基底（線形代数）

同じベクトル (濃い紫色) を 2 つの異なる基底 (紫色と赤色の矢印) で表すことができます。

数学において、ベクトル空間Vの元の集合 Bは、 Vのすべての元がBの元の有限線型結合として一意に表せるとき、基底（複数形：基底）と呼ばれます。この線型結合の係数は、 Bに関するベクトルの成分または座標と呼ばれます。基底の元は、 基底ベクトル。

同様に、集合Bが基底であるとは、その要素が線型独立であり、かつVのすべての要素がBの要素の線型結合である場合を言う。^[1]言い換えれば、基底は線型独立な全域集合である。

ベクトル空間には複数の基底を設定できますが、すべての基底の要素数 (ベクトル空間の 次元と呼ばれる) は同じです。

この記事は主に有限次元ベクトル空間を扱います。しかし、多くの原理は無限次元ベクトル空間にも当てはまります。

基底ベクトルは、結晶構造や参照フレームの研究に応用されています。

意味

体F上のベクトル空間Vの基底B （実数Rや複素数Cなど）は、 V を張る V の線型独立な部分集合である。 つまり、 Vの部分集合B が基底となるのは、以下の2つの条件を満たす場合である。

• 線形独立性: Bのすべての有限部分集合に対して、Fのいずれかに対して が成り立つ場合、${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$ ${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$ ${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$
• 全域性：Vの任意のベクトルvに対して、 FとBにおいてとなるベクトルを選ぶことができる。言い換えれば、v はBのいくつかのベクトルの線型結合として表すことができる。${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$

スカラーは基底 Bに対するベクトルvの座標と呼ばれ、最初の特性により一意に決定されます。 ${\displaystyle a_{i}}$

有限な基底を持つベクトル空間は有限次元と呼ばれます。この場合、有限部分集合をB自身としてとることで、上記の定義における線型独立性を検証できます。

基底ベクトルに順序を付けると便利な場合や、場合によっては必要な場合もあります。たとえば、向きについて議論する場合や、基底要素を明示的に参照せずに基底に関するベクトルのスカラー係数を検討する場合などです。この場合、各係数を対応する基底要素に関連付けるために順序付けが必要です。この順序付けは、基底要素に番号を付けることによって行うことができます。順序が選択されたことを強調するために、順序付き基底と呼びます。これは、単に構造化されていないセットではなく、シーケンス、インデックス付きファミリ、または同様のものになります。以下の § 順序付き基底と座標 を参照してください。

例

この図はR ²における標準基底を表しています。青とオレンジのベクトルは基底の要素です。緑のベクトルは基底ベクトルで表すことができるため、基底ベクトルに線形従属します。

実数の順序付き対の集合R ²は、任意の実数に対して、成分ごとの加算 とスカラー乗算の演算が 可能なベクトル空間です。このベクトル空間の単純な基底は、2つのベクトルe ₁ = (1, 0)とe ₂ = (0, 1)で構成されます。これらのベクトルは、 R ²の任意のベクトルv = ( a , b )が次のように一意に表せるため、基底（標準基底と呼ばれる）を形成します。 R ²の他の線形独立なベクトルの対、例えば(1, 1)や(-1, 2)も、 R ²の基底を形成します。 $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$ $${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$

より一般的には、Fが体であるとき、 Fのn組の元の集合は、同様に定義された加法とスカラー乗算のためのベクトル空間である。を、i 番目の要素を除くすべての要素が 0 であるn組とし、 i番目の要素は 1 であるとする。すると、は の基底となり、これはの標準基底と呼ばれる。${\displaystyle F^{n}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle F^{n},}$ ${\displaystyle F^{n}.}$

異なる趣の例として、多項式環が挙げられます。Fが体である場合、Fに係数を持つ1 つの不定元Xのすべての多項式の集合F [ X ]は、 Fベクトル空間になります。この空間の基底の 1 つは単項式基底Bで、すべての単項式から構成されます。各次数にちょうど 1 つの多項式が存在するような多項式の集合 (ベルンシュタイン基底多項式やチェビシェフ多項式など) も基底になります。(このような多項式の集合は多項式列と呼ばれます。) しかし、この形式ではない F [ X ]の基底も数多く存在します。 $${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$$

プロパティ

有限基底の多くの特性は、シュタイニッツ交換補題から生じます。これは、任意のベクトル空間Vについて、有限全域集合 SとVのn個の要素の線形独立集合Lが与えられた場合、 Sの適切に選択されたn個の要素をLの要素で置き換えると、 L を含み、その他の要素がSに含まれ、要素数がSと同じ全域集合が得られることを示しています。

シュタイニッツ交換補題から生じる特性のほとんどは、有限の全域集合が存在しない場合にも真のままであるが、無限の場合の証明には通常、選択公理、または超フィルタ補題などの選択公理のより弱い形式が必要である。

Vが体F上のベクトル空間である場合、次のようになります。

• Lが全域集合S ⊆ Vの線型独立部分集合である場合、基底Bが存在し、$${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• V には基底があります (これは、L が空集合であり、S = Vである場合の前述のプロパティです)。
• Vのすべての基底は同じ濃度を持ち、これをVの次元と呼ぶ。これが次元定理である。
• 生成集合SがVの基底となるのは、それが最小である場合のみです。つまり、Sの適切な部分集合は、 Vの生成集合でもありません。
• 線形独立集合Lは、それが最大である場合にのみ基底となります。つまり、任意の線形独立集合の適切な部分集合ではありません。

Vがn次元のベクトル空間である場合、次のようになります。

• n個の要素を持つVのサブセットは、線形独立である場合に限り基底となります。
• n個の要素を持つVのサブセットは、それがVの全域セットである場合に限り、基底となります。

座標

V を体F上の有限次元nのベクトル空間とし、を V の基底とします。基底の定義により、Vのすべてのv は、一意に次のように表すことができます。 ここで、係数はスカラー（つまり、Fの元）であり、 B上のvの座標と呼ばれます。ただし、係数の集合について話す場合、係数と基底元の対応が失われ、複数のベクトルが同じ係数の集合を持つ可能性があります。たとえば、とは同じ係数の集合{2, 3}を持ちますが、と は異なります。したがって、順序付き基底を使用すると便利な場合がよくあります。これは通常、基底元に最初の自然数でインデックスを付けることで行われます。すると、ベクトルの座標は同様にインデックス付けされたシーケンスを形成し、ベクトルは座標のシーケンスによって完全に特徴付けられます。順序付き基底は、特に原点と組み合わせて使用​​される場合は、座標フレームまたは単にフレーム（たとえば、直交フレームまたはアフィンフレーム） とも呼ばれます。$${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$ $${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},}$$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle 3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}}$ ${\displaystyle 2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}}$

いつものように、 をFのn組の元の集合とします。この集合はFベクトル空間であり、加法とスカラー乗算が成分ごとに定義されています。写像は ベクトル空間からVへの線型同型 です。言い換えれば、はVの座標空間であり、n組はvの座標ベクトルです。 ${\displaystyle F^{n}}$ $${\displaystyle \varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n}}$$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$

の逆像は、 i番目だけが1であるn組の成分がすべて0である。は の順序基底を形成し、これはその標準基底または標準基底と呼ばれる。順序基底Bは、の標準基底のによる像である。${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle F^{n}}$

前述のことから、任意の順序基底は の標準基底の線型同型による像であり、からVへの任意の線型同型は、の標準基底をVの与えられた順序基底に写す同型として定義できることがわかる。言い換えれば、 Vの順序基底を定義すること、またはからVへの線型同型を定義することと同義である。 ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$

基準の変更

V を体F上のn次元のベクトル空間とします。Vの 2 つの (順序付けられた) 基底 と が与えられている場合、に関するベクトルxの座標を に関する座標で表すと便利なことがよくあります。これは、後述する基底変換公式によって行うことができます。添え字の「古い」および「新しい」は、およびをそれぞれ古い基底および新しい基底と呼ぶのが慣例であるためです。古い座標を新しい座標で表すと便利なのは、一般に、古い座標を含む式があり、新しい座標で同等の式を得たい場合、古い座標を新しい座標での式で置き換えれば得られるからです。 ${\displaystyle B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ ${\displaystyle B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

通常、新しい基底ベクトルは、古い基底上の座標によって与えられます。つまり、 と がそれぞれ古い基底と新しい基底上のベクトルxの座標である 場合、基底変換式は i = 1、...、n に対して次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$ $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

この式は行列記法で簡潔に書くことができる。Aを の行列とし、 v をそれぞれ古い基底と新しい基底における 座標の列ベクトル とすると、座標変換の式は次のようになる。${\displaystyle a_{i,j}}$ $${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle X=AY.}$$

この式はベクトルxの2つの基底への分解を考えることによって証明できる。1つは 、 $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$

基底変換式は、ベクトルの基底分解の一意性から生じます。ここではi = 1, ..., n の場合です。 ${\displaystyle B_{\text{old}}}$ $${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

関連する概念

無料モジュール

ベクトル空間の定義に現れる体を環に置き換えると、加群の定義が得られます。加群の場合、線型独立性と全域集合はベクトル空間の場合と全く同様に定義されますが、「生成集合」という表現は「全域集合」という表現よりも一般的に用いられます。

ベクトル空間と同様に、加群の基底は線型独立な部分集合であり、生成集合でもあります。ベクトル空間理論との大きな違いは、すべての加群が基底を持つわけではないことです。基底を持つ加群は自由加群と呼ばれます。自由加群は加群理論において基本的な役割を果たし、自由分解を通して非自由加群の構造を記述するために使用できます。

整数上の加群はアーベル群と全く同じものです。したがって、整数上の自由加群は自由アーベル群でもあります。自由アーベル群には、他の環上の加群にはない特定の性質があります。具体的には、自由アーベル群のすべての部分群は自由アーベル群であり、G が有限生成自由アーベル群H (つまり有限基底を持つアーベル群)の部分群である場合、 Hの基底と整数0 ≤ k ≤ nが存在し、そのような整数はGの基底となります(ただし、これは 0 以外の整数の一部です) 。詳細については、「自由アーベル群 § 部分群」を参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

分析

実数または複素数上の無限次元ベクトル空間の文脈では、ハメル基底（ゲオルク・ハメル^[2]）または代数基底は、この記事で定義される基底を指すために使用することができる。これは、無限次元ベクトル空間に追加の構造が付与されている場合に存在する他の「基底」の概念と区別するためである。最も重要な代替基底は、ヒルベルト空間上の直交基底、シャウダー基底、およびノルム線型空間上のマルクシェビッチ基底Q上のベクトル空間として見たRの場合、ハメル基底は無数であり、特に連続体の基数つまり基数ここで、（アレフ・ノート）は最小の無限基数、つまり整数の基数である。 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

他の概念に共通する特徴は、空間を生成するために基底ベクトルの無限線形結合を許容することです。もちろん、これは位相ベクトル空間（例えばヒルベルト空間、バナッハ空間、フレシェ空間などを含むベクトル空間の大きなクラス）の場合と同様に、これらの空間上で無限和が意味のある形で定義されていることを必要とします。

無限次元空間に他の種類の基底が好まれる理由は、バナッハ空間ではハメル基底が「大きくなりすぎる」という事実によって正当化される。すなわち、Xが完備な無限次元ノルムベクトル空間（すなわち、Xがバナッハ空間）である場合、 Xの任意のハメル基底は必然的に非可算 である。これは、ベールの範疇定理の結果である。完全性と無限次元は、前の主張における重要な仮定である。確かに、有限次元空間は定義により有限の基底を持ち、可算なハメル基底を持つ無限次元（非完備 ）ノルム空間が存在している。有限個の非ゼロ元のみを持つ実数列の空間でノルム である空間を考えてみよう。その標準基底 は、1 に等しい非ゼロ元を 1 つだけ持つ列で構成され、可算なハメル基底である。 ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$ ${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$

例

フーリエ級数の研究では、関数{1}∪{sin( nx ),cos( nx )：n = 1, 2, 3, ...}は、区間[0, 2π]上のすべての（実数値または複素数値）関数の（実数または複素数）ベクトル空間の「直交基底」であり、この区間で2乗積分可能であること、つまり関数f が$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$$

関数{1}∪{sin( nx ),cos( nx )：n = 1, 2, 3, ...}は線形独立であり、[0, 2π]上で2乗積分可能なすべての関数fは、それらの「無限線形結合」である。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0}$$

適切な（実数または複素数の）係数a _k、b _kに対して。しかし、多くの^[3]平方可積分関数はこれらの基底関数の有限線型結合として表すことができず、したがってハメル基底を構成しない。この空間のすべてのハメル基底は、この単なる可算無限関数の集合よりもはるかに大きい。この種の空間のハメル基底は一般的には役に立たないが、これらの空間の直交基底はフーリエ解析において不可欠である。

幾何学

アフィン空間、射影空間、凸集合、円錐といった幾何学的概念は、それぞれ関連する概念を持っている。 基底。^[4] n次元アフィン空間のアフィン基底は、一般的な線形位置にある点である。${\displaystyle n+1}$ 射影基底は、 n次元の射影空間における一般的な位置にある点である。${\displaystyle n+2}$ 多面体の凸基底は、その凸包の頂点の集合である。円錐基底^[5]は多角形円錐の1点×1辺から構成される。ヒルベルト基底（線形計画法）。

ランダム基底

確率密度関数を持つR ⁿの確率分布、例えばルベーグ測度に関するn次元球体の等分布では、 n個のランダムかつ独立に選ばれたベクトルが確率 1 で基底を形成することが示される。これは、 R ⁿのn個の線形従属ベクトルx ₁ , ..., x _{n が}方程式det[ x ₁ ⋯ x _n ] = 0 （列x _iを持つ行列の零行列式）を満たす必要があり、非自明な多項式の零点集合が零測度を持つという事実による。この観察は、ランダム基底を近似する技術につながった。^{[6] [7]}

n次元立方体[−1, 1] ⁿから独立にランダムに抽出されたベクトルのほぼ直交する対鎖の長さNの、次元nの関数としての経験分布。箱ひげ図は各nについてこのデータの第2四分位と第3四分位を示し、赤いバーは中央値、青い星は平均値を示す。赤い曲線は式(1)で与えられた理論的な境界を示し、緑の曲線は精緻化された推定値を示す。^[7]

線形従属関係や正確な直交性を数値的に検証することは困難です。そのため、ε-直交性という概念が用いられます。内積 を持つ空間において、x がyに対して ε-直交であるとは、 （つまり、xとyの間の角度の余弦がε未満である）場合です。 ${\displaystyle \left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon }$

高次元では、2つの独立したランダムベクトルは高い確率でほぼ直交し、すべての独立したランダムベクトルが与えられた高い確率でほぼ直交する独立ベクトルの数は、次元とともに指数的に増加します。より正確には、n次元球における等分布を考えてみましょう。球からN個の独立したランダムベクトルを選択します（それらは独立であり、かつ同一に分布します）。θを小さな正の数とします。

N個のランダムベクトルはすべて確率1 − θでε直交する。^[7]このNは次元nとともに指数的に増加し、nが十分に大きい場合も同様である。ランダム基底のこの性質は、いわゆる測度集中現象の現れである。^[8]${\displaystyle N\gg n}$

図 (右) は、 n次元の立方体[−1, 1] ⁿから独立してランダムにサンプリングされたベクトルのペアワイズほぼ直交チェーンの長さ N の分布を、次元nの関数として示しています。 最初に、立方体内の点がランダムに選択されます。 2 番目の点は同じ立方体でランダムに選択されます。 ベクトル間の角度がπ/2 ± 0.037π/2以内であれば、ベクトルは保持されます。 次のステップでは、同じハイパーキューブに新しいベクトルが生成され、以前に生成されたベクトルとの角度が評価されます。 これらの角度がπ/2 ± 0.037π/2以内であれば、ベクトルは保持されます。 このプロセスは、ほぼ直交チェーンが壊れるまで繰り返され、そのようなペアワイズほぼ直交ベクトルの数 (チェーンの長さ) が記録されます。nごとに、各次元で 20 個のペアワイズほぼ直交チェーンが数値的に構築されました。 これらのチェーンの長さの分布が表示されます。

あらゆるベクトル空間が基底を持つことの証明

V をある体F上の任意のベクトル空間とする。XをVの線型独立部分集合全体の成す集合とする。

集合Xは空集合ではない。なぜなら空集合はVの独立部分集合であり、包含によって部分的に順序付けられており、これは通常どおり ⊆で表されるからである。

Y をXの⊆によって完全に順序付けられたサブセットとし、L Y_をYのすべての要素（それ自体がVの特定のサブセット）の和集合とします。

( Y , ⊆)は全順序集合であるため、 L _Yのすべての有限部分集合は、Vの線型独立部分集合であるYの元の部分集合であり、したがってL _Yは線型独立である。したがって、 L _YはXの元である。したがって、L _Yは( X , ⊆)におけるYの上限である。つまり、 L Y はXの元であり、 Yのすべての元を含む。

Xは空でなく、 ( X , ⊆)の全順序部分集合はすべてXに上界を持つので、ゾルンの補題はXに最大元が存在することを主張する。言い換えれば、 Xの元L _{max が}存在し、その条件を満たすXの元L max が存在する。この条件は、 Xの元Lに対して L _max ⊆ L が成り立つときはいつでも、L = L _{max と}なる。

L _{max が}Vの基底であることを証明する必要があります。L _{max は}Xに属するので、 L _maxがVの線型独立な部分集合であることは既に分かっています。

VのベクトルwがL _maxの範囲に含まれない場合、w も_{L max の要素にはなりません。L w} = _L max ∪ { w } とします。この_集合はXの要素、つまりVの線型独立部分集合です（w はL _maxの範囲に含まれず、L _maxは独立であるため）。L _max ⊆ L w_であり、L _max ≠ L _wであるため（ L _wにはL _maxに含まれないベクトルwが含まれるため）、これはL _maxの最大性と矛盾します。したがって、これはL _maxがVを張ることを示しています。

したがって、L _maxは線型独立であり、Vを張る。したがって、L max はVの基底であり、これはすべてのベクトル空間が基底を持つことを証明している。

この証明はツォルンの補題に基づいており、これは選択公理と等価である。逆に、すべてのベクトル空間が基底を持つならば選択公理が真であることが証明されている。^[9]したがって、2つの主張は等価である。

参照

• マトロイドの基礎
• 線形計画の基礎
• 座標系
• 基底変換 – 線形代数における座標変換
• ベクトル空間のフレーム – ベクトル空間の基底に似ているが、必ずしも線型独立ではないPages displaying short descriptions of redirect targets
• 球面基底 – 球面テンソルを表現するために使われる基底

注記

1. ハルモス、ポール・リチャード(1987). 有限次元ベクトル空間（第4版）. ニューヨーク: シュプリンガー. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3。
2. ハメル 1905
3. 2 つの集合 (有限個の基底関数で表現できる関数と表現できない関数) の基数は同じであるため、「ほとんど」とは言えないことに注意してください。
4. リース、エルマー・G. (2005). 幾何学に関するノート. ベルリン: シュプリンガー. p. 7. ISBN 978-3-540-12053-7。
5. クチュマ、マレク (1970)。 「錐体の加法関数に関するいくつかのコメント」。数学の方程式。4 (3): 303–306。土井:10.1007/BF01844160。S2CID  189836213。
6. Igelnik, B.; Pao, Y.-H. (1995). 「適応関数近似と機能リンクネットにおける基底関数の確率的選択」. IEEE Trans. Neural Netw . 6 (6): 1320– 1329. doi :10.1109/72.471375. PMID  18263425.
7. Gorban, Alexander N. ; Tyukin, Ivan Y.; Prokhorov, Danil V.; Sofeikov, Konstantin I. (2016). 「ランダム基数による近似：賛成と反対」. Information Sciences . 364– 365: 129– 145. arXiv : 1506.04631 . doi :10.1016/j.ins.2015.09.021. S2CID  2239376.
8. Artstein, Shiri (2002). 「球面の比例濃度現象」(PDF) . Israel Journal of Mathematics . 132 (1): 337– 358. CiteSeerX 10.1.1.417.2375 . doi : 10.1007/BF02784520 . S2CID  8095719. 
9. ブラス 1984

参考文献

一般的な参考文献

• ブラス、アンドレアス（1984）「基底の存在は選択公理を意味する」（PDF）、公理的集合論、現代数学第31巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  31-33、ISBN 978-0-8218-5026-8、MR  0763890
• ブラウン、ウィリアム A. (1991)、行列とベクトル空間、ニューヨーク：M.デッカー、ISBN 978-0-8247-8419-5
• ラング、セルジュ（1987）、線形代数、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-96412-6

歴史的参照

• Banach, Stefan (1922)、「Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales (抽象集合の演算と積分方程式への応用について)」(PDF)、Fundamenta Mathematicae (フランス語)、3 : 133–181、doi :10.4064/fm-3-1-133-181、ISSN  0016-2736
• Bolzano、Bernard (1804)、Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (初等幾何学のいくつかの側面の考察) (ドイツ語)
• ブルバキ、ニコラ(1969)、Éléments d'histoire des mathématiques (数学史の要素) (フランス語)、パリ: ヘルマン
• ドリエ、ジャン＝リュック（1995）「ベクトル空間理論の起源の概要」、数学史、22（3）：227-261、doi：10.1006/hmat.1995.1024、MR  1347828
• フーリエ、ジャン バティスト ジョゼフ(1822)、テオリ アナリティク デ ラ シャルール (フランス語)、シェ フィルマン ディド、ペールとフィル
• グラスマン、ヘルマン(1844)、Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (ドイツ語)ヘルマン・グラスマン著、ロイド・C・カンネンバーグ訳（2000年）、Extension Theory、カンネンバーグ、LC、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-2031-5
• Hamel, Georg (1905)、「Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y)」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、60 (3)、ライプツィヒ: 459– 462、doi :10.1007/BF01457624、S2CID  120063569
• ハミルトン、ウィリアム・ローワン（1853年）、四元数に関する講義、アイルランド王立アカデミー
• Möbius、August Ferdinand (1827)、Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur Analytischen Behandlung der Geometrie (重心計算: 幾何学の解析的処理のための新しいユーティリティ) (ドイツ語)、2009 年 4 月 12 日のオリジナルからアーカイブ
• ムーア、グレゴリー・H.（1995）「線形代数の公理化：1875-1940」、数学史、22（3）：262-303、doi：10.1006/hmat.1995.1025
• Peano、Giuseppe (1888)、Calcolo Geometrico Secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (イタリア語)、トリノ

外部リンク

• カーンアカデミーの指導ビデオ
  • 部分空間の基底の紹介
  • 任意の部分空間基底が同じ数の要素を持つことの証明
• 「線形結合、スパン、基底ベクトル」。線形代数のエッセンス。2016年8月6日。2021年11月17日時点のオリジナルよりアーカイブ – YouTube経由。
• 「基礎」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]