同相写像

よく言われる数学的なジョークに、位相幾何学者はコーヒーマグとドーナツの違いが分からないというものがあります^[1]。なぜなら、十分に柔軟なドーナツであれば、くぼみを作って徐々に大きくすることで、マグカップの持ち手のドーナツの穴を残したままコーヒーマグの形に変形できるからです。これは、コーヒーマグとドーナツが同相であることを示しています。

数学、より具体的には位相幾何学において、同相写像（ギリシャ語で「相似な形」を意味する語源で、アンリ・ポアンカレによって名付けられた）^{[2] [3]は}位相同型写像、あるいは双連続写像とも呼ばれ、位相空間間の全単射かつ連続な写像であり、連続的な逆写像を持つ。同相写像は位相空間の範疇における同型写像、すなわち、与えられた空間のすべての位相的性質を保存する写像である。同相写像を結ぶ二つの空間は同相であると呼ばれ、位相的な観点からはそれらは同一である。

非常に大まかに言えば、位相空間とは幾何学的対象であり、同相写像は対象が新しい形状へと連続的に変形することによって生じます。例えば、正方形と円は互いに同相ですが、球面とトーラスは同相ではありません。しかし、この説明は誤解を招く可能性があります。直線から点への変形のように、連続的な変形によっては同相写像が生じない場合もあります。また、三つ葉結び目と円の間の同相写像のように、連続的な変形から同相写像が生じない場合もあります。ホモトピーとアイソトピーは、連続的な変形という非公式な概念の正確な定義です。

意味

2 つの位相空間間の関数が 同相写像であるとは、次の性質を持つ場合 です。${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle f}$ は全単射（一対一かつ全射）であり、
• ${\displaystyle f}$ 連続している、
• 逆関数は 連続である（は開写像である）。${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

同相写像は双連続写像と呼ばれることもあります。そのような写像が存在する場合、とは同相です。自己同相写像とは、位相空間からそれ自身への同相写像です。「同相」であることは、位相空間上の同値関係です。その同値類は同相写像類と呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

3つ目の要件である連続であることは必須です。例えば、 で定義される関数（⁠ ⁠の単位円）を考えてみましょう。この関数は全単射かつ連続ですが、同相写像ではありません（はコンパクトですが はコンパクトではありません）。この関数は点で連続ではありません。なぜなら、 はこの点の任意の近傍に写像しますが、関数が写像する点も含みますが、その間の数に写像する点は近傍の外側にあるからです。^[4]${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle f:[0,2\pi )\to S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle f(\varphi )=(\cos \varphi ,\sin \varphi ).}$ ${\textstyle S^{1}}$ ${\textstyle [0,2\pi )}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0),}$ ${\textstyle f^{-1}}$ ${\textstyle (1,0)}$ ${\textstyle 0,}$ ${\textstyle 2\pi ,}$

同相写像は位相空間のカテゴリにおける同型写像である。したがって、2つの同相写像の合成もまた同相写像となり、すべての自己同相写像の集合はXの同相写像群と呼ばれる群を形成し、しばしばXと表記される。この群には、コンパクト開位相のような位相を与えることができ、特定の仮定の下では位相群となる。^[5]${\textstyle X\to X}$ ${\textstyle \operatorname {ホメオ} (X).}$

状況によっては、一方から他方へ連続的に変形できない同相オブジェクトが存在します。ホモトピーと アイソトピーは、このような状況に対処するために導入された同値関係です。

同様に、圏論でよくあるように、同相な 2 つの空間が与えられた場合、それらの間の同相空間は同相群とに対するトルサーであり、との間に特定の同相が与えられた場合、3 つの集合すべてが同一視されます。^{[説明が必要]}${\textstyle \operatorname {ホメオ} (X,Y),}$ ${\textstyle \operatorname {ホメオ} (X)}$ ${\textstyle \operatorname {ホメオ} (Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

例

厚くなった三つ葉結び目は、固体トーラスと同相ですが、同相ではあり ません。連続${\displaystyle \mathbb {R}^{3}.}$ 写像は、必ずしも変形として実現できるとは限りません。

• 開区間は 、任意の実数⁠ ⁠に対して同相です(この場合、双連続順方向マッピングは ⁠ ⁠ によって与えられ、他のそのようなマッピングはtanまたはarg tanh関数のスケールおよび変換されたバージョンによって与えられます)。${\textstyle (a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle a<b.}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{bx}}}$
• ⁠ ⁠における単位2円板 と単位正方形は同相である。単位円板は単位正方形に変形できるからである。正方形から円板への双連続写像の例は、極座標において、${\textstyle D^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle (\rho ,\theta )\mapsto \left({\frac {\rho }{\max(|\cos \theta |,|\sin \theta |)}},\theta \right).}$$
• 微分可能関数のグラフは、関数の定義域に同相です。
• 曲線の微分可能なパラメータ化は、パラメータ化の定義域と曲線との間の同相写像です。
• 多様体のチャートは、多様体の開部分集合とユークリッド空間の開部分集合との間の同相写像です。
• 立体射影は、1 点を除いた⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ の単位球面と⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ (2 次元平面) 内のすべての点の集合との間の同相写像です。
• が位相群である場合、その反転写像は同相写像である。また、任意の に対して、左平行移動、右平行移動、および内部自己同型は同相写像である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ ${\displaystyle x\in G,}$ ${\displaystyle y\mapsto xy,}$ ${\displaystyle y\mapsto yx,}$ ${\displaystyle y\mapsto xyx^{-1}}$

反例

• ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ と⁠ ⁠ は、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ m ≠ nに対して同相ではありません。
• 実ユークリッド直線は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ の部分空間として単位円と同相ではありません。これは、単位円はユークリッド⁠ ⁠の部分空間としてコンパクトですが、実数直線はコンパクトではないためです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• 1 次元区間と は、一方がコンパクトであるのに対し、もう一方はコンパクトではないため、同相ではありません。${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1)}$

プロパティ

• 二つの同相空間は同じ位相的性質を共有する。例えば、一方がコンパクトであれば、もう一方もコンパクトである。一方が連結であれば、もう一方もコンパクトである。一方がハウスドルフであれば、もう一方もハウスドルフである。これらのホモトピー群とホモロジー群は一致する。ただし、これは計量によって定義される性質には当てはまらないことに注意されたい。一方が完備で他方がそうでなくても、同相となる計量空間が存在する。
• 同相写像は、開写像であると同時に閉写像でもあります。つまり、開集合を開集合に写像し、閉集合を閉集合に写像します。
• におけるすべての自己同相は、円板全体の自己同相に拡張できます(アレクサンダーのトリック)。${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle D^{2}}$

非公式な議論

伸ばす、曲げる、切る、そして接着し直すという直感的な基準を正しく適用するには、ある程度の練習が必要です。例えば、線分を点に変形することは許されないことは、上記の説明からは明らかではないかもしれません。したがって、重要なのは上記の正式な定義であることを理解することが重要です。例えば、この場合、線分は無限個の点を持つため、1つの点を含む有限個の点のみを含む集合と一対一にすることはできません。

同相写像のこの特徴付けは、しばしばホモトピーの概念との混同につながります。ホモトピーは実際には連続的な変形として定義されていますが、ある空間から別の空間への変形ではなく、ある関数から別の関数への変形です。同相写像の場合、連続的な変形を思い描くことは、空間X上のどの点がY上のどの点に対応するかを把握するための精神的なツールです。Xが変形するときにそれらの点を追えばよいのです。ホモトピーの場合、1 つの写像から別の写像への連続的な変形が重要であり、関係する写像はいずれも 1 対 1 または全射である必要がないため、制約も少なくなります。ホモトピーは、空間上の関係、つまりホモトピー同値につながります。

同相写像を視覚化する際に生じる変形には名前があります。これは（切り取りと再接着が必要な場合を除いて）X上の恒等写像とXからYへの同相写像との間の同位体です。

参照

• 局所同相写像 – 各点付近で可逆な数学関数
• 微分同相写像 – 微分可能多様体の同型写像
• 一様同型– 一様連続同相は一様空間 間の同型である
• 等長同型性 – 距離保存数学変換は、距離空間リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ間の同型性である。
• 同相群
• デーンツイスト – 幾何学的位相幾何学の用語
• 同相写像（グラフ理論）  - 辺の細分化のみが異なるグラフ（グラフの細分化と密接に関連）
• ホモトピー#アイソトピー – 2つの連続関数間の連続変形
• 写像類群 – 位相自己同型群の同位類群
• ポアンカレ予想 – 幾何学的位相幾何学における定理
• 普遍同相写像

参考文献

1. ハバード, ジョン・H.; ウェスト, ビバリー・H. (1995). 微分方程式：動的システムアプローチ 第2部：高次元システム. 応用数学テキスト 第18巻. シュプリンガー. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0。
2. ポアンカレ、H. (1895)。分析状況。エコール・ポリテクニックジャーナル。ゴーティエ・ヴィラール。OCLC  715734142。2016 年 6 月 11 日のオリジナルからアーカイブ。2018 年4 月 29 日に取得。
   ポアンカレ、アンリ (2010). 『位相幾何学に関する論文：位置解析とその五つの補足』 スティルウェル、ジョン訳. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-5234-7。
3. Gamelin, TW; Greene, RE (1999). トポロジー入門（第2版）. Dover. p. 67. ISBN 978-0-486-40680-0。
4. ヴァイサラ、ユッシ (1999).トポロジア I。ライムRY. p. 63.ISBN​ 951-745-184-9。
5. Dijkstra, Jan J. (2005年12月1日). 「同相群とコンパクト開位相幾何学について」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 112 (10): 910– 912. doi :10.2307/30037630. JSTOR 30037630. 2016年9月16日時点のオリジナルより アーカイブ(PDF) .

外部リンク

• 「同相写像」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]