一般線型群

数学において、一般線型群は、逆行列の集合と、通常の行列の乗算演算を組み合わせたものである。これは群を形成する。なぜなら、2つの逆行列の積は再び逆行列であり、逆行列の逆は、単位行列を群の単位元として逆行列となるからである。この群の名前は、逆行列の列（および行）が線型独立であるため、それらが定義するベクトル/点は一般線型位置にあり、一般線型群の行列は一般線型位置の点を一般線型位置の点に置き換えるからである。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

より正確に言うと、行列の要素にどのようなオブジェクトが出現し得るかを指定する必要があります。例えば、 （実数の集合）上の一般線型群は、実数の可逆行列の群であり、またはで表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

より一般的には、任意の体（複素数など）または環（整数の環など）上の 次数の一般線型群は、 （または）からの要素を持つ可逆行列の集合であり、この場合も群演算は行列乗算です。^{[ 1 ]}一般的な表記はまたは、あるいは体 が理解されていれば 単に です。${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$

さらに一般的には、ベクトル空間の一般線型群は自己同型群であり、必ずしも行列として記述されるわけではありません。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$

特殊線型群 は、または と表記され、行列式が1 で ある行列からなるの部分群です。${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

群とその部分群は、しばしば線型群または行列群と呼ばれる（自己同型群は線型群であるが行列群ではない）。これらの群は群表現の理論において重要であり、空間対称性やベクトル空間の対称性一般の研究、さらには多項式の研究にも現れる。モジュラー群は、特殊線型群の商として実現することができる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$

の場合、その群はアーベル群ではありません。 ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

ベクトル空間の一般線型群

が体上のベクトル空間であるとき、 の一般線型群（またはと表記）は、のすべての自己同型、すなわち、 のすべての全単射線型変換の集合に、群演算として関数合成を加えたものである。 が有限次元を持つとき、と は同型である。同型は標準的ではなく、の基底の選択に依存する。の基底と の自己同型が与えられたとき、すべての基底ベクトルe _iに対して、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$

${\displaystyle T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}}$

のいくつかの定数に対して、に対応する行列は、によって与えられた要素を持つ行列になります。 ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a_{ji}}$

同様に、可換環に対しては、群は階数 の自由- 加群の自己同型群として解釈できる。任意の - 加群に対して GL( M )を定義することもできるが、一般にこれは（任意の に対して） と同型ではない。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ ${\displaystyle n}$

決定要因の観点から

体 上で、行列が逆行列となるのは、その行列式が非零である場合に限ります。したがって、 の別の定義は、非零の行列式を持つ行列の群として定義されます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

可換環 上では、より注意が必要です。 上の行列が逆行列となるのは、その行列式がにおいて単位行列である場合、つまり、その行列式が において逆行列となる場合のみです。したがって、 は、行列式が単位行列である行列の群として定義できます。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$

非可換環 上では、行列式は全く正しく動作しない。この場合、 は行列環の単位群として定義できる。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,R)}$ ${\displaystyle M(n,R)}$

嘘つきグループとして

実際の事例

実数体上の一般線型群は次元の実リー群である。これを理解するために、すべての実行列の集合 が次元の実ベクトル空間を形成することに注意されたい。この部分集合は、行列式が非零であるような行列から構成される。行列式は多項式写像であり、したがって の開アフィン部分多様体（ザリスキー位相におけるの空でない開部分集合）であり、したがって^{[ 2 ] は}同次元の滑らかな多様体で ある。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$

のリー代数は、交換子がリー括弧として機能する すべての実数行列から構成されます。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n},}$ ${\displaystyle n\times n}$

多様体として、は連結ではなく、2つの連結成分、すなわち正の行列式を持つ行列と負の行列式を持つ行列を持ちます。恒等成分は で表され、正の行列式を持つ実数行列で構成されます。これも 次元のリー群であり、 と同じリー代数を持ちます。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

可逆行列に対して一意な極分解 は、 と の直積が正定値対称行列の集合と同相関係にあることを示しています。同様に、 と の直積が正定値対称行列の集合と同相関係にあることを示しています。後者は縮約可能であるため、の基本群は の基本群と同型です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$

同相写像は、群 が非コンパクトであることも示している。 の「」^{[ 3 ]}最大コンパクト部分群は直交群であり、 の「」最大コンパクト部分群 は特殊直交群である。 に関しては、群 は単連結ではない（ の場合を除く）が、に対してまたはに対してと同型な基本群を持つ。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {O} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle n>2}$

複雑なケース

複素数体 上の一般線型群 は、複素次元 の複素リー群である。実リー群としては（実現化により）次元 を持つ。実行列全体の成す集合は実リー部分群を形成する。これらは包含に対応する。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )<\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )<\operatorname {GL} (2n,\mathbb {R} )}$ 、

これらは、実次元、、を持ちます。複素次元行列は、線形複素構造を保存する実次元行列として特徴付けることができます。つまり、となる行列と可換な行列です。ここで、 は虚数単位 を乗じることに相当します。 ${\displaystyle n^{2}}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$ ${\displaystyle (2n)^{2}=4n^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{2}=-I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i}$

に対応するリー代数は、交換子がリー括弧として機能する すべての複素行列で構成されます。${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$

実数の場合とは異なり、は連結である。これは、複素数の乗法群が連結であることから、部分的には従う。群多様体はコンパクトではなく、むしろその最大コンパクト部分群はユニタリ群である。 に関しては、群多様体は単連結ではなく、 と同型な基本群を持つ。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

有限体上

GL(2, 2)のケーリー表。S 3_と同型である。

が元を持つ有限体である場合、の代わりに と書くこともあります。p が素数の場合、は 群 の外部自己同型群であり、また は可換群であるため自己同型群でもあります。したがって、内部自己同型群は自明です。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{n}}$

順序は次のとおりです。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).}$

これは、行列の可能な列を数えることで示されます。最初の列は零ベクトル以外の任意のベクトルを取ることができ、2番目の列は最初の列の倍数以外の任意のベクトルを取ることができ、一般に、番目の列は最初の列の線形範囲に含まれない任意のベクトルを取ることができます。q アナログ表記では、これは となります。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle [n]_{q}!(q-1)^{n}q^{n \choose 2}}$

例えば、GL(3, 2) の位数は(8 − 1)(8 − 2)(8 − 4) = 168 である。これはファノ平面の自己同型群であり、群の自己同型群でもある。また、この群はPSL(2, 7)と同型である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{3}}$

より一般的には、上のグラスマン多様体の点、つまり与えられた次元 の部分空間の数を数えることができます。そのためには、そのような部分空間の一つの安定部分群の位数を求め、先ほど示した式を軌道安定定理によって割るだけで済みます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$

これらの式はグラスマン多様体のシューベルト分解と関連しており、複素グラスマン多様体のベッティ数のq類似体である。これはヴェイユ予想につながる手がかりの一つであった。

の極限においての位数は0 になることに注意してください。しかし、正しい手順（ で割る）では、それが対称群の位数であることがわかります（Lorscheid の論文を参照）。 を一元とする体の哲学では、対称群は を一元とする体上の一般線型群として解釈されます。 ${\displaystyle q\to 1}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,q)}$ ${\displaystyle (q-1)^{n}}$ ${\displaystyle S_{n}\cong \operatorname {GL} (n,1)}$

歴史

素体 上の一般線型群は、 1832年にエヴァリスト・ガロアによって構成され、その位数が計算されました。ガロアは、最後の手紙（シュヴァリエ宛）と2番目（3つのうち）の添付原稿の中で、これらの原稿を用いて位数 の一般方程式のガロア群の研究を行いました。^{[ 4 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (\nu ,p)}$ ${\displaystyle p^{\nu }}$

特殊線型群

特殊線型群 は、行列式が 1であるすべての行列の成す群です。これらの行列は、部分多様体上にあるという点で特殊です。つまり、行列式が要素の多項式であるため、多項式方程式を満たします。このタイプの行列は、2つの行列の積の行列式が各行列の行列式の積となるため、群を形成します。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$

の乗法群（つまり0を除く）について書くと、行列式は群準同型となる。${\displaystyle F^{\times }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \det :\operatorname {GL} (n,F)\to F^{\times }}$

は射影的であり、その核は特殊線型群である。したがって、は の正規部分群であり、第一同型定理により、は と同型である。実際、は の半直積として表すことができる。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)/\operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle F^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)=\operatorname {SL} (n,F)\rtimes F^{\times }}$ 。

特殊線型群は、 （体または分割環に対して）の導来群（交換子部分群とも呼ばれる）でもある。ただし、またはが2つの元を持つ体ではないことを条件とする。^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\neq 2}$ ${\displaystyle F}$

または のとき、は次元ののリー部分群である。のリー代数は上のすべての行列から成り、 の痕跡は消える。リー括弧は交換子によって与えられる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle n^{2}-1}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle F}$

特殊線型群は、の体積と方向を保存する線型変換の群として特徴付けることができます。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

群は単連結ですが、 は連結ではありません。は と同じ基本群を持ちます。つまり、の場合、の場合です。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle n>2}$

その他のサブグループ

対角部分群

すべての可逆対角行列の集合はと同型な の部分群を形成する。 や のような体においては、これらは空間の再スケーリング、いわゆる拡大縮小と縮小に対応する。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle (F^{\times })^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

スカラー行列は、定数倍の単位行列である対角行列です。非零のスカラー行列全体の集合は、と同型なの部分群を形成します。この群はの中心です。特に、これは正規アーベル部分群です。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle F^{\times }}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$

の中心は、単位行列式を持つすべてのスカラー行列の集合にすぎず、体 の単位根の群と同型です。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F}$

古典群

いわゆる古典群は、ベクトル空間上で何らかの双線型形式を保存する部分群である。これには以下が含まれる。 ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V}$

• 直交群、上の非退化二次形式を保存する。${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$ ${\displaystyle V}$
• シンプレクティック群 は、（非退化交代形式）上のシンプレクティック形式を保存する${\displaystyle \operatorname {Sp} (V)}$ ${\displaystyle V}$
• ユニタリ群,は、 のとき、上で非退化エルミート形式を保存します。${\displaystyle \operatorname {U} (V)}$ ${\displaystyle F=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$

これらの群はリー群の重要な例を提供します。

関連群とモノイド

射影線型群

射影線型群 と射影特殊線型群は、とをその中心（その中心は単位行列の倍数で構成される）で割った商であり、関連する射影空間への誘導作用である。 ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)}$

アフィン群

The affine group${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,F)}$ is an extension of ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ by the group of translations in ${\displaystyle F^{n}}$ . It can be written as a semidirect product:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,F)=\operatorname {GL} (n,F)\ltimes F^{n}}$

where ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ acts on ${\displaystyle F^{n}}$ in the natural manner. The affine group can be viewed as the group of all affine transformations of the affine space underlying the vector space ${\displaystyle F^{n}}$ .

One has analogous constructions for other subgroups of the general linear group: for instance, the special affine group is the subgroup defined by the semidirect product, ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,F)\ltimes F^{n}}$ , and the Poincaré group is the affine group associated to the Lorentz group, ${\displaystyle \operatorname {O} (1,3,F)\ltimes F^{n}}$ .

General semilinear group

The general semilinear group${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)}$ is the group of all invertible semilinear transformations, and contains ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ . A semilinear transformation is a transformation which is linear “up to a twist”, meaning “up to a field automorphism under scalar multiplication”. It can be written as a semidirect product:

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)=\operatorname {Gal} (F)\ltimes \operatorname {GL} (n,F)}$

where ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F)}$ is the Galois group of ${\displaystyle F}$ (over its prime field), which acts on ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)}$ by the Galois action on the entries.

The main interest of ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (n,F)}$ is that the associated projective semilinear group${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (n,F)}$ , which contains ${\displaystyle \operatorname {PGL} (n,F)}$ , is the collineation group of projective space, for ${\displaystyle n>2}$ , and thus semilinear maps are of interest in projective geometry.

Full linear monoid

If one removes the restriction of the determinant being non-zero, the resulting algebraic structure is a monoid, usually called the full linear monoid,^[6][7][8] but occasionally also full linear semigroup,^[9]general linear monoid^[10][11] etc. It is actually a regular semigroup.^[7]

Infinite general linear group

無限一般線型群あるいは安定一般線型群は、左上ブロック行列の包含の直接的な極限である。これは または で表され、単位行列と有限箇所のみで異なる可逆な無限行列として解釈することもできる。^{[ 12 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} (n,F)\to \operatorname {GL} (n+1,F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ,F)}$

これは代数 K 理論でK ₁を定義するために使用され、実数上ではボット周期性のおかげでよく理解されたトポロジーを持ちます。

これをヒルベルト空間上の（有界）可逆作用素の空間と混同しないでください。ヒルベルト空間はより大きな群であり、位相的に非常に単純、つまり収縮可能です（カイパーの定理を参照） 。

参照

• 有限単純群の一覧
• SL ₂ (右)
• SL ₂ ( R )の表現理論
• 古典リー群の表現

注記

1. ここでは環は結合的かつ単位的であると仮定します。
2. ザリスキ位相は計量位相よりも粗いので、多項式写像は連続である。
3. 最大コンパクト部分群は一意ではないが、本質的に一意であるため、「その」最大コンパクト部分群と呼ばれることが多い。
4. ガロア、エヴァリスト (1846)。「M.オーギュスト・シュヴァリエのガロワの手紙」。Journal de Mathématiques Pures et Appliquées。XI : 408– 415. 2021-04-26 のオリジナルからアーカイブ。2009 年 2 月 4 日に取得、GL( ν , p ) については p.11 で説明されています。 410.
5. Suprunenko, DA (1976),行列群、数学モノグラフの翻訳、アメリカ数学会、定理II.9.4
6. Jan Okniński (1998).行列の半群. World Scientific. 第2章: 完全線形モノイド. ISBN 978-981-02-3445-4。
7. Meakin (2007). 「群と半群：接続と対比」 CM Campbell (編). Groups St Andrews 2005 . Cambridge University Press. p. 471. ISBN 978-0-521-69470-4。
8. ジョン・ローズ、ベンジャミン・スタインバーグ (2009).有限半群のq理論. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 306. ISBN 978-0-387-09781-7。
9. エリック・ジェスパース、ヤン・オクニスキー (2007).ノイザン半群代数. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. 2.3: 完全線形半群. ISBN 978-1-4020-5810-3。
10. マイノルフ・ゲック (2013). 『代数幾何学と代数群入門』オックスフォード大学出版局. p. 132. ISBN 978-0-19-967616-3。
11. マヒル・ビレン・カン;リー・ジェンヘン;ベンジャミン・スタインバーグ;王強（2014）。代数モノイド、グループ埋め込み、および代数組み合わせ論。スプリンガー。 p. 142.ISBN​ 978-1-4939-0938-4。
12. ミルナー、ジョン・ウィラード(1971).代数的K理論入門. Annals of Mathematics Studies. 第72巻. プリンストン、ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. p. 25. MR 0349811. Zbl 0237.18005 .  

参考文献

• Springer, Tonny Albert (1998). Linear Algebraic Groups (第2版). Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4839-8。

外部リンク

• 「一般線型群」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「GL(2, p ) と GL(3, 3) の点に対する作用」、Ed Pegg, Jr.著、Wolfram Demonstrations Project、2007 年。