交換子部分群

数学、より具体的には抽象代数学において、群の交換子部分群または導来部分群は、群のすべての交換子によって生成される部分群である。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

交換子部分群は、元の群をこの部分群で割った商群がアーベル となるような最小の正規部分群であるため重要です。言い換えれば、がアーベル となるのは、が の交換子部分群を含む場合のみです。したがって、ある意味では、交換子部分群は群がアーベルからどれだけ離れているかを示す尺度となります。つまり、交換子部分群が大きいほど、群は「アーベル性が低い」ということです。 ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

整流子

群Gの元とについて、との交換子はである。交換子が単位元eと等しいのは の場合のみであり、つまり とが可換である場合に限る。一般に である。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle [g,h]=g^{-1}h^{-1}gh}$ ${\displaystyle [g,h]}$ ${\displaystyle gh=hg}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle gh=hg[g,h]}$

ただし、表記法は多少恣意的であり、等式の右側に逆数を持つ交換子の非等価な異形定義があります。その場合、 代わりに になります。 ${\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}}$ ${\displaystyle gh\neq hg[g,h]}$ ${\displaystyle gh=[g,h]hg}$

Gの元で、あるgとhに対しての形をとるものは交換子と呼ばれる。単位元e = [ e , e ] は常に交換子であり、 Gがアーベル元である場合に限り、唯一の交換子となる。 ${\displaystyle [g,h]}$

以下は、グループGの任意の要素s、g、hに当てはまる、単純だが便利な交換子恒等式です。

• ${\displaystyle [g,h]^{-1}=[h,g],}$
• ${\displaystyle [g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],}$ ここで（または、それぞれ）はの共役であり、${\displaystyle g^{s}=s^{-1}gs}$ ${\displaystyle g^{s}=sgs^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle s,}$
• 任意の準同型 に対して、${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle f([g,h])=[f(g),f(h)].}$

第一および第二の恒等式は、Gの交換子の集合が反転および共役に関して閉じていることを意味する。第三の恒等式においてH = Gとすれば、交換子の集合はGの任意の自己準同型に関して安定であることがわかる。これは実際には第二の恒等式の一般化であり、fをG上の共役自己同型、とすれば第二の恒等式が得られる。 ${\displaystyle x\mapsto x^{s}}$

しかし、2つ以上の交換子の積は必ずしも交換子である必要はない。一般的な例としては、a , b , c , d上の自由群における [ a , b ][ c , d ]が挙げられる。積が交換子とならない2つの交換子が存在する有限群の最小位数は96であることが知られている。実際、この性質を持つ位数96の非同型群が2つ存在する。^{[ 3 ]}

意味

これにより、 Gの交換子部分群 (導来部分群とも呼ばれ、 または と表記される)が定義されます。これは、すべての交換子によって 生成される部分群です。${\displaystyle [G,G]}$ ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G^{(1)}}$

この定義から、の任意の要素は次の形式と なる。${\displaystyle [G,G]}$

${\displaystyle [g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]}$

何らかの自然数 に対して、g _iとh _{i が}Gの元であるとき、 となる。さらに であるため、交換子部分群はGにおいて正規である。任意の準同型写像f : G → Hに対して、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]}$

${\displaystyle f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]}$ 、

となることによって。 ${\displaystyle f([G,G])\subseteq [H,H]}$

これは、交換子部分群が群の圏上の関数として見ることができることを示し、そのいくつかの含意については以下で考察する。さらに、G = Hとすると、交換子部分群はGのあらゆる自己準同型の下で安定であることが示される。つまり、[ G , G ] はGの完全特性部分群であり、これは正規性よりもかなり強い性質である。

交換子部分群は、積g = g ₁ g ₂ ... g _kとして表現され、並べ替えると恒等式を与えることができる グループの元gの集合として定義することもできます。

派生シリーズ

この構造は反復可能です:

${\displaystyle G^{(0)}:=G}$

${\displaystyle G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

これらの群は、第2導出部分群、第3導出部分群などと呼ばれ、降順正規系列${\displaystyle G^{(2)},G^{(3)},\ldots }$

${\displaystyle \cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G}$

は導来級数と呼ばれる。これは、項が である下中心級数と混同してはならない。 ${\displaystyle G_{n}:=[G_{n-1},G]}$

有限群の場合、導来級数は完全群で終了するが、これは自明な場合もあればそうでない場合もある。無限群の場合、導来級数は有限段階で終了する必要はなく、超限再帰によって無限順序数まで継続することができ、その結果、超限導来級数が得られ、最終的には群の 完全核で終了する。

アーベル化

群 が与えられたとき、のときのみ、商群 はアーベル群となる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle [G,G]\subseteq N}$

商はアーベル群であり、アーベル化 または によってアーベル化された と呼ばれる。[ 4 ]通常^{はまたはと}表記される。 ${\displaystyle G/[G,G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G_{\operatorname {ab} }}$

写像 には有用なカテゴリカルな解釈がある。すなわち、からへの準同型写像に対して は普遍的である。つまり、任意の アーベル群と 群の準同型写像に対して、 となる唯一の準同型写像が存在する。普遍写像特性によって定義されるオブジェクトの場合と同様に、これは標準同型写像に至るまでのアーベル化の一意性を示すが、明示的な構成はの存在を示す。 ${\displaystyle \varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle F:G^{\operatorname {ab} }\to H}$ ${\displaystyle f=F\circ\varphi}$ ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle G\to G/[G,G]}$

アーベル化関数は、アーベル群の圏から群の圏への包含関数の左随伴関数である。アーベル化関数Grp → Abの存在により、圏Abは群の圏の鏡映部分圏となり、包含関数が左随伴関数を持つ完全部分圏として定義される。

のもう一つの重要な解釈は、整数係数を持つの最初のホモロジー群として解釈されることです。 ${\displaystyle G^{\operatorname {ab} }}$ ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$

グループのクラス

群がアーベル群であるための必要十分条件は、導来群が自明であるときである：[ G , G ] = { e }。同様に、群がそのアーベル化に等しいときである必要十分条件は、群のアーベル化の定義については上記を参照。 ${\displaystyle G}$

群が完全群であるための必要十分条件は、導来群が群自身と等しい場合である：[ G , G ] = G。同様に、群のアーベル化が自明である場合も必要十分条件である。これはアーベル化の「反対」である。 ${\displaystyle G}$

N内のあるnに対してとなる群は可解群と呼ばれます。これは、 n = 1の場合であるアーベル群よりも弱い群です。 ${\displaystyle G^{(n)}=\{e\}}$

N内のすべてのnに対して となる群は、解けない群と呼ばれます。 ${\displaystyle G^{(n)}\neq \{e\}}$

ある順序数（無限である可能性もある）に対してとなる群は、低アーベル群と呼ばれます。これは、 αが有限（自然数） である場合である可解群よりも弱い群です。${\displaystyle G^{(\alpha )}=\{e\}}$

完璧なグループ

群がそれ自身に等しい導来部分群を持つ場合、その群は完全群と呼ばれる。これには、非可換単純群や、固定体 に対する特殊線型群が含まれる。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{(1)}=G}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle k}$

例

• 任意のアーベル群の交換子部分群は自明である。
• 体または分環k上の一般線型群 の交換子部分群は、kが2つの元を持つ体ではないという条件で、特殊線型群に等しい。^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(k)}$ ${\displaystyle n\neq 2}$
• 交代群A ₄の交換子部分群はクラインの 4 群である。
• 対称群S _nの交換子部分群は交代群A _nです。
• 四元数群Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k }の交換子部分群は[ Q , Q ] = {1, −1}です。

アウトからの地図

導来部分群は特性なので、 Gの任意の自己同型はアーベル化の自己同型を誘導する。アーベル化はアーベル的であるため、内部自己同型は自明に作用し、したがって写像

${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})}$

参照

• 解けるグループ
• べき零群
• 有限指数( G : H )の部分群H  <  Gのアーベル化H / H 'はアルティン転送T ( G , H )のターゲットである。 

注記

1. ダミット＆フット（2004）
2. ラング（2002）
3. スアレス＝アルバレス
4. フレイリー（1976年、108ページ）
5. Suprunenko, DA (1976),行列群、数学モノグラフの翻訳、アメリカ数学会、定理II.9.4

参考文献

• ダミット、デイビッド・S.; フット、リチャード・M. (2004) 『抽象代数（第3版）』、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-43334-9
• フレイリー、ジョン・B.（1976年）、抽象代数学入門（第2版）、Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、シュプリンガー、ISBN 0-387-95385-X
• Suárez-Alvarez, Mariano. 「導来部分群と交換子」 .

外部リンク

• 「交換子部分群」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]