シューベルト計算

数学において、シューベルト計算^{[ 1 ]}は、19世紀にヘルマン・シューベルトが射影幾何学のさまざまな計数問題を解決するために導入した代数幾何学の一分野であり、そのため、列挙幾何学の一部と見なされています。これにさらに厳密な基礎を与えることが、ヒルベルトの第15問題の目的でした。これは、特性類などのいくつかのより現代的な概念と関連しており 、そのアルゴリズム的側面と応用の両方が現在も関心を集めています。シューベルト計算という用語は、ベクトル空間の線型部分空間の列挙幾何学を意味するために使用されることもあり、これはグラスマン多様体のコホモロジー環を記述することとほぼ同義です。また、単純リー群の同質空間である代数多様体の、より一般的な列挙幾何学を意味するために使用されることもあります。さらに一般的には、シューベルト計算は、一般化コホモロジー理論における類似の問題の研究を包含すると理解されることもあります。

シューベルトによって導入された対象はシューベルト細胞^{[ 2 ]}であり、これはグラスマン多様体における局所閉集合であり、与えられた旗を持つ射影空間における線型部分空間の入射条件によって定義される。詳細についてはシューベルト多様体を参照のこと。

これらのセルの交差理論^{[ 3 ]}は、グラスマン多様体のコホモロジー環における積構造として捉えられ、関連するコホモロジー類から成り、特にセルの交差が有限個の点集合となる場合の決定を可能にする。重要な結果は、シューベルトセル（あるいは、そのザリスキー閉包、シューベルトサイクル、あるいはシューベルト多様体の類）がコホモロジー環全体を張ることである。

組合せ論的な側面は、主にシューベルト閉路の交差を計算する際に生じる。等質空間であるグラスマン多様体から、それに作用する一般線型群へと持ち上がると、同様の問題が、 （ブロック三角行列としての）放物型部分群のブルア分解と分類にも関わる。

工事

シュベルト計算はグラスマン多様体のチャウ環^{[ 3 ]}を用いて構築することができ、生成サイクルは幾何学的に定義されたデータによって表される。^{[ 4 ]}固定次元ベクトル空間における -平面のグラスマン多様体を、そのチャウ環を と表記する。（グラスマン多様体は、ベクトル空間が明示的に与えられていない場合、または周囲空間とその-次元部分空間がそれらの射影化によって置き換えられた場合のように表記されることがある点に注意する。）（任意の）完全フラグ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (k-1,n-1)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\mathcal {V}}=(V_{1}\subset \cdots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V),\quad \dim {V}_{i}=i,\quad i=1,\dots ,n,}$

整数の各弱減少組に、ここで ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots,a_{k})}$

${\displaystyle nk\geq a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}\geq 0,}$

つまり、重みの 各区分に

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum _{i=1}^{k}a_{i},}$

ヤング図が分割の長方形図に当てはまる場合、シューベルト多様体^{[ 1 ] [ 2 ]}（またはシューベルトサイクル）を関連付け、次のように定義される。 ${\displaystyle k\times (n-k)}$ ${\displaystyle (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{n-k+i-a_{i}}\cap w)\geq i{\text{ for }}i=1,\dots ,k\}.}$

これはザリスキー位相幾何学におけるシューベルトセルの閉包である^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}):=\{w\in \mathbf {Gr} (k,V):\dim(V_{j}\cap w)=i{\text{ for all }}n-k-a_{i}+i\leq j\leq n-k-a_{i+1}+i,\quad 1\leq j\leq n\}\subset \Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}}),}$

これは、チャウ環の代わりに細胞ホモロジーを考える際に用いられる。後者は次元 の互いに素なアフィン空間であり、その和は である。 ${\displaystyle |\mathbf {a} |}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

シューベルトセルの同等の特徴付けは、双対完全旗によって与えられる。${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {V}}}=({\tilde {V}}_{1}\subset {\tilde {V}}_{2}\cdots \subset {\tilde {V}}_{n}=V),}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}:=V_{n}\backslash V_{n-i},\quad i=1,\dots ,n\quad (V_{0}:=\emptyset ).}$

そして、これらの-次元部分空間は、 要素からなる 基底を持ち、${\displaystyle X_{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})\subset \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle ({\tilde {W}}_{1},\dots ,{\tilde {W}}_{k})}$

${\displaystyle {\tilde {W}}_{i}\in {\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1},\quad i=1,\dots ,k}$

部分空間の${\displaystyle \{{\tilde {V}}_{k+a_{i}-i+1}\}_{i=1,\dots ,k}.}$

ホモロジー類はシューベルト類と呼ばれ、完全な旗の選択に依存しないので、次のように書くことができる。 ${\displaystyle [\Sigma _{\mathbf {a} }({\mathcal {V}})]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }:=[\Sigma _{\mathbf {a} }]\in A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V)).}$

これらの類は線型独立であり、その線型範囲としてチャウ環を生成することが示される。関連する交差理論はシューベルト計算と呼ばれる。シューベルト類を持つ与えられた列 は通常、単に と表記される。単一の整数（すなわち水平分割）によって与えられるシューベルト類は特殊類と呼ばれる。以下のジャンベリの公式を用いると、すべてのシューベルト類はこれらの特殊類から生成できる。 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle a_{j}>0}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j},0,\ldots ,0)}}$ ${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{j})}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1}}}$

その他の表記規則

いくつかの文献^{[ 1 ] [ 2 ]}では、シューベルト細胞とシューベルト多様体はそれぞれ とと異なるラベルが付けられており、はを で で はを...${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle {\bar {S}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

${\displaystyle \lambda _{i}:=n-k-a_{k-i+1}}$ 、

そのヤング図は、長方形図内のの補図です（水平方向と垂直方向の両方で反転）。 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

と の別のラベル付け規則はそれぞれとで あり、ここで は次のように定義される多重インデックスである。 ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle C_{L}}$ ${\displaystyle {\bar {C}}_{L}}$ ${\displaystyle L=(L_{1},\dots ,L_{k})\subset (1,\dots ,n)}$

${\displaystyle L_{i}:=n-k-a_{i}+i=\lambda _{k-i+1}+i.}$

整数は、簡約された行列階段形式におけるの要素の表現のピボット位置です。 ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{k})}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }}$

説明

定義を説明するために、一般的な-平面を考えてみましょう。 の場合、との交差はゼロになりますが、 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j\leq n-k}$

${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)=i}$ のために${\displaystyle j=n-k+i\geq n-k.}$

例えば、 において、-平面は5つの独立した同次線形方程式からなる連立方程式の解空間です。これらの方程式は、の部分空間に制限されると一般に を張ります。この場合、解空間（ と の交点）は零ベクトルのみで構成されます。ただし、 の場合、と は必ず零でない交点を持ちます。例えば、 と の交点の期待される次元はであり、と の交点の期待される次元は であり、などとなります。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} (4,9)}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle j=\dim V_{j}\leq 5=9-4}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \dim(V_{j})+\dim(w)>n=9}$ ${\displaystyle V_{j}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{6}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{7}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle 2}$

シューベルト多様体の定義によれば、 の最初の値は、パラメータの期待値よりも一般に小さい。これらの制約によって与えられる-平面は、 の特別な部分多様体を定義する。^{[ 4 ]}${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \dim(V_{j}\cap w)\geq i}$ ${\displaystyle n-k+i}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

プロパティ

インクルージョン

全ての組には半順序が存在する。この場合、任意の に対してとなる。これにより、シューベルト多様体の包含が与えられる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {a} \geq \mathbf {b} }$ ${\displaystyle a_{i}\geq b_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \Sigma _{\mathbf {b} }\iff \mathbf {a} \geq \mathbf {b} ,}$

指標の増加は、サブ多様体のさら​​に大きな特殊化に対応します。

寸法式

シューベルト多様体の余次元は重みに等しい ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }}$

${\displaystyle |\mathbf {a} |=\sum a_{i}}$

分割の。あるいは、上記の表記法では、その次元は重み ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle S_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,n)}$

${\displaystyle |\lambda |=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}=k(n-k)-|\mathbf {a} |.}$

次元長方形ヤング図 における相補分割。${\displaystyle \lambda \subset (n-k)^{k}}$ ${\displaystyle k\times (n-k)}$

これはグラスマン多様体の包含に対して安定である。つまり、包含

${\displaystyle i_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n+1}),\quad \mathbf {C} ^{n}={\text{span}}\{e_{1},\dots ,e_{n}\}}$

によって 定義される、${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})}$

${\displaystyle i_{(k,n)}:w\subset \mathbf {C} ^{n}\mapsto w\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

特性を持つ

${\displaystyle i_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} },}$

そして包含

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:\mathbf {Gr} (k,n)\hookrightarrow \mathbf {Gr} (k+1,n+1)}$

各平面に追加の基底要素を追加して定義される平面は、 ${\displaystyle e_{n+1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k+1)}$

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}:w\mapsto w\oplus \mathbf {C} e_{n+1}\subset \mathbf {C} ^{n}\oplus \mathbf {C} e_{n+1}=\mathbf {C} ^{n+1}}$

同様に

${\displaystyle {\tilde {i}}_{(k,n)}^{*}(\sigma _{\mathbf {a} })=\sigma _{\mathbf {a} }.}$

したがって、と がグラスマン多様体 のセルとサブ多様体である場合、と の任意のペアに対して、 これらはグラスマン多様体 内のセルとサブ多様体として見ることもできます。 ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(n)}$ ${\displaystyle X_{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {a} }\subset \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{\tilde {k}}({\tilde {n}})}$ ${\displaystyle ({\tilde {k}},{\tilde {n}})}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}\geq k}$ ${\displaystyle {\tilde {n}}-{\tilde {k}}\geq n-k}$

交差積

交差積は、ピエリとジャンベリの公式を使用して初めて確立されました。

ピエリ式

特別な場合では、任意のシューベルト類との積の明示的な式が次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\ldots ,0)}$ ${\displaystyle \sigma _{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}}$

${\displaystyle \sigma _{b}\cdot \sigma _{a_{1},\ldots ,a_{k}}=\sum _{\begin{matrix}|c|=|a|+b\\a_{i}\leq c_{i}\leq a_{i-1}\end{matrix}}\sigma _{\mathbf {c} },}$

ここで、は分割の重みである。これはピエリの公式と呼ばれ、ジャンベリの公式と組み合わせることで、任意の2つのシューベルト類の交差積を求めることができる。例えば、 ${\displaystyle |\mathbf {a} |=a_{1}+\cdots +a_{k}}$ ${\displaystyle |\mathbf {c} |=c_{1}+\cdots +c_{k}}$

${\displaystyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{4,2,1}=\sigma _{5,2,1}+\sigma _{4,3,1}+\sigma _{4,2,1,1}.}$

そして

${\displaystyle \sigma _{2}\cdot \sigma _{4,3}=\sigma _{4,3,2}+\sigma _{4,4,1}+\sigma _{5,3,1}+\sigma _{5,4}+\sigma _{6,3}}$

ジャンベリ式

任意の長さの分割のシューベルト類は、特殊類を要素として持つ行列 の行列式として表現できます。${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {a} )\leq k}$ ${\displaystyle (k\times k)}$

${\displaystyle \sigma _{(a_{1},\ldots ,a_{k})}={\begin{vmatrix}\sigma _{a_{1}}&\sigma _{a_{1}+1}&\sigma _{a_{1}+2}&\cdots &\sigma _{a_{1}+k-1}\\\sigma _{a_{2}-1}&\sigma _{a_{2}}&\sigma _{a_{2}+1}&\cdots &\sigma _{a_{2}+k-2}\\\sigma _{a_{3}-2}&\sigma _{a_{3}-1}&\sigma _{a_{3}}&\cdots &\sigma _{a_{3}+k-3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sigma _{a_{k}-k+1}&\sigma _{a_{k}-k+2}&\sigma _{a_{k}-k+3}&\cdots &\sigma _{a_{k}}\end{vmatrix}}}$

これはジャンベリの公式として知られています。これは第一ヤコビ・トゥルーディ恒等式と同じ形を持ち、任意の シュアー関数を完全対称関数の行列式として 表します。 ${\displaystyle s_{\mathbf {a} }}$ ${\displaystyle \{h_{j}:=s_{(j)}\}}$

例えば、

${\displaystyle \sigma _{2,2}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{2}\end{vmatrix}}=\sigma _{2}^{2}-\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}}$

そして

${\displaystyle \sigma _{2,1,1}={\begin{vmatrix}\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}\\\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}\\0&\sigma _{0}&\sigma _{1}\end{vmatrix}}.}$

一般的なケース

任意のシューベルト類の組の間の交差積は 次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} },\sigma _{\mathbf {b} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }\sigma _{\mathbf {b} }=\sum _{\mathbf {c} }c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\sigma _{\mathbf {c} },}$

ここで、はリトルウッド・リチャードソン係数である。^{[ 5 ]}ピエリの公式は、が長さ のときの特別な場合である。 ${\displaystyle \{c_{\mathbf {a} \mathbf {b} }^{\mathbf {c} }\}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} =(b,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \ell (\mathbf {b} )=1}$

チャーン類との関係

グラスマン多様体のコホモロジー環、あるいはチャウ環は、上の二つの自然なベクトル束のチャーン類を用いて簡単に記述できる 。上のベクトル束の正確な列は${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle \mathbf {Gr} (k,V)}$

${\displaystyle 0\to T\to {\underline {V}}\to Q\to 0}$

ここで、 はトートロジーバンドルであり、その任意の元上の繊維は部分空間自身であり、 は階数 の自明なベクトルバンドルであり、は階数 の商ベクトルバンドルであり、 は繊維である。バンドルと のチャーン類 は 、${\displaystyle T}$ ${\displaystyle w\in \mathbf {Gr} (k,V)}$ ${\displaystyle w\subset V}$ ${\displaystyle \,{\underline {V}}:=\mathbf {Gr} (k,V)\times V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle V/w}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle c_{i}(T)=(-1)^{i}\sigma _{(1)^{i}},}$

ここで、ヤング図が長さの1つの列と ${\displaystyle (1)^{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle c_{i}(Q)=\sigma _{i}.}$

この同義語的順序により、チョウ環は次のように表現される。

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (k,V))={\frac {\mathbb {Z} [c_{1}(T),\ldots ,c_{k}(T),c_{1}(Q),\ldots ,c_{n-k}(Q)]}{(c(T)c(Q)-1)}}.}$

Gr(2,4)

解析された古典的な例の一つはグラスマン多様体である。これは 内の直線をパラメータ化するからである。チャウ環を用いることで、シューベルト計算は立方体曲面上の直線の数を計算するのに用いることができる。^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))}$

チャウリング

チャウリングにはプレゼンテーションがあります

${\displaystyle A^{*}(\mathbf {Gr} (2,4))={\frac {\mathbb {Z} [\sigma _{1},\sigma _{1,1},\sigma _{2}]}{((1-\sigma _{1}+\sigma _{1,1})(1+\sigma _{1}+\sigma _{2})-1)}}}$

次数付きアーベル群^{[ 6 ]}としては次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot 1\\A^{2}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{1}\\A^{4}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2}\oplus \mathbb {Z} \cdot \sigma _{1,1}\\A^{6}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,1}\\A^{8}(\mathbf {Gr} (2,4))&=\mathbb {Z} \cdot \sigma _{2,2}\\\end{aligned}}}$

立方体面上の線

における直線はの次元部分空間を与え、したがって の元を与えることを思い出してください。また、直線の方程式は の切断として与えることができます。3次曲面は一般的な同次3次多項式として与えられるので、これは一般的な切断 として与えられます。直線が の部分多様体であるためには、切断が 上で消える必要があります。したがって、のオイラー類を上で積分すると、 上で一般的な切断が消える点の数が得られます。オイラー類を得るためには、 の全体のチャーン類を計算する必要があり、これは次のように与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)\cong \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbb {G} (1,3),T^{*})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {G} (1,3),{\text{Sym}}^{3}(T^{*}))}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [L]\in \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} (1,3)}$ ${\displaystyle T^{*}}$

${\displaystyle c(T^{*})=1+\sigma _{1}+\sigma _{1,1}}$

分割式は次の式で表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T^{*})&=(1+\alpha )(1+\beta )\\&=1+\alpha +\beta +\alpha \cdot \beta \end{aligned}},}$

ここで、形式線束に対しては、 となる。分割方程式は、以下の関係を与える。 ${\displaystyle c({\mathcal {L}})=1+\alpha }$ ${\displaystyle c({\mathcal {M}})=1+\beta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}},{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\alpha +\beta }$ そして。${\displaystyle \sigma _{1,1}=\alpha \cdot \beta }$

は形式線束の直和として見ることができる ので${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})}$

${\displaystyle {\text{Sym}}^{3}(T^{*})={\mathcal {L}}^{\otimes 3}\oplus ({\mathcal {L}}^{\otimes 2}\otimes {\mathcal {M}})\oplus ({\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {M}}^{\otimes 2})\oplus {\mathcal {M}}^{\otimes 3}}$

その合計チャーン類は

${\displaystyle c({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))=(1+3\alpha )(1+2\alpha +\beta )(1+\alpha +2\beta )(1+3\beta ),}$

すると

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{4}({\text{Sym}}^{3}(T^{*}))&=3\alpha (2\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )3\beta \\&=9\alpha \beta (2(\alpha +\beta )^{2}+\alpha \beta )\\&=9\sigma _{1,1}(2\sigma _{1}^{2}+\sigma _{1,1})\\&=27\sigma _{2,2}\,,\end{aligned}}}$

という事実を利用して

${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2,1}\sigma _{1}=\sigma _{2,2}}$ そして${\displaystyle \sigma _{1,1}\cdot \sigma _{1,1}=\sigma _{2,2}.}$

は最上位クラスなので、積分は ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {G} (1,3)}27\sigma _{2,2}=27.}$

したがって、立方体の表面には線が存在します。 ${\displaystyle 27}$

参照

• 数え上げ幾何学
• チャウリング
• 交差理論
• グラスマン分布
• ジャンベリの式
• ピエリの式
• チャーンクラス
• 五重三重
• ミラー対称性予想

参考文献

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2. フルトン、ウィリアム(1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapter 9.4 . ロンドン数学会学生テキスト. 第35巻. ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244。
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