指数関数的成長

指数関数的増加とは、ある量が時間の指数関数的に増加することです。その量は現在の大きさに正比例する速度で増加します。例えば、現在の3倍の大きさになったとき、その量は現在の3倍の速度で増加します。

より専門的な言葉で言えば、ある量の独立変数に対する瞬間的な変化率（つまり導関数）は、その量自体に比例します。独立変数とは多くの場合、時間です。関数として記述される指数関数的な増加を示す量は、時間の指数関数です。つまり、時間を表す変数が指数です（二次関数などの他の種類の増加とは対照的です）。指数関数的増加は、対数的増加の逆です。

常に増加する成長率が常にある場合が、必ずしも指数関数的成長の例とは限りません。例えば、関数は常に増加する速度で成長しますが、指数関数的成長よりもはるかに遅い場合です。例えば、関数が現在のサイズの3倍の速度で成長する場合、関数は常に現在のサイズの3倍の速度で成長します。現在のサイズの10倍の大きさになったとき、関数は10倍の速度で成長します。 ${\textstyle f(x)=x^{3}}$ ${\textstyle x=1,}$ ${\textstyle x=10}$

比例定数が負の場合、量は時間とともに減少し、指数関数的減少を起こしていると言われます。等間隔の離散定義域の場合、関数の値が等比数列を形成するため、これは幾何的増加または幾何的減少とも呼ばれます。

離散的な間隔（つまり、整数倍の0、1、2、3、…）で時間 $tが進むにつれて、変数$ $x$ が成長率 $r$ で指数関数的に増加する式は、

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

ここで、 $x 0$ $は時刻 0 におけるx$ の値です。細菌コロニーの成長は、これを説明するためによく使用されます。1 つの細菌が 2 つに分裂し、さらにそれぞれが 4 つ、8 つ、16 つ、32 つと分裂します。増加量は細菌の数が増え続けることに比例するため、増え続けます。このような成長は、ウイルス感染の拡大、複利による負債の増加、バイラル動画の拡散など、現実の活動や現象で観察されます。実際のケースでは、初期の指数関数的成長は永久に続くことはなく、最終的には外的要因による上限によって減速し、ロジスティック成長に変わることがよくあります。

「指数関数的成長」といった用語は、時に「急速な成長」と誤って解釈されることがあります。実際、指数関数的に成長するものも、最初はゆっくりと成長している場合があります。^[1]^[2]

例

生物学

培養液中の微生物の数は、必須栄養素が枯渇するまで指数関数的に増加します。必須栄養素が枯渇すると、それ以上の微生物が成長するための栄養素がなくなります。通常、最初の微生物は2つの娘微生物に分裂し、さらにそれぞれが4つに分裂し、さらに8つに分裂し、というように増殖が続きます。指数関数的増殖は一定の増殖速度を示すため、指数関数的に増殖する細胞は定常状態にあるとしばしば想定されます。しかし、細胞は代謝と遺伝子発現を再構築しながら、一定の速度で指数関数的に増殖することもあります。^[3]
ウイルス（例えばCOVID-19や天然痘）は、人工的な免疫がない場合、通常は最初は指数関数的に広がります。感染者1人から複数の人に感染させる可能性があります。

物理

誘電体材料内で発生するアバランシェ破壊。自由電子は外部から印加された電界によって十分に加速され、誘電体媒体の原子または分子と衝突する際に追加の電子を放出する。これらの二次電子も加速され、より多くの自由電子を生成する。結果として生じる電子とイオンの指数関数的増加は、材料の完全な絶縁破壊を急速に引き起こす可能性がある。
核連鎖反応（原子炉と核兵器の背後にある概念）。核分裂を起こすウラン原子核はそれぞれ複数の中性子を生成し、それぞれの中性子は隣接するウラン原子に吸収され、次々と核分裂を引き起こす。中性子吸収の確率が中性子放出の確率（ウランの形状と質量の関数）を超えると、中性子生成率と誘導ウラン核分裂率は制御不能な反応として指数関数的に増加する。「指数関数的な増加率のため、連鎖反応のどの時点においても、エネルギーの99%は最後の4.6世代で放出される。最初の53世代は、実際の爆発に至るまでの潜伏期間と考えるのが妥当な近似値であり、実際の爆発はわずか3～4世代で起こる。」^[4]
電気増幅または電気音響増幅の線形範囲内での正のフィードバックにより、増幅された信号が指数関数的に増大する可能性がありますが、共鳴効果により、信号の一部の周波数成分が他の周波数成分よりも優先される場合があります。

経済

経済成長はパーセンテージで表され、指数関数的な成長を意味します。

ファイナンス

一定の利率での複利は資本の指数関数的な成長をもたらします。 ^[5]72の法則も参照してください。
ねずみ講やポンジスキームもこのタイプの成長を示し、少数の初期投資家が大きな利益を得る一方で、多数の投資家が損失を被ることになります。

コンピュータサイエンス

コンピュータの処理能力。ムーアの法則と技術的特異点も参照のこと。（指数関数的成長においては、特異点は存在しない。ここでの特異点は、想像を絶する未来を表す比喩である。この仮説的概念と指数関数的成長との関連を最も強く主張したのは、未来学者レイ・カーツワイルである。）
計算複雑性理論では、指数関数的な複雑性を持つコンピュータアルゴリズムでは、問題のサイズが一定に増加するだけで、必要なリソース (時間、コンピュータメモリなど) が指数関数的に増加します。そのため、時間複雑度が $2 x$ $のアルゴリズムでは、サイズx = 10の問題が完了するまでに 10 秒かかり、サイズ$ $x = 11$ の問題が20 秒かかる場合、サイズ $x = 12$ の問題は40 秒かかります。この種のアルゴリズムは、通常、問題のサイズが非常に小さい場合 (多くの場合、項目数が 30 ～ 100 の間) は使用できなくなります (ほとんどのコンピュータアルゴリズムでは、最大数万、または数百万項目に及ぶはるかに大きな問題を妥当な時間で解く必要があり、これは指数アルゴリズムでは物理的に不可能です)。また、ムーアの法則の影響も状況の改善にはあまり役立ちません。プロセッサ速度を 2 倍にしても実行可能な問題のサイズが一定だけ増加するだけだからです。例えば、低速プロセッサがサイズ $xの問題を$ $t$ 時間で解ける場合、2倍高速なプロセッサは同じ時間 $tでサイズ$ $x + 定数$ の問題しか解けません。したがって、指数関数的に複雑なアルゴリズムはほとんどの場合非現実的であり、より効率的なアルゴリズムの探索は今日のコンピュータサイエンスの中心的な目標の一つです。

インターネット現象

インターネットミームや動画などのインターネットコンテンツは指数関数的に拡散することがあり、ウイルスの拡散に例えて「バイラルになる」と言われることが多い。 ^[6]ソーシャルネットワークなどのメディアでは、1人が同じコンテンツを同時に多くの人に転送し、その人がさらに多くの人に広めるなどして、急速な拡散を引き起こすことができる。^[7] 例えば、動画「江南スタイル」は2012年7月15日にYouTubeにアップロードされ、初日に数十万人、20日目には数百万人の視聴者を獲得し、2ヶ月足らずで累計視聴回数は数億回に達した。^[6]^[8]

基本式

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}} — 指数関数的成長:
${\begin{aligned}a&=3\\b&=2\\r&=5\end{aligned}}$

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}} — 指数関数的減衰:
${\begin{aligned}a&=24\\b&={\frac {1}{2}}\\r&=5\end{aligned}}$

量 $x が$ 時間 $t$ に指数関数的に依存する場合、定数 $a$ $はx$ の初期値、定数 $b$ は正の成長係数、 $τ$ は時間定数( $x が$ $b$ の 1 倍に増加するのに必要な時間)です。 $x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$ $x(0)=a\,,$ $x(t+\tau )=a\cdot b^{(t+\tau )/\tau }=a\cdot b^{t/\tau }\cdot b^{\tau /\tau }=x(t)\cdot b\,.$

$τ > 0$ かつ $b > 1$ の場合、 $x は$ 指数関数的に増加します。 $τ < 0$ かつ $b > 1$ 、または $τ > 0$ かつ $0 < b < 1$ の場合、 $x は$ 指数関数的に減少します。

例:細菌の種が 1 個だけから始まり、10 分ごとに 2 倍に増えるとすると、1 時間後には細菌はいくつ存在するでしょうか。 この質問は、 $a = 1$ 、 $b = 2$ 、 $τ = 10 分$ を意味します。

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{t/(10{\text{ min}})}$ $x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}=1\cdot 2^{6}=64.$

1時間後、または10分間隔を6回繰り返すと、64個の細菌が存在することになります。

無次元の非負数 $b$ と時間 $τ$ （単位数と単位時間の積として表せる物理量）のペア $（ b 、 τ ）は、いずれも同じ成長率を表し、$ $τ$ $はlog$ $b$ に比例します。b が1以外の任意の固定 $値$ （例えばeまたは 2）の場合、成長率は非ゼロの時間 $τ$ で表されます。時間 $τ が$ 任意の非ゼロの場合、成長率は無次元の正数 $b$ で表されます。

このように、指数関数的増加の法則は、異なる基数を用いることで、異なるが数学的に等価な形で記述することができる。最も一般的な形は以下の通りである。ここで、 $x$ $0$ は初期値 $x$ $(0)$ を表す。 $x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }=x_{0}\cdot 2^{t/T}=x_{0}\cdot \left(1+{\frac {r}{100}}\right)^{t/p},$

パラメータ（指数関数的減少の場合は負）：

成長定数 $kは、係数$ $e$ で成長する頻度(単位時間あたりの回数)です。金融の世界では、対数収益、連続複利収益、または利子の力とも呼ばれます。
e倍の時間 τは、係数eだけ増加するのにかかる時間です。
倍加時間 Tは、倍増するのにかかる時間です。
期間 $p$ におけるパーセント増加 $r$ (無次元数) 。

量 $k$ 、 $τ$ 、 $T$ 、および与えられた $pに対する$ $r は$ 、次の式で示される 1 対 1 の関係を持ちます (この式は上記の自然対数を取ることで導出できます)。ここで、 $k$ $= 0は$ $r$ $= 0$ に対応し、 $τ$ と $T$ は無限大です。 $k={\frac {1}{\tau }}={\frac {\ln 2}{T}}={\frac {\ln \left(1+{\frac {r}{100}}\right)}{p}}$

$p を$ 時間の単位とすると、商 $t / p$ は単に時間の単位数です。時間そのものではなく、（無次元の）時間単位数を表す表記 $tを用いる場合、$ $t / p を$ $t$ に置き換えることもできますが、ここでは統一性を保つため、この表記は避けています。この場合、最後の式における $p$ による除算も数値除算ではなく、無次元数を単位を含む正しい量に変換するものです。

成長率から倍加時間を計算する一般的な近似方法は、70 の法則、つまり、です。 $T\simeq 70/r$

指数関数的増加（太線）と減少（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/ tおよび72/ t近似値を比較したグラフ。SVG版では、グラフにマウスポインターを合わせると、そのグラフとその補数がハイライト表示されます。

対数線形成長としての改質

変数 $x$ がに従って指数関数的に増加する場合、 $x$ の対数（任意の底）は時間の経過とともに線形に増加します。これは、指数関数的増加方程式の両辺の対数を取るとわかります。 $x(t)=x_{0}(1+r)^{t}$ $\log x(t)=\log x_{0}+t\cdot \log(1+r).$

これにより、指数関数的に増加する変数を対数線形モデルでモデル化することが可能になります。例えば、 $x$ の異時点間データから成長率を経験的に推定したい場合、 $log$ $x$ $をt$ に線形回帰させることができます。

微分方程式

指数関数は、次の線型微分方程式を満たします。つまり、時刻 $tにおける$ $x$ の瞬間ごとの変化は $x$ $($ $t$ $)$ の値に比例し、 $x$ $($ $t$ $)は$ 初期値を持ちます。 $x(t)=x_{0}e^{kt}$ ${\frac {dx}{dt}}=kx$ $x(0)=x_{0}$

微分方程式は直接積分によって解かれるので、 ${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x_{0}}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x_{0}}}&=kt.\end{aligned}}$ $x(t)=x_{0}e^{kt}.$

上記の微分方程式において、 $k < 0$ の場合、量は指数関数的に減少します。

この成長モデルの非線形変化については、ロジスティック関数を参照してください。

その他の成長率

長期的には、あらゆる種類の指数関数的成長はあらゆる種類の線形成長（これがマルサスの大惨事の根拠である）やあらゆる多項式成長を追い越すことになる。つまり、すべての $α$ について次のようになる。 $\lim _{t\to \infty }{\frac {t^{\alpha }}{ae^{t}}}=0.$

指数関数よりも遅く、線形よりも速い（長期的には）考えられる成長率には、階層構造があります。多項式の次数 § 関数値から計算されます。

成長率は指数関数よりも速い場合もあります。最も極端な場合、有限時間内に成長率が際限なく増加する場合、それは双曲的成長と呼ばれます。指数関数と双曲的成長の間には、テトレーションから始まるハイパーオペレーションや、アッカーマン関数の対角線であるのような、より多くの種類の成長挙動が存在します。 $A(n,n)$

物流の成長

現実には、初期の指数関数的成長は永続的に持続するとは限りません。一定期間が経過すると、外的要因や環境要因によって成長は鈍化します。例えば、人口増加は資源の制約により上限に達する可能性があります。^[9] 1845年、ベルギーの数学者ピエール・フランソワ・ヴェルフルストは、このような成長の数学的モデルを初めて提唱し、「ロジスティック成長」と呼ばれました。^[10]

モデルの限界

物理現象の指数関数的成長モデルは、無限の成長は物理的に現実的ではないため、限られた領域にのみ適用されます。成長は当初は指数関数的であったとしても、モデル化された現象は最終的に、これまで無視されていた負のフィードバック要因が顕著になる領域（ロジスティック成長モデルにつながる）に入るか、あるいは連続性や瞬時フィードバックといった指数関数的成長モデルのその他の根底にある仮定が崩れる領域に入ります。

指数関数的成長バイアス

研究によると、人間は指数関数的成長を理解するのが難しいことが示されています。指数関数的成長バイアスとは、複利成長のプロセスを過小評価する傾向のことです。このバイアスは金融にも影響を及ぼす可能性があります。^[11]

チェス盤上の米

伝説によると、宰相シッサ・ベン・ダヒルはインドの王シャリムに美しい手作りのチェス盤を贈りました。王が贈り物のお返しに何が欲しいか尋ねると、廷臣は最初のマス目に米を1粒、2番目に2粒、3番目に4粒、と求めて王を驚かせました。王はすぐに同意し、米を持ってくるように頼みました。最初は全てうまくいきましたが、 $n番目のマス目に$ $2 n -1$ 粒という要件は、21番目のマス目に百万粒以上、41番目には100万億（つまり兆）以上を必要とし、最後のマス目には全世界の米が足りませんでした。（Swirski, 2006より）^[12]

「チェス盤の後半」とは、指数関数的に増大する影響力が組織の全体的なビジネス戦略に大きな経済的影響を与えている時期を指します。

睡蓮

フランスの子供たちに、指数関数的成長の一側面を題材にしたなぞなぞが出される。「指数関数的に増加する量が、ある一定の限界に近づく、見かけ上の突然さ」である。このなぞなぞは、池で育つスイレンを描いている。スイレンは毎日2倍の大きさになり、放っておくと30日で池を覆い尽くし、水中の他の生物を全て死滅させてしまう。日を追うごとにスイレンの成長は緩やかになるので、池の半分を覆うまでは問題ないと判断される。その日はいつになるだろうか？29日目。池を救うにはあと1日しかない。^[13]^[12]

参照

参考文献

^ Suri, Manil (2019年3月4日). 「オピニオン | 『指数関数的』なんて言うのはやめよう。数学オタクより」ニューヨーク・タイムズ.
^ 「おそらく間違って使っている科学用語10選」HowStuffWorks . 2014年7月11日.
^ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M .; van Oudenaarden, Alexander (2014). 「エネルギーフラックスの減少と好気性解糖の増加によって一定の成長速度が維持される」. Cell Reports . 7 (3): 705– 714. doi :10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987 .
^ サブレット、キャリー「核兵器の物理と設計入門」核兵器アーカイブ。 2009年5月26日閲覧。
^ クローダー、エヴァンス、ノエル 2008年、314～315頁。
^ Ariel Cintrón-Arias (2014). 「To Go Viral」. arXiv : 1402.3499 [physics.soc-ph].
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^ YouTube (2012). 「江南スタイル vs Call Me Maybe：人気比較」YouTubeトレンド.
^ クローダー、ブルース、エヴァンス、アラン・ノエル (2008). 関数と変化：大学代数学へのモデリングアプローチ. ホートン・ミフリン・ハーコート. p. 398. ISBN 978-1-111-78502-4。
^ バーンスタイン、ルース（2003年）『個体群生態学：コンピュータシミュレーション入門』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、37ページ。ISBN 978-0-470-85148-7。
^ スタンゴ、ビクター、ジンマン、ジョナサン (2009). 「指数関数的成長バイアスと家計金融」.ジャーナル・オブ・ファイナンス. 64 (6): 2807– 2849. doi :10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
^ ab ポリット、ジョナサン (2005). 『資本主義：まるで世界が重要であるかのように』ロンドン: アーススキャン. p. 49. ISBN 1-84407-192-8。
^ メドウズ、ドネラ（2004年）『成長の限界：30年間の最新状況』チェルシー・グリーン・パブリッシング、21頁。ISBN 9781603581554。

出典

メドウズ、ドネラ、ランダース、ヨルゲン、メドウズ、デニス『 成長の限界：30年アップデート』チェルシー・グリーン・パブリッシング、2004年。ISBN 9781603581554
メドウズ、ドネラ・H.、デニス・L.・メドウズ、ヨルゲン・ランダース、ウィリアム・W.・ベーレンス3世（1972年）『成長の限界』ニューヨーク：ユニバーシティ・ブックスISBN 0-87663-165-0
ポリット、J.世界が重要であるかのように考える資本主義、アーススキャン2005年。ISBN 1-84407-192-8
スワースキー、ピーター. 『文学と知識：物語的思考実験、進化、ゲーム理論の探究』ニューヨーク：ラウトレッジ. ISBN 0-415-42060-1
トムソン、デイビッド・G.『10億人へのブループリント：指数関数的成長を達成するための7つの必須事項』、ワイリー、2005年12月、ISBN 0-471-74747-5
Tsirel, SV 2004. 地球人口の超指数関数的増加の考えられる理由について。社会経済ダイナミクスの数理モデル/ MG Dmitriev、A.P. Petrov編、pp. 367–9。モスクワ：ロシア国立社会大学、2004年。

外部リンク

有限世界における成長 ― 持続可能性と指数関数 ― プレゼンテーション
アルバートレット博士：算術、人口、エネルギー — ストリーミングビデオとオーディオ 58 分