直角

直角は90度に等しい。

直線（CD）と直角になるように描かれた線分（AB）

幾何学と三角法では、直角は正確に90度または⁠${\displaystyle \pi }$ /2⁠ラジアン^{[ 1 ]}は1/4回転に相当します。^{[ 2 ]}光線の終点が一直線上にあり、隣接する角度が等しい場合、それらは直角です。[ ^{3 ]この}用語はラテン語のangulus rectusからの派生語で、ここでrectusは「直立」を意味し、水平の基線に対して垂直な垂直線を指します。

密接に関連し重要な幾何学的概念として、交点で直角を形成する直線を意味する垂線と、直角を形成する性質（通常はベクトルに適用される）である直交性があります。三角形に直角が存在することは、直角三角形を定義する要素であり、^{[ 4 ]}直角は三角法の基本となっています。

語源

直角の「right」の意味は、ラテン語の形容詞rectus（直立した、真っ直ぐな、垂直な）に由来していると考えられます。ギリシャ語の同義語はorthos （真っ直ぐな、垂直な）です（直交性を参照）。

初等幾何学では

長方形は4つの直角を持つ四角形です。正方形は4つの直角に加えて、辺の長さが等しいです。

ピタゴラスの定理は、三角形が直角三角形であるかどうかを判断する方法を述べています。

シンボル

直角三角形。直角は小さな四角で示されている。

直角を図式的に示す別の方法として、角度曲線と小さな点を使用する方法があります。

Unicodeでは、直角の記号はU+221F ∟直角( ∟ )である。これは、似た形の記号U+231E ⌞左下角( ⌞, ⌞ )と混同してはならない。関連記号には、U+22BE ⊾円弧付き直角( ⊾ )、U+299C ⦜正方形付き直角異形( ⦜ )、U+299D ⦝点付き実直角( ⦝ )がある。^{[ 5 ]}

図表において、ある角度が直角であるという事実は、通常、図表中の角度と正方形を形成する小さな直角を右に付け加えることで表現されます。例えば、右向きの直角三角形（イギリス英語ではrightangled triangle）の図がこれにあたります。測定角度を表す記号である円弧と点の組み合わせは、ドイツ語圏やポーランドを含む一部のヨーロッパ諸国で、直角の代替記号として使用されています。^{[ 6 ]}

ユークリッド

直角はユークリッドの『原論』において基本的な概念です。直角は第1巻の定義10で定義されており、垂直線も定義されています。定義10は数値的な度数ではなく、直角の核心、すなわち2本の直線が交差して等しい隣接する2つの角度を形成するという点に触れています。^{[ 7 ]} 直角を形成する直線は垂直と呼ばれます。^{[ 8 ]} ユークリッドは定義11と12で直角を用いて鋭角（直角より小さい角）と鈍角（直角より大きい角）を定義しています。^{[ 9 ]} 2つの角の和が直角である場合、それらの角は補角と呼ばれます。^{[ 10 ]}

第1巻公準4は、すべての直角は等しいと述べており、ユークリッドは直角を他の角度を測る単位として用いることを可能にしている。ユークリッドの注釈者プロクロスは、この公準の証明を先行する公準を用いて行ったが、この証明には隠れた仮定がいくつか含まれているという反論もある。サッケリも証明を行っているが、より明確な仮定を用いている。ヒルベルトの幾何学の公理化において、この記述は定理として与えられているが、それは多くの基礎研究の末になされたものである。たとえ公準4が先行する公準から証明できたとしても、ユークリッドが提示した順序においては、公準4を含めなければならないという意見もある。なぜなら、公準4がなければ、直角を測量の単位とする公準5は意味をなさないからである。^{[ 11 ]}

他の単位への変換

直角はさまざまな単位で表すことができます。

• ⁠1/4⁠ターン
• 90°（度）
• ⁠π/2⁠ラジアン
• 100 grad（グレード、グラジアン、ゴンとも呼ばれる）
• 8ポイント（32ポイントのコンパスローズのうち）

3-4-5のルール

歴史を通して、大工や石工は角度が真の直角であるかどうかを確認する簡単な方法を知っていました。それはピタゴラスの定理（3、4、5）と3-4-5の法則に基づいています。問題の角度から、一方の辺にちょうど3単位の長さの直線を引いて、もう一方の辺にちょうど4単位の長さの直線を引くと、ちょうど5単位の長さの斜辺（直角の反対側にある、測定された2つの端点を結ぶ長い方の線）ができます。

タレスの定理

点Pから半直線hへの垂線の作成（終点AだけでなくMも自由に選択可能）、最後に10秒間停止するアニメーション

Pが半直線hの外側にあり、AからP'までの距離が小さい場合（Bは自由に選択可能）、アニメーションの最後に10秒間の一時停止がある

タレスの定理は、半円に内接する角度（半円上に頂点があり、その定義光線が半円の端点を通過する角度）は直角であると述べています。

直角とタレスの定理が組み込まれた 2 つの応用例 (アニメーションを参照)。

一般化

球面の八分円（3つの直角を持つ球面三角形）によって囲まれる立体角はπ /2  srに等しい。^{[ 12 ]}

参照

• 直交座標系
• 角度の種類

参考文献

1. 「直角」 . Math Open Reference . 2017年4月26日閲覧。
2. ウェントワース p. 11
3. ウェントワース p.8
4. ウェントワース p. 40
5. Unicode 5.2 文字コード表数学演算子、その他の数学記号-B
6. ミュラー・フィリップ、スザンヌ;ゴルスキ、ハンス＝ヨアヒム（2011）。ライトファーデン幾何学[ハンドブック幾何学] (ドイツ語)。スプリンガー。ISBN 9783834886163。
7. ヒース p. 181
8. ヒース p. 181
9. ヒース p. 181
10. ウェントワース p. 9
11. Heath pp. 200–201の段落
12. "octant" . PlanetMath.org . 2013年3月22日. 2024年10月21日閲覧。

• ウェントワース、ジョージア州 (1895). 『幾何学の教科書』 . ギン＆カンパニー.
• ユークリッド、 TLヒース著 解説・訳『Elements Vol. 1』（1908年ケンブリッジ）Googleブックス