対偶

論理学と数学において、対置（contraposition ）あるいは転置（transposition ）とは、条件文から論理的に等価な対否定へと推論すること、およびそれに関連する証明法（§ 対否定による証明）を指します。ある文の対否定は、その前件と後件が否定され、入れ替わっています。

条件文 。式においての逆否定はである。^[1] $P\rightarrow Q$ $P\rightarrow Q$ $\neg Q\rightarrow \neg P$

もしPならQ です。 — もしQでなければPではありません。「雨が降っているなら、私はコートを着ます。」 — 「もしコートを着ていないなら、雨は降っていません。」

対偶の法則によれば、条件文は、その対偶が真である場合にのみ真となる。^[2]

対偶（）は他の3つの演算と比較することができます。 $\neg Q\rightarrow \neg P$

反転（逆）、 $\neg P\rightarrow \neg Q$: 「雨が降っていなければ、私はコートを着ません。」逆否定とは異なり、逆の真理値は、ここで証明されているように、元の命題が真であるかどうかにまったく依存しません。
変換（逆） $Q\rightarrow P$: 「コートを着ると、雨が降る。」逆は実際には逆の対否定なので、常に逆と同じ真理値を持ちます（前述のように、逆は元の命題と常に同じ真理値を共有するわけではありません）。
否定（論理補語） $\neg (P\rightarrow Q)$: 「雨が降っているならコートを着る」ということは当てはまりません。あるいは、「雨が降っているときはコートを着ないこともあります」とも言えます。否定が真であれば、元の命題（ひいては逆命題）は偽です。

が真であり、偽であるものが与えられている場合（すなわち）、も偽であると論理的に結論付けられることに留意してください（すなわち）。これはしばしば逆否定の法則、あるいはモダス・トレンス推論則と呼ばれます。^[3] $P\rightarrow Q$ $Q$ $\neg Q$ $P$ $\neg P$

直感的な説明

示されているオイラー図では、何かがAに含まれる場合、それはBにも含まれる必要があります。したがって、「AのすべてがBに含まれる」は次のように解釈できます。

A\to B

また、B（青い領域）内にないものはA内にも存在できないことも明らかです。この記述は次のように表現できます。

\neg B\to \neg A

は上記の命題の逆説である。したがって、

(A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).

実際には、この同値性は命題の証明を容易にするために使用できます。例えば、アメリカ合衆国の少女（A）全員が茶色の髪をしている（B）ことを証明したい場合、アメリカ合衆国の少女全員が実際に茶色の髪をしていることを確認することで直接証明するか、茶色の髪ではない少女全員が実際にアメリカ合衆国外にいることを確認することで証明することができます。特に、アメリカ合衆国内に茶色の髪ではない少女が少なくとも1人いれば、は反証され、と同値になります。 $A\to B$ $\neg B\to \neg A$ $\neg B\to \neg A$ $A\to B$

一般的に、 AがBを意味するという命題において、BがBでないということは常にAがAでないことを意味します。結果として、これらの命題は論理的に等価であるため、どちらか一方を証明または反証すれば、もう一方が自動的に証明または反証されます。

正式な定義

次の関係が成り立つとき、命題Qは命題Pに関係付けられます。

(P\to Q)

これは、「もしならば」、つまり「もしソクラテスが人間ならば、ソクラテスは人間である」ということを述べています。このような条件文では、が前件であり、が後件です。一方の文が他方の文の反証となるのは、その前件が他方の文の否定後件である場合のみであり、その逆も同様です。したがって、反証は一般的に次の形をとります。 $P$ $Q$ $P$ $Q$

(\neg Q\to \neg P).

つまり、「もし-でなければ、-ではない」、より明確に言えば、「もし-でなければ、Pは-ではない」ということです。この例を用いると、これは「もしソクラテスが人間でないなら、ソクラテスは人間ではない」と表現されます。この文は元の文と対置され、論理的に等価であると言われています。論理的等価性により、一方を述べることは事実上他方を述べることになります。つまり、一方が真であれば、他方も真であり、一方が偽であれば、他方も偽です。 $Q$ $P$ $Q$

厳密に言えば、対置は2つの単純な条件文にのみ存在します。しかし、2つの複雑な普遍的条件文が類似している場合、対置は2つの複雑な普遍的条件文にも存在することがあります。例えば、「すべてのsはsである」という表現は、「すべての非sは非sである」という表現と対置されます。 ^[4] $\forall {x}(P{x}\to Q{x})$ $P$ $Q$ $\forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})$ $Q$ $P$

シーケント表記

転置規則は次のように表現できます。

(P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),

ここで、は、何らかの論理システムにおけるの統語的帰結を意味するメタ論理記号です。または推論規則として使用されます。 $\vdash$ $(\neg Q\to \neg P)$ $(P\to Q)$

{\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},

ここでの規則は、証明の行に「」が現れるたびに「」に置き換えることができるというものである。あるいは、真理関数トートロジーや命題論理の定理の表明として用いられることもある。この原理は、ラッセルとホワイトヘッドによって『プリンキピア・マテマティカ』の中で命題論理の定理として次のように述べられている。 $P\to Q$ $\neg Q\to \neg P$

(P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),

ここで、およびは何らかの形式体系で表現された命題です。 $P$ $Q$

証明

条件文の定義による簡単な証明

第一階論理では、条件文は次のように定義されます。

A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B

これは次のようにその逆説と等価になる。

{\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}

単純な背理法による証明

させて：

(A\to B)\land \neg B

Aが真ならばBも真であることは既知であり、またBは真ではないことも既知である。したがって、Aが真ではないことは背理法によって証明できる。なぜなら、Aが真ならば、Bも真でなければならないからである（モーダス・ポネンス（Modus Ponens ）による）。しかし、Bが真ではないことは既知であるため、矛盾が生じる。したがって、Aは真ではない（真か偽かのどちらかである二価の命題を扱っていると仮定する）。

(A\to B)\to (\neg B\to \neg A)

次の仮定から始めて、同じプロセスを逆に適用することができます。

(\neg B\to \neg A)\land A

ここで、Bが真か偽かは分かっています。Bが真でなければ、Aも真ではありません。しかし、Aが真であることが前提となっているため、Bが真ではないという仮定は矛盾を生じます。つまり、Bが真ではないという仮定は成り立ちません。したがって、Bは真でなければなりません。

(\neg B\to \neg A)\to (A\to B)

証明された 2 つのステートメントを組み合わせると、条件文とその逆否定文の間の論理的等価性が得られます。

(A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)

対偶同値のより厳密な証明

二つの命題間の論理的同値性とは、それらが共に真であるか、共に偽であるかを意味します。対偶命題が論理的に同値であることを証明するには、物質的含意がいつ真でいつ偽であるかを理解する必要があります。

P\to Q

これは、が真で、が偽である場合にのみ偽です。したがって、この命題は「かつ～でないときは偽」（すなわち、「かつ～でないときは真」）という命題に簡約できます。 $P$ $Q$ $P$ $Q$ $P$ $Q$

\neg (P\land \neg Q)

連言の要素は、（交換法則により）逆にしても効果はありません。

\neg (\neg Q\land P)

を「」と等しく定義し、をと等しく定義します（このことから、はと等しく、はと等しくなります）。 $R$ $\neg Q$ $S$ $\neg P$ $\neg S$ $\neg \neg P$ $P$

\neg (R\land \neg S)

これは「（ Rは真であり、Sは偽である）という条件文は成り立たない」という意味で、これは物質的条件文の定義です。したがって、次のように置き換えることができます。

R\to S

RとSをとに戻すと、目的の逆正則が得られます。 $P$ $Q$

\neg Q\to \neg P

古典的な命題計算システムでは

命題論理におけるヒルベルト型の演繹体系では、転置の片側のみが公理として扱われ、もう片側は定理として扱われる。この定理の証明を、ヤン・ウカシェヴィチが提唱した3つの公理体系を用いて説明する。

A1.

\phi \to \left(\psi \to \phi \right)

A2.

\left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)

A3.

\left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)

(A3) はすでに転置の方向の一つを与えている。もう一方の辺は、ここで証明した以下の補題を用いて、以下で証明される。 $(\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )$

(DN1) -二重否定（一方向）

\neg \neg p\to p

(DN2) - 二重否定（別の方向）

p\to \neg \neg p

(HS1) -仮説的三段論法の一形態

(q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))

(HS2) - 仮説的三段論法の別の形式。

(p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))

また、いくつかの証明手順の省略形として、仮説的三段論法のメタ定理の方法も使用します。

証明は次のとおりです。

$q\to \neg \neg q$ （DN2のインスタンス）
$(q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))$ （HS1のインスタンス）
$(p\to q)\to (p\to \neg \neg q)$ （(1)と(2)からmodus ponensによる）
$\neg \neg p\to p$ （DN1のインスタンス）
$(\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))$ （HS2の例）
$(p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ （（4）と（5）からmodus ponensによる）
$(p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)$ （仮説的三段論法のメタ定理を用いて（3）と（6）から）
$(\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)$ （（A3）の例）
$(p\to q)\to (\neg q\to \neg p)$ （仮説的三段論法のメタ定理を用いて（7）と（8）から）

比較

例

「すべての赤い物体は色を持っている」という文を考えてみましょう。これは、「物体が赤い場合、それは色を持っている」と同等に表現できます。

逆説は、「物体に色がなければ、それは赤ではない」です。これは、最初のステートメントから論理的に導かれ、最初のステートメントと同様に、明らかに真実です。
逆は「物体が赤くなければ、色を持たない」です。青い物体は赤ではありませんが、それでも色を持っています。したがって、この場合、逆は偽です。
逆は、「物体に色がある場合、それは赤です。」です。物体は他の色を持つこともあるため、このステートメントの逆は偽です。
否定は「色を持たない赤い物体が存在する」です。この文は、否定する最初の文が真であるため、偽です。

言い換えれば、逆否定は与えられた条件文と論理的に同等ですが、双条件文には十分ではありません。

同様に、「すべての四角形には 4 つの辺がある」という記述、または同等の表現である「多角形が四角形である場合、4 つの辺がある」という記述を考えてみましょう。

対偶は「多角形に 4 つの辺がない場合、それは四角形ではない」です。これは論理的に従っており、原則として、対偶はその条件の真理値を共有します。
逆は、「多角形が四辺形でない場合、4 つの辺はありません。」です。この場合、最後の例とは異なり、ステートメントの逆が真です。
逆は、「多角形が 4 つの辺を持つ場合、それは四角形です。」です。この場合も、最後の例とは異なり、ステートメントの逆は真です。
否定は「4 辺を持たない四辺形が少なくとも 1 つ存在する」です。この記述は明らかに誤りです。

この命題とその逆はどちらも真なので、これは双条件文と呼ばれ、「多角形が四辺形である場合、かつその場合に限り、多角形は四辺形である」と表現できます。 (「もし、かつ、に限り」という句は「iff」と省略されることもあります。) つまり、四辺形であるためには四辺形であることが必要であり、かつ、それだけで四辺形であるとみなすのに十分であるということです。

真実

ある文が真であれば、その逆も真です (逆もまた同様です)。
ある文が偽であれば、その逆も偽です (逆もまた同様です)。
ある文の逆が真であれば、その逆も真です (逆も同様)。
ある文の逆が偽である場合、その逆も偽です (逆も同様)。
文の否定が偽であれば、文は真です (逆も同様)。
命題 (またはその逆否定) とその逆 (またはその逆) が両方とも真であるか、両方とも偽である場合、それは論理双条件文と呼ばれます。

伝統的な論理

伝統論理学において、対置は直接推論の一形態であり、ある命題が別の命題から推論され、前者の主語が元の論理命題の述語の矛盾である場合に用いられる。場合によっては、対置は前者の質の変化（すなわち肯定または否定）を伴う。^[5]現代論理学における記号表現については、転置の規則を参照のこと。対置は、命題の種類によって同義語が変化する転換や転置といった他の伝統的な推論過程とは異なる哲学的応用も有する。

伝統的な論理学では、対置の過程は、カテゴリカルな命題とクラスを含む推論のいくつかのステップから構成される図式である。^[6]カテゴリカルな命題には主語と述語が含まれ、コピュラの存在的影響により、その命題は少なくとも 1 つのメンバーを持つクラスを参照することを意味する。これは、他の命題の合成物である仮説的命題や物質的含意的命題の条件文形式とは対照的である。例えば、「P ならば Q」(P と Q はどちらも命題) など。また、その存在的影響は、仮説的命題や物質的含意的命題自体ではなく、量化存在がインスタンス化されるさらなる命題 (存在のインスタンス化) に依存する。

完全対置とは、主語と述語の同時的な交換と否定であり、アリストテレス論理の「A」型命題と「O」型命題にのみ有効である。一方、「E」型命題については、量が普遍から個別へ変化する場合（部分対置）に条件付きで有効となる。伝統的な命題の4つの型（A型、E型、I型、O型）すべてにおいて有効な対置が得られ、元の述語の背理法を持つ命題が得られるため、（完全）対置は元の命題の背理法を変換することによって得られる。「E」型の命題については、量をさらに変化させることで部分対置が得られる。対置の定義において推論された命題の述語については何も述べられていないため、述語は元の主語またはその背理法のいずれかとなり、結果として「A」、「O」、「E」型の命題において互いに背理法である2つの対置が生じる。^[7]

例: オリジナルの「A」型定言命題から、

住民全員が有権者であり、

これは、すべてのクラスがメンバーを持ち、その存在の意義が定言命題の形で想定されていることを前提としており、まず転置によって「E」型命題を導き出すことができる。

投票権を持たない住民はいない。

元の命題の逆説は、別の「E」型命題に変換することによって導出される。

投票権のない者は居住者ではない。

このプロセスは、さらなる転置によって完了し、元の命題の転置された対偶である「A」型命題が得られる。

投票権のない者はすべて非居住者である。

対位法の図式：^[8]

対置は「A」命題と「O」命題にのみ有効な直接推論の形式であることに注意してください。「I」命題には有効ではありません。「I」命題の場合、表側は有効な逆命題を持たない「O」命題です。「E」命題の対置は、限定（per accidens）の下でのみ有効です。これは、「E」命題の表側は「A」命題であり、限定、つまり対置に加えて命題の量を普遍から個別へ変更しない限り、有効に変換できないためです。

また、対置は推論の方法であり、他の推論規則の使用が必要となる場合があることにも注意してください。対置は対置の方法の産物であり、対置が完全か部分的かによって結果が異なります。対置の過程における転換と転置の連続的な適用は、様々な名前で呼ばれることがあります。

伝統的な類論理学で定義されるような、ある言明とその対偶の論理的同値性の過程は、命題論理の公理の一つではない。伝統的な論理学では、それぞれの元の言明から複数の対偶が推論される。「A」命題に関しては、現代論理の記号学においては、転置の規則、すなわち対偶の法則によってこの問題は回避される。哲学論理学の分野における専門用語としての「対偶」という用語は、論理学者（例えばアーヴィング・コピ、スーザン・ステビング）によって、伝統的な論理学と定言命題に限定される場合がある。この意味で、「対偶」という用語の使用は、仮説的命題や物質的含意に適用される場合には通常「転置」と呼ばれる。

転置の形式

推論された命題において、結論は元の命題の前提の矛盾であり、推論された命題の前提は元の命題の結論の矛盾です。物質的含意を表す記号は、命題が仮定的であること、つまり「もしPならばQ」のような「もしPならばQ」という形式であることを示します。

転置規則 (↔) の二条件文は、仮定的 (→)命題間の関係を指し、各命題には前提項と結果項が含まれます。論理推論では、一方の命題の項を転置または変換するには、二条件関係の両側の命題の項を変換する必要があります。つまり、( P → Q )を( Q → P )に転置または変換するには、もう一方の命題(¬ Q → ¬ P ) を(¬ P → ¬ Q )に転置または変換する必要があります。そうでない場合、一方の命題の項を変換し、もう一方の命題の項を変換しないと、規則は無効になり、命題の項の十分条件と必要条件に違反します。違反とは、変更された命題が、不正な変換によって前提を否定するか結果肯定するという誤謬を犯すことです。

転置規則の真実性は、論理における十分条件と必要条件の関係に依存します。

十分な条件

「もしPならばQ 」という命題において、 Pの出現はQの出現の十分な理由となる。Pは個体またはクラスとしてQ を物質的に含意するが、 QとPの関係は、逆の命題「もしQならばP」が必ずしも十分な条件を満たさないようなものである。十分な条件の推論規則は、条件付き含意を支持する論証である modus ponensである。

前提（1）：PならばQ
前提（2）：P
結論：したがって、Q

必要条件

前提(1)の逆は成り立たないため、 PとQの関係について言えることは、Qが存在しない場合はPは発生しないということだけであり、これはQがPの必要条件であることを意味する。必要条件の推論規則はmodus tollensである。

前提（1）：PならばQ
前提（2）：Qではない
結論：したがって、Pではない

必要性と十分性の例

論理学者が十分条件と必要条件を対比する際に伝統的に用いる例として、「火があるならば、酸素が存在する」という命題があります。酸素を豊富に含む環境は火や燃焼に不可欠ですが、酸素を豊富に含む環境があるからといって、必ずしも火や燃焼が起こっているとは限りません。火は酸素の存在を条件とすることはできますが、酸素の存在から逆の「酸素が存在するならば、火が存在する」という結論を導き出すことはできません。元の命題から導き出せるのは、「酸素が存在しなければ、火は存在し得ない」ということだけです。

命題の関係

双条件文の記号 ("↔") は、命題間の関係が必要かつ十分であることを意味し、「～の場合に限り～」、または例に従って、「PならばQ、ただしQ でなければ P ではない 'ただし P ならば Q である '、ただしQでなければPではない」と表現されます。

必要十分条件は、伝統的論理の概念と直接推論の規則を用いて類推的に説明できる。「すべてのSはPである」という定言命題において、主語項Sは分散的である、すなわち、そのクラスのすべてのメンバーがその表現において網羅されていると言える。一方、述語項Pは、クラスPのメンバーのすべてのインスタンスがクラスSのメンバーでもあるかどうかは不確定であるため、分散的である、あるいはその表現において網羅的であるとは言えない。妥当に推論できるのは、「一部のPはSである」ということだけだ。したがって、型「A」命題「すべてのPはSである」は、元の型「A」命題「すべてのSはPである」からの変換によって推論することはできない。推論できるのは、型「A」命題「すべての非Pは非Sである」だけである（( P → Q )と(¬ Q → ¬ P )はどちらも型「A」命題であることに注意）。文法的には、「すべての男性は死ぬ運命にある」から「すべての死すべき者は男性である」と推論することはできません。「A」型の命題は、主語と述語の両方が分散している場合にのみ、変換によって直ちに推論できます。例えば、「すべての未婚の男性は独身者である」から「すべての独身者は未婚の男性である」と推論する場合などです。

転置とは区別される

ほとんどの著者はこれらの用語を同じものに使用していますが、一部の著者は転置と対置を区別しています。伝統的な論理学では、推論規則としての転置の推論プロセスは、対置と倒置^{[9]を通じて}定言命題に適用されます。これは、一連の直接推論であり、まず倒置の規則が元の定言命題「すべてのSはPである」に適用され、逆命題「Sは非Pではない」が生成されます。元の命題をタイプ「E」の命題に倒置すると、両方の項が分散されます。次に、逆命題が変換され、「P以外のものはSではない」となり、両方の項の分散が維持されます。「 P以外のものはSではない」は再び倒置され、[対否定]「P以外のものはSではない」になります。対偶の定義において推論された命題の述語については何も言及されていないため、それが元の主語またはその矛盾項である可能性は許容され、結果として得られる型「A」命題の述語項は再び非分配的となる。これにより、述語項が分配的である場合と、述語項が非分配的である場合の2つの対偶が生じる。^[10]

対置は、与えられた定言命題から、元の述語の反意語を主語とする別の定言命題を推論する直接推論の一種である。対置の定義において推論される命題の述語については何も言及されていないため、推論される命題が元の主語である場合も、反意語である場合も許容される。これは、転置命題の形式（物質的含意または仮定的言明となる場合がある）とは対照的である。対置を定言命題に適用した場合、対置の結果は2つの反意語となり、それぞれが他方の裏返しとなる点が異なる。^[11]すなわち、「P以外のものはSではない」と「 P以外のものはすべてSではない」である。この2つの反意語の区別は、転置の原理に吸収され、排除される。転置の原理は、対置の「媒介推論」^{[12]を前提とし、「反置の法則」}^[13]とも呼ばれる。

逆説による証明

言明の逆否定は常に言明自体と同じ真理値（真か偽か）を持つため、数学の定理を証明する強力なツールになり得る（特に、逆否定の真が言明自体の真よりも容易に証明できる場合）。逆否定による証明は、言明の逆否定を直接的に証明することです。 ^{[14]しかし、}背理法による証明などの間接的な方法も、例えば2 の平方根の無理数の証明のように、逆否定とともに使用できます。有理数の定義により、「が有理数である場合、それは既約分数として表すことができる ${\sqrt {2}}$ 」というステートメントを作成できます。このステートメントは、定義を言い換えたものであるため真です。このステートメントの逆否定は、「が既約分数として表すことができない場合は、それは有理数ではない ${\sqrt {2}}$ 」です。この逆否定も、元のステートメントと同様に真です。したがって、が既約分数として表せないことが証明できるならば、は有理数ではないことが証明される。後者は背理法によって証明できる。 ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$

前の例では、定義の逆否定を使って定理を証明しました。定理のステートメントの逆否定を証明することによっても、定理を証明することができます。正の整数Nが平方数でない場合、その平方根は無理数であることを証明することは、正の整数N の平方根が有理数である場合、 Nは平方数であるという逆否定を同等に証明することができます。これは、√ N を有理式a/b（aとbは共通の素因数を持たない正の整数）に設定し、2乗してN = a ² / b ²を得ることで示せます。Nは正の整数b =1 なので、N = a ²、つまり平方数になります。

数学において、逆説による証明（または対偶による証明）は、証明において用いられる推論規則であり、条件文をその逆説から推論する。^[15]言い換えれば、「もしAならばBである」という結論は、「もしBでなければAではない」という主張の証明を構築することによって推論される。多くの場合、逆説の方が元の条件文自体よりも証明しやすい場合、このアプローチが好まれる。

論理的には、逆否定による証明の妥当性は、次の真理値表を使用して実証できます。ここでは、p → qとq → p がすべてのシナリオで同じ真理値を共有することが示されています。 $\lnot$ $\lnot$

背理法による証明との相違

背理法による証明：（矛盾に対して）が真であると仮定する。この仮定を用いて、矛盾を証明せよ。従って、が偽であるので、が真である。 $\neg A$ $\neg A$ $A$

逆説による証明: を証明するには、その逆説的な命題、すなわちを証明します。 $A\to B$ $\neg B\to \neg A$

例

を整数とします。 $x$

証明:が偶数であれば、も偶数です。

x^{2}

x

直接的な証明も可能ですが、ここでは対偶によってこの命題を証明することにします。上記の命題の対偶は次のようになります。

が偶数でない場合は、も偶数ではありません。

x

x^{2}

後者の命題は次のように証明できます。xが偶数でないと仮定すると、xは奇数です。2つの奇数の積は奇数なので、xは奇数です。したがって、xは偶数ではありません。 $x^{2}=x\cdot x$ $x^{2}$

逆否定が証明されれば、元の命題が真であると推論できる。^[16]

非古典的論理学では

直観主義論理

直観主義論理では、という文がと等価であると証明することはできません。が（下記参照）を意味することは、追加の仮定なしに証明できますが、からへの逆の含意はを知る必要があり、これは排中律またはそれと同等の公理から導かれます。 $P\to Q$ $\lnot Q\to \lnot P$ $P\to Q$ $\lnot Q\to \lnot P$ $\lnot Q\to \lnot P$ $P\to Q$ $\lnot \lnot Q\to Q$

仮定（初期仮定） $P\to Q$

仮定する $Q\to \bot$
とから、結論 $P\to Q$ $Q\to \bot$ $P\to \bot$

退院の仮定;結論 $(Q\to \bot )\to (P\to \bot )$

に変わり、結論 $(A\to \bot )$ $\lnot A$ $\lnot Q\to \lnot P$

排出仮定;結論。 $(P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)$

主観的論理

対置は、主観論理における主観ベイズの定理のインスタンスを表し、次のように表現されます。

(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,

ここで、はソースによって与えられた二項条件付き意見のペアを表します。パラメータはの基本レート（別名、事前確率）を表します。導関数の反転された条件付き意見のペアはで示されます。条件付き意見は論理ステートメントを一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、ソースはステートメントに任意の主観的な意見を割り当てることができます。が絶対的に真の意見である場合は、ソースがが真であると言っていることと同等であり、が絶対的に偽の意見である場合は、ソースがが偽であると言っていることと同等です。条件付き意見が絶対的に真である場合、主観的論理の主観的ベイズの定理演算子は絶対的に偽の微分条件付き意見を生成し、それによって絶対的に真の微分条件付き意見が生成され、これは真であることと同等です。したがって、主観的ベイズの定理は、対置とベイズの定理の両方の一般化を表します。^[17] $(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})$ $A$ $a_{P}$ $P$ $(\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})$ $\omega _{Q|P}^{A}$ $P\to Q$ $A$ $\omega _{Q\mid P}^{A}$ $A$ $P\to Q$ $\omega _{Q\mid P}^{A}$ $A$ $P\to Q$ $\omega _{Q|P}^{A}$ ${\widetilde {\phi \,}}$ $\omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ $\omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}$ $\lnot Q\to \lnot P$

確率論では

対置はベイズの定理のインスタンスを表し、特定の形式では次のように表現できます。

\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.

上記の式において、条件付き確率は論理命題を一般化します。つまり、TRUE または FALSE を割り当てることに加えて、任意の確率を命題に割り当てることができます。項はの基本率（つまり事前確率）を表します。がTRUEであることに等しく、がFALSEであることに等しいと仮定します。すると、のとき、つまりがTRUEのときであることが簡単にわかります。これはであるため、上記の式の右辺の分数は1に等しく、したがってがTRUEであることに等しいからです。したがって、ベイズの定理は対偶の一般化を表しています。^[18] $\Pr(\lnot Q\mid P)$ $P\to \lnot Q$ $a(P)$ $P$ $\Pr(\lnot Q\mid P)=1$ $P\to \lnot Q$ $\Pr(\lnot Q\mid P)=0$ $P\to \lnot Q$ $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ $\Pr(Q\mid P)=1$ $P\to Q$ $\Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0$ $\Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1$ $\lnot Q\to \lnot P$

参照

参考文献

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出典

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外部リンク

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不適切な転置（誤謬ファイル）