エタール射影

代数幾何学において、エタール射（仏: [etal] ）とは、形式的にエタールであり局所的に有限表示であるスキームの射である。エタール射はエタール被覆の概念と関連している。これは、複素解析的位相における局所同型の概念の代数的類似である。

これらは暗黙関数定理の仮定を満たすが、ザリスキー位相における開集合が非常に大きいため、必ずしも局所同型とは限らない。それにもかかわらず、エタール写像は局所解析同型の性質の多くを保持しており、代数的基本群やエタール位相を定義する際に有用である。

étaleという単語はフランス語の形容詞で、「緩い」という意味で、「緩い潮」のように使われ、比喩的には、穏やかで、動かず、落ち着くまで放置されたものを意味します。^{[ 1 ]}

意味

を環準同型とする。これは -代数を作る。の単項多項式との多項式を選び、の導関数が で単位となるようにする。が -代数として に同型であり、 が標準写像となるように選ぶことができるとき、は標準エタールであるという。 ${\displaystyle \phi :R\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$ ${\displaystyle \phi }$

をスキームの射とする。それが以下の同値な性質のいずれかを持つとき、 それはエタールであるという。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$

1. ${\displaystyle f}$ 平らで分岐していない。^{[ 2 ]}
2. ${\displaystyle f}$ は滑らかな射影であり、分岐していない。^{[ 2 ]}
3. ${\displaystyle f}$ は平坦で、局所的には有限の表示であり、 の任意の に対して、ファイバーは点の互いに素な和集合であり、各点は留数体 の有限可分体拡大のスペクトルである。^{[ 2 ]}${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$
4. ${\displaystyle f}$ は平坦で、局所的に有限表示であり、 の任意のと留数体 の任意の代数閉包に対して、幾何学的ファイバーは に同型な点の互いに素な和集合である。^{[ 2 ]}${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle k'}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _{\kappa (y)}k'}$ ${\displaystyle {\mbox{Spec }}k'}$
5. ${\displaystyle f}$ は相対次元ゼロの滑らかな射影である。 ^{[ 3 ]}
6. ${\displaystyle f}$ は滑らかな射影であり、局所的に準有限な射影である。^{[ 4 ]}
7. ${\displaystyle f}$ は局所的に有限表示であり、局所的に標準的なエタール射である。つまり、

   の任意の に対して、 とする。すると、 の開アフィン近傍との開アフィン近傍が存在し、そのような はに含まれ、によって誘導される環準同型は標準エタールとなる。^{[ 5 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle R\rightarrow S}$ ${\displaystyle f}$

8. ${\displaystyle f}$ は局所的に有限の表示であり、形式的にはエタールである。^{[ 2 ]}
9. ${\displaystyle f}$ は局所的に有限表示であり、局所環からの写像に対して形式的にエタールである。つまり、

   を局所環とし、をのイデアルとして とする。 ととし、 を標準的な閉浸漬とする。を の閉点とする。 を とする射とすると、となるような-射が一意に存在する。^{[ 6 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=\オペレータ名 {スペック} A}$ ${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Spec} A/J}$ ${\displaystyle i\colon Z_{0}\rightarrow Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y}$ ${\displaystyle g_{0}\colon Z_{0}\rightarrow X}$ ${\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g\colon Z\rightarrow X}$ ${\displaystyle gi=g_{0}}$

が局所的にネーターであり、f が局所的に有限型であると仮定する。において、と を完備局所環上の誘導写像とする。このとき、以下は同値である。 ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$

1. ${\displaystyle f}$ étaleです。
2. の任意のに対して、完備局所環上の誘導写像は進位相に対して形式的にエタールである。^{[ 7 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$
3. の任意のに対して、は自由加群であり、ファイバーは留数体 の有限可分体拡大である体である。^{[ 7 ]} （ここではの最大イデアルである。）${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle m_{y}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$
4. ${\displaystyle f}$ は、以下の追加の性質を持つ局所環の写像に対して形式的にエタールである。局所環はアルティン写像であると仮定できる。が の最大イデアルであるならば、 はを満たすと仮定できる。最後に、剰余体上の射は同型であると仮定できる。^{[ 8 ]}${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle mJ=0}$ ${\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m}$

さらに剰余体上の写像がすべて同型であるか、またはが分離的に閉じている場合、 がエタールであるための必要十分条件は、 の任意の に対して、完備局所環上の誘導写像が同型である場合である。^{[ 7 ]}${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$ ${\displaystyle \kappa (y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

例

任意の開浸は局所的に同型なのでエタールです。

被覆空間はエタール射の例となる。例えば、環において逆整数が可逆であれば 、${\displaystyle d\geq 1}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

は次数エタール射です。 ${\displaystyle d}$

分岐した被覆に は分岐していない場所がある ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

それはエタールです。

モルフィズム

${\displaystyle {\text{Spec}}(L)\to {\text{Spec}}(K)}$

有限可分体拡大によって誘導される はエタールであり、によって与えられるデッキ変換の群を持つ算術被覆空間を形成します。 ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$

の形 の任意の環準同型（ただし、 はすべて多項式であり、ヤコビ行列式は の単位である）はエタールである。例えば、 射はエタールであり、デッキ変換群の の次数被覆空間に対応する。 ${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$

前の例を拡張して、滑らかな複素代数多様体の射があると仮定します。は方程式で与えられるので、これを複素多様体の写像として解釈できます。 のヤコビアンが非零であるときはいつでも、暗黙関数定理により、 は複素多様体の局所同型となります。前の例によれば、ヤコビアンが非零であることはエタールであることと同じです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

を有限型の優勢射とし、X 、 Yは局所ノイザン、既約、Y は正規とする。f が非分岐ならば、エタールである。^{[ 9 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$

体Kに対して、任意のK代数Aは必ず平坦となる。したがって、Aがエタール代数となるための必要十分条件は、それが非分岐であることである。これはまた、次式と同値である。

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

ここで は体Kの可分閉包であり、右辺は有限直和であり、そのすべての被加数は である。エタールK代数のこの特徴付けは、古典ガロア理論を再解釈するための足がかりとなる（グロタンディークのガロア理論 を参照）。 ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle {\bar {K}}}$

プロパティ

• エタール射は、合成および基底変化の下で保存されます。
• エタール射はソースとベースの両方において局所的である。言い換えれば、 がエタールであるための必要十分条件は、 の開部分スキームによる各被覆に対して、の被覆の各開部分スキームへの制約がエタールであることであり、また の開部分スキームによる各被覆に対して、誘導された射が被覆の各部分スキームに対してエタールであることである。特に、開アフィン においてエタールであるという性質をテストすることができる。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$
• エタール射の有限族の積はエタールである。
• 有限の射の族が与えられたとき、各々がエタールである場合に限り、分離和はエタールである。${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$ ${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$
• ととし、 が非分岐でエタールであると仮定する。すると はエタールとなる。特に、と が上エタールであるならば、との間の任意の -写像はエタールとなる。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$
• 準コンパクトエタール射は準有限です。
• 射が開浸である場合、かつその射がエタールかつ根基的である場合に限ります。^{[ 10 ]}${\displaystyle f:X\to Y}$
• がエタールかつ射影的である場合 、 （有限またはそうでない）となります。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \dim X=\dim Y}$

逆関数定理

エタール射

f : X  →  Y

は局所微分同相写像の代数的対応物である。より正確には、滑らかな多様体間の射が点においてエタールとなるためには、対応する接空間間の微分が同型となる必要がある。これは、多様体間の写像が局所微分同相写像となるために必要な条件と全く同じである。すなわち、任意の点y ∈ Yに対して、 xの開近傍Uが存在し、fのUへの制限が微分同相写像となる。この結論は代数幾何学では成立しない。なぜなら、位相が粗すぎるからである。例えば、放物線の射影fを考える。

y  =  x ²

y軸に。この射は原点(0, 0)を除くすべての点でエタールである。なぜなら、微分は2 xで与えられ、これらの点ではゼロにならないからである。

しかし、平方根が代数写像ではなく、多項式で与えられないため、fの (ザリスキー) 局所逆は存在しません。 ただし、エタール位相を使用することで、この状況に対処することができます。 正確な記述は次のとおりです。 がエタールかつ有限である場合、 Yにある任意の点yに対して、その像にy を含むエタール射V → Yが存在し ( V はyのエタール開近傍と考えることができます)、 f をVに基底変換すると、 (最初の要素は、 V がザリスキー開近傍である場合にfによるVの逆像になります) は、 Vと同型の開部分集合の有限な分離和になります。 言い換えると、Yでエタール局所的に、射fは位相有限被覆です。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$

相対次元nの滑らかな射に対して、XとYにおいてエタール局所的であるf は、アフィン空間への開浸漬である。これは、浸漬に関する構造定理のエタール類似版である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$

参照

• 純粋性（代数幾何学）

参考文献

1. fr: Trésor de la langue française informationisé、「étale」記事
2. EGA IV ₄、コロレア 17.6.2。
3. EGA IV ₄、コロレール 17.10.2。
4. EGA IV ₄、コロレア 17.6.2 およびコロレア 17.10.2。
5. ミルン、エタールのコホモロジー、定理 3.14。
6. EGA IV ₄、コロレール 17.14.1。
7. EGA IV ₄、提案 17.6.3
8. EGA IV ₄、命題17.14.2
9. SGA1、エクスポゼI、9.11
10. EGA IV ₄、テオレム 17.9.1。

参考文献

• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• アレクサンドル・グロタンディーク; Jean Dieudonné (1964)、「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、20 : 5– 259、土井：10.1007/bf02684747、S2CID  118147570
• アレクサンドル・グロタンディーク; Jean Dieudonné (1964)、「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première party」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、20 : 5– 259、土井：10.1007/bf02684747、S2CID  118147570
• グロタンディーク、アレクサンドル。 Jean Dieudonné (1967)、「Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la Collaboration de Jean Dieudonné) : IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième party」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、32 : 5– 333、土井：10.1007/BF02732123、S2CID  189794756
• アレクサンドル・グロタンディーク; Raynaud, Michele (2003) [1971]、Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe Fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 )、パリ: Société Mathématique de France、xviii+327、arXiv : math.AG/0206203、ISBN 978-2-85629-141-2
• JS ミルン(1980)、エタール コホモロジー、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、ISBN 0-691-08238-3
• JSミルン（2008）エタールコホモロジー講義