確率

2つのサイコロを使って複数の数字が出る確率

確率は、事象の発生確率とその発生確率を数値的に記述する数学および統計の一分野です。事象の確率は0から1の間の数値で表され、確率が大きいほど、事象の発生確率が高くなります。^{[注 1] [1] [2]}この数値は、多くの場合、0%から100%の範囲のパーセンテージ（%）で表されます。簡単な例として、公平な（偏りのない）コインを投げる場合が挙げられます。コインは公平であるため、2つの結果（「表」と「裏」）はどちらも同じ確率で発生します。「表」の確率は「裏」の確率と等しく、他の結果はあり得ないため、「表」または「裏」の確率はどちらも1/2（0.5または50%と表記することもできます）となります。

これらの概念は確率論において公理的な数学的形式化を受けており、統計学、数学、科学、金融、ギャンブル、人工知能、機械学習、コンピュータサイエンス、ゲーム理論、哲学といった研究分野で広く用いられており、例えば、事象の期待頻度に関する推論を導き出すのに用いられています。確率論は、複雑系の基礎となるメカニズムや規則性を記述するためにも用いられています。^[3]

語源

確率（probability） という言葉はラテン語のprobabilitasに由来し、これは「誠実さ」も意味する。これはヨーロッパの法廷における証人の権威を測る尺度であり、しばしば証人の貴族階級と相関関係にあるとされる。ある意味で、これは現代の確率の意味とは大きく異なる。現代の確率は経験的証拠の重みを測る尺度であり、帰納的推論と統計的推論によって導き出される。^[4]

解釈

ランダム実験（つまり、ランダムかつ明確に定義された実験）を純粋に理論的な設定（コインを投げるなど）で扱う場合、確率は、望ましい結果の数をすべての結果の総数で割ることで数値的に表すことができます。これは理論確率と呼ばれます（実際の実験の文脈で確率を扱う経験的確率とは対照的です）。確率は0から1の間の数値で、確率が大きいほど、望ましい結果が発生する可能性が高くなります。例えば、コインを2回投げると、「表表」、「表裏」、「裏表」、「裏裏」の結果になります。「表表」が出る確率は4回のうち1回、つまり数値で言えば1/4、0.25、または25%です。少なくとも1回は表が出る確率は4回のうち3回、つまり0.75で、この事象が発生する可能性が高くなります。しかし、実際の応用となると、確率の解釈には 2 つの主要な競合するカテゴリがあり、その支持者は確率の基本的な性質について異なる見解を持っています。

• 客観主義者は、客観的または物理的な状況を説明するために数値を割り当てます。客観的確率の最も一般的な解釈は頻度主義的確率であり、ランダム事象の確率は、実験を無期限に繰り返した場合の実験結果の相対的な発生頻度を表すと主張します。この解釈では、確率は結果の「長期的な」相対頻度とみなされます。^[5]これを修正したのが傾向確率であり、これは確率を、たとえ一度しか実行されなかったとしても、ある実験が特定の結果をもたらす傾向と解釈します。
• 主観主義者は、主観確率、すなわち信念度ごとに数値を割り当てます。^[6]信念度は、「Eであれば効用1単位、Eでなければ効用0単位を支払う賭けを売買する価格」と解釈されてきましたが、^[7]この解釈は普遍的に同意されているわけではありません。^[8]主観確率の最も一般的なバージョンはベイズ確率であり、これは専門家の知識と実験データに基づいて確率を生成します。専門家の知識は、何らかの（主観的な）事前確率分布によって表されます。これらのデータは尤度関数に組み込まれます。事前確率と尤度の積を正規化すると、現在までに知られているすべての情報を含む事後確率分布が得られます。 ^[9]オーマンの合意定理によれば、事前信念が類似するベイズエージェントは、事後信念も類似することになります。しかし、事前確率が十分に異なる場合、エージェントが共有する情報量に関係なく、異なる結論に至る可能性があります。^[10]

歴史

確率の科学的研究は、数学の近代的発展である。賭博は、確率の概念を定量化することへの関心が歴史を通じて存在してきたことを示しているが、正確な数学的記述はずっと後になってから現れた。確率数学の発展が遅いのには理由がある。偶然のゲームが確率の数学的研究の推進力となったにもかかわらず、根本的な問題^[注2]は依然として迷信によって曖昧になっている。^[11]

リチャード・ジェフリーによれば、「17世紀半ば以前、『probable』（ラテン語のprobabilis）という用語は承認可能という意味で、その意味で意見や行動に一義的に適用されていました。『probable』な行動や意見とは、状況に応じて賢明な人々が行う、あるいは抱くであろう行動や意見のことです。」^[12]しかし、特に法的な文脈では、『probable』は十分な証拠がある主張にも適用される可能性があります。^[13]

ジェロラモ カルダーノ(16 世紀)

クリスティアーン・ホイヘンスは確率に関する最初の本の 1 つを出版しました (17 世紀)。

16世紀イタリアの博学者ジェロラモ・カルダーノは、オッズを好ましい結果と好ましくない結果の比として定義することの有効性を実証しました（これは、事象の確率は好ましい結果と起こり得る結果の総数の比で与えられることを意味します^{[14] ）。カルダーノによる初歩的な研究とは別に、確率論は}ピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルの書簡（1654年）にまで遡ります。クリスティアーン・ホイヘンス（1657年）は、この主題に関する最古の科学的研究を行いました^{[15] 。} ヤコブ・ベルヌーイの『予想の技法』（死後出版、1713年）とアブラハム・ド・モアブルの『確率論』（1718年）は、この主題を数学の一分野として扱いました。^[16]数学的確率の概念の初期の発展の歴史については、 イアン・ハッキングの『確率の出現』^[4]とジェームズ・フランクリンの 『推測の科学』^[17]を参照してください。

誤差理論はロジャー・コーツの『オペラ雑集』（死後出版、1722年）に遡ると考えられるが、トーマス・シンプソンが1755年に執筆した回想録（1756年出版）が、この理論を観測誤差の議論に初めて適用した。^[18]この回想録の再版（1757年）では、正の誤差と負の誤差は等確率であり、特定の限界がすべての誤差の範囲を定義するという公理が示されている。シンプソンはまた、連続誤差についても論じ、確率曲線を描いている。

最初に提唱された二つの誤差の法則は、どちらもピエール＝シモン・ラプラスによって提唱されたものです。第一法則は1774年に発表され、誤差の頻度は、符号を無視して、誤差の数値的な大きさの指数関数として表せると述べられています。第二法則は1778年にラプラスによって提唱され、誤差の頻度は誤差の二乗の指数関数であると述べられています。^[19]第二法則は正規分布、またはガウスの法則と呼ばれています。「歴史的に見て、この法則をガウスに帰することは困難です。ガウスは早熟であることでよく知られていますが、おそらく2歳になるまでこの発見はしていなかったでしょう。」^[19]

ダニエル・ベルヌーイ(1778) は、同時発生エラーのシステムの確率の最大積の原理を提唱しました。

カール・フリードリヒ・ガウス

アドリアン＝マリー・ルジャンドル（1805）は最小二乗法を考案し、著書『彗星の軌道を決定するための新しい方法』 （Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes）の中でそれを紹介した。^[20]ルジャンドルの貢献を知らなかったアイルランド系アメリカ人作家で『アナリスト』（1808）の編集者であるロバート・アドレインは、誤差の容易さの法則を初めて導き出した。

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$$

ここで、 は観測精度に依存する定数、 は曲線の下の面積が 1 に等しくなるようにするスケール係数である。 彼は 2 つの証明を与えており、2 つ目の証明はジョン・ハーシェル (1850) の証明と基本的に同じである。^[要出典]ガウスは1809 年に、ヨーロッパで知られていたと思われる最初の証明 (アドリアンに次いで 3 番目) を与えた。 その後、ラプラス (1810、1812)、ガウス (1823)、ジェームズ・アイヴォリー(1825、1826)、ハーゲン ( 1837)、フリードリヒ・ベッセル(1838)、WF ドンキン(1844、1856)、モーガン・クロフトン(1870) によって証明が与えられた。 その他の貢献者としては、エリス(1844)、ド・モルガン(1864)、グレイシャー(1872)、ジョヴァンニ・スキアパレッリ(1875) がいた。ピーターズ（1856）のr （単一観測の確率誤差）に関する公式 [説明が必要] はよく 知られて^います。${\displaystyle h}$ ${\displaystyle c}$

19世紀には、一般理論の著者として、ラプラス、シルヴェストル・ラクロワ（1816年）、リトロー（1833年）、アドルフ・ケトレ（1853年）、リヒャルト・デデキント（1860年）、ヘルメルト（1872年）、ヘルマン・ローラン（1873年）、リアグル、ディディオン、カール・ピアソンなどがいた。オーガスタス・ド・モルガンとジョージ・ブールは、この理論の解説を改良した。

1906年、アンドレイ・マルコフはマルコフ連鎖の概念を導入しました^{[21]。これは}確率過程理論とその応用において重要な役割を果たしました。測度論に基づく現代の確率理論は、1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって発展しました^[22]。

幾何学の分野では、エデュケーショナル・タイムズの寄稿者として、ミラー、クロフトン、マッコール、ウォルステンホルム、ワトソン、アルテマス・マーティンなどがいた。^[23]詳細については 積分幾何学を参照。

理論

他の理論と同様に、確率論は概念を形式的な用語、つまり意味とは切り離して考察できる用語で表現したものです。これらの形式的な用語は数学と論理の規則によって操作され、その結果は問題領域に解釈または翻訳されます。

確率を定式化する試みは、コルモゴロフ定式化とコックスの定式化という少なくとも2つ成功している。コルモゴロフの定式化（確率空間も参照）では、集合は事象として解釈され、確率は集合のクラス上の測度として解釈される。コックスの定理では、確率はプリミティブ（つまり、それ以上分析されない）として扱われ、命題に対する確率値の一貫した割り当てを構築することに重点が置かれている。どちらの場合も、技術的な詳細を除けば、確率の法則は同じである。

デンプスター・シェーファー理論や可能性理論など、不確実性を定量化する他の方法もありますが、それらは本質的に異なり、一般に理解されている確率の法則とは互換性がありません。

アプリケーション

確率論は、日常生活におけるリスク評価やモデリングに応用されています。保険業界や市場では、保険数理学を用いて価格設定や取引の意思決定を行っています。政府は、環境規制、資格分析、金融規制において確率論的手法を適用しています。

株式取引における確率論の応用例としては、中東紛争の広範な発生確率が石油価格に及ぼす影響が挙げられます。石油価格は経済全体に波及効果をもたらします。商品トレーダーが戦争の可能性が高いと評価すると、その商品の価格は上昇または下落し、他のトレーダーにも同様のシグナルを送ります。したがって、確率は独立して評価されるわけでも、必ずしも合理的に評価されるわけでもありません。行動ファイナンス理論は、このような集団思考が価格、政策、そして平和と紛争に及ぼす影響を説明するために生まれました。^[24]

確率は、財務評価に加えて、生物学（例：病気の蔓延）や生態学（例：生物学的パンネット方陣）の傾向分析にも活用できます。^[25]財務と同様に、リスク評価は望ましくない事象の発生確率を計算する統計ツールとして活用でき、そのような状況を回避するための対策の実施に役立ちます。確率は、カジノが確実に利益を上げつつ、プレイヤーが継続的にプレイしたくなるほど頻繁に配当を得られるよう、ギャンブルゲームを設計する際にも活用されます。 ^[26]

日常生活における確率論のもう一つの重要な応用は信頼性です。自動車や家電製品など、多くの消費財は、故障確率を低減するために製品設計において信頼性理論を活用しています。故障確率は、メーカーによる製品保証に関する決定に影響を与える可能性があります。^[27]

自然言語処理で使用されるキャッシュ言語モデルやその他の統計言語モデルも、確率理論の応用例です。

数学的処理

確率（リスク）とオッズの計算

複数の結果を生み出す可能性のある実験を考えてみましょう。すべての可能な結果の集合は、実験の標本空間と呼ばれ、 と表記されることもあります。標本空間のべき集合は、可能性のある結果のあらゆる異なる集合を考慮することで形成されます。例えば、サイコロを振ると6つの結果が生じる可能性があります。ある集合では、サイコロの目は奇数になります。したがって、部分集合{1,3,5}は、サイコロを振る標本空間のべき集合の要素です。これらの集合は「イベント」と呼ばれます。この場合、{1,3,5}は、サイコロが奇数になるイベントです。実際に発生した結果が特定のイベントに該当する場合、そのイベントは発生したとみなされます。 ${\displaystyle \Omega }$

確率とは、あらゆる事象に0から1の間の値を割り当てる方法であり、すべての可能な結果（この例では、事象{1,2,3,4,5,6}）を含む事象には1の値が割り当てられるという要件を満たす必要があります。確率として認められるためには、値の割り当ては、相互に排他的な事象（共通の結果を持たない事象、例えば事象{1,6}、{3}、{2,4}）の集合について、少なくとも1つの事象が発生する確率が、すべての個々の事象の確率の合計によって与えられるという要件を満たす必要があります。^[28]

事象 Aの確率は、^[29]、または^[30]と表記されます。この確率の数学的定義は、測度の概念を用いることで、無限の標本空間、さらには無数の標本空間にまで拡張することができます。 ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle p(A)}$ ${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$

事象Aの反対または補事象は、事象[ Aでない]（つまり、Aが発生しない事象）であり、しばしば、、またはと表記され、その確率はP（Aでない）= 1 − P（A）で与えられる。^[31]例として、6面サイコロで6が出ない確率は1 -（6が出る確率）= 1 − ⁠${\displaystyle A',A^{c}}$ ${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$ ${\displaystyle {\sim }A}$ 1/6⁠ = ⁠5/6⁠ .より包括的な処理については、「補足イベント」を参照してください。

実験の1回の実行で2つのイベントAとBが発生した場合、これはAとBの交差確率または結合確率と呼ばれ、次のように表されます。${\displaystyle P(A\cap B).}$

独立したイベント

空間Ωにおいて、イベントAとイベントBは相互に排他的であるか相互に排他的でないかで示される。

2つの事象AとBが独立している場合、その同時確率は^[29] P (A and B) = P (A ∩ B) = P (A) P (B) . {\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).} 例えば、2枚のコインを投げた場合、両方が表になる確率は^[32]${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$

相互に排他的なイベント

イベントAまたはイベントBのいずれかが発生する可能性があり、両方が同時に発生することがない場合は、それらのイベントは相互に排他的なイベントと呼ばれます。

2つのイベントが相互に排他的である場合、両方が発生する確率は と表され、 2つのイベントが相互に排他的である場合、どちらかが発生する確率はと表され、${\displaystyle P(A\cap B)}$ $${\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=0}$$ ${\displaystyle P(A\cup B)}$ $${\displaystyle P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)}$$

例えば、6面サイコロで1か2が出る確率は${\displaystyle P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.}$

必ずしも相互に排他的なイベントではない

もしイベントが（必ずしも）相互に排他的でない場合は、書き換えると、$${\displaystyle P\left(A{\hbox{ or }}B\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A{\mbox{ and }}B\right).}$$ $${\displaystyle P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)}$$

たとえば、トランプのデッキからカードを引くとき、ハートまたは絵札 (J、Q、K) (または両方) が出る可能性は、デッキの 52 枚のカードのうち、13 枚はハート、12 枚は絵札、3 枚は両方であるためです。ここで、「両方である 3 枚」に含まれる可能性は、「13 枚のハート」と「12 枚の絵札」のそれぞれに含まれますが、1 回だけカウントされます。 ${\displaystyle {\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}},}$

このパターンは、必ずしも相互に排他的ではない複数のイベントに対してさらに拡張できます。3つのイベントの場合、このパターンは以下のように進行します。つまり、このパターンは任意の数のイベントに対して繰り返すことができることがわかります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(\left(A\cup B\right)\cup C\right)\\=&P\left(A\cup B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cup B\right)\cap C\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)+P\left(C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cup \left(B\cap C\right)\right)\\=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-\left(P\left(A\cap C\right)+P\left(B\cap C\right)-P\left(\left(A\cap C\right)\cap \left(B\cap C\right)\right)\right)\\P\left(A\cup B\cup C\right)=&P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)\end{aligned}}}$$

条件付き確率

条件付き確率とは、ある事象Aが別の事象Bの発生を与えられた場合に発生する確率である。条件付き確率は「 Bが与えられた場合にAが発生する確率」と表記される^{。 [33]}によって定義される。${\displaystyle P(A\mid B)}$

$${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,}$$

ならば、この式ではは正式には定義されていない。この場合、 とは独立である。なぜなら であるからである。しかし、例えば、そのような事象（連続確率変数 から生じる事象など）のσ代数を用いることで、いくつかのゼロ確率事象に対する条件付き確率を定義することは可能である。^[34]${\displaystyle P(B)=0}$ ${\displaystyle P(A\mid B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)=0.}$

例えば、赤ボール2個と青ボール2個（合計4個）の入った袋の中で、赤ボールを取る確率は…です。しかし、2個目のボールを取る際に、赤ボールか青ボールかの確率は、前に取ったボールによって決まります。例えば、赤ボールを取った場合、赤ボールが1個と青ボールが2個しか残っていないため、再び赤ボールを取る確率は…になります。また、前に青ボールを取っていた場合、赤ボールを取る確率は…になります。${\displaystyle 1/2;}$ ${\displaystyle 1/3,}$ ${\displaystyle 2/3.}$

逆確率

確率論とその応用において、ベイズの法則は、ある事象を条件とする前（事前）と後（事後）の事象間のオッズを関連付けます。事象間のオッズは、単に2つの事象の確率の比です。2つだけでなく任意の数の事象が対象の場合、この法則は「事後確率は事前確率に比例する」と言い換えることができます。ここで、比例記号は、左側の項が、固定または与えられた に対して変化するにつれて、右側の項に比例する（つまり、定数倍に等しい）ことを意味します（Lee, 2012; Bertsch McGrayne, 2012）。この形式は、Laplace（1774）とCournot（1843）に由来します。Fienberg（2005）を参照してください。 ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(A|B)\propto P(A)P(B|A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

確率の要約

量子力学におけるランダム性と確率の関係

ニュートンの概念に基づく決定論的宇宙では、すべての条件が既知であれば確率は存在しません (ラプラスの悪魔) (ただし、初期条件に対する敏感さが、それらを測定 (つまり知る) する能力を超える状況があります)。ルーレットホイールの場合、手の力とその力の周期が既知であれば、ボールが止まる数字は確実です (ただし、実際問題として、これはトーマス A. バスのニュートンカジノで明らかにされているように、正確に水平にされていないルーレットホイールにのみ当てはまります)。これはまた、ホイールの慣性と摩擦、ボールの重さ、滑らかさ、真円度、回転中の手の速度の変化などについての知識を前提としています。したがって、ルーレットホイールを繰り返し回転させた場合の結果のパターンを分析するには、ニュートン力学よりも確率論的記述の方が有用な場合があります。物理学者は気体の運動論においても同じ状況に直面している。そのシステムは原理的には決定論的であるが、非常に複雑である（分子の数が典型的にはアボガドロ定数のオーダーである）。 6.02 × 10 ²³）は、その特性の統計的記述のみが可能であることを示している。^[35]

確率論は量子現象を記述するために必要である。^[36] 20世紀初頭の物理学における革命的な発見は、原子より小さなスケールで発生し量子力学の法則に支配されるすべての物理過程のランダムな性質であった。客観的な波動関数は決定論的に発展するが、コペンハーゲン解釈によれば、それは観測の確率を扱い、その結果は観測が行われると波動関数の崩壊によって説明される。しかし、道具主義のために決定論を失うことは普遍的な承認を得られなかった。アルベルト・アインシュタインはマックス・ボルンに宛てた手紙の中で「私は神はサイコロを振らないと確信している」と述べたことで有名である。 ^[37]アインシュタインと同様に、波動関数を発見したエルヴィン・シュレーディンガーは量子力学は根底にある決定論的現実の統計的近似であると信じていた。^[38]測定の統計力学のいくつかの現代的な解釈では、主観的に確率的な実験結果の出現を説明するために 量子デコヒーレンスが援用されています。

参照

• 数学ポータル
• 哲学ポータル

• 不測の事態
• 等確率
• ファジー論理
• ヒューリスティック（心理学）

注記

1. 厳密に言えば、確率 0 はイベントがほとんど発生しないことを示し、確率 1 はイベントがほぼ確実に発生することを示します。これは、標本空間が無限である場合に重要な区別です。たとえば、実数区間 [5, 10]の連続一様分布の場合、可能性のある結果は無限にあり、特定の結果（たとえば、ちょうど 7）が観測される確率は 0 です。これは、観測結果がちょうど 7 になることはほとんどないことを意味します。ただし、ちょうど 7 が不可能であることを意味するわけではありません。最終的には、特定の結果（確率 0）が観測され、その特定の結果の 1 つの可能性はちょうど 7 です。
2. 引用元の本の文脈では、純粋な運や幸運の神がゲームの勝者を助けるなどの神話的議論に頼った性急な予測と比較して、このような現象を支配するのは確率の理論とその背後にある論理です。

参考文献

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26. Gao, JZ; Fong, D.; Liu, X. (2011年4月). 「VIPギャンブルのためのカジノリベートシステムの数学的分析」. International Gambling Studies . 11 (1): 93– 106. doi :10.1080/14459795.2011.552575. S2CID  144540412.
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37. Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt.マックスへの手紙 1926 年 12 月 4 日生まれ、出身地: アインシュタイン/ブリーフヴェクセル生まれ 1916 ～ 1955 年。
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参考文献

• カレンバーグ、O.（2005）確率的対称性と不変性原理.シュプリンガー・フェアラーク、ニューヨーク.510頁 .ISBN 0-387-25115-4
• カレンバーグ、O.（2002）現代確率論の基礎、第2版、シュプリンガー統計シリーズ、650ページ、  ISBN 0-387-95313-2
• オロフソン、ピーター（2005）確率、統計、および確率過程、ワイリー・インターサイエンス。504ページISBN 0-471-67969-0。

外部リンク

• 確率統計の仮想実験室（アラバマ大学ハンツビル校）
•  フィーザー、ジェームズ、ダウデン、ブラッドリー（編）「確率と帰納法」インターネット哲学百科事典。ISSN 2161-0002。OCLC 37741658  。
• BBCの「In Our Time」における確率
• 確率と統計の電子書籍
• エドウィン・トンプソン・ジェインズ著『確率論：科学の論理』プレプリント：ワシントン大学（1996年）– HTML索引（PostScriptファイルとPDFへのリンク付き）（最初の3章）
• 確率と統計の歴史にかかわる人々（サウサンプトン大学）
• 最古の使用ページにおける確率と統計（サウサンプトン大学）
• 確率と統計における記号の最も古い使用 さまざまな数学記号の最も古い使用について
• オックスフォード大学1年生向けに考案された確率とベイズの定理に関するチュートリアル
• 確率入門 – 電子書籍 2011年7月27日アーカイブ、チャールズ・グリンステッド、ローリー・スネル著 出典 2012年3月25日アーカイブ、ウェイバックマシン （GNUフリードキュメンテーションライセンス）
• (英語とイタリア語) Bruno de Finetti、Probabilità e induzione、ボローニャ、CLUEB、1993。ISBN 88-8091-176-7（デジタル版）
• リチャード・ファインマンの確率に関する講義。