オープンマップとクローズドマップ

数学、より具体的には位相幾何学において、開写像とは、開集合を開集合に写像する 2 つの位相空間の間の関数である。[1] [2] [3] つまり、関数は、像内の任意の開集合に対して が開いている場合、開いている。同様に、閉写像と^は、閉 集合を閉集合 に写像する関数である。^{[3] [4]} 写像は、開いている場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もある。 ^[5]特に、開写像は必ずしも閉じている必要はなく、その逆も同様である。^[6]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$

開写像^[7]と閉写像^{[8]は必ずしも}連続ではない。^[4]さらに、一般の場合、連続性は開写像や閉写像とは独立しており、連続関数は、一方の性質を持つことも、両方を持つことも、どちらも持たないこともある。^{[3]この事実は、}距離空間に限定した場合でも成り立つ。^[9] 開写像と閉写像の定義はより自然に思えるが、連続写像に比べると開写像と閉写像ははるかに重要ではない。定義により、関数が連続であるための必要十分条件は、のすべての開集合の逆像がにおいて開いていること^[2]（同様に、 のすべての閉集合の逆像がにおいて閉じていることも必要十分条件である）である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

オープンマップの初期の研究は、シミオン・ストイロウとゴードン・トーマス・ワイバーンによって開拓されました。^[10]

定義と特徴

が位相空間の部分集合であるとき、 と（それぞれ）をその空間におけるの閉包（それぞれ の内部）を表すものとする。 を位相空間間の写像とする。が任意の集合であるとき、はの像と呼ばれる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f.}$

競合する定義

「開写像」には、広く用いられている2つの異なる、しかし密接に関連した定義があり、どちらも「開集合を開集合へ写像する」と要約できます。以下の用語は、2つの定義を区別するために用いられることがあります。

地図は ${\displaystyle f:X\to Y}$

• 「強開写像」 が定義域の開部分集合であるときはいつでも、はの余域の開部分集合である${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$
• 「相対的に開いた写像「が領域の開部分集合である、はの像の開部分集合であるここで、通常通り、この集合はの余域その上に誘導される部分空間位相^[11]${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

強開写像はすべて相対開写像である。しかし、これらの定義は一般には同値ではない。

警告：多くの著者は「オープンマップ」を「比較的オープンなマップ」と定義しています（例えば、『数学百科事典』）。一方、「オープンマップ」を「強くオープンなマップ」と定義する著者もいます。一般的に、これらの定義は同等ではないため、著者が「オープンマップ」の定義をどのように使用しているかを常に確認することをお勧めします。

射影写像が相対的に開いていることと、それが強開であることは同値である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、定義は同値である。より一般的には、射影写像が強開写像である 場合と、それが相対的に開いていることは同値である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$

は常に強開写像の像の開部分集合であるので、強開写像はその余域の開部分集合でなければならない。実際、相対開写像が強開写像となるのは、その像がその余域の開部分集合である場合に限る。まとめると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(X)=\operatorname {Im} f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y.}$

マップが強開となるのは、マップが相対的に開であり、その像がその余域の開集合である場合に限ります。

この特徴付けを使用すると、「オープン マップ」の 2 つの定義のいずれかに関連する結果を、他の定義に関連する状況に適用することが簡単になることがよくあります。

上記の議論は、「open」という単語をそれぞれ「closed」という単語に置き換えれば、閉じたマップにも適用されます。

オープンマップ

地図は${\displaystyle f:X\to Y}$ オープンマップまたは次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 マップは強くオープンになります。

1. 定義：の開集合をその余域の開集合に写す。つまり、 の任意の開集合に対して、は の開集合である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$ は比較的開いた写像であり、その像はその余域の開いた部分集合である${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. のあらゆる近傍（どんなに小さくても）に対して、は の近傍である。この条件において、「近傍」という単語の最初の部分または両方の部分を「開近傍」に置き換えても、結果は同じ条件となる。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • のすべての開近傍に対して、は の近傍です。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
   • のすべての開近傍に対して、は の開近傍です。${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle f(x)}$
4. ${\displaystyle f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))}$ のすべての部分集合に対して、は集合の位相的な内部を表す。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$
5. が の閉部分集合であるときはいつでも、集合はの閉部分集合である。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
   • これはすべての部分集合に当てはまる恒等式 の結果である。${\displaystyle f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},}$ ${\displaystyle R\subseteq X.}$

が の根拠である場合、次のものをこのリストに追加できます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

6. ${\displaystyle f}$ は、基本開集合をその共域内の開集合に写像します（つまり、任意の基本開集合に対して は の開集合の部分集合です）。${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle f(B)}$ ${\displaystyle Y}$

閉じた地図

地図は${\displaystyle f:X\to Y}$ 相対的に閉じた写像が定義域の閉部分集合であるときはいつでもはの像の閉部分集合である。ここで通常通り、この集合はの余域その上に誘導される部分空間位相${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y.}$

地図は${\displaystyle f:X\to Y}$ 閉じた地図または次の同等の条件のいずれかを満たす場合、 強く閉じたマップとなります。

1. 定義:の閉部分集合をその余域の閉部分集合に写す。つまり、 の任意の閉部分集合は の閉部分集合である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(C)}$ ${\displaystyle Y.}$
2. ${\displaystyle f:X\to Y}$ は比較的閉じた写像であり、その像はその余域の閉じた部分集合である${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$
3. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)}$ すべてのサブセットについて${\displaystyle A\subseteq X.}$
4. ${\displaystyle {\overline {f(C)}}\subseteq f(C)}$ すべての閉集合に対して${\displaystyle C\subseteq X.}$
5. が の開部分集合であるときはいつでも、集合はの開部分集合である。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}}$ ${\displaystyle Y.}$
6. が のネットであり、がにおける点である場合、 は の集合に収束する。${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)\to y}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y).}$
   • 収束とは、の開集合のすべてが、十分に大きなインデックスに対して を含むことを意味する。${\displaystyle x_{\bullet }\to f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle j.}$

射影写像が強閉写像であるための必要十分条件は、それが相対的に閉写像である場合である。したがって、この重要な特殊なケースにおいては、2つの定義は同値である。定義により、写像が相対的に閉写像であるための必要十分条件は、射影写像が強閉写像である場合である。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Im} f}$

開集合における「連続写像」の定義（「開集合のすべての原像は開である」という命題）において、「開」という語の両方を「閉」に置き換えると、結果として得られる命題（「閉集合のすべての原像は閉である」）は連続性と等しくなります。しかし、「開写像」の定義（「開集合のすべての像は開である」）では、この定義は成立しません。なぜなら、結果として得られる命題（「閉集合のすべての像は閉である」）は「閉写像」の定義であり、これは一般に開性とは等しくないからです。閉写像であっても閉じていないものも存在し、また、閉写像であっても開いていないものも存在します。開写像／閉写像と連続写像のこの違いは、最終的には、任意の集合についてのみ一般に等式が保証されるのに対し、原像については常に等式が成立するという事実に起因します。 ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)}$ ${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)}$

例

で定義される関数は連続、閉、相対的に開いているが、（強く）開いているわけではない。これは、が の定義域内のを含まない任意の開区間である場合、となり、この開区間は と の両方の開部分集合となるためである。しかし、が に含まれる任意の開区間である場合、は の余域の開部分集合ではなくの開部分集合となる。 のすべての開区間の集合は 上のユークリッド位相の基底となるため、は相対的に開いているが、（強く）開いているわけではないことがわかる。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle U=(a,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Im} f=[0,\infty ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

が離散位相を持つ場合（つまり、すべての部分集合が開かつ閉である場合）、すべての関数は開かつ閉である（ただし、必ずしも連続である必要はない）。例えば、からへの床関数は開かつ閉であるが、連続ではない。この例は、開写像または閉写像の下での連結空間の像が必ずしも連結である必要はない ことを示している。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

位相空間の積があるときはいつでも、自然な射影は開写像である^{[12] [13]}（そして連続である）。ファイバー束と被覆写像の射影は積の局所的に自然な射影であるため、これらも開写像である。しかし、射影は必ずしも閉じている必要はない。例えば、最初の成分への射影を考えてみよう。すると、集合はでは閉じているが では閉じていない。 しかし、コンパクト空間の場合、射影は閉じている。これは本質的にチューブ補題である。 ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ ${\displaystyle p_{i}:X\to X_{i}}$ ${\displaystyle p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X\times Y\to X}$

単位円上のすべての点について、正の - 軸の角度を、その点と原点を結ぶ直線に関連付けることができます。単位円から半開区間[0,2π) へのこの関数は、全単射で、開写像であり、閉写像ですが、連続ではありません。これは、開写像または閉写像の下でのコンパクト空間の像が必ずしもコンパクトである必要はないことを示しています。また、これを単位円から実数への関数として考えると、開写像でも閉写像でもないことに注意してください。余域を指定することが重要です。 ${\displaystyle x}$

十分な条件

すべての同相写像は開写像、閉写像、連続写像である。実際、全単射連続写像が同相写像となるのは、それが開写像である場合と同値であり、同値として、それが閉写像である場合と同値である。

2つの（強く）開いた写像の合成は開いた写像であり、2つの（強く）閉じた写像の合成は閉じた写像である。^{[14] [15]}しかし、2つの相対的に開いた写像の合成は相対的に開いている必要はなく、同様に、2つの相対的に閉じた写像の合成は相対的に閉じている必要はない。が強く開いている（それぞれ、強く閉じている）かつが相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）場合、は相対的に開いている（それぞれ、相対的に閉じている）。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

を写像とする。任意の部分集合が相対的に開写像（それぞれ、相対的に閉写像、強く開写像、強く閉写像、連続写像、射影写像）である場合、その-飽和部分集合 への制限についても同様である 。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(T).}$

2つの開写像のカテゴリカル和は開写像であり、2つの閉写像のカテゴリカル和は閉写像である。 [15] 2つの開写像のカテゴリカル積^は開写像であるが、2つの閉写像のカテゴリカル積は必ずしも閉写像である必要はない。^{[14] [15]}

全単射写像が開写像となるのは、それが閉写像である場合に限ります。全単射連続写像の逆は、全単射開／閉写像です（逆もまた同様です）。全射開写像は必ずしも閉写像とは限らず、同様に全射閉写像は必ずしも開写像とは限らない。多様体上のすべての座標チャートやすべての被覆写像を含む、すべての局所同相写像は開写像です。

閉写像の補題—コンパクト空間からハウスドルフ空間へのすべての連続関数は閉じており、適切である（つまり、コンパクト集合の原像はコンパクトである）。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

閉写像補題の変形は、局所コンパクトハウスドルフ空間間の連続関数が適切であれば、その関数も閉じていることを述べています。

複素解析において、同じ名前の開写像定理は、複素平面の連結した開部分集合上で定義されたすべての非定数正則関数は開写像であると述べます。

領域不変性定理は、2次元位相多様体間の連続かつ局所的に入射する関数は開関数でなければならないことを述べています。 ${\displaystyle n}$

定義域の不変性—が の開部分集合であり、 がの入射連続写像である場合、 はにおいて開集合であり、 はと の間の同相写像である。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V.}$

関数解析学において、開写像定理は、バナッハ空間間のすべての射影連続線型作用素は開写像であることを述べています。この定理は、バナッハ空間だけでなく、位相ベクトル空間にも一般化されています。

射影写像はほぼ開写像と呼ばれる${\displaystyle f:X\to Y}$ 任意のに対して、${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ の開点 は定義により の任意の開近傍に対して の近傍となること（近傍は必ずしも開近傍である必要はないことに注意）。すべての射影開写像は概開写像ですが、一般にその逆は必ずしも真ではありません。射影が概開写像である場合、の位相に全く依存しない条件）を満たすとき、それは開写像となります。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$

が の同じ繊維（つまり）に属するときはいつでも、の任意の近傍に対しての近傍が存在し、${\displaystyle m,n\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(m)=f(n)}$ ${\displaystyle U\in \tau }$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle V\in \tau }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F(V)\subseteq F(U).}$

写像が連続であれば、上記の条件は写像が開写像であるためにも必要である。つまり、が連続射影であれば、それがほぼ開写像であり、かつ上記の条件を満たすときのみ、それが開写像となる。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

プロパティ

連続したオープンマップまたはクローズドマップ

が連続写像であり、かつ開写像または閉写像である場合、次のようになります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

• が全射ならばそれは商写像であり、遺伝的に商写像でもある。 ${\displaystyle f}$
  • あらゆる部分集合に対して制約が商写像である場合、その射影写像は遺伝的に商写像であると呼ばれます。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle T\subseteq Y,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T}$
• が注入である場合、それは位相的埋め込みです。${\displaystyle f}$
• が全単射であれば同相写像である。${\displaystyle f}$

最初の2つのケースでは、開いているか閉じているかは、それに続く結論を導くための十分な条件に過ぎません。3番目のケースでは、それは必要条件でもあります。

連続マップを開く

が連続（強）開写像である場合、次のようになります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\subseteq Y,}$

• ${\displaystyle f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)}$ ここで、 は集合の境界を表します。${\displaystyle \operatorname {Bd} }$
• ${\displaystyle f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}}$ ここで、集合の閉包を表します。${\displaystyle {\overline {S}}}$
• が集合の 内部を表すとき、この 集合は必然的に正則閉集合（）となる。^{[注 1]}特に、が正則閉集合ならば も成り、 が正則開集合ならばも成り立つ。${\displaystyle {\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} }$ $${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}}$$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\overline {f(A)}}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.}$
• 連続開写像も射影的であれば、またさらに、が正則開（正則閉）^{[注 1]}部分集合であることは、が正則開（正則閉）部分集合であることと同値である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(S)}$ ${\displaystyle X.}$
• ネットが 点に収束し、連続開写像が射影的である場合、任意の に対して、 （何らかの有向集合によってインデックス付けされた）にネットが存在し、においてでありのサブネットである。さらに、インデックス集合はの積順序を持つ とみなすことができる。ここで はの任意の近傍基数である^{[注 2]}${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,\supseteq .\,}$

参照

• ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図
• 閉グラフ – 位相幾何学における関数の性質Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 閉じた線形作用素 – グラフが閉じた線形作用素
• 局所同相写像 – 各点付近で可逆な数学関数
• 準開写像 – 位相幾何学における開写像の一般化
• 商写像（位相）  - 位相空間の構築Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 完全写像 – 連続した閉射影写像で、その各ファイバーもコンパクト集合である
• 適切な写像 – すべてのコンパクトの逆像がコンパクトであるという性質を持つ位相空間間の写像
• 配列被覆マップ

注記

1. ab 部分集合は${\displaystyle S\subseteq X}$ 正則閉集合 の場合、または同値の場合、 の場合、ここで（それぞれ）における位相境界（それぞれ内部、閉包）この集合は と呼ばれる。${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S,}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle S}$ の閉部分集合の内部（ に含まれる）は常にの正則開部分集合である。の開部分集合の閉包（ に含まれるは常に の正則閉部分集合である。${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. 明示的には、任意の に対してとなるような任意の を選び、 を任意の とします。この割り当てはとなるような順序射を定義し、は の共終部分集合となるので、は のウィラードサブネットとなります。${\displaystyle a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},}$ ${\displaystyle h_{a}\in I}$ ${\displaystyle i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)}$ ${\displaystyle x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)}$ ${\displaystyle a\mapsto h_{a}}$ ${\displaystyle h:A\to I}$ ${\displaystyle h(A)}$ ${\displaystyle I;}$ ${\displaystyle f\left(x_{\bullet }\right)}$ ${\displaystyle y_{\bullet }.}$

引用

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2. メンデルソン、バート (1990) [1975].位相幾何学入門（第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3定理5.3は、関数が連続であるためには、各開集合の逆像が開集合となる必要があることを述べていることを覚えておくことが重要です。この連続性の特徴付けは、関数が持つ場合と持たない場合がある別の性質、すなわち各開集合の像が開集合となるという性質（このような関数は開写像と呼ばれます）と混同してはいけません。${\displaystyle f}$
3. Lee, John M. (2003).滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト. 第218巻. Springer Science & Business Media. p. 550. ISBN 9780387954486写像（連続写像または非連続写像）は、任意の閉部分集合に対して がにおいて開いているとき開写像と言われ、任意の閉部分集合に対して が において閉じているとき閉写像と言われます。連続写像は、平面の部分集合を含む簡単な例を調べるとわかるように、開いている場合も、閉じている場合も、その両方である場合も、どちらでもない場合もあります。${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X,}$ ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle F(K)}$ ${\displaystyle Y.}$
4. Ludu, Andrei (2012年1月15日).非線形波動と等高線および閉曲面上のソリトン. Springer Series in Synergetics. p. 15. ISBN 9783642228940開写像とは、2つの位相空間間の開集合を開集合に写す写像です。同様に、閉写像とは閉集合を閉集合に写す写像です。開写像と閉写像は必ずしも連続ではありません。
5. ソラブ、ハウシャン・H. (2003). 基礎実解析. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 203. ISBN 9780817642112これで、関数が閉じていなくても開いている場合もあれば、開いていなくても閉じている場合もあることを示す例題の準備ができました。また、関数は開いていると同時に閉じている場合もあれば、開いても閉じてもいない場合もあります。(引用した文は距離空間の文脈で述べられていますが、位相空間は距離空間の一般化として生じるため、この文はそこでも当てはまります。)
6. Naber, Gregory L. (2012).ユークリッド空間における位相幾何学的手法. Dover Books on Mathematics (復刻版). Courier Corporation. p. 18. ISBN 9780486153445演習1-19.射影写像π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _iは開写像であるが、必ずしも閉写像である必要はないことを示せ。ヒント：R ²のへの射影は閉写像ではない。同様に、任意の定数写像は閉写像であるので、閉写像は必ずしも開写像である必要はない。ただし、1対1かつ全写像である写像の場合、「開」と「閉」の概念は同義である。${\displaystyle \pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
7. メンデルソン、バート (1990) [1975].位相幾何学入門（第3版）. ドーバー. p. 89. ISBN 0-486-66352-3関数が、集合の各開集合に対して の開集合でありながら連続ではないという性質を持つ状況は数多くあります。${\displaystyle f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$
8. ブース、ヨハン（2000年）『要約可能性における古典的および現代的な手法』オックスフォード大学出版局、332ページ。ISBN 0-19-850165-Xさて、最後の命題が一般に真であるかどうか、つまり閉写像が連続であるかどうかという疑問が生じます。次の例が証明するように、これは一般には成り立ちません。
9. Kubrusly, Carlos S. (2011). 『作用素理論の要素』 Springer Science & Business Media. p. 115. ISBN 9780817649982一般に、距離空間から距離空間への写像は、「連続」、「開」、「閉」の属性の任意の組み合わせを持つことができます（つまり、これらは独立した概念です）。${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
10. ハート、KP;永田、J.ヴォーン、JE、編。 (2004)。一般トポロジーの百科事典。エルゼビア。 p. 86.ISBN​ 0-444-50355-2開（内部）地図の研究は、S.ストイロウの論文[13,14]から始まったようです。地図の開性は、GTホワイバーン[19,20]によって初めて広範囲に研究されました。
11. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、225–273頁。
12. ウィラード、スティーブン (1970).一般位相幾何学. アディソン・ウェスレー. ISBN 0486131785。
13. Lee, John M. (2012). 滑らかな多様体入門. 大学院数学テキスト. 第218巻（第2版）. p. 606. doi :10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9982-5. オリジナルから2022年10月13日にアーカイブ。2021年9月12日閲覧。演習A.32.が位相空間であるとする。それぞれの射影が開写像であることを示せ。${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$
14. バウエス、ハンス＝ヨアヒム;キンテロ、アントニオ (2001)。無限ホモトピー理論。K - 数学のモノグラフ。 Vol. 6.p. 53.ISBN​ 9780792369820開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像である。また、開写像の積は開写像である。一方、閉写像の積は必ずしも閉写像とは限らない。
15. James, IM (1984).一般位相幾何学とホモトピー理論. Springer-Verlag. p. 49. ISBN 9781461382836……開写像の合成は開写像であり、閉写像の合成は閉写像であることを思い出しましょう。また、開写像の和は開写像であり、閉写像の和は閉写像です。しかし、開写像の積は開写像であっても、閉写像の積は必ずしも閉写像であるとは限りません。

参考文献

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。