微積分

微積分学は、幾何学が形状の研究であり、代数学が算術演算の一般化の研究であるのと同じように、連続的な変化を数学的に研究する学問です。

微積分学は元々 「微分積分学」あるいは「無限小の微積分学」と呼ばれ、微分積分学と積分積分学という二つの主要な分野から成ります。前者は瞬間的な変化率と曲線の傾きを扱い、後者は量の累積と曲線の下または曲線間の面積を扱います。これら二つの分野は、微積分学の基本定理によって相互に関連しています。これらは、無限列と無限級数が明確に定義された極限に収束するという基本的な概念を利用しています。^[1]これは、変数が時間や他の参照変数によって変化する問題を扱うための「数学のバックボーン」です。^[2]

微積分学は、17世紀後半にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって別々に定式化されました。^{[3] [4]}極限の概念の体系化を含むその後の研究により、これらの発展はより確固たる概念的基盤の上に築かれました。微積分学に見られる概念と手法は、科学、工学、そして数学の他の分野において多様な応用があります。^{[5] [6]}

語源

数学教育において、微積分学は無限小微積分学と積分微積分学の両方の略語であり、初等的な数学的解析の過程を指します。

ラテン語でcalculusは「小さな小石」（「石」を意味するcalxの縮小語）を意味し、この意味は今でも医学の世界で生き続けています。そのような小石は距離を数えたり、^[7]投票を集計したり、そろばんを使った計算をしたりするのに使われていたため、この語はラテン語で計算を意味するようになりました。この意味で、この語は少なくとも1672年には英語で使用されていました。これは、数学書をラテン語で書いたライプニッツとニュートンが出版する数年前のことです。^[8]

微分計算や積分計算に加えて、この用語は特定の計算手法や、何らかの計算を暗示する理論を指す場合にも用いられます。例としては、命題計算、リッチ計算、変分計算、ラムダ計算、シークエント計算、プロセス計算などが挙げられます。さらに、「計算」という用語は倫理学や哲学においても、ベンサムの 幸福計算や倫理計算といった体系に多様に用いられてきました。

歴史

現代微積分学は、17世紀ヨーロッパでアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって（それぞれ独立して、ほぼ同時期に初版を出版）発展しました。その要素は、古代エジプト、後にギリシャ、そして中国と中東、そしてさらに後に中世ヨーロッパとインドに初めて現れました。

古代の先駆者

エジプト

積分学の目的の一つである体積と面積の計算は、エジプトの モスクワ・パピルス（紀元前 1820 年頃）に見られるが、その公式は簡単な指示であり、どのようにして得られたのかは示されていない。^{[9] [10]}

ギリシャ

アルキメデスは著書『放物線の求積法』の中で、消尽法を用いて放物線の下の面積を計算しました。

積分学の基礎を築き、極限の概念を予見した古代ギリシャの数学者クニドスのエウドクソス（紀元前390年頃 -紀元前 337 年）は、円錐とピラミッドの体積の公式を証明するための尽きる法を考案しました。

ヘレニズム時代、この方法はアルキメデス（紀元前 287年頃 - 紀元前 212年頃）によってさらに発展させられ、彼はこれを無限小の先駆けである不可分数 の概念と組み合わせることで、現在積分学で扱われているいくつかの問題を解くことを可能にした。『力学的定理の方法』では、例えば、立体半球の重心、円放物面の錐台（ふくしゅう）の重心、放物線とその割線によって囲まれた領域の面積の計算について述べている。^[11]

中国

尽量の法は後に中国で3世紀に劉徽によって円面積を求めるために独自に発見されました。 ^{[12] [13]} 5世紀には祖崇志の息子である祖庚之が球体の体積を求めるための方法を確立しました。 ^{[14] [15]これは後に}カヴァリエリの原理と呼ばれることになります。

中世

中東

中東では、ハサン・イブン・アル＝ハイサム（ラテン語表記はアルハゼン、紀元 965年頃 ～ 1040年頃）が、 4乗の和の公式を導き出しました。彼は、任意の負でない整数値⁠ ⁠に対して、（現代の記法では積分に相当する）で表される曲線で囲まれた面積を計算する方程式を決定しました。^[16]彼はその結果を使って、現在では積分と呼ばれるこの関数の計算を行い、積分の平方和と4乗の公式を使って放物面の体積を計算することができました。^[17] ${\displaystyle y=x^{k}}$ ${\textstyle \int x^{k}dx}$ ${\displaystyle k}$

インド

バースカラ2世（c.  1114–1185）は微分積分学のいくつかの考えを知っていて、「微分係数」は関数の極値でゼロになることを示唆した。^[18]彼は天文学の研究で、無限小法の前身となるような手順を示した。すなわち、 ならばこれは、コサインがサインの導関数であるという発見と解釈できる。^[19] 14世紀、インドの数学者は、微分に似た非厳密な方法を示したが、これは一部の三角関数に適用できる。サンガマグラマのマダヴァとケーララ天文学数学学派は微積分の構成要素を述べた。彼らは、 、、およびのマクローリン展開と等価な級数を、ヨーロッパに導入される200年以上前に研究した。 ^{[20]しかし、}ビクター・J・カッツによれば、彼らは「微分と積分という二つの統一テーマの下に多くの異なる考え方を組み合わせ、両者の関係を示し、微積分を今日の偉大な問題解決ツールに変えることはできなかった」とのことである。^[17]${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y).}$ ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle \arctan(x)}$

ヨーロッパ

連続性に関する数学的研究は、14世紀にオックスフォード計算者とニコル・オレームをはじめとするフランスの協力者によって復活しました。彼らは「マートン平均速度定理」を証明しました。これは、等加速物体は、その最終速度の半分の速度で等速移動する物体と同じ距離を移動するというものです。^[21]

モダンな

ヨハネス・ケプラーの著書『立体測量法』（1615年）は積分学の基礎となった。^[22]ケプラーは楕円の焦点から引いた多数の半径の長さを合計することで楕円の面積を計算する方法を開発した。^[23]

ボナヴェントゥラ・カヴァリエリが著したケプラー法^[23]を源流とする論文において、重要な研究が行われた。カヴァリエリは、体積と面積は無限に薄い断面積の体積と面積の和として計算されるべきであると主張した。この考え方はアルキメデスの『方法』に類似していたが、この論文は13世紀に失われたと考えられており、20世紀初頭に再発見されたため、カヴァリエリは知らなかったと思われる。カヴァリエリの研究は、彼の方法が誤った結果をもたらす可能性があり、彼が導入した微小量も当初は評判が悪かったため、あまり評価されていなかった。

微積分の正式な研究は、カヴァリエリの無限小数と、ほぼ同時期にヨーロッパで発展した差分積分学を結びつけた。ピエール・ド・フェルマーは、ディオファントスから借用したと主張し、無限小の誤差項までの等式を表す「アデコレクトネス」の概念を導入した。 ^{[24]この統合は}、ジョン・ウォリス、アイザック・バロー、ジェームズ・グレゴリーによって達成され、後者2人は1670年頃に微積分学の第二基本定理の先駆者であることが証明された。^{[25] [26]}

積の法則と連鎖律^[27]、高階導関数とテイラー級数^[28]の概念、解析関数^[29]は、アイザック・ニュートンによって独特の記法で使用され、彼はこれを数理物理学の問題を解くために適用した。ニュートンは、その著作の中で、当時の数学の用語に合うように自分の考えを言い換え、無限小での計算を、非の打ち所がないと考えられていた同等の幾何学的議論に置き換えた。彼は、惑星の運動、回転する流体の表面の形状、地球の扁平率、サイクロイド上を滑る重りの運動、および彼の著書『プリンキピア』 （1687年）で論じた他の多くの問題を解決するために微積分の方法を使用した。他の著作では、分数べき乗と無理数べき乗を含む関数の級数展開を展開しており、彼がテイラー級数の原理を理解していたことは明らかであった。彼はこれらの発見のすべてを公表したわけではなく、当時は微量測定法は依然として評判の悪いものと考えられていた。^[30]

これらのアイデアは、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって真の微積分学へとまとめ上げられたが、彼は当初ニュートンから盗作の疑いをかけられていた。 ^[31]現在では、彼は微積分学の独立した発明者であり貢献者とみなされている。彼の貢献は、微分量を扱うための明確な規則群を提供し、2次以上の導関数の計算を可能にし、積分法と連鎖律を微分・積分形式で提供した点にある。ニュートンとは異なり、ライプニッツは表記法の選択に細心の注意を払った。^[32]

今日では、ライプニッツとニュートンは、通常、それぞれ独立して微積分を発明し発展させた功績を認められています。ニュートンは微積分を一般物理学に初めて応用した人物です。ライプニッツは、今日の微積分で使用されている記法の多くを開発しました。^{[33] : 51–52}ニュートンとライプニッツの両者がもたらした基本的な洞察は、微分と積分の法則の発展、微分と積分が逆過程であることの強調、2次以上の導関数の計算方法の開発、そして多項式級数の近似の概念の提示につながりました。

ニュートンとライプニッツが初めてその成果を発表したとき、どちらの数学者（したがってどちらの国）が功績を認められるかで大きな論争があった。ニュートンは結果を最初に導き出し（後に流数法として発表）、ライプニッツは「最大と最小のための新方法」を最初に発表した。ニュートンは、王立協会の会員数名と共有していた未発表のノートからライプニッツがアイデアを盗んだと主張した。この論争は長年にわたり英語圏の数学者と大陸ヨーロッパの数学者を分断し、イギリスの数学に損害を与えた。^[34]ライプニッツとニュートンの論文を注意深く調査すると、彼らは独立して結果に到達しており、ライプニッツは最初に積分から、ニュートンは微分から始めたことがわかる。しかし、この新しい分野に名前を付けたのはライプニッツである。ニュートンは微積分学を「流数学」と呼び、この用語は19世紀までイギリスの学校で使われ続けた。^{[35] : 100}ライプニッツ記法を用いて英語で書かれた微積分学の最初の完全な論文は1815年まで出版されなかった。^[36]

マリア・ガエターナ・アニェージ

ライプニッツとニュートンの時代以来、多くの数学者が微積分の発展に貢献してきました。微積分と積分に関する最初の、そして最も完全な著作の一つは、 1748年にマリア・ガエターナ・アニェージによって執筆されました。^{[37] [38]}

基礎

微積分学において、基礎とは公理と定義から対象を厳密に発展させることを指します。初期の微積分学では、微小量の使用は厳密ではないと考えられ、ミシェル・ロールやビショップ・バークリーをはじめとする多くの著者から激しく批判されました。バークリーは1734年に著作『分析家』の中で、微小量を「消え去った量の亡霊」と表現したことで有名です。ニュートンとライプニッツに続く19世紀の大半、数学者たちは微積分の厳密な基礎を築くことに尽力しました。^[39]

マクローリンを含む多くの数学者が無限小数の使用の妥当性を証明しようと試みたが、150年後、コーシーとワイエルシュトラスの研究によって、無限小量の単なる「概念」を回避する方法がようやく見出された。^[40]微分積分学の基礎が築かれた。コーシーの『解析学』には、無限小数による連続性の定義や、微分の定義における（やや不正確ではあるが）極限の（ε, δ）定義のプロトタイプなど、幅広い基礎的アプローチが示されている。^{[41]ワイエルシュトラスは、この研究で}極限の概念を形式化し、無限小数を排除した（ただし、ワイエルシュトラスの定義は零平方無限小数の存在を裏付けることができる）。ワイエルシュトラスの研究に続き、微積分学は微小量ではなく極限に基づくことが一般的になったが、この分野は今でも「微小微積分学」と呼ばれることがある。ベルンハルト・リーマンはこれらの考え方を用いて積分の正確な定義を与えた。^{[42]また、この時期には}複素解析の発展により、微積分学の考え方が複素平面へと一般化された。^[43]

現代数学において、微積分学の基礎は実解析学の分野に含まれており、そこには微積分の定理の完全な定義と証明が含まれています。微積分学の適用範囲も大きく広がりました。アンリ・ルベーグは、エミール・ボレルによる初期の発展に基づいて測度論を発明し、それを用いて、極めて異常な関数を除くすべての関数の積分を定義しました。^[44]ローラン・シュワルツは、あらゆる関数の微分を求めるために使用できる超関数を導入しました。 ^[45]

極限は、微積分学の基礎に対する唯一の厳密なアプローチではありません。別の方法は、アブラハム ロビンソンの非標準解析を使用することです。1960 年代に開発されたロビンソンのアプローチは、数学論理の技術的機構を使用して、元のニュートン-ライプニッツの概念と同様に、無限小数と無限数で実数系を拡張します。結果として得られる数は超実数と呼ばれ、微積分の通常の規則をライプニッツ風に展開するために使用できます。^{[46]また、}滑らかな無限小解析もありますが、これは、導出中に高次無限小を無視することを要求する点で非標準解析と異なります。^[39] FW ローヴェレのアイデアに基づき、圏論の方法を採用した滑らかな無限小解析では、すべての関数が連続しており、離散的なエンティティで表現できないものと見なします。この定式化の 1 つの側面は、排中律が成り立たないことです。^[39]排中律は構成数学においても否定される。構成数学とは、数、関数、その他の数学的対象の存在証明は、その対象の構成を与えるべきであると主張する数学の一分野である。構成的枠組みにおける微積分の再定式化は、一般的に構成解析学の主題の一部である。^[39]

意義

微積分学の多くのアイデアはギリシャ、中国、インド、イラク、ペルシャ、日本で以前に開発されていましたが、微積分学の使用は17世紀のヨーロッパで始まり、ニュートンとライプニッツが初期の数学者の研究に基づいてその基本原理を導入しました。^{[13] [30] [47]}ハンガリーの博学者ジョン・フォン・ノイマンはこの研究について次のように書いています。

微積分は近代数学の最初の成果であり、その重要性を過大評価することは難しい。私は、微積分は近代数学の始まりを何よりも明確に定義づけていると考えており、その論理的発展である数学的解析体系は、今もなお正確な思考における最大の技術的進歩を構成していると考えている。^[48]

微分積分の応用としては、速度や加速度、曲線の傾き、最適化などの計算があります。^{[49] : 341–453}積分積分の応用としては、面積、体積、弧の長さ、質量中心、仕事、圧力などの計算があります。^{[49] : 685–700}より高度な応用としては、べき級数やフーリエ級数などがあります。

微積分は、空間、時間、そして運動の性質をより正確に理解するためにも用いられます。何世紀にもわたり、数学者や哲学者たちは、ゼロ除算や無限数の和に関するパラドックスと格闘してきました。これらの問題は、運動と面積の研究において生じます。古代ギリシャの哲学者エレアのゼノンは、そのようなパラドックスの有名な例をいくつか挙げています。微積分は、特に極限と無限級数といった、これらのパラドックスを解決するためのツールを提供します。^[50]

原則

極限と無限小

微積分学は通常、非常に小さな量を扱うことで発展してきました。歴史的に、その最初の方法は無限小数を用いることでした。無限小数は実数のように扱うことができますが、ある意味では「無限に小さい」ものです。例えば、無限小数は0より大きく、1、1/2、1/3、…という数列のどの数よりも小さく、したがってどの正の実数よりも小さくなります。この観点から、微積分学とは無限小数を扱うための一連の技術です。記号と は無限小数とみなされ、導関数はそれらの比でした。^[39]${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle dy}$ ${\displaystyle dy/dx}$

無限小アプローチは、無限小の概念を明確に表現するのが難しかったため、19 世紀には支持されなくなりました。19 世紀後半には、学界では、無限小は極限に対するイプシロン デルタアプローチに置き換えられました。極限は、特定の入力における関数の挙動を、その近傍の入力における値で記述します。極限は、実数系の固有の構造(最小上限特性を持つ距離空間)を使用して、小規模な挙動を捉えます。この扱いにおいて、微積分とは、特定の極限を操作するための一連の手法です。無限小は、ますます小さな数の列に置き換えられ、関数の無限小挙動は、これらの列の極限挙動をとることで求められます。極限は、微積分にさらに厳密な基礎を提供すると考えられ、このため、20 世紀には標準的なアプローチとなりました。しかし、20世紀に非標準解析と滑らかな微小解析​​が導入され、微小数の操作に確固たる基盤が築かれたことで、微小数の概念は復活しました。^[39]

微分積分

( x ₀ , f ( x ₀ ))における接線。ある点における曲線の導関数f′ ( x )は、その点におけるその曲線の接線の傾き（高さ÷距離）である。

微分積分学は、関数の導関数の定義、特性、および応用について研究する学問です。導関数を求める過程は微分 と呼ばれます。関数と定義域内の点が与えられたとき、その点における導関数は、その点付近における関数の小規模な挙動を符号化する方法です。関数の定義域内のすべての点で導関数を求めることで、新しい関数を作成できます。この新しい関数は、微分関数、または単に元の関数の微分と呼ばれます。正式には、導関数は、関数を入力として受け取り、別の関数を出力として生成する線型演算子です。これは、関数が通常、ある数値を入力して別の数値を出力する初等代数学で研究される多くの過程よりも抽象的です。たとえば、2 倍関数に 3 という入力が与えられると 6 が出力され、2 乗関数に 3 という入力が与えられると 9 が出力されます。ただし、導関数は 2 乗関数を入力として受け取ることができます。これは、導関数が2乗関数のすべての情報（例えば、2は4に、3は9に、4は16に、など）を取り、この情報を使って別の関数を生成することを意味します。2乗関数を微分することで生成される関数は、2倍関数となります。^{[33] : 32}

より明確に言えば、「倍加関数」はg ( x ) = 2 x、「二乗関数」はf ( x ) = x ²と表すことができます。ここで「微分」は、式「 x ² 」で定義される関数f ( x )を入力として受け取ります。これは、2を4に、3を9に、4を16に、といったすべての情報です。そして、この情報を用いて、関数g ( x ) = 2 xを出力します。

ラグランジュ記法では、微分を表す記号はアポストロフィのようなプライム記号です。したがって、関数fの微分はf′と表され、「fプライム」または「fダッシュ」と発音されます。例えば、f ( x ) = x ²が2乗関数である場合、f′ ( x ) = 2 xはその微分（上記の 2倍関数g ）です。

関数の入力が時間を表す場合、微分は時間に関する変化を表します。例えば、fが時間を入力としてその時間におけるボールの位置を出力する関数である場合、fの微分は時間における位置の変化、つまりボールの速度を表します。 ^{[33] : 18–20}

関数が線形の場合（つまり、関数のグラフが直線の場合）、関数はy = mx + bと表記されます。ここで、xは独立変数、yは従属変数、bはy切片であり、次のようになります。

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

これは直線の傾きの正確な値を与える。^{[51] : 6}ただし、関数のグラフが直線でない場合、yの変化をxの変化で割った値は変化します。微分は、入力の変化に対する出力の変化の概念に正確な意味を与えます。具体的には、関数fとし、f​​ の定義域に点aを固定します。( a , f ( a ))は関数のグラフ上の点です。hが 0 に近い数であれば、a + hはaに近い数です。したがって、( a + h , f ( a + h ))は( a , f ( a ))に近いです。これら 2 点間の傾きは

${\displaystyle m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

この式は差分商と呼ばれます。曲線上の 2 点を通る直線は割線と呼ばれ、mは( a、f ( a ))と( a + h、f ( a + h ))間の割線の傾きです。2 行目は、 aとa + hの間で何が起こるかを考慮していないため、点aでの関数の動作の近似値にすぎません。 h を0 に設定しても、未定義の0 で割る必要があるため、 aでの動作を確認することはできません。導関数は、h が0 に近づくときの極限をとることで定義されます。つまり、 hのすべての小さな値に対するfの動作を考慮し、 h が0 の場合に一貫した値を抽出します。

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}.}$

幾何学的には、微分は関数fのグラフにおける接線の傾きである。接線は正割線の極限であり、微分は差商の極限である。このため、微分は関数 f の傾きと呼ばれることもある。[ 51 ^{] : 61–63}

ここでは、入力 3 における二乗関数の導関数という特別な例を示します。f ( x ) = x ²を二乗関数とします。

ある点における曲線の導関数f′ ( x )は、その点におけるその曲線の接線の傾きです。この傾きは、2番目の直線の傾きの極限値を考慮することで決定されます。ここで関係する関数（赤で描かれている）はf ( x ) = x ³ − xです。点(-3/2, -15/8)を通る接線（緑で描かれている）の傾きは 23/4 です。この図では、縦軸と横軸のスケールが異なります。

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-3^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

点(3, 9)における二乗関数の接線の傾きは6である。つまり、右上がりの速度の6倍の速さで上昇している。ここで述べた極限過程は、二乗関数の定義域内の任意の点に対して実行できる。これは二乗関数の微分関数、あるいは単に二乗関数の微分を定義する。上記と同様の計算を行うと、二乗関数の微分は倍加関数であることが分かる。^{[51] : 63}

ライプニッツ記法

ライプニッツによって導入された、上記の例の導関数の一般的な表記法は次の通りである。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x.\end{aligned}}}$

限界に基づくアプローチでは、記号⁠dy/診断⁠は2つの数の商ではなく、上で計算した極限の略記として解釈されるべきである。 ^{[51] : 74}しかし、ライプニッツはこれを2つの極めて小さな数の商を表すものと意図していた。dyは、 xに微小な変化dxを加えたときにyに生じる微小な変化である。また、 ⁠も考えることができるd/診断⁠ は微分演算子として、関数を入力として受け取り、別の関数（導関数）を出力として返します。例えば、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x.}$

この用法では、分母のdxは「 xに関して」と読みます。^{[51] : 79}正しい表記の別の例は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+2t+4\\{d \over dt}g(t)&=2t+2\end{aligned}}}$

微積分が無限小ではなく極限を使用して展開される場合でも、dxやdyなどの記号を実数であるかのように操作するのが一般的です。このような操作を避けることは可能ですが、全微分などの演算を表現する際に表記上便利な場合があります。

積分学

積分学は、不定積分と定積分という2つの関連した概念の定義、特性、および応用を研究する学問です。積分の値を求める過程は積分と呼ばれます。^{[49] : 508}不定積分は反微分とも呼ばれ、微分とは逆の操作です。^{[51] : 163–165} fがFの導関数である場合、Fはfの不定積分です。(関数とその不定積分にこのように小文字と大文字を使用するのは、微積分学では一般的です。) 定積分は関数を入力として数を出力し、その数は入力のグラフとx 軸の間の面積の代数和を与えます。定積分の技術的な定義には、リーマン和と呼ばれる長方形の面積の和の極限が含まれます。^{[52] : 282}

例として、与えられた時間内に移動した距離が挙げられます。^{[51] : 153}速度が一定の場合は、乗算のみが必要です。

${\displaystyle \mathrm {Distance} =\mathrm {Speed} \cdot \mathrm {Time} }$

しかし、速度が変化する場合は、より強力な距離測定方法が必要になります。その方法の一つは、時間を多数の短い時間間隔に分割し、各間隔における経過時間にその間隔における速度のいずれかを乗じ、各間隔におけるおおよその移動距離の合計（リーマン和）を求めることで、移動距離を近似値で求めることです。基本的な考え方は、経過時間が短い場合、速度はほぼ一定であるということです。しかし、リーマン和は移動距離の近似値しか与えません。正確な移動距離を求めるには、このようなリーマン和の極限を求める必要があります。

速度が一定の場合、与えられた時間間隔にわたる総移動距離は、速度と時間を掛け合わせることで計算できます。たとえば、一定速度で 50 mph で 3 時間移動すると、総距離は 150 マイルになります。速度を時間の関数としてプロットすると、高さが速度に等しく、幅が経過時間に等しい長方形が得られます。したがって、速度と時間の積によって、（一定の）速度曲線の下の長方形の面積も計算されます。^{[49] : 535}曲線の下の面積と移動距離の関係は、一定期間にわたって変動する速度を示す不規則な形状の領域にまで拡張できます。 f (x) が時間の経過と共に変化する速度を表す場合、時刻aとbの間で移動した距離は、f ( x )とx軸の間、つまりx = aとx = bの間の領域の面積です。

その面積を近似するには、直感的な方法として、 aとbの間の距離を複数の等しい線分に分割し、各線分の長さを記号Δxで表す方法があります。各線分について、関数f ( x )の値を1つ選びます。その値をhとします。すると、底辺Δx、高さhの長方形の面積は、その線分を移動した距離（時間Δx×速度h）となります。各線分には、その上の関数f ( x )= hの平均値が割り当てられています。このような長方形の総和は、軸と曲線の間の面積の近似値、つまり移動した総距離の近似値となります。Δxの値が小さいほど、長方形の数が増え、多くの場合、より近似値が良くなりますが、正確な答えを得るには、 Δxがゼロに近づくにつれて極限値を取る必要があります。^{[49] : 512–522}

積分の記号は、和を表すために細長いSである。^{[49] : 529}定積分は次のように表される。 ${\displaystyle \int }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

これは「 xに関するxのfのaからbへの積分」と読みます。ライプニッツの記法dxは、曲線の下の面積を無限個の長方形に分割し、その幅Δxが無限小のdxになるようにすることを示唆しています。^{[33] : 44}

不定積分、または不定積分は次のように表されます。

${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$

定数だけ異なる関数は同じ導関数を持ち、与えられた関数の原始導関数は定数だけ異なる関数の族であることが示される。^{[52] ：326}関数y = x ² + C （Cは任意の定数）の導関数はy′ = 2 xであるため、後者の原始導関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \int 2x\,dx=x^{2}+C.}$

不定積分または不定導関数中に存在する未指定の定数Cは積分定数として知られている。^{[53] : 135}

基本定理

微積分学の基本定理は、微分と積分は逆演算であることを述べています。^{[52] : 290}より正確には、この定理は原始微分の値と定積分を関連付けています。原始微分を計算する方が定積分の定義を適用するよりも通常は容易であるため、微積分学の基本定理は定積分を計算する実用的な方法を提供しています。また、この定理は、微分が積分の逆演算であるという事実を明確に述べているとも解釈できます。

微積分学の基本定理は、関数fが区間[ a、b ]で連続であり、Fが区間( a、b )で導関数fであるとき、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

さらに、区間（a、b）内の任意のxについて、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

ニュートンとライプニッツの両者によるこの認識は、彼らの研究が知られるようになってからの解析的結果の急増の鍵となった。（ニュートンとライプニッツが直前の研究者たちからどの程度影響を受けたか、特にライプニッツがアイザック・バローの研究から何を学んだかは、両者の間の優先権争いのため判断が難しい。^{[54] ）基本定理は、}反微分の公式を求めることで、極限過程を実行せずに多くの定積分を計算する代数的手法を提供する。これはまた、微分方程式の原型的な解でもある。微分方程式は未知の関数とその導関数を関連付けるものであり、科学のあらゆる分野で広く用いられている。^{[55] : 351–352}

アプリケーション

オウムガイの殻の対数螺旋は、微積分に関連する成長と変化を表すために使用される古典的な図像です。

微積分は、物理科学のあらゆる分野^{[56] 、すなわち} 保険数理学、コンピュータサイエンス、統計学、工学、経済学、ビジネス、医学、人口統計学、そして問題を数学的にモデル化でき、最適解が求められるあらゆる分野で用いられています。微積分は、（一定でない）変化率から総変化率へ、あるいはその逆へ進むことを可能にします。多くの場合、問題を研究する際には、一方が分かっていて、もう一方を見つけようとします。^[57]微積分は他の数学分野と組み合わせて用いることができます。例えば、線形代数と組み合わせて用いることで、ある領域内の点の集合に最もよく合う線形近似値を求めることができます。また、確率論において、確率密度関数が与えられた場合の連続確率変数の期待値を求めるために用いることもできます。^{[58] : 37}解析幾何学（関数のグラフを研究する分野）において、微積分は高点と低点（最大値と最小値）、傾き、凹み、変曲点を求めるのに用いられます。また、微積分は方程式の近似解を求めるのにも用いられ、実際には、ほとんどの応用分野において微分方程式を解き、根を求める標準的な方法となっています。例としては、ニュートン法、固定点反復法、線形近似法などが挙げられます。例えば、宇宙船はオイラー法のバリエーションを用いて、無重力環境における曲線経路を近似します。

物理学では特に微積分が用いられます。古典力学と電磁気学のすべての概念は、微積分を通して関連しています。密度が既知の物体の質量、物体の慣性モーメント、重力と電磁力による位置エネルギーはすべて、微積分を用いることで求めることができます。力学における微積分の使用例としては、ニュートンの運動の第二法則が挙げられます。これは、物体の運動量の時間微分は、物体に働く正味の力に等しいと述べています。あるいは、ニュートンの第二法則は、正味の力は物体の質量と加速度の積に等しいとも表現できます。加速度は速度の時間微分であり、したがって空間位置の第二時間微分でもあります。物体がどのように加速しているかを知ることから始めて、微積分を用いてその軌道を導き出します。^[59]

マクスウェルの電磁気学やアインシュタインの一般相対性理論も微分積分学の言語で表現される。^{[60] [61] : 52–55}化学では反応速度の決定や放射性崩壊の研究にも微積分学が用いられる。 [62 ^{] : 599  [62] : 814}生物学では個体群動態は個体群の変化をモデル化するために繁殖率と死亡率から始まる。^{[63] [64] : 631}

グリーンの定理は、単純閉曲線Cの周りの線積分と、Cで囲まれた平面領域D上の二重積分との関係を与え、図面上の平面の面積を計算するために使用されるプラニメータと呼ばれる機器に適用されます。 ^[65]たとえば、敷地のレイアウトを設計するときに、不規則な形の花壇やプールが占める面積を計算するために使用できます。

医学の分野では、微積分は血管の最適な分岐角度を見つけて血流を最大化するために用いられます。^[66]微積分は、薬物が体内からどれだけ速く排出されるか、あるいは癌の腫瘍がどれだけ速く成長するかを理解するために応用されます。^[67]

経済学では、微積分は限界費用と限界収入の両方を簡単に計算する方法を提供することで、最大利益を決定することを可能にする。^{[68] : 387}

参照

• 微積分の用語集
• 微積分トピックのリスト
• 代替計算における微分と積分の一覧
• 差別化アイデンティティのリスト
• 微積分学に関する出版物
• 積分表

参考文献

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外部リンク

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• ワイスタイン、エリック・W.「微積分」。MathWorld。
• PlanetMathにおける微積分に関するトピック。
• シルバヌス・P・トンプソン著『微積分を簡単に』（1914年）全文PDF
• BBCの「In Our Time」で微積分を学ぶ
• Calculus.org: カリフォルニア大学デービス校の微積分学のページ – リソースや他のサイトへのリンクが含まれています
• 数学用語の最も古い使用例：微積分と解析
• 大学数学における微積分の役割ERICDigests.org のWayback Machineで 2021 年 7 月 26 日にアーカイブ
• マサチューセッツ工科大学のOpenCourseWare微積分
• 微積分学 - その歴史的発展に関する記事、ミヒール・ヘイゼウィンケル編『数学百科事典』より。
• ダニエル・クライトマン、MIT。「初心者とアーティストのための微積分学」
• imomath.comの微積分トレーニング教材（Wayback Machineで2023年7月9日にアーカイブ）
• （英語とアラビア語）微積分学の旅、1772年