フェルミ・ディラック統計

フェルミ・ディラック統計は、パウリの排他原理に従う、相互作用しない多数の同一粒子からなる系の物理学に適用される量子統計の一種である。その結果、エネルギー状態上の粒子のフェルミ・ディラック分布が得られる。これは、1926年にエンリコ・フェルミとポール・ディラックがそれぞれ独立にこの分布を導出したことにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}フェルミ・ディラック統計は統計力学の分野の一部であり、量子力学の原理を用いている。

フェルミ・ディラック統計は、熱力学的平衡状態にある、半整数スピン（1/2、3/2など）を持つ、同一で区別のつかない粒子（フェルミオン）に適用されます。粒子間の相互作用が無視できる場合、システムは単一粒子のエネルギー状態によって記述できます。その結果、これらの状態にわたる粒子のフェルミ・ディラック分布が生成され、2つの粒子が同じ状態を占めることができなくなり、システムの特性に大きな影響を与えます。フェルミ・ディラック統計は、スピン1/2を持つフェルミオンの一種である電子に最も一般的に適用されます。

フェルミ＝ディラック統計に対応するのがボーズ＝アインシュタイン統計であり、これはボソンと呼ばれる整数スピン（0、1、2など）を持つ同一かつ区別不可能な粒子に適用されます。古典物理学では、マクスウェル＝ボルツマン統計は、同一でありながら区別可能とみなされる粒子を記述するために使用されます。ボーズ＝アインシュタイン統計とマクスウェル＝ボルツマン統計の両方において、フェルミ＝ディラック統計とは異なり、複数の粒子が同じ状態を占めることができます。

• 熱分布
• 
  整数スピンを持つ粒子（ボソン、赤）、半整数スピンを持つ粒子（フェルミオン、青）、そして古典的（スピンレス）粒子（緑）の平衡熱分布。平均占有率は、系の化学ポテンシャルに対するエネルギーに対して示されている。ここで、は系の温度、はボルツマン定数である。${\displaystyle \langle n\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{B}}$

歴史

1926年にフェルミ＝ディラック統計が導入される以前は、一見矛盾する現象のために、電子の挙動のいくつかの側面を理解することは困難でした。例えば、室温での金属の電子熱容量は、電流中の電子数の100分の1の電子から生じているように見えました。^{[ 3 ]}また、室温で金属に高電界を印加することで発生する放出電流が温度にほとんど依存しない理由も理解が困難でした。

当時の金属電子論であるドルーデ模型が直面した困難は、電子が（古典的な統計理論によれば）すべて等価であるとみなしていたことによるものでした。言い換えれば、各電子はボルツマン定数 k _Bのオーダーの比熱に寄与すると考えられていました。この問題は、フェルミ＝ディラック統計が開発されるまで未解決のままでした。

フェルミ・ディラック統計は、1926年にエンリコ・フェルミ^{[ 1 ]}とポール・ディラック^{[ 2 ]}によって初めて発表されました。マックス・ボルンによると、パスクアル・ジョルダンは1925年に同じ統計を開発し、パウリ統計と名付けましたが、タイムリーに発表されませんでした。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}ディラックによると、この統計はフェルミによって初めて研究され、ディラックはそれを「フェルミ統計」と呼び、対応する粒子を「フェルミオン」と呼びました。^{[ 7 ]}

フェルミ・ディラック統計は1926年にラルフ・ファウラーによって白色矮星への恒星の崩壊を記述するために応用されました。^{[ 8 ]} 1927年にアーノルド・ゾンマーフェルトはそれを金属中の電子に適用して自由電子モデルを開発し、^{[ 9 ]} 1928年にファウラーとローター・ノルドハイムはそれを金属からの電界電子放出に適用しました。^{[ 10 ]}フェルミ・ディラック統計は物理学の重要な部分であり続けています。

フェルミ・ディラック分布

熱力学的平衡状態にある同一のフェルミオン系の場合、単一粒子状態iにおけるフェルミオンの平均数はフェルミ・ディラック（F-D）分布で与えられる：^{[ 11 ] [注1 ]}

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

ここで、k B_はボルツマン定数、Tは絶対温度、ε _iは単一粒子状態iのエネルギー、μは全化学ポテンシャルである。分布は条件

${\displaystyle \sum _{i}{\bar {n}}_{i}=N}$

は正または負の値をとる可能性がある。 ^{[ 12 ]}${\displaystyle \mu =\mu (T,N)}$ ${\displaystyle \mu}$

絶対温度ゼロにおいて、μはフェルミエネルギーとフェルミオン1個あたりのポテンシャルエネルギーの和に等しい。ただし、正のスペクトル密度近傍にあることが条件となる。半導体中の電子のようにスペクトルギャップがある場合、対称点 μは通常フェルミ準位、あるいは電子の場合は電気化学ポテンシャルと呼ばれ、ギャップの中央に位置する。^{[ 13 ] [ 14 ]}

フェルミ・ディラック分布は、システム内のフェルミオンの数が十分に大きく、システムにもう1つのフェルミオンを追加してもμにほとんど影響を与えない場合にのみ有効です。^{[ 15 ]}フェルミ・ディラック分布は、最大で1つのフェルミオンが各可能な状態を占めることを許容するパウリの排他原理を使用して導かれたため、結果として、となります。^{[注2 ]}${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}$

• フェルミ・ディラック分布
• 
  エネルギー依存性。Tが高いほど緩やかになる。ただし、Tが高くなると減少することは示されていない。^{[ 16 ]}${\displaystyle \mu}$
• 
  の温度依存性。${\displaystyle \varepsilon >\mu }$

状態iにおける粒子数の分散は、上記の式から次のように計算できる。^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle V(n_{i})=k_{\text{B}}T{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\bar {n}}_{i}={\bar {n}}_{i}(1-{\bar {n}}_{i}).}$

エネルギーに対する粒子の分布

フェルミ関数は、範囲の様々な温度に対して${\displaystyle F(\epsilon )}$ ${\displaystyle \mu =0.55~{\text{eV}}}$ ${\displaystyle 2~{\text{K}}\leq T\leq 375~{\text{K}}}$

フェルミ・ディラック分布から、エネルギーに対する粒子の分布を求めることができる。^{[注3 ]}エネルギーを持つフェルミオンの平均数は、フェルミ・ディラック分布に縮退（つまり、エネルギーを持つ状態の数）を掛けることで求められる。 ^{[ 19 ]}${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}(\varepsilon _{i})&=g_{i}{\bar {n}}_{i}\\&={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.\end{aligned}}}$

のとき、同じエネルギーを持つフェルミオンが占めることができる状態が複数存在するため、となる可能性があります。 ${\displaystyle g_{i}\geq 2}$ ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon _{i})>1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

エネルギーの準連続体が状態密度（つまり単位エネルギー範囲当たり単位体積当たりの状態数^{[ 20 ]}）を持つ場合、単位エネルギー範囲当たり単位体積当たりのフェルミオンの平均数は ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle g(\varepsilon )}$

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )=g(\varepsilon )F(\varepsilon ),}$

ここでフェルミ関数と呼ばれ、フェルミ・ディラック分布に使われる関数と同じである：^{[ 21 ]}${\displaystyle F(\varepsilon )}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle F(\varepsilon )={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}},}$

となることによって

${\displaystyle {\bar {\mathcal {N}}}(\varepsilon )={\frac {g(\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

量子と古典の領域

フェルミ・ディラック分布は、高温・低粒子密度の極限において、特別な仮定を必要とせずに マクスウェル・ボルツマン分布に近づきます。

• 粒子密度が低い極限では、となるため、あるいはそれと同値な となる。その場合、となり、これはマクスウェル・ボルツマン統計から得られる結果である。${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1\gg 1}$ ${\displaystyle e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}\gg 1}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}\approx {\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}}}={\frac {N}{Z}}e^{-\varepsilon _{i}/k_{\rm {B}}T}}$
• 高温限界においては、粒子は広いエネルギー範囲にわたって分布するため、各状態（特に を持つ高エネルギー状態）における占有率は再び非常に小さくなります。これもまた、マクスウェル・ボルツマン統計に帰着します。${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{\rm {B}}T}$ ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\rm {B}}T}+1}}\ll 1}$

マクスウェル・ボルツマン統計をフェルミ・ディラック統計の近似として使用できる古典的領域は、粒子の位置と運動量に対するハイゼンベルクの不確定性原理によって課せられた限界から遠く離れた状況を考慮することによって見つけられます。たとえば、半導体物理学では、伝導帯の状態密度がドーピング濃度よりもはるかに高い場合、伝導帯とフェルミ準位間のエネルギーギャップはマクスウェル・ボルツマン統計を使用して計算できます。そうでない場合、ドーピング濃度が伝導帯の状態密度と比較して無視できない場合は、正確な計算のために代わりにフェルミ・ディラック分布を使用する必要があります。そうすると、粒子の濃度が粒子の平均ド・ブロイ波長よりもはるかに大きい平均粒子間隔に対応するときに、古典的な状況が優勢であることが示されます。 ^{[ 22 ]}${\displaystyle {\bar {R}}}$ ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {R}}\gg {\bar {\lambda }}\approx {\frac {h}{\sqrt {3mk_{\rm {B}}T}}},}$

ここで、 hはプランク定数、mは粒子の質量です。

T = 300  K（すなわち室温付近）における典型的な金属中の伝導電子の場合、系は古典的領域から大きく離れている。これは、電子の質量が小さく、金属中の伝導電子の濃度が高い（すなわち、小さい）ためである。したがって、典型的な金属中の伝導電子にはフェルミ・ディラック統計が必要である。^{[ 22 ]}${\displaystyle {\bar {R}}\approx {\bar {\lambda }}/25}$ ${\displaystyle {\bar {R}}}$

古典的領域に属さない系のもう一つの例は、白色矮星へと崩壊した恒星の電子からなる系である。白色矮星の温度は高い（典型的にはT =表面温度は10000 K に達する^{[ 23 ]}）、電子濃度が高く、各電子の質量が小さいため古典近似は使えず、やはりフェルミ・ディラック統計が必要となる^{[ 8 ] 。}

派生

グランドカノニカルアンサンブル

フェルミ・ディラック分布は相互作用しないフェルミオンの量子系にのみ適用され、グランドカノニカル集団から簡単に導出できる。^{[ 24 ]}この集団では、系はエネルギーを交換し、リザーバーと粒子を交換することができる（温度Tと化学ポテンシャルμはリザーバーによって固定される）。

相互作用しない性質のため、利用可能な各単粒子準位（エネルギー準位ϵ）は、リザーバーと接触する独立した熱力学系を形成します。言い換えれば、各単粒子準位は独立した小さなグランドカノニカル集団です。パウリの排他原理により、単粒子準位には2つのミクロ状態、すなわち粒子なし（エネルギーE = 0）と粒子1個（エネルギーE = ε）しかありません。したがって、この単粒子準位の分配関数は、以下の2つの項のみで構成されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {Z}}&=\exp {\big (}0(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}+\exp {\big (}1(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )}\\&=1+\exp {\big (}(\mu -\varepsilon )/k_{\rm {B}}T{\big )},\end{aligned}}}$

そして、その単一粒子レベルのサブステートの平均粒子数は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle N\rangle =k_{\rm {B}}T{\frac {1}{\mathcal {Z}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {Z}}}{\partial \mu }}\right)_{V,T}={\frac {1}{\exp {\big (}(\varepsilon -\mu )/k_{\rm {B}}T{\big )}+1}}.}$

この結果は各単一粒子レベルに適用され、システム全体の状態に対するフェルミ・ディラック分布を与える。^{[ 24 ]}

粒子数の分散（熱変動による）も導出できる（粒子数は単純なベルヌーイ分布に従う）。

${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }=k_{\rm {B}}T\left({\frac {d\langle N\rangle }{d\mu }}\right)_{V,T}=\langle N\rangle {\big (}1-\langle N\rangle {\big )}.}$

この量は、電子ガスの電気伝導率や熱電係数のモットの関係式のような輸送現象において重要であり、^{[ 25 ]}エネルギー準位が輸送現象に寄与する能力はに比例します。 ${\displaystyle {\big \langle }(\Delta N)^{2}{\big \rangle }}$

標準的なアンサンブル

正準集団においてフェルミ・ディラック統計を導くことも可能である。相互相互作用が無視でき、熱平衡状態にあるN個の同一のフェルミオンからなる多粒子系を考える。 ^{[ 15 ]}フェルミオン間の相互作用は無視できるため、多粒子系の状態エネルギーは、単一粒子エネルギーの和として表すことができる。 ${\displaystyle E_{R}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle E_{R}=\sum _{r}n_{r}\varepsilon _{r},}$

ここでは占有数と呼ばれ、 はエネルギー を持つ一粒子状態にある粒子の数です。この和は、すべての可能な一粒子状態にわたって求められます。 ${\displaystyle n_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$ ${\displaystyle r}$

多粒子系が状態にある確率は正規化された正準分布で与えられる：^{[ 26 ]}${\displaystyle R}$

${\displaystyle P_{R}={\frac {e^{-\beta E_{R}}}{\displaystyle \sum _{R'}e^{-\beta E_{R'}}}},}$

ここで、はボルツマン因子と呼ばれ、その和は多粒子系のすべての可能な状態にわたっている。占有数の平均値は^{[ 26 ]}である。${\displaystyle \beta =1/k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle e^{-\beta E_{R}}}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}=\sum _{R}n_{i}P_{R}.}$

多粒子系の状態は、単一粒子状態の粒子占有率によって指定できることに注意する。つまり、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots ,}$

${\displaystyle P_{R}=P_{n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{{n_{1}}',{n_{2}}',\ldots }e^{-\beta (n_{1}'\varepsilon _{1}+n_{2}'\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$

そして、の式は次のようになる。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&=\sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}P_{n_{1},n_{2},\dots }\\&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }n_{i}e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots +n_{i}\varepsilon _{i}+\cdots )}}},\end{aligned}}}$

ここで、和はパウリの排他原理に従うすべての値の組み合わせについてであり、各 に対して= 0 または となる。さらに、 の値の各組み合わせは、粒子の総数が であるという制約を満たす。 ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle n_{r}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\ldots }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{r}n_{r}=N.}$

合計を整理すると、

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\dots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )}}},}$

ここで、和の符号の上の添え字は、和が を超えていないことを示し、和に関連する粒子の総数が であるという制約に従う。制約を通してが依然として に依存することに注意する。なぜなら、一方では とが で評価されるのに対し、他方ではとが で評価されるからである。表記を簡略化し、 が依然として を通して に依存することを明確に示すために、定義する。 ${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-n_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}=0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N,}$ ${\displaystyle n_{i}=1,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$ ${\displaystyle N_{i}=N-1.}$ ${\displaystyle \textstyle \sum ^{(i)}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle N-n_{i},}$

${\displaystyle Z_{i}(N-n_{i})\equiv \sideset {}{^{(i)}}\sum _{n_{1},n_{2},\ldots }e^{-\beta (n_{1}\varepsilon _{1}+n_{2}\varepsilon _{2}+\cdots )},}$

となるので、前の式はについて書き直して評価することができます。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle Z_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {n}}_{i}&={\frac {\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}n_{i}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}{\displaystyle \sum _{n_{i}=0}^{1}e^{-\beta (n_{i}\varepsilon _{i})}\,Z_{i}(N-n_{i})}}\\&={\frac {0+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}{Z_{i}(N)+e^{-\beta \varepsilon _{i}}\,Z_{i}(N-1)}}\\&={\frac {1}{[Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)]\,e^{\beta \varepsilon _{i}}+1}}.\end{aligned}}}$

を代入する式を求めるために、次の近似式^{[ 27 ]}が使用される。 ${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln Z_{i}(N-1)&\simeq \ln Z_{i}(N)-{\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}\\&=\ln Z_{i}(N)-\alpha _{i},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \alpha _{i}\equiv {\frac {\partial \ln Z_{i}(N)}{\partial N}}.}$

粒子の数が十分大きく、粒子がシステムに加えられたときに化学ポテンシャルの変化が非常に小さい場合、 ^{[ 28 ]}両辺に指数関数を適用し、を代入して整理すると、 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha _{i}\simeq -\mu /k_{\text{B}}T.}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle Z_{i}(N)/Z_{i}(N-1)=e^{-\mu /k_{\text{B}}T}.}$

上記を の式に代入し、 の以前の定義を使用してを に代入すると、フェルミ・ディラック分布が得られます。 ${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle 1/k_{\text{B}}T}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

マクスウェル・ボルツマン分布やボーズ・アインシュタイン分布と同様に、フェルミ・ディラック分布も平均値のダーウィン・ファウラー法によって導くことができる。 ^{[ 29 ]}

ミクロカノニカルアンサンブル

システムの多重度を直接解析し、ラグランジュ乗数を使用することで結果が得られます。^{[ 30 ]}

指数iでラベル付けされた複数のエネルギー準位があり、各準位のエネルギーは ε _iで、合計n _i個の粒子が含まれているとします。各準位にはg _{i 個の}異なるサブ準位が含まれており、それらはすべて同じエネルギーを持ち、区別可能です。例えば、2つの粒子が異なる運動量（つまり、運動量が異なる方向を向いている）を持つ場合、それらは互いに区別可能ですが、それでも同じエネルギーを持つことがあります。準位iに関連付けられたg _iの値は、そのエネルギー準位の「縮退」と呼ばれます。パウリの排他原理によれば、そのようなサブ準位には1つのフェルミオンしか存在できません。

エネルギーレベルのg _i個のサブレベルにn _i個の区別できない粒子を分配する方法の数は、サブレベルごとに最大1個の粒子がある場合、二項係数によって与えられ、その組み合わせ解釈は次のようになります。

${\displaystyle w(n_{i},g_{i})={\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

たとえば、2 つの粒子を 3 つのサブレベルに分配すると、人口数は 110、101、または 011 となり、合計 3 通りとなり、3!/(2!1!) になります。

占有数n _iの集合を実現できる方法の数は、個々のエネルギーレベルを占有できる方法の積です。

${\displaystyle W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {g_{i}!}{n_{i}!(g_{i}-n_{i})!}}.}$

マクスウェル・ボルツマン統計を導出する際に用いたのと同じ手順に従い、粒子数とエネルギーが一定であるという制約のもとで、 Wが最大となるn _iの集合を求めたい。ラグランジュ乗数を用いて解を制約し、以下の関数を形成する。

${\displaystyle f(n_{i})=\ln W+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right).}$

階乗のスターリング近似を用いて、 n _iに関して微分し、結果をゼロに設定し、n _iについて解くと、フェルミ・ディラックの人口数が得られます。

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}+1}}.}$

マクスウェル・ボルツマン統計の記事で概説したのと同様の手順で、熱力学的に と が示されるため、最終的に状態が占有される確率は ${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{k_{\text{B}}T}}}$ ${\displaystyle \alpha =-{\tfrac {\mu }{k_{\text{B}}T}}}$

${\displaystyle {\bar {n}}_{i}={\frac {n_{i}}{g_{i}}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{\text{B}}T}+1}}.}$

参照

• グランドカノニカルアンサンブル
• パウリの排他原理
• 完全なフェルミ-ディラック積分
• フェルミ準位
• フェルミガス
• マクスウェル・ボルツマン統計
• ボーズ・アインシュタイン統計
• 準統計学
• ロジスティック関数
• シグモイド関数

注記

1. F-D分布はロジスティック関数またはシグモイド関数と呼ばれる数学関数の一種です。
2. 同時に 1 つのフェルミオンしか同じ状態を占有できないため、 は状態が占有されている確率でもあることに注意してください。${\displaystyle {\bar {n}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0<{\bar {n}}_{i}<1}$
3. 状態ではなくエネルギーに対するこれらの分布はフェルミ・ディラック分布と呼ばれることもありますが、この記事ではその用語は使用しません。

参考文献

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さらに読む

• ライフ, F. (1965).統計物理学と熱物理学の基礎. マグロウヒル. ISBN 978-0-07-051800-1。
• ブレイクモア、JS (2002).半導体統計. ドーバー. ISBN 978-0-486-49502-6。
• キッテル、チャールズ（1971年）『固体物理学入門』（第4版）ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズISBN 978-0-471-14286-7. OCLC  300039591 .