不確実性

数学において、微分多様体（/ d ə ˈ f aɪ ə ˌ t iː /）は、現代の偏微分方程式理論において代数多様体が代数方程式に対して果たす役割と同じ役割を果たす幾何学的対象であり、解の空間をより概念的に符号化する。この用語は、1984年にアレクサンドル・ミハイロヴィチ・ヴィノグラードフによって、differential var ietyを合成した造語である。^[1]

直感的な定義

代数幾何学における主要な研究対象（多様体）は、代数方程式系の解空間（すなわち、多項式集合の零点）と、それらのすべての「代数的帰結」をモデル化します。これは、この集合に代数演算（例えば、これらの多項式同士の加算や、他の任意の多項式との乗算）を適用すると、同じ零点が生じることを意味します。言い換えれば、多項式の初期集合によって生成される代数的イデアルの零点を実際に考えることができるのです。

微分方程式を扱う際には、上記の代数演算を適用するだけでなく、初期方程式を微分して新たな微分制約を得るという選択肢もあります。したがって、多様体の微分類似体は、微分方程式系の解空間とそのすべての「微分的帰結」であるべきです。したがって、代数イデアルの零点軌跡を考える代わりに、微分イデアルを扱う必要があります。

したがって、基本微分は、微分方程式の無限延長と、特殊 超関数によって提供される追加の構造から構成される。基本微分は、代数方程式の理論におけるアフィン代数多様体の役割と同じ役割を微分方程式の理論において果たす。したがって、多様体やスキームが既約アフィン多様体やアフィンスキームから構成されるのと同様に、（非基本）微分は、局所的に基本微分 に類似するオブジェクトとして定義される。${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$

正式な定義

微分方程式とその解に対する幾何学的アプローチに依存する微分量の正式な定義には、以下で説明する部分多様体のジェット、延長、およびカルタン分布の概念が必要です。

部分多様体のジェット空間

例えば、 についてはの点のみが回復され、 については の-次元部分空間のグラスマン多様体が回復されます。より一般的には、すべての射影はファイバー束 です。 ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle J^{k}(E)\to J^{k-1}E}$

特殊なケースとして、 が-次元多様体上のファイバー多様体の構造を持つ場合、の局所断面のグラフによって与えられるの部分多様体を考えることができる。この場合、部分多様体のジェットの概念は、断面のジェットの標準的な概念に帰着し、ジェット束はの開稠な部分集合となる。^[3]${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$

部分多様体の延長

部分多様体のジェット延長は ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M\subseteq E}$

$${\displaystyle j^{k}(M):M\rightarrow J^{k}(E,m),\quad p\mapsto [M]_{p}^{k}}$$

この写像は滑らかな埋め込みであり、その像は部分多様体の延長と呼ばれ、に微分同相なの部分多様体です。 ${\displaystyle j^{k}(M)}$ ${\displaystyle M^{k}:={\text{im}}(j^{k}(M))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle M}$

ジェット空間上のカルタン分布

の形をした空間（ただしは の延長線上に点 を含む任意の部分多様体）はにおける-平面（またはジェット平面、あるいはカルタン平面）と呼ばれる。ジェット空間上のカルタン分布はで定義される分布であり、はにおけるすべての -平面の張る範囲である。^[4]${\displaystyle T_{\theta }(M^{k})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq T(J^{k}(E,m))}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}:J^{k}(E,m)\rightarrow TJ^{k}(E,m),\qquad \theta \mapsto {\mathcal {C}}_{\theta }\subset T_{\theta }(J^{k}(E,m))}$$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta \in J^{k}(E,m)}$

微分方程式

多様体 上の 階の微分方程式は部分多様体 である。解はとなる-次元部分多様体として定義される。が 上のファイバー多様体である場合、ジェットバンドル上の偏微分方程式とその解の概念が回復され、これにより、数学的解析の類似の概念を座標を使用しない方法で記述することができる。ジェットバンドルは幾何学で生じる多くの方程式を扱うのに十分であるが、部分多様体のジェット空間はより一般性が高く、ラグランジュ部分多様体や極小曲面など、与えられた多様体の部分多様体に課せられるいくつかの PDE を扱うのに用いられる。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S^{k}\subseteq {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

ジェット束の場合と同様に、カルタン分布は微分方程式に対する代数幾何学的アプローチにおいて重要です。なぜなら、カルタン分布は解を純粋に幾何学的な用語で符号化することを可能にするからです。実際、部分多様体が解となるのは、それが に対して、すなわちすべてのに対して整多様体である場合に限ります。 ${\displaystyle S\subset {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle T_{\theta }S\subset {\mathcal {C}}_{\theta }}$ ${\displaystyle \theta \in S}$

PDE のカルタン分布をより本質的に見て、 を定義することもできます。この意味で、ペアは微分方程式 の解に関する情報をエンコードします。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}):=\{{\mathcal {C}}_{\theta }\cap T_{\theta }({\mathcal {E}})~|~\theta \in {\mathcal {E}}\}}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}},{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

PDEの延長

階微分方程式が与えられたとき、その- 階延長は と定義されます。ここで、 と は両方ともの埋め込み部分多様体とみなせるため、それらの交差は明確に定義されます。しかし、このような交差は必ずしも多様体に戻るとは限らず、したがって 階微分方程式ではない可能性があります。したがって、通常は少なくともその最初の延長が の部分多様体となるように「十分に良い」ことが求められます。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{l}(E,m)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}:=J^{k}({\mathcal {E}},m)\cap J^{k+l}(E,m)\subseteq J^{k+l}(E,m)}$$ ${\displaystyle J^{k}({\mathcal {E}},m)}$ ${\displaystyle J^{k+l}(E,m)}$ ${\displaystyle J^{k}(J^{l}(E,m),m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle k+l}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle J^{k+1}(E,m)}$

以下では、偏微分方程式が形式的に可積分であると仮定する。すなわち、すべての延長は滑らかな多様体であり、すべての射影は滑らかな射影的沈み込みである。カルタン・倉西延長定理の適切なバージョンは、小さな正則性の仮定の下で、有限個の延長の滑らかさを確認するだけで十分であることを保証することに注意されたい。すると、数列の逆極限は、延長の定義を が無限大になる場合まで拡張し、空間はprofinite-次元多様体の構造を持つ。^[5]${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}\to {\mathcal {E}}^{k-1}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}^{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$

差異の定義

初等微分とは、ある多様体上の - 階微分方程式、その無限延長、およびそのカルタン分布からなる組である。有限の場合とは異なり、カルタン分布は- 次元かつ対合的であることが示せることに注意されたい。しかし、周囲多様体が無限次元であるため、フロベニウスの定理は成立せず、したがって積分可能ではない 。${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$

差異とは、以下の三つの要素から構成される。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$

• （一般的には無限次元の）多様体${\displaystyle {\mathcal {O}}}$
• 滑らかな関数の代数${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$
• 有限次元分布、${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$

が局所的に の形をとるとき、 は基本微分であり、上の滑らかな関数の代数を表す。ここで、が局所的であるとは、代数 に対応するザリスキー位相に関して適切な局所化を意味する。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty }),{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {E}}^{\infty },{\mathcal {C}}({\mathcal {E}}^{\infty }))}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {E}}^{\infty })}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {O}})}$

の次元は微分次元と呼ばれ、大文字の D で表されます(多様体として の の次元と区別するため)。${\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Dim} ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

不確かさの射影

2 つの不完全性と の間の射影は、滑らかな写像から成り、その前進によってカルタン分布が保存されます。つまり、すべての点 に対して が成り立ちます。 ${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle ({\mathcal {O}}',{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}'),{\mathcal {C}}({\mathcal {O'}}))}$ ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {O}}\rightarrow {\mathcal {O}}'}$ ${\displaystyle \theta \in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle d_{\theta }\Phi ({\mathcal {C}}_{\theta })\subseteq {\mathcal {C}}_{\Phi (\theta )}}$

困難性とその射影は微分方程式のカテゴリーを定義する。^[3]

アプリケーション

ヴィノグラドフ配列

ヴィノグラドフスペクトル列（または、略してヴィノグラドフ列）は、微分量に関連付けられたスペクトル列であり、${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ カルタン分布を利用することで微分方程式の形式解空間の特定の特性を調べるために使用できます。^[6]${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

微分率が与えられたとき、上の微分形式の代数を考える。${\displaystyle ({\mathcal {O}},{\mathcal {F}}({\mathcal {O}}),{\mathcal {C}}({\mathcal {O}}))}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}}):=\sum _{i\geq 0}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$

対応するde Rham複合体：

${\displaystyle C^{\infty }({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{1}({\mathcal {O}})\longrightarrow \Omega ^{2}({\mathcal {O}})\longrightarrow \cdots }$

そのコホモロジー群は偏微分方程式に関する構造的な情報を含んでいるが、 ポアンカレの補題により、それらはすべて局所的に消えてしまう。したがって、より多くの、そして局所的な情報を抽出するためには、カルタン分布を考慮し、より洗練されたシーケンスを導入する必要がある。そのために、 ${\displaystyle H^{i}({\mathcal {O}}):={\text{ker}}({\text{d}}_{i})/{\text{im}}({\text{d}}_{i-1})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})=\sum _{i\geq 0}{\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ({\mathcal {O}})}$

超関数への制限が消える微分形式の部分加群、すなわち ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{p}({\mathcal {O}}):=\{w\in \Omega ^{p}({\mathcal {O}})\mid w(X_{1},\cdots ,X_{p})=0\quad \forall ~X_{1},\ldots ,X_{p}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {O}})\}.}$

はド・ラーム微分に対して安定であるため、実際には微分イデアルであることに注意してください。つまり、 です。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}})\subseteq \Omega ^{i}({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\text{d}}({\mathcal {C}}\Omega ^{i}({\mathcal {O}}))\subset {\mathcal {C}}\Omega ^{i+1}({\mathcal {O}})}$

ここで を の乗、つまり によって生成されたの線形部分空間とします。すると、${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega ({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Omega }$ ${\displaystyle w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k},~w_{i}\in {\mathcal {C}}\Omega }$

${\displaystyle \Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}\Omega ({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{2}\Omega ({\mathcal {O}})\supset \cdots }$

すべてのイデアルは安定しているので、このフィルタリングによって次のスペクトルシーケンスが完全に決定されます。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}\Omega }$

${\displaystyle {\mathcal {C}}E({\mathcal {O}})=\{E_{r}^{p,q},{\text{d}}_{r}^{p,q}\}\qquad {\text{where}}\qquad E_{0}^{p,q}:={\frac {{\mathcal {C}}^{p}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}{{\mathcal {C}}^{p+1}\Omega ^{p+q}({\mathcal {O}})}},\qquad {\text{and}}\qquad E_{r+1}^{p,q}:=H(E_{r}^{p,q},d_{r}^{p,q}).}$

上記の濾過は各次数ごとに有限であり、すなわち${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle \Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset {\mathcal {C}}^{1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})\supset \cdots \supset {\mathcal {C}}^{k+1}\Omega ^{k}({\mathcal {O}})=0,}$

スペクトル列は微分方程式のド・ラームコホモロジーに収束する。したがって、スペクトル列の各項を順に解析することで、元の偏微分方程式に関する情報を得ることができる。例えば、次のようになる。 ^[7]${\displaystyle H({\mathcal {O}})}$

• ${\displaystyle E_{1}^{0,n}}$ は偏微分方程式 によって制約される作用汎関数に対応する。特に、 の場合、対応するオイラー・ラグランジュ方程式は である。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in E_{1}^{0,n}}$ ${\displaystyle {\text{d}}_{1}^{0,n}{\mathcal {L}}=0}$
• ${\displaystyle E_{1}^{0,n-1}}$ の解の保存則に対応します。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$
• ${\displaystyle E_{2}}$ は、 の解のボルディズムの特性クラスとして解釈されます。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

多くの高階項にはまだ解釈がありません。

変分双複体

特殊な例として、繊維多様体とそのジェット空間の代わりにジェット束、そして -スペクトル列の代わりに、やや一般性に欠ける変分双複体を得る。より正確には、任意の双複体は2つのスペクトル列を決定する。変分双複体によって決定される2つのスペクトル列のうちの1つは、まさにヴィノグラドフ-スペクトル列である。しかしながら、変分双複体はヴィノグラドフ列とは独立して発展した。^{[8] [9]}${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle J^{k}(\pi )}$ ${\displaystyle J^{k}(E,m)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

スペクトル列の項と同様に、変分双複体の多くの項は古典場の理論で物理的な解釈を与えることができる。例えば、作用汎関数、保存電流、ゲージ電荷などに対応するコホモロジー類が得られる。^[10]

二次微積分

ヴィノグラドフは、与えられた偏微分方程式系の解の空間（すなわち、与えられた微分量の整多様体の空間）上の微分計算の考え方をコホモロジーの用語で形式化する、二次計算として知られる理論を開発した。 ^{[11] [12] [13] [3]}

言い換えれば、二次微積分は、関数、ベクトル場、微分形式、微分作用素などの代わりとなるものを、（一般的に）非常に特異な空間上に提供する。これらの空間では、これらの対象は通常の（滑らかな）解空間上では定義できない。さらに、これらの新しい対象の空間は、元の対象の空間と同じ代数的構造を自然に備えている。^[14]

より正確には、微分 の水平ド・ラーム複体 を考える。これは、対合超関数 の葉方向ド・ラーム複体、あるいは同値なリー代数 のリー代数複体と見ることができる。すると、この複体は、適切な微分 とともに、自然に可換なDG 代数となる。そして、場合によっては正規束 とテンソル化することで、そのコホモロジーを用いて、以下の「二次的対象」を定義する。 ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}):=\Gamma (\wedge ^{\bullet }{\mathcal {C(O)}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C(O)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\overline {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:=T{\mathcal {O}}/{\mathcal {C(O)}}\to {\mathcal {O}}}$

• 二次関数はコホモロジー の要素であり、これは当然可換な DG 代数です (実際には上で説明した -スペクトル列の最初のページです)。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• 二次ベクトル場はコホモロジー の要素であり、これは当然リー代数である。さらに、 とともに次数付きリー・ライナーハート代数を形成する。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},{\mathcal {V}})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {V}}),{\overline {d}})}$ ${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}})}$
• 二次微分 -形式は${\displaystyle p}$ コホモロジー の元であり、これは自然に可換な DG 代数である。${\displaystyle {\overline {H}}^{\bullet }({\mathcal {O}},\wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*})=H^{\bullet }({\overline {\Omega }}^{\bullet }({\mathcal {O}}\otimes \wedge ^{p}{\mathcal {V}}^{*}),{\overline {d}})}$

二次微積分は共変位相空間、すなわちラグランジュ場理論に関連したオイラー-ラグランジュ方程式の解空間とも関連している。^[15]

参照

• 二次計算とコホモロジー物理学
• ジェット束上の偏微分方程式
• 微分イデアル
• 可換代数上の微分積分

代数幾何学の考え方を一般化する別の方法は、微分代数幾何学です。

参考文献

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13. ヘノー, マーク; クラシルシチク, ジョセフ; ヴィノグラドフ, アレクサンドル編 (1998). Secondary Calculus and Cohomological Physics. Contemporary Mathematics. Vol. 219. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. doi :10.1090/conm/219. ISBN 978-0-8218-0828-3。
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15. Vitagliano, Luca (2009-04-01). 「二次微分積分と共変位相空間」. Journal of Geometry and Physics . 59 (4): 426– 447. arXiv : 0809.4164 . Bibcode :2009JGP....59..426V. doi :10.1016/j.geomphys.2008.12.001. ISSN  0393-0440. S2CID  21787052.

外部リンク

• ディフィエティ研究所（2010年から凍結）
• レヴィ・チヴィタ研究所（上記サイトの後継）
• 微分方程式の幾何学
• 微分幾何学と偏微分方程式