はR op上の左加群とみなすことができる。
  • リー代数上の加群は、（結合代数）その普遍包絡代数上の加群です。
  • RとSが環準同型φ  : R → S を持つ環であるとき、任意のS加群Mはrm = φ ( r ) mと定義することによりR加群となる。特に、S自身もそのようなR加群である。

部分加群と準同型

Mが左R加群であり、NがMの部分群であるとする。Nが部分加群（より明確にはR部分加群）であるとは、 Nの任意のnとRの任意のrに対して、積r ⋅ n（右R加群の場合はn ⋅ r）がNに含まれることを意味する。

XがR加群Mの任意の部分集合である場合、 Xによって張られる部分加群は、NがXを含むMの部分加群上を走るか、または明示的にであると定義され、これは加群のテンソル積の定義において重要である。[ 3 ]⟨X⟩＝⋂北⊇X北{\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}{∑私＝1けr私×私|r私∈R、×私∈X}{\textstyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}

与えられたモジュールMのサブモジュールの集合は、2 つの二項演算 + (引数の和集合によって張られるモジュール) および ∩ とともに、モジュール法則を満たす格子を形成します。MのサブモジュールU、N 1、N 2があり、 N 1 ⊆ N 2とすると、次の 2 つのサブモジュールは等しくなります: ( N 1 + U ) ∩ N 2 = N 1 + ( U ∩ N 2 )。

MとNが左R加群ならば、写像f  : M → NがR加群の準同型写像となるのは、 Mの任意のm、nとRの任意のr、sに対して、

f（r⋅メートル+s⋅n）＝r⋅f（メートル）+s⋅f（n）{\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}。

これは、数学的オブジェクトの他の準同型写像と同様に、オブジェクトの構造を保存する単なる写像です。R 加群の準同型写像は、R線型写像とも呼ばれます。

全単射な加群準同型f  : M → Nは加群同型と呼ばれ、2つの加群MとNは同型と呼ばれます。2つの同型加群は実用上は同一であり、元の表記法のみが異なるだけです。

加群準同型f  : M → Nの核は、 fによってゼロに送られるすべての元からなるMのサブモジュールであり、fの像は、 Mのすべての元mに対して値f ( m )で構成されるNのサブモジュールです。[ 4 ]群やベクトル空間でおなじみの同型定理は、R加群に対しても有効です。

環Rが与えられると、すべての左R加群とその加群準同型性の集合は、R - Modで表されるアーベルカテゴリを形成します(加群のカテゴリを参照)。

モジュールの種類

有限生成
RモジュールMが有限生成であるとは、 Mに有限個の元x 1、...、x n が存在し、 Mのすべての元が環R の係数を持つそれらの元の線形結合である場合です。
周期的
モジュールが 1 つの要素によって生成される場合、そのモジュールは循環モジュールと呼ばれます。
無料
自由R加群とは、環Rのコピーの直和に同型な基底を持つ加群、あるいはそれと同型の基底を持つ加群のことである。これらはベクトル空間と非常によく似た振る舞いをする加群である。
射影的
射影モジュールは自由モジュールの直和であり、多くの望ましい特性を共有します。
単射
入射モジュールは射影モジュールと双対的に定義されます。
フラット
モジュールは、Rモジュールの任意の正確なシーケンスとのテンソル積を取っても正確さが保たれる場合、フラットであると呼ばれます。
ねじれのない
モジュールが代数的双対に埋め込まれる場合、そのモジュールはねじれがないと呼ばれます。
単純
単純加群Sは{0}ではない加群であり、その部分加群は{0}とSのみである。単純加群は既約加群と呼ばれることもある。[ 5 ]
半単純
半単純加群は、単純加群の直和（有限または有限）です。歴史的には、これらの加群は完全約数とも呼ばれます。
分解不可能
非零加群とは、二つの非零部分加群の直和として表すことができない非零加群のことである。すべての単純加群は非零であるが、単純ではない非零加群も存在する（例えば、ユニフォーム加群）。
忠実な
忠実な加群 Mとは、 Rの各r ≠ 0のMへの作用が非自明である（すなわち、Mのあるxに対してr ⋅ x ≠ 0 となる）ものである。同様に、Mの消滅子は零イデアルである。
ねじれのない
ねじれのないモジュールとは、 0 がリングの正規の元（非零因子）によって消滅する唯一の元であるようなリング上のモジュールです。つまり、 rm = 0はr = 0またはm = 0を意味します。
ネーター
ネーター加群とは、部分加群の上昇連鎖条件を満たす加群である。つまり、部分加群のすべての増加連鎖は有限ステップ後に定常になる。同様に、すべての部分加群は有限生成である。
アルティニアン
アルティニアン モジュールは、サブモジュール上の下降チェーン条件を満たすモジュールです。つまり、サブモジュールのすべての減少チェーンは、有限個のステップの後に定常になります。
段階的
次数付き加群は、次数付き環R = ⨁ x R x上の加群で、すべてのxとyに対してR x M y ⊆ M x + yとなるような直和分解M = ⨁ x M xを持つものです。
制服
均一モジュールとは、すべての非ゼロサブモジュールのペアが非ゼロの交差を持つモジュールです。

さらなる概念

表現理論との関係

体k上の群Gの表現は群環k [ G ]上の加群である。

Mが左R加群の場合、Rの元rの作用は、各x をrx（右加群の場合はxr ）に写すM → Mの写像として定義され、必然的にアーベル群( M , +)の群準同型となる。 Mのすべての群準同型全体の集合は End Z ( M ) と表記され、加法と合成によって環を形成し、 Rの環元r をその作用に写すと、実際にはRからEnd Z ( M ) への環準同型が定義される。

このような環準同型R → End Z ( M )は、環R上のアーベル群Mの表現と呼ばれる。左R加群を定義する別の同等な方法は、左R加群はアーベル群MとMのR上の表現である、というものである。このような表現R → End Z ( M )は、 RのMへの環作用とも呼ばれる。

写像R → End Z ( M )が単射であるとき、表現は忠実であるとされる。加群の観点から言えば、これは、rがRの元であり、 Mの任意のxに対してrx = 0となるとき、r = 0 となることを意味する。任意のアーベル群は、整数上、またはnを法とする整数環、Z / n Z（任意のnに対して）上の忠実加群である。

一般化

環R は、単一の対象を持つ前加法圏Rに対応する。この理解によれば、左R加群はRからアーベル群圏Abへの共変加法関手にすぎず、右R加群は反変加法関手である。これは、C が任意の前加法圏である場合、CからAbへの共変加法関手はC上の一般化左加群とみなされるべきであることを示唆している。これらの関手は、加群圏R - Modの自然な一般化である、関手圏C - Modを形成する。

可換環上の加群は、異なる方向に一般化することができる。環空間( X , O X ) をとり、 O X加群の層を考える（加群の層を参照）。これらは O X - Mod圏を形成し、現代代数幾何学において重要な役割を果たす。Xが単一の点しか持たない場合、これは可換環 O X ( X ) 上の古い意味での加群圏である。

半環上の加群、いわゆる半加群を考えることもできます。環上の加群はアーベル群ですが、半環上の加群は可換モノイドのみです。加群のほとんどの応用は依然として可能です。特に、任意の半環Sに対して、 S上の行列は半環を形成し、その上のSの元の組は（この一般化された意味でのみ）加群となります。これにより、理論計算機科学における半環を組み込んだ ベクトル空間の概念をさらに一般化することができます。

近環上では、モジュールの非可換一般化である近環モジュールを検討することができます。

参照

注記

  1. ^ Hungerford (1974) Algebra、Springer、p 169：「環上のモジュールは、アーベル群（Z上のモジュール）の一般化です。」
  2. ^ダミット, デイビッド・S. & フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数』 ホーボーケン, ニュージャージー州: ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社ISBN 978-0-471-43334-7。
  3. ^ Mcgerty, Kevin (2016). 「代数II：環と加群」（PDF） .
  4. ^アッシュ、ロバート. 「モジュールの基礎」(PDF) .抽象代数：大学院基礎年.
  5. ^ジェイコブソン（1964）、 p.4、定義1

参考文献

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