加速度

ドラッグレースは、特別に作られた車両が停止状態から最も速く加速するかを競うスポーツです。

力学において、加速度とは物体の速度の時間に対する変化率である。加速度は運動学（運動を研究する学問）の構成要素の一つである。加速度はベクトル量である（つまり、大きさと方向を持つ）。^[1]^{[2]物体の加速度の向きは、その物体に作用する}正味の力の向きによって決まる。ニュートンの運動の第二法則^[3]で説明されるように、物体の加速度の大きさは、以下の2つの原因の複合的な効果である。

その物体に作用するすべての外力の正味のバランス— 大きさはこの結果として生じる正味の力に正比例します。
物体の質量は、その物体が作られている材料によって異なります。大きさは物体の質量に反比例します。

加速度のSI単位はメートル毎秒2乗（m⋅s ⁻²、）です。 $\mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}}$

たとえば、乗り物が停止状態（慣性座標系で速度ゼロ）から直線上を速度を上げながら移動する場合、乗り物は移動方向に加速しています。乗り物が方向転換すると、新しい方向に向かって加速が発生し、運動ベクトルが変わります。乗り物の現在の移動方向の加速は直線加速度（円運動では接線加速度）と呼ばれ、搭乗している乗客は、座席に押し戻される力としてその反応を感じます。方向転換時に発生する加速度は、半径方向加速度または法線加速度（円運動では求心加速度）と呼ばれ、搭乗者は、遠心力としてその反応を感じます。乗り物の速度が低下する場合、これは速度ベクトルの反対方向の加速であり、減速 [4] [5] または減速と呼ばれることもあり、^搭乗^者は減速に対する反応を、前方に押される慣性力として感じます。このような減速は、宇宙船での逆噴射ロケットの燃焼によってよく行われます。^[6]加速と減速はどちらも速度の変化であるため、同じように扱われます。これらの加速度（接線方向、半径方向、減速）は、速度変化による加速度に対する相対速度（差速度）が相殺されるまで、乗客に感じられます。

定義と特性

古典粒子の運動量: 質量 $m$ 、位置 $r$ 、速度 $v$ 、加速度 $a$ 。

平均加速度

ある期間における物体の平均加速度は、その速度の変化をその期間の長さで割ったものである。数学的には、 $\Delta \mathbf {v}$ $\Delta t$ ${\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.$

瞬間加速

一方、瞬間加速度は、微小な時間間隔における平均加速度の極限です。微積分学の用語で言えば、瞬間加速度は速度ベクトルの時間微分です。加速度は速度 $v$ $の時間t$ に関する微分として定義され、速度は位置 $x$ の時間微分として定義されるため、加速度は $x$ の $t$ に関する2次微分と考えることができます。 $\mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}.$ $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}.$

(ここでも他の場所でも、運動が直線上にある場合、方程式ではベクトル量をスカラーに置き換えることができます。)

微積分の基本定理によれば、加速度関数 $a$ $($ $t$ $)の$ 積分は速度関数 $v$ $($ $t$ $)$ であることがわかります。つまり、加速度対時間 ( $a$ vs. $t$ ) のグラフの曲線の下の面積は速度の変化に対応します。 $Δ v = ∫ a d t 。 {\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$

同様に、加速度関数の微分であるジャーク関数 $j (t)$ の積分は、特定の時間における加速度の変化を求めるのに使用できます。 $\Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.$

ユニット

加速度は、速度（L/T）を時間で割った値、つまり L T ⁻²で表されます。加速度のSI単位系はメートル毎秒の2乗（ms ⁻²）です。これは、メートル毎秒の速度が毎秒加速度値だけ変化するため、「メートル毎秒/秒」とも呼ばれます。

その他の形態

円運動する物体（例えば地球を周回する衛星）は、速度が一定であっても、運動方向の変化によって加速します。この場合、物体は求心性（中心に向かう）加速を受けていると言われます。

固有加速度、つまり自由落下状態に対する物体の加速度は、加速度計と呼ばれる計測器によって測定されます。

古典力学では、一定質量の物体の場合、物体の質量中心の（ベクトル）加速度は、その物体に作用する正味の力のベクトル（すなわち、すべての力の合計）に比例します（ニュートンの運動の第2法則）。 $F = m a ⟹ a = F m 、 {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$ ここで、 $F$ は物体に作用する正味の力、 $m$ は物体の質量、 $a$ は質量中心の加速度です。速度が光速に近づくにつれて、相対論的効果はますます大きくなります。

接線加速度と求心加速度

曲線経路上を移動する粒子の速度は、時間の関数として次のように表すことができます。ここで、 $vは$ 経路に沿った移動速度に等しく、経路に接する単位ベクトルは、選択された時点における運動方向を指します。速度 $vの変化と$ $u$ $t$ の変化方向の両方を考慮すると、曲線経路上を移動する粒子の加速度は、 2つの時間関数の積に対する微分連鎖律^[7]を用いて次のように表すことができます。 $\mathbf {v} =v{\frac {\mathbf {v} }{v}}=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} },$ $\mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} }{v}}\,,$

${\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v{\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\end{alignedat}}$

ここで、 $u n$ は粒子の軌道に対する単位（内向き）法線ベクトル（主法線とも呼ばれる）であり、 $r は$ 時刻 $tにおける$ 接触円に基づく瞬間曲率半径である。これらの成分はそれぞれ接線加速度と法線加速度または半径加速度（円運動における求心加速度。円運動と求心力も参照）と呼ばれる。 $\mathbf {a} _{\mathrm {t} }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }\quad {\text{and}}\quad \mathbf {a} _{\mathrm {c} }={\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }$

接線、（主）法線、従法線を説明する3次元空間曲線の幾何学的解析は、フレネ・セレの公式によって記述される。^[8]^[9]

特殊なケース

均一な加速度

等加速度または一定加速度は、物体の速度が一定の時間ごとに等量変化するタイプの運動です。

等加速度の例としてよく挙げられるのは、一様な重力場における自由落下中の物体です。運動抵抗がない場合、落下する物体の加速度は、重力場の強さ $g$ （重力加速度とも呼ばれます）のみに依存します。ニュートンの運動の第二法則によれば、物体に作用する力は次のように表されます。 $\mathbf {F_{g}}$ $\mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .$

一定加速度の場合の単純な解析的性質のため、変位、初期速度と時間依存速度、加速度と経過時間を関連付ける簡単な式が存在する：^[10] ${\begin{aligned}\mathbf {s} (t)&=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}],\end{aligned}}$

どこ

$t$ 経過時間です。
$\mathbf {s} _{0}$ は原点からの初期変位であり、
$\mathbf {s} (t)$ は時刻における原点からの変位であり、 $t$
$\mathbf {v} _{0}$ 初速度、
$\mathbf {v} (t)$ は時刻における速度であり、 $t$
$\mathbf {a}$ 等加速度です。

特に、この運動は2つの直交する部分に分解することができ、一つは等速度部分、もう一つは上記の式に従う。ガリレオが示したように、最終的な結果は放物線運動であり、これは例えば、地球表面付近の真空中における発射体の軌道を記述する。^[11]

円運動

平面極座標における運動ベクトル。設定は2次元空間に限定されず、任意の高次元の任意の曲線上の点における接触平面を表すことができることに注意してください。

等速円運動、つまり円軌道に沿って一定の速度で運動する場合、粒子は速度ベクトルの方向の変化によって加速度を経験しますが、その大きさは一定です。曲線上の点の位置の時間微分、つまりその速度は、常に曲線に正確に接線方向、つまりこの点における半径に直交することがわかります。等速運動では接線方向の速度は変化しないため、加速度は円の中心を指す半径方向でなければなりません。この加速度は、速度の方向を隣接する点に接するように常に変化させ、それによって速度ベクトルを円に沿って回転させます。

与えられた速度に対して、この幾何学的に生じる加速度（求心加速度）の大きさは円の半径に反比例し、この速度の2乗に比例して増加します。 $a c = v 2 r 。 {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$ $v$ $r$
与えられた角速度に対して、求心加速度は半径に正比例します。これは速度が半径に依存するためです。 $\omega$ $r$ $v$ $r$ $v=\omega r.$

求心加速度ベクトルを極座標で表すと、円の中心から粒子までの距離に等しい大きさのベクトルを描き、中心に向かう加速度の向きを考慮すると、次の式が得られる。 $\mathbf {r}$ $\mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.$

回転では通常、粒子の速度は、距離にある点に対する角速度として $ω = v r として表すことができます。{\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$ $v$ $r$

したがって $\mathbf {a} _{c}=-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.$

この加速度と粒子の質量は、粒子を等速円運動に保つために作用する正味の力として、円の中心に向かう必要な向心力を決定します。物体に対して外側に作用しているように見えるいわゆる「遠心力」は、円運動中の物体の座標系において、物体の直線運動量（運動円に接するベクトル）によって生じる、いわゆる擬似的な力です。

非一様円運動、すなわち曲線経路に沿った速度が変化する運動においては、加速度は曲線の接線方向に非ゼロ成分を持ち、接触円の中心に向く主法線に限定されず、この主法線が求心加速度の半径を決定します。接線方向成分は角加速度、すなわち角速度の変化率と半径の積で与えられます。つまり、 $r$ $\alpha$ $\alpha ={\dot {\omega }}$ $\omega$ $r$ $a_{t}=r\alpha .$

加速度の接線成分の符号は角加速度( )の符号によって決まり、接線は常に半径ベクトルに対して直角を向きます。 $\alpha$

座標系

多次元直交座標系では、加速度は座標系の各次元軸に対応する成分に分解される。x軸とy軸がある2次元システムでは、対応する加速度成分は次のように定義される^[12]。2 次元加速度ベクトルは次のように定義される。このベクトルの大きさは、距離の公式によって求められる。z軸が追加された3次元システムでは、対応する加速度成分は次のように定義される。3 次元加速度ベクトルは次のように定義され、その大きさは次のように決定される。 ${\begin{aligned}a_{x}&={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\\a_{y}&={\frac {dv_{y}}{dt}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}.\end{aligned}}$ $\mathbf {a} =\langle a_{x},a_{y}\rangle$ $|a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}.$ $a_{z}={\frac {dv_{z}}{dt}}={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}.$ $\mathbf {a} =\langle a_{x},a_{y},a_{z}\rangle$ $|a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.$

相対性との関係

特殊相対性理論

特殊相対性理論は、真空中を光速に近い速度で移動する物体の相対的な挙動を記述する。ニュートン力学は現実の近似であり、低速域では高い精度で成立することが明らかにされている。しかし、関連する速度が光速に近づくにつれて、加速度はもはや古典的な方程式に従わなくなる。

速度が光速に近づくにつれて、与えられた力によって生じる加速度は減少し、光速に近づくと極めて小さくなります。質量を持つ物体は漸近的にこの速度に近づくことはできますが、到達することはできません。

一般相対性理論

物体の運動状態が不明な限り、観測された力が重力によるものか加速度によるものかを見分けることは不可能である。重力と慣性加速度は同一の効果を持つ。アルバート・アインシュタインはこれを等価原理と呼び、重力を含め全く力を感じない観測者だけが、加速していないと結論付ける正当性があると述べた。^[13]

コンバージョン

参照

参考文献

^ ボンディ、ヘルマン（1980年）『相対性と常識』クーリエ・ドーバー出版、3頁。ISBN 978-0-486-24021-3。
^ レーマン、ロバート・L. (1998). 『物理学の簡単な方法』バロンズ教育シリーズ. pp. 27. ISBN 978-0-7641-0236-3。
^ クルー、ヘンリー (2008). 『力学の原理』ビブリオバザール LLC. p. 43. ISBN 978-0-559-36871-4。
^ P. Smith; RC Smith (1991). Mechanics (第2版、イラスト入り、復刻版). John Wiley & Sons. p. 39. ISBN 978-0-471-92737-2。39ページの抜粋
^ ジョン・D・カトネル、ケネス・W・ジョンソン (2014). 物理学第1巻：第1章～第17章、第1巻（初版、イラスト入り）。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。36ページ。ISBN 978-1-118-83688-0。36ページの抜粋
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^ Weisstein, Eric W. 「Chain Rule」. Wolfram MathWorld . Wolfram Research . 2016年8月2日閲覧。
^ ラリー・C・アンドリュース、ロナルド・L・フィリップス (2003). エンジニアと科学者のための数学的手法. SPIE Press. p. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3。
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^ David C. Cassidy、Gerald James Holton、F. James Rutherford (2002). Understanding physics. Birkhäuser. p. 146. ISBN 978-0-387-98756-9。
^ 「ファインマン物理学講義第1巻第9章ニュートンの力学法則」www.feynmanlectures.caltech.edu . 2024年1月4日閲覧。
^ グリーン、ブライアン（2005年2月8日）『宇宙の構造：空間、時間、そして現実の質感』ヴィンテージ、67頁。ISBN 0-375-72720-5。

外部リンク

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