定理

数学と形式論理において、定理とは証明された、または証明できる命題です。 ^[a]^[2]^[3]定理の証明とは、演繹体系の推論規則を用いて、定理が公理と既に証明された定理の論理的帰結であることを証明する論理的議論です

主流の数学では、公理と推論規則は暗黙のうちに残されるのが一般的であり、この場合、それらはほとんどの場合、選択公理を持つツェルメロ＝フランケル集合論（ZFC）のもの、またはペアノ算術のようなそれほど強力ではない理論のものです。^[b]一般的に、明示的に定理と呼ばれる主張は、他の既知の定理から直接導かれるものではない、証明された結果です。さらに、多くの著者は最も重要な結果のみを定理とみなし、それほど重要でない定理については補題、命題、系という用語を使用します

数理論理学では、定理と証明の概念は、それらについて数学的な推論を可能にするために形式化されている。この文脈では、文は何らかの形式言語の整形式の式になる。理論は、公理と呼ばれるいくつかの基礎文と、いくつかの演繹規則（公理に含まれることもある）で構成される。理論の定理とは、演繹規則を用いて公理から導き出せる文である。^[c]この形式化により証明理論が生まれ、定理と証明についての一般定理を証明できるようになった。特に、ゲーデルの不完全性定理は、自然数を含むすべての矛盾のない理論には、その理論の定理ではない（つまり、理論内部で証明できない）自然数に関する真の文があることを示している。

公理はしばしば物理世界の性質を抽象化したものであるため、定理は何らかの真理を表現していると考えられるかもしれませんが、実験的な科学法則の概念とは対照的に、定理の真理性の正当化は純粋に演繹的です。^[6]^[d] 予想とは、真であることが証明されれば定理へと発展する可能性のある暫定的な命題です。

定理性と真理性

19世紀末、数学の基礎的危機が起こるまで、すべての数学理論は自明と考えられていたいくつかの基本的な性質から構築されていました。例えば、すべての自然数には次の数が存在すること、与えられた2つの異なる点を通る直線はちょうど1本存在するという事実などです。絶対的に明白であると考えられていたこれらの基本的な性質は、公理または公理と呼ばれていました。例えば、ユークリッドの公理です。すべての定理はこれらの基本的な性質を暗黙的または明示的に用いて証明され、これらの基本的な性質の証拠のために、証明に誤りがない限り、証明された定理は決定的な真実であると考えられていました。例えば、三角形の内角の和は180°であり、これは疑いの余地のない事実であると考えられていました

数学の根底にある危機の一つは、三角形の内角の和が180°と異なるにもかかわらず、矛盾を生じない非ユークリッド幾何学の発見でした。したがって、「三角形の内角の和は180°に等しい」という性質は、ユークリッドの第五公準が仮定されるか否定されるかによって、真か偽かのいずれかになります。同様に、集合の「明白な」基本的性質の使用は、ラッセルのパラドックスの矛盾につながります。これは、集合を操作するために許容される規則を詳述することによって解決されました

この危機は、数学の基礎を再検討し、より厳密なものにすることで解決されました。これらの新しい基礎では、定理とは、数学理論の公理と推論規則から証明できる、理論の整形式の式です。したがって、三角形の角度の和に関する上記の定理は次のようになります。ユークリッド幾何学の公理と推論規則によれば、三角形の内角の和は 180° に等しくなります。同様に、公理化された集合論では、すべての集合の集合を整形式の式で表現できないため、ラッセルのパラドックスはなくなります。より正確には、すべての集合の集合を整形式の式で表現できる場合、これは理論が矛盾していることを意味し、すべての整形式の主張とその否定は定理です。

この文脈では、定理の妥当性はその証明の正しさのみに依存します。それは真理や公理の意義とは無関係です。これは公理の意義が重要でないという意味ではなく、定理の妥当性が公理の意義とは無関係であるという意味です。この独立性は、数学のある分野の結果を、一見無関係な分野で利用することを可能にすることで有用となる場合があります

数学についてのこの考え方の重要な帰結は、数学理論と定理を数学的対象として定義し、それらに関する定理を証明できるようになることです。例としては、ゲーデルの不完全性定理が挙げられます。特に、より広い理論では証明できるものの、アンビエント理論の定理ではないことが証明できる、整形式の主張があります。一例として、グッドスタインの定理が挙げられます。これはペアノ算術では述べられますが、ペアノ算術では証明できないことが証明されています。しかし、ツェルメロ＝フランケル集合論など、より一般的な理論では証明可能です。

認識論的考察

多くの数学定理は条件文であり、その証明は仮説または前提と呼ばれる条件から結論を導き出します。証明を真理の正当化と解釈する観点から、結論はしばしば仮説の必然的な帰結と見なされます。つまり、仮説が真であれば、それ以上の仮定を必要とせずに結論も真であるということです。しかし、特定の演繹体系では、導出規則や条件記号に割り当てられた意味に応じて、条件文の解釈が異なる場合があります（例えば、非古典論理）。

定理は完全に記号的な形式（例えば、命題計算における命題として）で記述することもできますが、読みやすさを向上させるために、英語などの自然言語で非公式に表現されることがよくあります。証明についても同様で、論理的に構成され、明確に表現された非公式な議論として表現されることが多く、定理の記述の真実性を読者に疑いの余地なく納得させることを意図しており、原理的には正式な記号的証明を構築することができます。

読みやすさに加えて、非公式な議論は通常、純粋に記号的な議論よりも検証が容易です。実際、多くの数学者は、定理の妥当性を示すだけでなく、なぜそれが明らかに真であるかを何らかの方法で説明する証明を好むでしょう。場合によっては、図を証明として使用することで定理を実証することさえできるかもしれません

定理は数学の核心にあるため、数学の美学においても中心的な役割を果たします。定理はしばしば「自明な」、「難しい」、「深い」、「美しい」と表現されます。これらの主観的な判断は、人によってだけでなく、時代や文化によっても異なります。例えば、証明が得られたり、簡略化されたり、よりよく理解されたりするにつれて、かつては難しかった定理が自明になることがあります。^[7]一方、深い定理は簡単に述べられるかもしれませんが、その証明には数学の異なる分野間の驚くべき微妙なつながりが含まれる場合があります。フェルマーの最終定理は、そのような定理の特によく知られた例です。^[8]

定理の非公式な説明

論理的には、多くの定理は「AならばB」という指示的条件文の形をとります。このような定理はBを主張するものではなく、BがAの必然的な帰結であるということだけを主張しますこの場合、Aは定理の仮説（ここでの「仮説」は推測とは全く異なる意味です）、Bは定理の結論と呼ばれます。これら2つを合わせて（証明なしで）、定理の命題または文と呼ばれます（例：「 AならばB」は命題です）。あるいは、AとBはそれぞれ前提と結論と呼ぶこともできます。^{[9] 「}nが偶数の自然数ならば、n /2は自然数である」という定理は、仮説が「nは偶数の自然数である」、結論が「n /2も自然数である」である典型的な例です。

定理が証明されるためには、原則として正確で形式的な文として表現可能でなければなりません。しかし、定理は通常、完全に記号的な形式ではなく、自然言語で表現されます。これは、形式的な文は非形式的な文から導き出せるという前提に基づいています

数学では、与えられた言語の中でいくつかの仮説を選び、理論はこれらの仮説から証明できるすべての命題から成り立つと宣言するのが一般的です。これらの仮説は理論の基礎を形成し、公理または公準と呼ばれます。証明論として知られる数学の分野は、形式言語、公理、そして証明の構造を研究します。

定理の中には、定義、公理、その他の定理から自明な形で導かれ、驚くべき洞察を含まないという意味で「自明」なものがあります。一方、証明が長く難解であったり、定理自体の主張とは表面的に異なる数学の分野に関係していたり、数学の異なる分野間の驚くべき関連性を示したりするため、「深い」定理と呼ばれるものもあります。[ ^10]定理は、簡単に述べられても深い場合があります。その好例がフェルマーの最終定理[ ^{8]であり、}数論や組合せ論など、他にも多くの分野において、単純でありながら深い定理の例があります。

他の定理には、簡単には書き表せない既知の証明があります。最も顕著な例は、四色定理とケプラー予想です。これらの定理はどちらも、計算探索に還元し、その後コンピュータプログラムによって検証することで初めて真であることが分かります。当初、多くの数学者はこの形式の証明を受け入れませんでしたが、広く受け入れられるようになりました。数学者のドロン・ツァイルバーガーは、これらが数学者がこれまでに証明した唯一の非自明な結果である可能性があるとさえ主張しています。^{[11]多項式恒等式、三角関数恒等式}^[e]、超幾何恒等式^[12]など、多くの数学定理はより直接的な計算に還元できます。

科学理論との関係

数学の定理と科学の理論は、その認識論において根本的に異なります。科学理論は証明できません。その重要な属性は反証可能であること、つまり、実験によって検証可能な自然界についての予測を行うことです。予測と実験の不一致は、科学理論の不正確さを示すか、少なくともその正確性または妥当性の範囲を制限します。一方、数学の定理は純粋に抽象的な形式的な記述です。定理の証明には、科学理論を支持するために使用されるのと同じ方法で、実験やその他の経験的証拠を含めることはできません。^[6]

コラッツ予想：その複雑さを示す一つの方法は、反復を自然数から複素数へと拡張することです。その結果得られるフラクタルは（普遍性に従って）マンデルブロ集合に類似します。

とはいえ、数学の定理の発見には、ある程度の経験主義とデータ収集が伴います。数学者は、時には高性能なコンピュータを用いてパターンを確立することで、何を証明すべきか、そして場合によってはどのように証明に着手するかの計画さえも立てることができます。また、単一の反例を見つけることで、述べられた命題の証明が不可能であることを立証し、場合によっては元の命題の限定された形式が実現可能な証明を持つ可能性を示唆することも可能です。

例えば、コラッツ予想とリーマン予想はどちらもよく知られた未解決問題です。経験的な検証によって広範囲に研究されてきましたが、未だ証明されていません。コラッツ予想は、約2.88× ^10⁻¹⁻までの初期値に対して検証されています。リーマン予想は、ゼータ関数の最初の10兆個の非自明な零点に対して成り立つことが検証されています。ほとんどの数学者は、予想と仮説が正しいと仮定することに抵抗はありませんが、これらの命題はどちらも証明されたとは考えられていません

このような証拠は証明にはなりません。例えば、メルテンス予想は自然数に関する命題であり、現在では誤りであることが分かっていますが、明確な反例（つまり、メルテンス関数M ( n )がnの平方根に等しいかそれを超える自然数n ）は知られていません。10の¹⁴乗未満のすべての数はメルテンスの性質を持ち、この性質を持たない最小の数は1.59 × 10の^40乗の指数未満、つまり約10の4.3 × 10の³⁹乗であることのみが知られています。宇宙の粒子の数は一般的に10の100乗（グーゴル）未満と考えられているため、網羅的な探索によって明確な反例を見つける望みはありません

「理論」という言葉は数学にも存在し、例えば群論（数学理論を参照）のように、数学的な公理、定義、定理の集合体を指します。科学、特に物理学や工学にも「定理」は存在しますが、それらはしばしば物理的な仮定や直感が重要な役割を果たす命題や証明を含んでいます。そのような「定理」が基づいている物理的な公理自体は反証可能です。

用語

数学的な命題には様々な用語が存在します。これらの用語は、特定の分野における命題の役割を示しています。用語間の区別は時に恣意的であり、一部の用語の用法は時代とともに変化してきました。

公理または公準とは、研究対象に関する基本的な仮定であり、証明なしに受け入れられるものです。関連する概念として定義があり、これは既知の概念に基づいて単語や句の意味を与えます。古典幾何学では、公理は一般的な命題であり、公準は幾何学的対象に関する命題です。^[13]歴史的には、公理は「自明」なものと考えられていましたが、今日では単に真であると仮定されているだけです。
予想とは、真であると信じられている未証明の命題です。予想は通常、公にされ、提唱者の名が付けられます（例えば、ゴールドバッハ予想やコラッツ予想）。「仮説」という用語もこの意味で使用されます（例えば、リーマン予想）。これは、証明の前提としての「仮説」と混同しないでください。他の用語も使用される場合があります。例えば、ある命題が真であると信じるべきかどうか確信が持てない場合、問題となります。フェルマーの最終定理は歴史的には定理と呼ばれていましたが、何世紀にもわたっては単なる予想に過ぎませんでした。
定理とは、公理やその他の定理に基づいて真であることが証明された命題です
命題とは、重要性の低い定理、あるいは非常に初歩的または明白であると考えられるため、証明なしに述べることができる定理です。これは、命題論理で使用される「命題」と混同しないでください。古典幾何学では、「命題」という用語は異なる意味で使用されていました。ユークリッドの『原論』（紀元前 300年頃）では、すべての定理と幾何学的構成は、その重要性に関わらず「命題」と呼ばれていました。
補題とは「付属命題」であり、特定の証明での使用以外ではほとんど適用できない命題です。時間の経過とともに補題は重要性を増し、定理と見なされることがあります。ただし、「補題」という用語は通常、その名前の一部として保持されます（例：ガウスの補題、ツォルンの補題、基本補題）。
系とは、他の定理または公理から、ほとんどまたは全く証明を必要とせずに直ちに導かれる命題です。^{[14]系は、定理をより単純な形で、または}特殊なケースについて言い換えたものでもあります。例えば、「長方形のすべての内角は直角である」という定理には、「正方形のすべての内角は直角である」という系があります。正方形は長方形の特殊なケースです。
定理の一般化とは、同様の主張をしているがより広い範囲の定理であり、そこから元の定理を特殊なケース（系）として演繹することができます。^{[f] <extra_id_1> 歴史的または慣習的な理由で、他の用語も使用される場合があります。例えば、}

恒等式とは、2つの式の間の等式が、その定義域内の任意の値に対して成り立つことを述べる定理です（例：ベズーの恒等式とヴァンデルモンドの恒等式）。

規則とは、有用な公式を確立する定理です（例：ベイズの法則、クラメールの法則）。
A rule is a theorem that establishes a useful formula (e.g. Bayes' rule and Cramer's rule).
A law or principle is a theorem with wide applicability (e.g. the law of large numbers, law of cosines, Kolmogorov's zero–one law, Harnack's principle, the least-upper-bound principle, and the pigeonhole principle).^[g]

A few well-known theorems have even more idiosyncratic names, for example, the division algorithm, Euler's formula, and the Banach–Tarski paradox.

Layout

A theorem and its proof are typically laid out as follows:

Theorem (name of the person who proved it, along with year of discovery or publication of the proof)

Statement of theorem (sometimes called the proposition)

Proof

Description of proof

End

The end of the proof may be signaled by the letters Q.E.D. (quod erat demonstrandum) or by one of the tombstone marks, such as "□" or "∎", meaning "end of proof", introduced by Paul Halmos following their use in magazines to mark the end of an article.^[15]

The exact style depends on the author or publication. Many publications provide instructions or macros for typesetting in the house style.

定理の前に、定理で使用される用語の正確な意味を説明する定義が置かれるのは一般的です。また、定理の前に、証明で使用されるいくつかの命題または補題が置かれるのも一般的です。しかし、補題は定理の証明に埋め込まれる場合があり、入れ子になった証明、または定理の証明の後に提示される証明のいずれかがあります。

定理の系は、定理と証明の間、または証明の直後に提示されます。系には、定理からなぜ従うのかを説明する独自の証明がある場合もあります。

伝承

毎年25万以上の定理が証明されていると推定されています。^[16]

「数学者はコーヒーを定理に変える装置である」という有名な格言は、おそらくアルフレッド・レーニによるものですが、レーニの同僚であるポール・エルデシュ（レーニはエルデシュのことを考えていたのかもしれません）に帰属することが多いとされています。エルデシュは、多くの定理を生み出し、多くの共同研究を行い、コーヒーを飲むことで有名でした。[ ^17]

有限単純群の分類は、一部の人々から最も長い定理の証明であると考えられています。これは、約100人の著者による500のジャーナル論文、数万ページにわたります。これらの論文を合わせると完全な証明になると考えられており、進行中のいくつかのプロジェクトでは、この証明を短縮および簡素化することを目指しています。^[18]このタイプの別の定理は、コンピューターで生成された証明が人間には長すぎる4色定理です。 ^[19]

論理における定理

数理論理学において、形式理論とは形式言語内の文の集合です。文とは、自由変数を持たない整形式の式です。理論の要素である文はその定理の1つであり、理論とはその定理の集合です。通常、理論は論理的帰結の関係の下で閉じていると理解されています。理論は意味的帰結関係（）の下で閉じていると定義する説明もあれば、統語的帰結関係、または導出可能性関係（）の下で閉じていると定義する説明もあります。^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29] $\models$ $\vdash$

理論が導出可能性関係の下で閉じているためには、定理がどのように導出されるかを指定する演繹体系に関連付けられている必要があります。演繹体系は明示的に述べられる場合もあれば、文脈から明らかな場合もあります。論理的帰結の関係の下での空集合の閉包は、演繹体系の定理である文だけを含む集合を生み出します

論理学においてこの用語が用いられる広い意味では、定理は必ずしも真である必要はありません。なぜなら、それを含む理論は、与えられた意味論、あるいは基礎となる言語の標準的な解釈に対して不健全である可能性があるからです。矛盾した理論は、すべての文を定理とみなします。

定理を形式言語の文として定義することは、証明論において有用です。証明論は、形式的な証明の構造と証明可能な式の構造を研究する数学の分野です。また、形式理論と、解釈を通してそれらに意味論を提供できる構造との関係を扱うモデル理論においても重要です

定理は解釈されない文である場合もありますが、実際には数学者は文の意味、つまり文が表現する命題にもっと興味を持っています。形式定理が有用で興味深いのは、真の命題として解釈でき、その導出が真理の証明として解釈できる場合があることです。解釈が形式体系に関する真の命題である定理（形式体系内ではなく）は、メタ定理と呼ばれます。

数理論理学における重要な定理には、以下のものがあります。

統語論と意味論

形式定理の概念は、意味論を導入する真の命題の概念とは対照的に、根本的に統語論的です。異なる演繹体系は、導出規則の前提（すなわち、信念、正当化、またはその他の様相）に応じて、異なる解釈を生み出す可能性があります。形式体系の健全性は、そのすべての定理が妥当性でもあるかどうかに依存します。妥当性とは、あらゆる解釈において真となる式です（例えば、古典的な命題論理では、妥当性はトートロジーです）。形式体系は、そのすべての定理がトートロジーでもある場合、意味的に完全であるとみなされます。

形式定理の解釈

定理と理論

参照

引用

注記

^ 一般的に、この区別は曖昧です。なぜなら、ある命題が証明可能であることを証明する標準的な方法は、それを証明することであるからです。しかし、数理論理学では、理論のすべての定理を個別に証明することはできないものの、その集合を考慮することがよくあります。
^ 例外は、ワイルズによるフェルマーの最終定理の最初の証明です。これは暗黙的にグロタンディーク宇宙に依存しており、その存在には集合論への新しい公理の追加が必要です。^[4]この集合論の新しい公理への依存はその後削除されました。^[5]それでも、初等算術で表現された命題の最初の証明に、非常に大きな無限集合の存在が含まれているというのは、かなり驚くべきことです。
^ 理論はしばしばその定理の集合と同一視される。ここでは、明瞭性のため、また集合論に依存しないため、これは避けられている。
^ しかし、定理と科学法則はどちらも調査の結果です。Heath 1897, p. clxxxii, Introduction, The terminology of Archimedes : "theorem (θεὼρνμα) from θεωρεἳν to survey"を参照。
^ 例えば、正弦と余弦の加法公式からの公式を導出することなど。 $\tan(\alpha +\beta)$
^ より一般性の低い、あるいは「系」のような定理が最初に証明されることが多いのは、より一般的な形式の証明には、機能的には補題、あるいは「補助」定理として使用するために、より単純な系のような形式が必要であるためです。
^ 「法則」という言葉は、公理、推論規則、あるいは確率論においては確率分布を指すこともあります。

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外部リンク

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