標準基準

3 次元のすべてのベクトルaは、標準基底ベクトルi、j、kの線形結合です。

数学において、座標ベクトル空間( や など)の標準基底(自然基底または標準基底とも呼ばれる)は、1 つの成分を除いてすべての成分が 0 であるベクトルの集合です。^{[1]たとえば、}実数のペア( x、y )によって形成されるユークリッド平面の場合、標準基底はベクトルによって形成されます 。同様に、 3 次元空間 の標準基底はベクトルによって形成されます。 ここで、ベクトルe _xはx方向、ベクトルe _yはy方向、ベクトルe _zはz方向を指します。標準基底ベクトルには、{ e _x、e _y、e _z }、{ e ₁、e ₂、e ₃ }、{ i、j、k }、{ x、y、z }など、一般的な表記法がいくつかあります。これらのベクトルは、単位ベクトル(標準単位ベクトル)であることを強調するために、ハット記号を付けて表記されることがあります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$$

これらのベクトルは、他の任意のベクトルをこれらの線形結合として一意に表現できるという意味で基底です。[2] たとえば、3次元空間のすべてのベクトル v は、スカラーv x、v ^y、v z がベクトル_vのスカラー_成分である_と一意に表すことができます。 $${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$

n次元ユークリッド空間では、標準基底はn 個の異なるベクトル で構成されます。 ここで、e _{i は}i番目の座標が 1 で、その他の座標が 0 のベクトルを表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$

標準基底は、多項式や行列など、定義に係数が含まれる他のベクトル空間に対しても定義できます。どちらの場合も、標準基底は、1つを除くすべての係数が0で、非ゼロの係数が1であるような空間の要素で構成されます。多項式の場合、標準基底は単項式で構成され、一般に単項式基底と呼ばれます。行列M _{m × n}の場合、標準基底は、非ゼロの要素が1つだけあるm × n行列で構成されます。たとえば、2×2行列の標準基底は、4つの行列によって形成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{11}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{12}&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\\\mathbf {e} _{21}&={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{22}&={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

プロパティ

定義により、標準基底は直交単位ベクトルの列です。言い換えれば、順序付けられた直交基底です。

しかし、順序付き直交基底は必ずしも標準基底とは限りません。例えば、前述の2次元標準基底の30°回転を表す2つのベクトル、 すなわち も直交単位ベクトルですが、直交座標系 の軸と一致していないため、これらのベクトルを含む基底は標準基底の定義を満たしません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\\v_{2}&=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

一般化

体上のn不定元における多項式環、つまり単項式にも標準的な基底が存在します。

上記はすべて、Iが任意の集合であり、 δ ij_がクロネッカーのデルタであり、i ≠ jのときは0、 i = jのときは1となるような添字付き族 の特殊なケースである。この族は、 I から環Rへ のすべての族の R加群（自由加群） の標準的な基底であり、Rの単位元である 1 を1 _Rと解釈すれば、有限個の添字を除いて0となる。^[3]$${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$ $${\displaystyle R^{(I)}}$$ $${\displaystyle f=(f_{i})}$$

その他の用途

他の「標準」基底の存在は、 1943年のホッジによるグラスマン多様体に関する研究に始まり、代数幾何学において関心の高いテーマとなっている。これは現在、標準単項式理論と呼ばれる表現論の一部となっている。リー代数の普遍包絡代数における標準基底の考え方は、ポアンカレ＝バーコフ＝ウィットの定理によって確立されている。

グレブナー基底は標準基底と呼ばれることもあります。

物理学では、与えられたユークリッド空間の標準基底ベクトルは、対応する直交座標系の軸の ベルソルと呼ばれることもあります。

参照

• 標準単位
• ベクトル空間の例 § 一般化座標空間

引用

1. Roman (2008)、p.47、ch.1。
2. アクラー（2015）、39～40頁、§2.29。
3. Roman (2008)、p.131、ch.5。

参考文献

• アクラー、シェルドン(2015) [2014年12月18日].線形代数の正しいやり方.学部生向け数学テキスト（第3版）.シュプリンガー出版. ISBN 978-3-319-11079-0。
• ローマン、スティーブン（2008年）『上級線形代数』、大学院数学テキスト（第3版）、シュプリンガー、ISBN 978-0-387-72828-5。（47ページ）
• ライアン、パトリック・J. (2000).ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学：解析的アプローチ. ケンブリッジ; ニューヨーク: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-27635-7。（198ページ）
• シュナイダー, フィリップ J.; エバリー, デイビッド H. (2003). 『コンピュータグラフィックスのための幾何学的ツール』アムステルダム; ボストン: モーガン・カウフマン出版社. ISBN 1-55860-594-0。（112ページ）