ラメ関数

数学において、ラメ関数（Lame function）または楕円調和関数（ellipsoidal harmonic function ）は、二階常微分方程式であるラメ方程式の解である。これはガブリエル・ラメ（ Gabriel Lamé ）の論文（1837年）で導入された。ラメ方程式は、楕円座標におけるラプラス方程式に適用される変数分離法に現れる。特殊な場合には、解はラメ多項式と呼ばれる多項式で表すことができる。  

ラメ方程式

ラメの式は

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(A+B\wp (x))y=0,}$

ここで、AとBは定数であり、はワイエルシュトラスの楕円関数である。最も重要なケースは 、楕円正弦関数であり、整数nと楕円係数に対してであるときであり、この場合、解は複素平面全体で定義される有理型関数に拡張される。Bの他の値では、解は分岐点を持つ。 ${\displaystyle \wp}$ ${\displaystyle B\wp (x)=-\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x}$ ${\displaystyle \operatorname {sn} }$ ${\displaystyle \kappa ^{2}=n(n+1)k^{2}}$ ${\displaystyle k}$

独立変数を に置き換えると、ラメ方程式は代数形式で次のように書き直すこともできる。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=\operatorname {sn} x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t-e_{1}}}+{\frac {1}{t-e_{2}}}+{\frac {1}{t-e_{3}}}\right){\frac {dy}{dt}}-{\frac {A+Bt}{4(t-e_{1})(t-e_{2})(t-e_{3})}}y=0,}$

変数変換後、これはホイン方程式の特殊なケースになります。

ラメ方程式のより一般的な形は、楕円体方程式または楕円波動方程式であり、次のように書くことができる（ここでは、上に示したようにではなく、と書くことに注意）。 ${\displaystyle \Lambda}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+(\Lambda -\kappa ^{2}\operatorname {sn} ^{2}x-\Omega ^{2}k^{4}\operatorname {sn} ^{4}x)y=0,}$

ここで、 はヤコビ楕円関数の楕円係数であり、と は定数である。 の場合、方程式は を伴うラメ方程式となる。 の場合、方程式はマシュー方程式に簡約される。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \オメガ}$ ${\displaystyle \Omega =0}$ ${\displaystyle \Lambda =A}$ ${\displaystyle \Omega =0,k=0,\kappa =2h,\Lambda -2h^{2}=\lambda ,x=z\pm {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+(\lambda -2h^{2}\cos 2z)y=0.}$

ラメ方程式のワイエルシュトラス形式は計算には全く不向きである（Arscottも191ページで述べている）。最も適した形式は、上述のヤコビ形式である。代数形式や三角形式も扱いにくい。ラメ方程式は、量子力学において、様々な周期的および非調和ポテンシャルに対するシュレーディンガー方程式の古典解（周期インスタントン、バウンス、バブルと呼ばれる）に関する微小変動の方程式として現れる。^{[ 1 ] [ 2 ]}

漸近展開

周期楕円波動関数、およびそれに伴うラメ関数の漸近展開は、大きな値に対してミュラーによって得られている。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} 彼が得た固有値に対する漸近展開は、近似的に奇数の整数（境界条件によってより正確に決定される - 以下を参照） で、${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda (q)={}&q\kappa -{\frac {1}{2^{3}}}(1+k^{2})(q^{2}+1)-{\frac {q}{2^{6}\kappa }}\{(1+k^{2})^{2}(q^{2}+3)\\[6pt]&-4k^{2}(q^{2}+5)\}{}-{\frac {1}{2^{10}\kappa ^{2}}}{\Big \{}(1+k^{2})^{3}(5q^{4}+34q^{2}+9)\\&-4k^{2}(1+k^{2})(5q^{4}+34q^{2}+9){}-384\Omega ^{2}k^{4}(q^{2}+1){\Big \}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

（ここに示されていないもう1つの（5番目の）項はミュラーによって計算されており、最初の3つの項はインス^{[ 6 ]}によっても得られています）。 と では、項が偶数項と奇数項が交互に現れることに注意してください（マシュー関数、扁平回転楕円体波動関数、長楕円回転楕円体波動関数の対応する計算と同様）。次の境界条件（ は完全楕円積分によって与えられる4分の1周期） ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle K(k)}$

${\displaystyle \operatorname {Ec} (2K)=\operatorname {Ec} (0)=0,\;\;\operatorname {Es} (2K)=\operatorname {Es} (0)=0,}$

（主な意味の派生語）

${\displaystyle (\operatorname {Ec} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Ec} )_{0}^{'}=0,\;\;(\operatorname {Es} )_{2K}^{'}=(\operatorname {Es} )_{0}^{'}=0,}$

楕円波動関数をそれぞれ定義する

${\displaystyle \operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}+1},\operatorname {Ec} _{n}^{q_{0}-1},\operatorname {Es} _{n}^{q_{0}}}$

期間と1つを取得する ${\displaystyle 4K,2K,2K,4K,}$ ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,\ldots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&&q-q_{0}=\mp 2{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}\times \qquad \qquad \qquad \\[6pt]&&\times \left[1-{\frac {3(q_{0}^{2}+1)(1+k^{2})}{2^{5}\kappa }}+\cdots \right].\qquad \qquad \quad \end{aligned}}}$

ここで、上側の符号は解を、下側の符号は解を表す。最終的に展開する と、${\displaystyle \operatorname {Ec} }$ ${\displaystyle \operatorname {Es} }$ ${\displaystyle \Lambda (q)}$ ${\displaystyle q_{0},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{\pm }(q)\simeq {}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\left({\frac {\partial \Lambda }{\partial q}}\right)_{q_{0}}+\cdots \\[6pt]={}&\Lambda (q_{0})+(q-q_{0})\kappa \left[1-{\frac {q_{0}(1+k^{2})}{2^{2}\kappa }}-{\frac {1}{2^{6}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(q_{0}^{2}+1)-4k^{2}(q_{0}^{2}+2q_{0}+5)\}+\cdots \right]\\[6pt]\simeq {}&\Lambda (q_{0})\mp 2\kappa {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left({\frac {1+k}{1-k}}\right)^{-\kappa /k}\left({\frac {8\kappa }{1-k^{2}}}\right)^{q_{0}/2}{\frac {1}{[(q_{0}-1)/2]!}}{\Big [}1-{\frac {1}{2^{5}\kappa }}(1+k^{2})(3q_{0}^{2}+8q_{0}+3)\\[6pt]&{}+{\frac {1}{3.2^{11}\kappa ^{2}}}\{3(1+k^{2})^{2}(9q_{0}^{4}+8q_{0}^{3}-78q_{0}^{2}-88q_{0}-87)\\[6pt]&{}+128k^{2}(2q_{0}^{3}+9q_{0}^{2}+10q_{0}+15)\}-\cdots {\Big ]}.\end{aligned}}}$

マシュー方程式の限界（ラメ方程式を簡約できる）では、これらの表現はマシューの場合の対応する表現に簡約されます（ミュラーによって示されるように）。

注記

1. HJW Müller-Kirsten,量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分、第2版、World Scientific、2012年、 ISBN 978-981-4397-73-5
2. Liang, Jiu-Qing; Müller-Kirsten, HJW; Tchrakian, DH (1992). 「円周上のソリトン、バウンス、スファレロン」. Physics Letters B. 282 ( 1– 2 ). Elsevier BV: 105– 110. doi : 10.1016/0370-2693(92)90486-n . ISSN 0370-2693 . 
3. W. Müller, Harald J. (1966). 「楕円波関数の漸近展開とその特性数」. Mathematische Nachrichten . 31 ( 1–2 ). Wiley: 89–101 . doi : 10.1002/mana.19660310108 . ISSN 0025-584X . 
4. ミュラー、ハラルド JW (1966)。 「エルミート関数による楕円波動関数の漸近展開」。数学的表現。32 ( 1-2 )。ワイリー: 49–62。土井: 10.1002/mana.19660320106。ISSN 0025-584X。 
5. ミュラー、ハラルド JW (1966)。 「楕円波動関数の漸近展開について」。数学的表現。32 ( 3-4 )。ワイリー: 157–172。土井: 10.1002/mana.19660320305。ISSN 0025-584X。 
6. Ince, EL (1940). 「VII—周期的ラメ関数のさらなる研究」.エディンバラ王立協会紀要. 60 (1). ケンブリッジ大学出版局 (CUP): 83–99 . doi : 10.1017/s0370164600020071 . ISSN 0370-1646 . 

参考文献

• アースコット, FM (1964),周期微分方程式, オックスフォード:ペルガモン・プレス, pp.  191– 236。
• Erdélyi, アーサー;ヴィルヘルム・マグナス;オーバーヘッティンガー、フリッツ。Tricomi、Francesco G. (1955)、高次超越関数(PDF)、Bateman Manuscript Project、vol. III、ニューヨーク – トロント – ロンドン:マグロウヒル、pp. XVII + 292、MR  0066496、Zbl  0064.06302。
• Lamé, G. (1837)、「Sur les surfaces isothermes dans les corps homogènes en équilibre de température」、Journal de mathématiques pures et appliquées、2 : 147–188. Gallicaで入手可能。
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994]、「ラメ方程式」、数学百科事典、EMSプレス
• Rozov, N. Kh. (2001) [1994]、「ラメ関数」、数学百科事典、EMSプレス
• Volkmer, H. (2010)、「Lamé function」、Olver, Frank WJ、Lozier, Daniel M.、Boisvert, Ronald F.、Clark, Charles W. (編)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR  2723248。
• ミュラー・キルステン、ハラルド・JW（2012）、量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分、第2版、ワールドサイエンティフィック