コセット

{\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } — $G$ は、加法 $のもとで$ 8 を法とする整数群である。部分群 $H$ は 0 と 4 のみを含む。H の左剰余類は 4 つ存在する： $H$ 自身、 $1 +$ $H$ 、 $2 +$ $H$ 、 $3 +$ $H$ （これは加法群であるため、加法表記法を用いて表記される）。これらを合わせると、群 $G$ 全体が等しい大きさで重複しない集合に分割される。添え字 $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ は 4 である。 $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$

数学、特に群論において、群 $G$ の部分群 $H は、$ $G$ の基礎集合を、互いに素で大きさの等しい部分集合である剰余類に分解するために用いられる。剰余類には、左剰余類と右剰余類がある。剰余類（左剰余類も右剰余類も）は、 $H$ と同じ数（濃度）の元を持つ。さらに、 $H自身も左剰余類でも右剰余類でもある。$ $G$ における $H$ の左剰余類の数は、 $G$ における $H$ の右剰余類の数と等しい。この共通の値は $G$ における $H$ のインデックスと呼ばれ、通常は $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ と表記される。

剰余類は群の研究における基本的なツールです。例えば、任意の有限群 $G$ に対して、 $G$ のすべての部分群 $H$ の元の数は $G$ の元の数を割り切るというラグランジュの定理において、剰余類は中心的な役割を果たします。特定の種類の部分群（正規部分群）の剰余類は、商群または因数群と呼ばれる別の群の元として使用することができます。剰余類は、ベクトル空間や誤り訂正符号など、数学の他の分野にも登場します。

意味

$H$ を群 $G$ の部分群とし、その演算は乗法的に記述されるものとする（並置は群の演算を表す） $。G$ の元 $g$ が与えられたとき、 $G$ における $H$ の左剰余類とは、 $Hの各元に$ $G$ の固定された元 $g$ を乗じて得られる集合である（ただし $g$ は左因数）。記号で表すと、これらは以下のようになる。

gH = {gh : h H の要素} (

gは

G

に属する。

右剰余類も同様に定義されるが、元 $g$ は右因子となる。つまり、

Hg = {hg : h H の要素} (

gは

G

に属する。

$g が$ 群の中で変化すると、多くの剰余類（右剰余類または左剰余類）が生成されるように見える。しかし、任意の2つの左剰余類（または右剰余類）は、集合として互いに素であるか同一であるかのいずれかであることがわかる。^[1]

群演算が加法的に記述される場合（群がアーベル群である場合によくあるケース）、使用される表記はそれぞれ $g + H$ または $H + g$ に変わります。

記号G / Hは、（左）剰余類の集合 { gH : g はGの元} を表すために使用されることがある（右剰余類および二重剰余類への拡張については後述）。しかし、一部の著者（Dummit & Foote や Rotman など）は、HがGの正規部分群である場合に剰余類から形成される商群を表すためにこの記法を特に用いている。

最初の例

$G を$ 位数 6 の二面体群とする。その元は ${I, a, a 2, b, ab, a 2 b}$ で表すことができる。この群において、 $a 3 = b 2 = I$ かつ $ba = a 2 b$ である。これはケーリー表全体を埋めるのに十分な情報である。

$T を$ 部分群 ${I, b}$ とする。T の（異なる）左剰余類は以下の $通り$ である。

$IT = T = {I, b}$ 、
$aT = {a, ab}$ 、そして
$a 2 T = {a 2 、 a 2 b}$ 。

$G$ のすべての元がこれらの剰余類のいずれかに現れているため、これ以上生成しても新しい剰余類は生成されません。新しい剰余類は必ずこれらの剰余類のいずれかと共通の元を持つため、これらの剰余類のいずれかと同一になります。例えば、 $abT = {ab, a} = aT です$ 。

$T$ の右剰余類は次の通りです。

$TI = T = {I, b}$ 、
$Ta = {a, ba} = {a, a 2 b}$ 、および
$Ta 2 = {a 2, ba 2} = {a 2, ab}$ 。

この例では、 $T$ を除いて、左剰余類が右剰余類でもあることはありません。

$H を$ $部分$ 群 ${I, a, a 2}$ とする。H の左剰余類は $IH$ $=$ $H$ かつ $bH$ $= {$ $b$ $,$ $ba$ $,$ $ba$ $2$ $}$ である。H の右剰余類は $HI$ $=$ $H$ かつ $Hb$ $= {$ $b$ $,$ $ab$ $,$ $a$ $2$ $b$ $} = {$ $b$ $,$ $ba$ $2$ $,$ $ba$ $}$ である。この場合、 $Hの$ $任意$ の左剰余類は $H$ の右剰余類でもある。^[2]

$Hを$ 群 $G$ の部分群とし、 $g 1$ , $g 2 \in G$ とする。以下の文は同値である。^[3]

$g 1 H = g 2 H$
$水銀 1 -1 = 水銀 2 -1$
$g 1 H \subset g 2 H$
$g 2 \in g 1 H$
$g 1 -1 g 2 \in H$

プロパティ

$非同一剰余類の非素性は、 x が$ $gH$ に属するならば $gH = xH$ となるという事実から生じる。なぜなら、 $x \in gHならば、$ $ga$ $=$ $x$ となる $a \in H$ が存在するからである。したがって、 $xH$ $= ($ $ga$ $)$ $H$ $=$ $g$ $($ $aH$ $)$ となる。さらに、 $H$ は群であるため、 $a$ による左乗法は一対一であり、 $aH$ $=$ $H$ となる。

$したがって、 G$ のどの元も部分群 $H$ のちょうど1つの左剰余類に属し、^[1] $H$ 自身も左剰余類（そして恒等剰余類を含む剰余類）である。^[2]

同じ左剰余類に属する 2 つの要素には、自然な同値関係も存在します。 $xH$ $=$ $yH$ ( または、 $x$ $-1$ $y が$ $H$ に属する場合と同値 ) であるとき、 $Gの 2 つの要素$ $x$ と $y$ が部分群 $H$ に関して同値であると定義します。この関係の同値類は $H$ の左剰余類です。^[4]任意の同値類の集合と同様に、それらは基礎となる集合の分割を形成します。剰余類の代表は、同値類の意味での代表です。すべての剰余類の代表の集合は横断と呼ばれます。共役など、ここで説明する特性を持たない異なるクラスを形成する、グループ内の他のタイプの同値関係もあります。

右剰余類にも同様の説明が当てはまります。

$G$ がアーベル群であるとき、 $G$ の任意の部分群 $Hと$ $G$ の任意の元 $gに対して、$ $g + H = H + g が$ 成立する。一般群の場合、群 $G$ の元 $g$ と部分群 $H$ $が与えられれば、 g$ に関する $H$ の右剰余類は、 $g$ に関する共役部分群 $g$ $-1$ $Hg$ の左剰余類でもある。すなわち、 $Hg$ $=$ $g$ $($ $g$ $-1$ $Hg$ $)$ である。

正規分布のサブグループ

群 $G$ の部分群 $Nが$ $G$ の正規部分群であるための必要十分条件は、 $G$ のすべての元 $g$ に対して対応する左剰余類と右剰余類が等しい、すなわち $gN$ $=$ $Ng$ $となることである。これは、上記の最初の例の部分群H$ の場合に当てはまる。さらに、 $G$ における $N$ の剰余類は、商群または因子群 $G$ $/$ $N$ と呼ばれる群を形成する。

$Hが$ $G$ において正規でない場合、その左剰余類は右剰余類とは異なります。つまり、 $G$ には $a が$ 存在し、その元 $b は$ $aH$ $=$ $Hb$ を満たしません。これは、 $Gを$ $H$ の左剰余類に分割する分割と、 $Gを$ $H$ の右剰余類に分割する分割が異なることを意味します。これは、上記の最初の例のサブグループ $Tによって示されています。（$ 一部の剰余類は一致する場合があります。例えば、 $a が$ $G$ の中心にある場合、 $aH$ $=$ $Ha$ となります。）

一方、部分群 $N が$ 正規群である場合、すべての剰余類の集合は、 $($ $aN$ $) * ($ $bN$ $) =$ $abN$ で定義される演算 $*を持つ商群$ $G / N$ と呼ばれる群を形成する。すべての右剰余類は左剰余類であるため、「左剰余類」と「右剰余類」を区別する必要はない。

サブグループのインデックス

$H$ の左剰余類および右剰余類は、 $H$ 自身と同じ元数（無限大の $H$ の場合は濃度）を持ちます。さらに、左剰余類の数は右剰余類の数と等しく、これはGにおける $H$ の指数と呼ばれ、 $[$ $G$ $:$ $H$ $]$ と書きます。ラグランジュの定理により、 $G$ と $H$ が有限の場合の指数を計算できます。この式は、群が無限大の場合にも一般化できます。 $|G|=[G:H]|H|.$

その他の例

整数

$G$ を整数の加法群Z $= ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ とし、 $H$ を部分群 $(3 Z, +) = ({..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}, +) とします。すると、$ $G$ における $H$ の剰余類は $3$ $Z$ 、 $3$ $Z$ $+ 1$ 、 $3$ $Z$ $+ 2$ の 3 つの集合になります。ここで $3$ $Z$ $+$ $a$ $= {..., -6 +$ $a$ $、 -3 +$ $a$ $、$ $a$ $、 3 +$ $a$ $、 6 +$ $a$ $、 ...}$ です。これらの 3 つの集合は集合 $Z$ $を分割するため、 H$ の他の右剰余類は存在しません。加法の可換性により、 $H$ $+ 1 = 1 +$ $H$ および $H$ $+ 2 = 2 +$ $H$ となります。つまり、 $H$ のすべての左剰余類は右剰余類でもあるため、 $H$ は正規部分群です。^[5]（同じ議論から、アーベル群のすべての部分群は正規群であることが分かる。^[6]）

この例は一般化できます。再び $G を$ 整数の加法群 $Z = ({..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, +)$ とし、 $H$ を部分群 $(m Z, +) = ({..., -2 m, - m, 0, m, 2 m, ...}, +)$ とします。ここで $m$ は正の整数です。すると、 $G$ における $H$ $の剰余類はm$ 個の集合 $m$ $Z$ , $m$ $Z$ $+ 1$ , ..., $m$ $Z$ $+ ($ $m$ $- 1)$ です。ここで $m$ $Z$ $+$ $a$ $= {..., -2$ $m$ $+$ $a$ $, -$ $m$ $+$ $a$ $,$ $a$ $,$ $m$ $+$ $a$ $, 2$ $m$ $+$ $a$ $, ...}です。$ $m$ $Z$ $+$ $m$ $=$ $m$ $($ $Z$ $+ 1) =$ $m$ $Z$ であるため、剰余類は $m$ 個より多くはありません。剰余類 $($ $m$ $Z$ $+$ $a$ $, +)は、$ $m$ を法とする $a$ の合同類です。^[7]部分群 $mZ$ $は$ $Z$ に正規なので、mを法とする整数群 $Z/mZ$ $の$ 商 $群$ $を$ $形成$ することができる。

ベクトル

剰余類のもう一つの例は、ベクトル空間理論から来ます。ベクトル空間の元（ベクトル）は、ベクトル加法の下でアーベル群を形成します。ベクトル空間の部分空間は、この群の部分群です。ベクトル空間 $V$ 、部分空間 $W 、および$ $V$ 内の固定ベクトル $a$ について、これらの集合はアフィン部分空間と呼ばれ、剰余類（群がアーベル群であるため、左剰余類と右剰余類の両方）です。3次元幾何学的ベクトルの観点から見ると、これらのアフィン部分空間は、部分空間（原点を通る直線または平面）に平行なすべての「直線」または「平面」です。例えば、平面 $R$ $2$ $を考えてみましょう。mが原点$ $O を$ 通る直線である場合、 $m$ はアーベル群 $R$ $2$ $の部分群です。Pが$ $R$ $2$ に属する場合、剰余類 $P$ $+$ $m$ $は、 m$ に平行で $P$ を通る直線 $m$ $'$ です。^[8] $\{\mathbf {x} \in V\mid \mathbf {x} =\mathbf {a} +\mathbf {w} ,\mathbf {w} \in W\}$

行列

$G を$ 行列の乗法群とし、^[9] $G$ の部分群 $Hを$ $G$ とします。G の固定元に対して左剰余類を考えます。つまり、左剰余類は $G$ の左上成分が同じすべての行列から構成されます。この部分群 $Hは$ $G$ において正規ですが、部分群は $G$ において正規ではありません。 $G=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}\colon a,b\in \mathbb {R} ,a\neq 0\right\},$ $H=\left\{{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}.$ ${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}H=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\b+c&1\end{bmatrix}}\colon c\in \mathbb {R} \right\}\\=&~\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\d&1\end{bmatrix}}\colon d\in \mathbb {R} \right\}.\end{aligned}}$ $T=\left\{{\begin{bmatrix}a&0\\0&1\end{bmatrix}}\colon a\in \mathbb {R} -\{0\}\right\}$

集団行動の軌道として

群 $G$ の部分群 $Hは$ $、$ $Hの$ $G$ への作用を2つの自然な方法で定義するために用いることができる。右作用G $\times$ $H$ $\to$ $Gは$ $($ $g$ $,$ $h$ $)\to$ $gh$ で与えられ、左作用H $\times$ $G$ $\to$ $G$ $は$ $($ $h$ $,$ $g$ $)\to$ $hg$ で与えられる。右作用による $g$ の軌道は左剰余類 $gH$ であり、左作用による軌道は右剰余類 $Hg$ である。^[10]

歴史

剰余集合の概念は、 1830年から1831年にかけてのガロアの研究に遡る。彼は記法を導入したが、概念に名前を与えなかった。「剰余集合」という用語は、1910年にGAミラーがQuarterly Journal of Pure and Applied Mathematics（第41巻、382ページ）に発表した論文で初めて登場したと思われる。その後、ドイツ語のNebengruppen（Weber）や共役群（Burnside）など、様々な用語が用いられてきた。^[11]（ミラーは自身の引用をQuarterly Journal of Mathematicsと略記しているが、これは1930年まで創刊されなかった同名の雑誌を指すものではない。）

ガロアは、与えられた多項式方程式が根号によって解けるかどうかの判定に関心を持っていました。彼が開発した手法の一つは、順列群 $G$ の部分群 $Hが$ $G$ の2つの分解（現在では左剰余類と右剰余類と呼ばれています）を誘導することに注目することでした。これらの分解が一致する場合、つまり左剰余類が右剰余類と同じ場合、問題を $G$ ではなく $H$ に帰着させる方法がありました。カミーユ・ジョルダンは1865年と1869年にガロアの研究に関する注釈の中でこれらの考えを詳しく述べ、上記のように正規部分群を定義しましたが、彼自身はこの用語を使用していませんでした。^[6]

$gH を$ $H$ に関する $g$ の左剰余類と呼ぶことは、今日では最も一般的であるが、^{[10]過去には普遍的に正しいとは言い難かった。例えば、Hall (1959) は} $gH を$ 右剰余類と呼び、部分群が右側にあることを強調した。

符号理論からの応用

2元線形符号は、2元体 $GF(2)上の$ $m$ 次元ベクトル空間 $V$ の $n$ 次元部分空間 $C$ です。 $V$ は加法アーベル群なので、 $C$ はこの群の部分群です。符号は、送信中に発生する可能性のあるエラーを訂正するために使用できます。符号語( $C$ の要素) が送信されると、そのビットの一部が処理中に変更される場合があり、受信側のタスクは、破損した受信語が最初に使用されていた可能性が最も高い符号語を決定することです。この手順は復号化と呼ばれ、送信中にいくつかのエラーが発生した場合は、非常に少ない間違いで効果的に行うことができます。復号化に使用される1つの方法では、 $V$ の要素(受信語は $V$ の任意の要素である可能性があります) を標準配列に配置します。標準配列は、特定の方法で表形式にされた $V$ の剰余類分解です。つまり、配列の最上行は、ゼロベクトルを最初に記述することを除いて、任意の順序で記述された $C$ の要素で構成されます。次に、最上行にまだ現れていない、最小数の 1 を持つ $V$ の要素が選択され、この要素を含む $C$ の剰余類が 2 行目に書き込まれます（つまり、この行は、この要素とそのすぐ上の $Cの各要素との和をとることによって形成されます）。この要素は$ 剰余類リーダーと呼ばれ、その選択には何らかの選択肢があります。このプロセスが繰り返され、最小数の 1 を持つ新しいベクトルが新しい剰余類リーダーとして選択され、それを含む $Cの剰余類が次の行になります。このプロセスは、$ $V$ のすべてのベクトルが剰余類に分類された時点で終了します。

5次元空間 $V （ベクトル数32）における2次元コード$ $C = {00000, 01101, 10110, 11011}$ の標準配列の例は次のとおりです。

復号化の手順は、受信語をテーブルから探し、その行のコセットリーダーをそれに加算することです。2進演算では加算と減算は同じ演算であるため、常に $C$ の要素が生成されます。伝送エラーがコセットリーダーのゼロ以外の位置に正確に発生した場合、結果は正しいコードワードになります。この例では、1つのエラーが発生した場合、配列には1つのエラーを含む可能性のあるすべてのコセットリーダーが含まれているため、この方法は常にそれを修正します。

シンドローム復号法は、この手法の効率を向上させるために用いることができる。これは、受信語が含まれる正しいコセット（行）を計算する手法である。m次元2値ベクトル空間におけるn次元符号Cに対して $、$ パリティ検査 $行列$ は $、$ x $が$ $C$ に含まれる場合にのみ $x$ $H$ $T$ $=$ $0$ となる性質を持つ $($ $m$ $-$ $n$ $)\times$ $m$ 行列 $H$ である。^[12]ベクトル $x$ $H$ $Tは$ $x$ のシンドロームと呼ばれ、線形性により、同じコセットに含まれるすべてのベクトルは同じシンドロームを持つ。復号を行うには、受信語と同じシンドロームを持つコセットリーダーを見つけるだけで済む。^[13]

二重剰余類

群 $G$ の二つの部分群 $H$ と $K$ （これらは互いに異なる必要はない）が与えられたとき、 $G$ における $H$ と $K$ の二重剰余類は $HgK$ $= {$ $hgk$ $:$ $h は$ $H$ $の元$ $、$ $k は$ $K$ $の元$ $}$ の形で表される集合である。これらはそれぞれ、 $H$ $= 1$ と $K$ $= 1 の$ ときの $K$ の左剰余類と $H$ の右剰余類である。^[14]

2つの二重剰余類 $HxK$ と $HyK$ は互いに素であるか同一であるかのいずれかである。^{[15]固定された} $H$ と $K$ に対するすべての二重剰余類の集合は $G$ の分割を形成する。

二重剰余類 $HxKは$ 、Kの元kを持つ $H$ $（$ G $内$ $）$ の $完全$ 右剰余類と、 $H$ に $h$ を持つ $hxK$ の形式を持つ $K$ （ $G$ 内）の完全左剰余類を含む。^[15]

表記

$G を部分群$ $H$ と $K$ を持つ群とする。これらの集合を扱う研究者の中には、その研究のために特別な記法を開発している者もいる。^[16]^[17]

$G / H は、$ $G$ における $H$ の左剰余類の集合 ${gH : g in G}$ を表します。
$H \ G は、$ $G$ における $H$ の右剰余類の集合 ${Hg : g in G}$ を表します。
$K \ G / H は、$ $H$ と $K$ in $G$ の二重剰余類の集合 ${KgH : g in G}を表し、$ 二重剰余類空間と呼ばれることもあります。
$G // H は$ $G$ の部分群 $H$ の二重剰余類空間 $H \ G / H$ を表します。

その他のアプリケーション

$R$ における $Q$ の剰余類は、非測定集合の一種であるVitali 集合の構築に使用されます。
剰余類は転送の定義において中心的な役割を果たします。
剰余類は計算群論において重要です。例えば、ルービックキューブを解くシスルスウェイトのアルゴリズムは、剰余類に大きく依存しています。
幾何学において、クリフォード・クライン形式は二重剰余類空間 $Γ \ G / H$ であり、ここで $G$ は簡約リー群、 $H$ は閉部分群、 $Γは$ 同次空間 $G$ $/$ $H$ 上で適切に不連続に作用する( $G$ の) 離散部分群である。

参照

注記

^ ab Rotman 2006、p. 156
^ ab Dean 1990、p. 100
^ “AATA Cosets”. 2022年1月22日時点のオリジナルよりアーカイブ。2020年12月9日閲覧。
^ ロットマン 2006、155ページ
^ フレイリー 1994, p. 117
^ フレイリー 1994、169ページ
^ ジョシ 1989, 323ページ
^ ロットマン 2006、155ページ
^ バートン 1988、128、135ページ
^ ジェイコブソン 2009、52ページ
^ ミラー 2012、p. 24 脚注
^ 転置行列はベクトルを行ベクトルとして記述するために使用されます。
^ ロットマン 2006、423ページ
^ スコット 1987、19ページ
^ ab ホール 1959、14～15ページ
^ Seitz, Gary M. (1998)、「代数群の二重剰余類」、Carter, RW; Saxl, J. (編)、『代数群とその表現』、Springer、pp. 241– 257、doi :10.1007/978-94-011-5308-9_13、ISBN 978-0-7923-5292-1
^ Duckworth, W. Ethan (2004)、「代数群における二重剰余類コレクションの無限性」、Journal of Algebra、273 (2)、Elsevier: 718– 733、arXiv : math/0305256、doi :10.1016/j.jalgebra.2003.08.011、S2CID 17839580

参考文献

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ディーン、リチャード A. (1990)、「古典抽象代数」、ハーパー・アンド・ロウ、ISBN 0-06-041601-7
ジョン B. フレイリー (1994)、抽象代数の第一コース(第 5 版)、Addison-Wesley、ISBN 978-0-201-53467-2
ホール・ジュニア、マーシャル（1959年）『群論』マクミラン社
ジェイコブソン、ネイサン（2009）[1985]、Basic Algebra I（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1
Joshi, KD (1989)、「§5.2 部分群の剰余類」、離散数学の基礎、ニューエイジインターナショナル、322頁以降、ISBN 81-224-0120-1
ミラー、GA（2012）[1916]、有限群の理論と応用、アップルウッドブックス、ISBN 9781458500700
ロットマン、ジョセフ・J.（2006年）、抽象代数の入門講座（第3版）、プレンティス・ホール、ISBN 978-0-13-186267-8
スコット, WR (1987)、「§1.7 剰余類と指数」、群論、クーリエ・ドーバー出版、19頁以降、ISBN 0-486-65377-3

さらに読む

Zassenhaus, Hans J. (1999)、「§1.4 部分群」、群論、Courier Dover Publications、10頁以降、ISBN 0-486-40922-8

外部リンク

Nicolas Bray. 「剰余類」. MathWorld .
ワイスタイン、エリック・W.「左剰余類」。MathWorld。
ワイスタイン、エリック・W.「右剰余類」。MathWorld。
イワノワ, OA (2001) [1994], 「群の剰余類」,数学百科事典, EMS Press
PlanetMathの Coset 。
図解例
「剰余類」。groupprops 。グループプロパティWiki。