解析幾何学

数学において、解析幾何学（座標幾何学またはデカルト幾何学とも呼ばれる）は、座標系を用いた幾何学の研究です。 これは総合幾何学とは対照的です

解析幾何学は、物理学や工学だけでなく、航空、ロケット、宇宙科学、宇宙飛行にも用いられています。代数幾何学、微分幾何学、離散幾何学、計算幾何学など、現代の幾何学のほとんどの分野の基礎となっています。

通常、直交座標系は、平面、直線、円の方程式を操作するために用いられ、多くの場合2次元、時には3次元で用いられます。幾何学的には、ユークリッド平面（2次元）とユークリッド空間を研究します。教科書で教えられているように、解析幾何学はもっと簡単に説明できます。解析幾何学は、幾何学的形状を数値的に定義・表現し、形状の数値的定義と表現から数値情報を抽出することに関係しています。実数の代数を用いて幾何学の線形連続体に関する結果を導き出せることは、カントル・デデキントの公理に基づいています。

歴史

古代ギリシャ

ギリシャの数学者メナイクモスは、座標の使用に非常に類似した方法を用いて問題を解決し、定理を証明しました。彼が解析幾何学を提唱したという主張もあります。^[1]

ペルガのアポロニウスは、 『正断面について』において、一次元解析幾何学とも言える方法で問題を扱いました。それは、直線上の点のうち、他の点と比を持つ点を見つけるという問題です。^[2]アポロニウスは『円錐曲線論』において、解析幾何学に非常に類似した方法をさらに発展させたため、彼の研究はデカルトの研究を約1800年も先取りしていたと考えられることもあります。彼が基準線、直径、接線を適用した方法は、現代の座標系の使用法と本質的に変わりません。座標系では、接点から直径に沿って測定された距離が横座標であり、接線に平行で軸と曲線の間にある線分が縦座標です彼はさらに、曲線の修辞方程式（言葉で表現されたもの）に相当する横座標と対応する縦座標の関係を発展させました。しかし、アポロニウスは解析幾何学の発展に近づきましたが、負の大きさを考慮に入れておらず、常に座標系が与えられた曲線に先験的ではなく事後的に重ね合わされたため、それを成し遂げることができませんでした。つまり、方程式は曲線によって決定されましたが、曲線は方程式によって決定されませんでした。座標、変数、方程式は、特定の幾何学的状況に適用される補助的な概念でした。^[3]

ペルシャ

11世紀のペルシャの数学者オマル・ハイヤームは、幾何学と代数学の間に強い関連性を見出し、一般三次方程式の幾何学的解[4]によって数値代数と幾何代数学の間のギャップを埋めることに貢献し、正しい方向に進んでいました。[ 5 ^]しかし^、決定的な一歩は後にデカルトによってもたらされました。^{[4]オマル・ハイヤームは}代数幾何学の基礎を確立したとされており、解析幾何学の原理を定めた彼の著書『代数学の問題の論証』（1070年）は、最終的にヨーロッパに伝わったペルシャ数学の一部です。^[6]代数方程式に対する徹底した幾何学的アプローチのため、ハイヤームは解析幾何学の発明においてデカルトの先駆者と見なすことができます。^{[7] ：248}

西ヨーロッパ

解析幾何学はルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーによって独立に発明されたが^{[8] [9]}、デカルトが単独で発明したとされることもある^{[10] [11]} 。解析幾何学の別名である デカルト幾何学は、デカルトにちなんで名付けられた。

デカルトは、1637年に出版された3つの付録（付録）の1つである『幾何学』というエッセイで、方法論に大きな進歩を遂げました。『方法序説』は一般に『方法序説』と呼ばれています。母国語であるフランス語で書かれた『幾何学』とその 哲学的原理は、ヨーロッパにおける微積分学の基礎となりました。当初、この作品は議論の多くの欠落と複雑な方程式のために、あまり受け入れられませんでした。 1649年にラテン語に翻訳され、ファン・スホーテンによる注釈が追加された（そしてその後もさらなる研究が行われた）後になって初めて、デカルトの傑作は正当な評価を得ることができました。^[12]

ピエール・ド・フェルマーもまた、解析幾何学の発展の先駆者でした生前に出版されなかったものの、『平面と立体の場所への序論』の原稿は、デカルトの『講義』が出版される直前の1637年にパリで流通していました。^{[13] [14] [15]}明快に書かれ、好評を博した『序論』は、解析幾何学の基礎も築きました。フェルマーとデカルトの扱い方の主な違いは、視点の問題です。フェルマーは常に代数方程式から始めて、それを満たす幾何学的曲線を記述しましたが、デカルトは幾何学的曲線から始めて、曲線のいくつかの性質の1つとしてその方程式を導き出しました。^[12]このアプローチの結果、デカルトはより複雑な方程式を扱わなければならず、高次多項式方程式を扱うための方法を開発する必要がありました。座標法を空間曲線と曲面の体系的な研究に初めて適用したのは、 レオンハルト・オイラーでした。

座標

直交座標平面の図。4つの点に座標が付けられ、ラベルが付けられています。(2,3)は緑、(-3,1)は赤、(-1.5,-2.5)は青、原点(0,0)は紫です

解析幾何学では、平面には座標系が与えられ、すべての点は実数座標のペアを持ちます。同様に、ユークリッド空間には、すべての点が3つの座標を持つ座標が与えられます。座標の値は、最初の原点の選択に依存します。さまざまな座標系が使用されていますが、最も一般的なものは次のとおりです。^[16]

直交座標（平面または空間内）

最も一般的に使用される座標系は直交座標系です。直交座標系では、各点は水平位置を表すx座標と垂直位置を表すy座標を持ちます。これらは通常、順序付きペア（x、  y）として表されます。このシステムは3次元幾何学にも使用でき、ユークリッド空間のすべての点は順序付き3つの座標（x、  y、  z ）で表されます。

極座標（平面内）

極座標では、平面上のすべての点は原点からの距離rと角度 θで表されます。θは通常、正のx軸から反時計回りに測定されます。この表記法では、点は通常、順序付きペア( r , θ )として表されます。以下の式を用いて、2次元の直交座標と極座標の間を相互に変換できます。このシステムは、円筒座標または球座標を用いることで3次元空間に一般化できます。 $${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

円筒座標（空間内）

円筒座標では、空間上のすべての点は、高さz、z軸からの半径 r、およびxy平面への投影が水平軸に対してなす 角度θで表されます。

球座標（空間内）

球面座標では、空間内のあらゆる点は、原点からの距離ρ 、 xy平面への投影が水平軸に対してなす角度 θ、z軸に対してなす角度φによって表されます。物理学では、角度の名称はしばしば逆になります。^[16]

方程式と曲線

解析幾何学において、座標を含む方程式は平面の部分集合、すなわち方程式の解集合、すなわち軌跡を特定する。例えば、方程式y  =  xは、平面上でx座標とy座標が等しいすべての点の集合に対応する。これらの点は直線を形成し、y  =  x はこの直線の方程式であると言われる。一般に、xとyを含む一次方程式は直線を特定し、二次方程式は円錐曲線を特定し、より複雑な方程式はより複雑な図形を記述する。^[17]

通常、平面上の曲線には単一の方程式が対応します。しかし、常にそうとは限りません。自明な方程式x  =  xは平面全体を指定し、方程式x ²  +  y ²  = 0 は単一の点 (0, 0) のみを指定します。3次元では、単一の方程式は通常、面を与え、曲線は2つの面の交差（下記参照）として、または媒介変数方程式の連立として指定する必要があります。^[18]方程式x ²  +  y ²  =  r ²は、原点 (0, 0) を中心とし、半径 r を持つ任意の円の方程式です。

直線と平面

デカルト平面、あるいはより一般的にはアフィン座標上の直線は、一次方程式によって代数的に記述できます。2次元では、非垂直な直線の方程式は、傾きと切片の形で与えられることがよくあります。 ここで： $${\displaystyle y=mx+b}$$

• mは直線の傾きまたは勾配です
• bは直線のy 切片です。
• xは関数y = f ( x )の独立変数です。

2次元空間の直線が方程式に点-傾き形式を用いて記述されるのと同様に、3次元空間の平面は、平面上の点とそれに直交するベクトル（法線ベクトル）を用いてその「傾き」を示す 自然な記述を持ちます

具体的には、をある点 の位置ベクトルとし、 を非ゼロベクトルとします。この点とベクトルによって決まる平面は、 から に引かれたベクトルが に垂直になるような、位置ベクトル を持つ点 から構成されます。2つのベクトルが垂直になるのは、それらのドット積が 0 の場合のみであることを思い出してください。したがって、目的の平面は、となる すべての点の集合として記述できます (ここでのドットはドット積 を意味し、スカラー乗算を意味しません)。これを展開すると となり 、これは平面方程式の点法線^{形式です。 [引用が必要]}これは単なる線形方程式です。 逆に、a、b、c、dが定数で、a、b、cがすべて 0 でない場合、方程式のグラフ はベクトル を法線とする平面になることは簡単に示されます。^{[引用が必要]}このよく知られた平面方程式は、平面方程式の一般形と呼ばれます。 ^[19]${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$ $${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

3次元では、直線は単一の線形方程式で記述できないため、媒介変数方程式で記述されることがよくあります。 ここで、 $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$ $${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$ $${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x、y、zはすべて、実数にわたる独立変数tの関数です。
• ( x ₀、y ₀、z ₀ )は直線上の任意の点です。
• a、b、cは直線の傾きに関連しており、ベクトル( a、b、c )は直線に平行です。

円錐曲線

双曲線とその共役双曲線

直交座標系では、 2変数の二次方程式のグラフは常に円錐曲線です。ただし、退化している可能性があり、すべての円錐曲線はこのようにして発生します。方程式は次のようになります。6 つの定数すべてをスケーリングすると、同じ零点の位置が得られるため、円錐曲線を5次元射影空間の点と見なすことができます$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

この式で表される円錐曲線は、判別式^{[20]を用いて分類することができます。}

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$ 円錐曲線が非退化の場合、次の式が成り立ちます

• の場合、方程式は楕円を表します。 ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • かつの場合、方程式は円を表します。これは楕円の特殊なケースです。${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• の場合、方程式は放物線を表します。${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• の場合、方程式は双曲線を表します。${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • も の場合、方程式は長方形双曲線を表します。${\displaystyle A+C=0}$

二次曲面

二次曲面、または二次曲面は、二次多項式の零点の軌跡として定義される、3次元空間における2次元の曲面です。座標x ₁、x ₂、x ₃において、一般的な二次曲面は代数方程式^[21]によって定義されます。

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

二次曲面には、楕円体（球面を含む）、放物面、双曲面、円柱、円錐、平面が含まれます。

距離と角度

平面上の距離の公式は、ピタゴラスの定理に従います

解析幾何学では、距離や角度の尺度などの幾何学的概念は公式を用いて定義されます。これらの定義は、基礎となるユークリッド幾何学と整合するように設計されています。例えば、平面上の直交座標を用いると、2点 ( x ₁ ,  y ₁ ) と ( x ₂ ,  y _{2 ) 間の距離は、}ピタゴラスの定理 の一種と見なせる公式で定義されます 。同様に、直線が水平線となす角度は、 直線の 傾きをmとした ときの公式で定義できます。$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

3次元では、距離はピタゴラスの定理の一般化によって与えられ、 2つのベクトル間の角度は内積によって与えられます。2つのユークリッドベクトルAとBの内積は^[22]で定義されます。 ここで、θはAとB間の角度です$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

変換

a) y = f(x) = |x|       b) y = f(x+3)      c) y = f(x)-3      d) y = 1/2 f(x)

変換は親関数に適用され、類似の特性を持つ新しい関数に変換されます。

のグラフは、標準的な変換によって次のように変化します。 ${\displaystyle R(x,y)}$

• を に変更すると、グラフは右単位に移動します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• を に変更すると、グラフは単位上に移動します。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• を に変更すると、グラフは水平方向に 倍に伸びます。（が膨張していると考えてください。）${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• を に変更すると、グラフは垂直方向に伸びます。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• を に変更し、を に変更すると、グラフは角度 回転します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

初等解析幾何学では通常考慮されない方法で物体の形状を変更するため、通常は研究されない他の標準的な変換があります。スキューは通常考慮されない変換の例です。 詳細については、Wikipediaのアフィン変換に関する記事を参照してください

例えば、親関数は水平漸近線と垂直漸近線を持ち、第1象限と第3象限を占め、その変換された形はすべて1つの水平漸近線と垂直漸近線を持ち、第1象限と第3象限、または第2象限と第4象限のいずれかを占めます。一般に、 の場合、 は に変換できます。新しい変換された関数では、は1より大きい場合は関数を垂直方向に引き伸ばし、1より小さい場合は関数を垂直方向に圧縮する係数であり、負の値の場合、関数は-軸に反映されます。 の値は、1より大きい場合は関数のグラフを水平方向に圧縮し、1より小さい場合は関数を水平方向に引き伸ばします。 と同様に、 は負の場合、関数を -軸に反映します。と の値は、、垂直、水平の平行移動を導入します。 との値が正の場合、関数はその軸の正の端に移動し、負の場合、負の端に向かう平行移動を意味します ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

変換は、方程式が関数を表しているかどうかにかかわらず、あらゆる幾何学的方程式に適用できます。変換は、個々の処理として、または組み合わせとして考えることができます。

が平面上の関係であると仮定します。例えば、 は単位円を記述する関係です。 ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

幾何学的オブジェクトの交点を見つける

関係で表される2つの幾何学的オブジェクトPとQの場合、交点は両方の関係にあるすべての点の集合です。^[23]${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

例えば、は半径1で中心が の円で、 は半径1で中心が の円である可能性があります。これらの2つの円の交点は、両方の方程式が成り立つ点の集合です。その点は両方の方程式が成り立つでしょうか？を にとすると、 の方程式はまたはとなり、これは真なので、 は関係 に含まれます。一方、 を に としたままで、 の方程式は または となり、これは偽です。 は に含まれないので、交点には含まれません。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

と の交点は、連立方程式を解くことで見つけることができます 。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

交点を見つけるための従来の方法には、代入と消去法があります。

代入： について最初の方程式をについて解き、 の式を2番目の方程式に代入します。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

次に、 のこの値をもう1つの方程式に代入し、 を解きます。 ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$ $${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、 のこの値を元の方程式のいずれかに代入し、 を解きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交点には2つの点があります $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

消去法：一方の方程式の倍数をもう一方の方程式に加算（または減算）して、変数の1つを消去します。現在の例では、最初の方程式から2番目の方程式を引くと となります。最初の方程式の は、2番目の方程式の から減算され、項は残りません。変数が消去されました。次に、置換法と同じ方法で、 残りの方程式を について解きます。${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この の値を元の方程式のいずれかに代入し、 について解きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交点には2つの点があります $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

円錐曲線の場合、交点には最大4つの点が含まれる可能性があります。

切片の求め方

広く研究されている交点の1つのタイプは、幾何学的オブジェクトと座標軸および座標軸との交点です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

幾何学的オブジェクトと-軸の交点は、オブジェクトの-切片と呼ばれます。幾何学的オブジェクトと-軸の交点は、オブジェクトの-切片と 呼ばれます。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

直線 の場合、パラメータ は直線が軸と交差する点を指定します。文脈に応じて、または点のいずれかが-切片と 呼ばれます${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

幾何軸

幾何学における軸とは、任意の直線、物体、または面に対する垂直線です。

また、これは一般的な言葉では「法線（垂直線）」、工学では「軸線」と 呼ばれることもあります

幾何学において、法線とは、特定の物体に垂直な直線やベクトルなどのオブジェクトです。たとえば、2次元の場合、特定の点における曲線の法線は、その点における曲線の接線 に垂直な線です

3次元の場合、点Pにおける面の法線、または単に法線とは、Pにおけるその面の接平面に垂直なベクトルです。「法線」という言葉は形容詞としても使用され、平面に垂直な直線、力の法線成分、法線ベクトルなどです。法線性の概念は、直交性にも一般化されます。

球面および非線形平面とその接線

接線とは、関数の球面またはその他の曲線またはねじれた直線の線形近似です。

接線と接線平面

幾何学において、平面曲線の任意の点における接線（または単に接線）とは、その点で曲線に「ちょうど接する」直線のことです。非公式には、曲線上の無限に近い2点を通る直線です。より正確には、直線が曲線上の点（c , f ( c )）を通り、傾きがf ' ( c )（ f 'はfの微分）を持つ場合、その直線は曲線上の点x = cにおける曲線y = f ( x )の接線であると言われます。同様の定義が、空間曲線とn次元ユークリッド空間の曲線にも適用されます。

接線と曲線が交わる点（接点）を通過するとき、接線は曲線と「同じ方向に進む」ため、その点における曲線の最良の直線近似となります

同様に、ある点における曲面の接平面とは、その点で曲面に「ちょうど接する」平面のことです。接線の概念は微分幾何学における最も基本的な概念の1つであり、広く一般化されています。接空間を参照してください。

関連項目

• 応用幾何学
• 外積
• 軸の回転
• 軸の並進
• ベクトル空間

注釈

1. Boyer, Carl B. (1991). "The Age of Plato and Aristotle". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 94–95. ISBN 0-471-54397-7 メナエクモスは円錐曲線のこれらの性質やその他の性質も明らかに導き出しました。この資料は、上記に示すように、座標の使用と非常に類似しているため、メナエクモスは解析幾何学を持っていたと主張されることがあります。しかし、そのような判断は部分的にしか正当化されません。なぜなら、メナエクモスは2つの未知数を含む方程式が曲線を決定することを知らなかったからです。実際、未知数を含む方程式という一般的な概念は、ギリシャの思想には馴染みのないものでした。ギリシャ人が本格的な座標幾何学を達成する上で、何よりも妨げとなったのは、代数記法の欠陥でした
2. Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 142. ISBN 0-471-54397-7 アポロニウスの論文『正定断面について』は、いわゆる1次元の解析幾何学を扱っています。幾何学的な形で典型的なギリシャ代数解析を用いて、次のような一般的な問題を考察しました。直線上の4点A、B、C、Dが与えられたとき、APとCP上の長方形がBPとDP上の長方形に対して与えられた比率になるように、直線上の5番目の点Pを決定します。ここでも、問題は容易に二次方程式の解に帰着します。そして、他の場合と同様に、アポロニウスは可能性の限界や解の数を含め、この問題を徹底的に扱いました
3. Boyer, Carl B. (1991). "Apollonius of Perga". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc. pp. 156. ISBN 0-471-54397-7 アポロニウスの円錐曲線における方法は多くの点で現代のアプローチと非常に類似しており、彼の研究はデカルトのそれを1800年も先取りした解析幾何学であると評価されることもある。一般的な基準線、特に直径とその端における接線の使用は、もちろん、座標フレーム（直角座標系であろうと、より一般的には斜角座標系であろうと）の使用と本質的に異なるものではない。接線から直径に沿って測った距離が横軸であり、接線に平行で軸と曲線の間にある線分が縦軸である。アポロニウス流のこれらの横軸と対応する縦軸の関係は、曲線の方程式の修辞的表現に他ならない。しかしながら、ギリシャの幾何代数は負の値を想定していなかった。さらに、座標系は与えられた曲線の特性を研究するために、常に事後的にその曲線に重ね合わされた。古代幾何学において、方程式や関係を図形的に表現するために、座標参照枠が先験的に定められた例は、象徴的であろうと修辞的であろうと、存在しないようです。ギリシャ幾何学においては、方程式は曲線によって決定されると言えますが、曲線が方程式によって決定されるとは言えません。座標、変数、方程式は、特定の幾何学的状況から派生した補助的な概念でした。[…] 古代の最も偉大な幾何学者であるアポロニウスが解析幾何学を発展させなかったのは、おそらく思考の不足ではなく、曲線の不足によるものでしょう。問題が常に限られた数の特定の事例の1つに関係する場合、一般的な手法は必要ありません。
4. Boyer (1991). 「アラビアの覇権」 .数学史. pp. 241–242. ISBN 9780471543978「テント職人」と呼ばれたウマル・ハイヤーム（1050年頃 - 1123年）は、アル・フワーリズミーの代数学を凌駕し、三次方程式を包含する代数学を著した。アラブの先人たちと同様に、ウマル・ハイヤームは二次方程式に対して算術解と幾何解の両方を与えた。しかし、一般的な三次方程式については、（16世紀に明らかになったように、これは誤りであったが）算術解は不可能であると信じ、幾何解のみを与えた。交差する円錐曲線を用いて三次方程式を解く手法は、メナイクモス、アルキメデス、アルハザンによって既に用いられていたが、ウマル・ハイヤームは、この手法を一般化し、すべての三次方程式（正の根を持つ）に適用するという、称賛に値する一歩を踏み出した。 3次以上の方程式については、オマール・ハイヤームは明らかに同様の幾何学的手法を構想していなかった。なぜなら、空間は3次元以上を含まないからである。…アラビア折衷主義の最も実りある貢献の一つは、数値代数と幾何学代数の隔たりを埋めようとする傾向であった。この方向への決定的な一歩は、ずっと後になってデカルトによってもたらされたが、オマール・ハイヤームは「代数を未知数を得るための策略だと考える者は、無駄な考えだ。代数と幾何学が外見上異なるという事実に注意を払うべきではない。代数は証明された幾何学的事実である」と書いた時点で、この方向に進んでいた。
5. クーパー、グレン・M. (2003). 「書評：R・ラシェド、B・ヴァハブザデ著『数学者オマール・カイヤーム』」アメリカ東洋学会誌. 123 (1): 248–249 . doi :10.2307/3217882. JSTOR  3217882.
6. 数学の傑作：探検家によるさらなる年代記、92ページ
7. クーパー、G. (2003). アメリカ東洋学会誌, 123(1), 248-249.
8. スティルウェル、ジョン(2004). 「解析幾何学」.数学とその歴史（第2版）. シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディア社. 105ページ. ISBN 0-387-95336-1 解析幾何学の二人の創始者、フェルマーとデカルトは、どちらもこれらの発展に強い影響を受けました。
9. Boyer 2004, p. 74
10. Cooke, Roger (1997). 「微積分」.数学の歴史：簡潔な講座. Wiley-Interscience. pp. 326. ISBN 0-471-18082-3 解析幾何学の発見者として広く認められている人物は、近代で最も影響力のある思想家の一人である哲学者ルネ・デカルト（1596–1650）です。
11. Boyer 2004, p. 82
12. Katz 1998、442ページ
13. Katz 1998、436ページ
14. ピエール・ド・フェルマー『数学のオペラ』（Varia Opera Mathematica d. ペトリ・ド・フェルマー『セナトリス・トロサーニ』（トゥールーズ、フランス：ジャン・ペッシュ、1679年）、「Ad locos planos et solidos isagoge」、pp. 91–103。Wayback Machineに2015年8月4日アーカイブ。
15. 「フェルマー氏の追悼」Wayback Machineに2015年8月4日にアーカイブ（フェルマー氏の追悼）、ル・ジュルナル・デ・スカヴァン、1665年2月9日、69～72ページ。70ページより： 「平面と立体への序論。平面と立体の問題の解に関する分析的な論文であり、デ・カルト氏がこの主題について何かを出版する前に出版されたものである。」 （平面と立体への序論。平面問題と立体問題の解に関する分析的な論文であり、デ・カルト氏がこの主題について何かを出版する前に出版された。）
16. スチュワート、ジェームズ(2008).微積分：初期超越関数、第6版、ブルックス・コール・センゲージ・ラーニング。ISBN   978-0-495-01166-8
17. パーシー・フランクリン・スミス、アーサー・サリバン・ゲイル (1905)解析幾何学入門、アテネウム・プレス
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19. ヴイチッチ、ミラン；サンダーソン、ジェフリー (2008)、ヴイチッチ、ミラン；サンダーソン、ジェフリー（編）、『線型代数の徹底解説』、シュプリンガー、p. 27、doi :10.1007/978-3-540-74639-3、ISBN 978-3-540-74637-9
20. Fanchi, John R. (2006), Math refresher for scientists and engineers, John Wiley and Sons, pp.  44– 45, ISBN 0-471-75715-2、第3.2節、45ページ
21. Silvio Levy Quadricsウェイバックマシンに2018年7月18日にアーカイブされた「Geometry Formulas and Facts」、CRC Press発行のCRC標準数学表と公式第30版から抜粋、ミネソタ大学幾何学センター
22. MR Spiegel、S. Lipschutz、D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines) (第2版). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7。
23. この議論はxy平面に限定されていますが、高次元にも簡単に拡張できます。

参考文献

書籍

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• 、ビクター・J.（1998）『数学史入門（第2版）』、Addison Wesley Longman、ISBN 0-321-01618-1
• ミハイル・ポストニコフ（1982）『幾何学講義 第1学期 解析幾何学』、インターネットアーカイブ経由
• DJ・ストルイク (1969) 『数学資料集 1200-1800』、ハーバード大学出版局、ISBN 978-0674823556

論文

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• ボイヤー、カール・B. (1944)、「解析幾何学：フェルマーとデカルトの発見」、数学教師、37 (3): 99–105、doi :10.5951/MT.37.3.0099
• ボイヤー、カール・B. (1965)、「ヨハン・フッデと空間座標」、数学教師、58 (1): 33–36、doi :10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, JL (1948)、「三次元における解析幾何学の始まり」、American Mathematical Monthly、55 (2): 76– 86、doi :10.2307/2305740、JSTOR  2305740
• Pecl, J.、ニュートンと解析幾何学

外部リンク

• インタラクティブなアニメーションによる座標幾何学のトピック