ホモトピー

位相幾何学において、ある位相空間から別の位相空間への2つの連続関数は、一方が他方に「連続的に変形」できる場合、ホモトピー（古代ギリシャ語のὁμός homós「同じ、類似」とτόπος tópos「場所」に由来）と呼ばれます。このような変形は、2つの関数間のホモトピー（/ h ə ˈ m ɒ t ə p iː / [^1]hə- MOT -ə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː /^[2]HOH -moh-toh-pee ）と呼ばれます。ホモトピーの顕著な用法は、代数位相幾何学における重要な不変量であるホモトピー群とコホモトピー群の定義です。^[3]

実際には、特定の空間でホモトピーを用いるには技術的な困難が伴います。代数位相学者は、コンパクト生成空間、CW複体、あるいはスペクトルを扱います。

正式な定義

トーラスを「ドーナツの表面」と「コーヒーマグの表面」として埋め込む2つの埋め込み間のホモトピーとその逆。これもまた同位体の例である。 $\mathbb {R} ^{3}$

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — トーラスを「ドーナツの表面」と「コーヒーマグの表面」として埋め込む2つの埋め込み間のホモトピーとその逆。これもまた同位体の例である。 $\mathbb {R} ^{3}$

正式には、位相空間Xから位相空間Yへの 2 つの連続関数 fとg間のホモトピーは、単位区間[0, 1]を持つ空間Xの積からYへの連続関数として定義され、すべてのに対してとなります。 $H:X\times [0,1]\to Y$ $H(x,0)=f(x)$ $H(x,1)=g(x)$ $x\in X$

Hの2番目のパラメータを時間と考えると、 H は関数 fからgへの連続的な変形を表します。つまり、時刻 0 では関数f、時刻 1 では関数gとなります。また、2番目のパラメータは「スライダーコントロール」と考えることもできます。スライダーを 0 から 1 へ動かすと、関数fからgへ、あるいはその逆へとスムーズに遷移させることができます。

別の表記法としては、2つの連続関数間のホモトピーは、およびとなるような連続関数の族であり、写像はからへ連続である、というものがあります。2つのバージョンはと設定することで一致します。それぞれの写像が連続である必要があるだけでは不十分です。^[4] $f,g:X\to Y$ $h_{t}:X\to Y$ $t\in [0,1]$ $h_{0}=f$ $h_{1}=g$ $(x,t)\mapsto h_{t}(x)$ $X\times [0,1]$ $Y$ $h_{t}(x)=H(x,t)$ $h_{t}(x)$

右上のループアニメーションは、トーラスのR ³への 2 つの埋め込みfとg間のホモトピーの例を示しています。 Xはトーラス、YはR 3 ^、 fはトーラスからR ³への連続関数で、トーラスをアニメーションの開始時に埋め込まれたドーナツ面の形状にします。gはトーラスを埋め込まれたコーヒーマグ面の形状にします。アニメーションは、h _t (X) のイメージをパラメーターtの関数として表示します。 tは、アニメーションループの各サイクルで、時間とともに 0 から 1 まで変化します。アニメーションは一時停止し、次にt が1 から 0 に戻るときにイメージを表示し、一時停止し、このサイクルを繰り返します。

プロパティ

連続関数fとgがホモトピーであるとは、上述のようにfからgへのホモトピーHが存在する場合のみである。ホモトピーであることは、 XからYへのすべての連続関数の集合における同値関係である。このホモトピー関係は、次の意味で関数合成と両立する。すなわち、 f ₁、g ₁ : X → Yがホモトピーであり、f ₂、g ₂ : Y → Zがホモトピーである場合、それらの合成f ₂ ∘ f ₁とg ₂ ∘ g ₁ : X → Zもホモトピーである。

例

がおよびによって与えられている場合、によって与えられる写像はそれらの間のホモトピーです。 $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ $f(x):=\left(x,x^{3}\right)$ $g(x)=\left(x,e^{x}\right)$ $H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ $H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)$
より一般的には、がユークリッド空間の凸部分集合であり、が同じ端点を持つ経路である場合、次式で表される線型ホモトピー^[5]（または直線ホモトピー）が存在する。 $C\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ $f,g:[0,1]\to C$
${\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}$
を単位n円板上の恒等関数、すなわち集合とします。をすべての点を原点へ送る定数関数とします。すると、次の式はそれらの間のホモトピーです。 $\operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}$ $B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}$ $c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}$ $c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}$
${\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}$

ホモトピー同値

二つの位相空間XとYが与えられたとき、XとYの間のホモトピー同値とは、連続写像f : X → Yとg : Y → Xの対であり、g ∘ fが恒等写像id _Xにホモトピーであり、f ∘ gが id _Yにホモトピーであるようなものである。このような対が存在するとき、XとYはホモトピー同値である、あるいは同じホモトピー型であるという。このホモトピー同値の関係は、しばしばと表記される。^[6]直感的には、二つの空間XとY が曲げ、縮小、拡大の操作によって互いに変換できるとき、これらの空間はホモトピー同値である。点とホモトピー同値である空間は収縮可能と呼ばれる。 $\simeq$

ホモトピー同値 vs. 同相写像

同相写像はホモトピー同値性の特殊なケースであり、g ∘ fが恒等写像 id _Xと等しく（同相であるだけでなく）、f ∘ gが id _Yと等しい場合である。^[7]^{: 0:53:00}したがって、XとYが同相であればホモトピー同値であるが、その逆は真ではない。いくつか例を挙げる。

円板は一点とホモトピー同値である。これは、円板を放射状線に沿って連続的に変形し、一点に辿り着くことができるためである。しかし、円板と円板の間には一対一の関係がないため、同相ではない（一方が無限集合でもう一方が有限集合であるため）。
メビウスの帯とねじれのない（閉じた）帯は、どちらも連続的に円に変形できるため、ホモトピー同値です。しかし、同相ではありません。

例

ホモトピー同値性の最初の例は、と表記される点とのホモトピーです。確認する必要があるのは、を原点に射影したとの間にホモトピーが存在するかどうかです。これはと記述できます。 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}$ $H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ $\operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$ $p_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}$
( 1-球面) との間にはホモトピー同値性があります。 $S^{1}$ $\mathbb {R} ^{2}-\{0\}$
- より一般的には、. $\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}$
点にホモトピー同値な繊維を持つ任意の繊維束は、ホモトピー同値な全空間と基底空間を持つ。これは、が繊維を持つ繊維束であるため、前の2つの例を一般化したものである。 $\pi :E\to B$ $F_{b}$ $\pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}$ $\mathbb {R} _{>0}$
すべてのベクトル束は、点と等価なファイバーホモトピーを持つファイバー束です。
$\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}$ 任意のに対して、をファイバーバンドルの全空間と書き、上記のホモトピー同値を適用することによって、となります。 $0\leq k<n$ $\mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}$ $\mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})$
CW複体の部分複体が縮約可能ならば、商空間はホモトピーと同値である。^[8] $A$ $X$ $X/A$ $X$
変形収縮はホモトピー同値です。

ヌルホモトピー

関数はヌルホモトピックであると言われる $f$ それが定数関数にホモトピーである場合。（から定数関数へのホモトピーは、ヌルホモトピーと呼ばれることもあります。）たとえば、単位円から任意の空間への写像は、境界上でと一致する単位円からへの写像に連続的に拡張できるときに、まさにヌルホモトピーになります。 $f$ $f$ $S^{1}$ $X$ $D^{2}$ $X$ $f$

これらの定義から、空間が収縮可能であるのは、常にホモトピー同値である、からそれ自身への恒等写像がヌルホモトピーである場合のみであることがわかります。 $X$ $X$

不変性

ホモトピー同値性は、代数位相幾何学において多くの概念がホモトピー不変、つまりホモトピー同値性の関係を満たすため重要です。例えば、 XとYがホモトピー同値な空間である場合、次のようになります。

Yがパス接続されている場合にのみ、Xはパス接続されます。
Yが単純に接続されている場合のみ、Xは単純接続されます。
XとYの(特異)ホモロジー群とコホモロジー群は同型です。
XとYがパス連結であれば、 XとYの基本群は同型であり、高次のホモトピー群も同型です。（パス連結性の仮定がない場合、 π ₁ ( X , x _{0 ) は π}₁ ( Y , f ( x ₀ ))と同型です。ここでf : X → Yはホモトピー同値であり、x ₀ ∈ Xです。）

ホモトピー不変ではない位相空間の代数的不変量の例としては、コンパクトに支えられたホモロジー（大まかに言えば、コンパクト化のホモロジーであり、コンパクト化はホモトピー不変ではない）が挙げられる。

変種

相対ホモトピー

基本群を定義するためには、部分空間に対するホモトピーの概念が必要である。これらは部分空間の要素を固定したホモトピーである。正式には、fとg がXからYへの連続写像であり、KがXのサブセットである場合、すべての k ∈ Kおよび t ∈ [0, 1]に対してH ( k , t ) = f ( k ) = g ( k )となるような、 fとgの間にホモトピーH : X × [0, 1] → Yが存在するとき、 fとgはKに対してホモトピックであるという。また、g がXからKへの後退であり、f が恒等写像である場合、これはXからKへの強変形後退として知られている。Kが点のとき、尖ったホモトピーという用語が使用される。

同位体

アンクノットはトレフォイルノットと同値ではない。なぜなら、アンビエント空間の同相写像の連続的な経路を通して、一方が他方に変形できないからである。したがって、アンビエント同位体ではない。

位相空間Xから位相空間Yへの二つの連続関数fとgが埋め込みであるとき、それらを「埋め込みを通して」接続できるかどうかが問われる。このことからアイソトピーの概念が生まれる。これは、前述の記法におけるホモトピーHであり、固定された各tに対して、H ( x , t ) は埋め込みを与える。^[9]

関連しているが異なる概念として、周囲同位体の概念があります。

2 つの埋め込みが同位体であることの要求は、同位体であることの要求よりも強いです。たとえば、区間 [−1, 1] からf ( x ) = − xで定義される実数への写像は、恒等写像g ( x ) = xと同位ではありません。 fから恒等写像へのホモトピーはいずれも端点を交換する必要があり、つまり互いに「通過」する必要があります。さらに、fは区間の方向を変えていますが、g は変えていません。これは、同位体では不可能です。しかし、写像はホモトピーです。fから恒等写像へのホモトピーの 1 つはH : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] であり、これはH ( x , y ) = 2 yx − xで与えられます。

境界上で一致する単位球の2つの同相写像（埋め込みの特殊なケース）は、アレクサンダーのトリックを用いて同位体であることが示せます。このため、 f ( x , y ) = (− x , − y )で定義される単位円板の写像は、原点を中心とした180度回転に対して同位体であり、恒等写像とfは回転によって接続できるため同位体です。 $\mathbb {R} ^{2}$

幾何学的位相幾何学、例えば結び目理論においては、同位性の概念が同値関係の構築に用いられます。例えば、2つの結び目はどのような場合に同じであるとみなされるべきでしょうか？ 3次元空間における2つの結び目、 K ₁とK ₂を考えてみましょう。結び目とは、1次元空間である「糸の輪」（あるいは円）をこの空間に埋め込んだものであり、この埋め込みによって、円と埋め込み空間におけるその像との間に同相写像が成立します。結び目の同値性は、より限定的な性質であるアンビエント同位性ではなく、同位性に基づいて定義しようとするかもしれません。つまり、 t = 0で始まりK _{1埋め込みを与え、}t = 1で終わりK ₂埋め込みを与え、すべての中間値が埋め込みに対応する連続関数が存在する場合、2つの結び目は同位体です。しかし、この定義では、結び目のある部分が直線に「縮約」できるため、すべての結び目が非結び目と同値になります。問題は、連続ではあるものの、結び目が埋め込まれているユークリッド空間の単射関数ではないということである。ここで研究されているアンビエント同位体とは、埋め込まれた部分多様体への作用を考慮した、より大きな空間の同位体である。結び目K ₁とK _{2は、ユークリッド空間の同相写像を介して}K _1をK ₂へ移動する連続体が存在する場合、同値であるとみなされる。

より強い同値性の概念を持つ文脈では、同様の用語が同値の概念を表すために用いられます。例えば、2つの滑らかな埋め込み間のパスは滑らかな同位体です。

時間的ホモトピー

ロレンツ多様体上では、ある種の曲線が時間的(あらゆる局所座標系において時間的に前向きのみに進み、後ろ向きには進まない曲線) として区別される。2つの時間的曲線間の時間的ホモトピーは、一方の曲線からもう一方の曲線への連続的な変換中に曲線が時間的であり続けるようなホモトピーである。ロレンツ多様体上の時間的閉曲線(CTC) は、点に対して時間的ホモトピックではない (つまり、時間的ホモトピックがゼロ)。したがって、そのような多様体は時間的曲線によって多重連結されていると言われる。3 次元球面などの多様体は、単純連結(任意のタイプの曲線によって)でありながら、時間的に多重連結である可能性がある。^[10]

プロパティ

持ち上げと伸展特性

ホモトピーと被覆があり、（のリフトと呼ばれる）となる写像が与えられている場合、をすべてとなる写像にリフトすることができます。ホモトピーのリフト特性は、ファイブレーションを特徴付けるために使用されます。 $H:X\times [0,1]\rightarrow Y$ $p:{\overline {Y}}\rightarrow Y$ ${\overline {h}}_{0}:X\rightarrow {\overline {Y}}$ $H_{0}=P\circ {\overline {h}}_{0}$ ${\overline {h}}_{0}$ $h_{0}$ $H$ ${\overline {H}}:X\times [0,1]\rightarrow {\overline {Y}}$ $p\circ {\overline {H}}=H$

ホモトピーに関連するもう一つの有用な性質はホモトピー拡大性である。これは、ある集合の部分集合からその集合自身への、2つの関数間のホモトピー拡大を特徴付ける。これはコファイブレーションを扱う際に有用である。

グループ

2つの関数が部分空間に対してホモトピックである関係は同値関係であるため、固定されたXとYの間の写像の同値類を見ることができます。単位区間[0, 1]がn回自身と交差する点を固定し、その境界を部分空間とすると、同値類はと表記される群を形成します。ここで、は部分空間の像です。 $f,g\colon X\to Y$ $X=[0,1]^{n}$ $\partial ([0,1]^{n})$ $\pi _{n}(Y,y_{0})$ $y_{0}$ $\partial ([0,1]^{n})$

ある同値類から別の同値類への作用を定義することで、群が得られます。これらの群はホモトピー群と呼ばれます。の場合は、基本群とも呼ばれます。 $n=1$

ホモトピーカテゴリ

ホモトピーの概念は、圏論の形式圏に変換することができます。ホモトピー圏とは、対象が位相空間であり、その射が連続写像のホモトピー同値類である圏です。2つの位相空間XとYがこの圏において同型であるための必要十分条件は、それらがホモトピー同値である場合です。したがって、位相空間の圏上の関手がホモトピー不変であるためには、それがホモトピー圏上の関手として表現できる必要があります。

例えば、ホモロジー群は関数ホモトピー不変量です。つまり、XからYへのfとgがホモトピックである場合、ホモロジー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型は同じです。つまり、すべてのnに対して、 H _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) です。同様に、XとYがさらに経路接続されており、 fとg間のホモトピーが尖っている場合、ホモトピー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型も同じです。 π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ) です。

アプリケーション

ホモトピーの概念に基づいて、代数方程式と微分方程式の計算法が開発されてきた。代数方程式の計算法としては、ホモトピー接続法^[11]と接続法（数値接続を参照）が挙げられる。微分方程式の計算法としては、ホモトピー解析法が挙げられる。

ホモトピー理論はホモロジー理論の基礎として使うことができる。すなわち、空間X上のコホモロジー関数を、ホモトピー同値性まで、適切な固定空間へのXの写像によって表すことができる。たとえば、任意のアーベル群Gと任意の基底 CW 複体Xについて、Xからアイレンバーグ・マクレーン空間への基底写像の基底ホモトピー類の集合は、空間Xのn番目の特異コホモロジー群と自然単射である。アイレンバーグ・マクレーン空間のオメガスペクトルは、 Gに係数を持つ特異コホモロジーの空間を表現していると言える。この事実を使うと、ホップ・ホイットニーの定理で記述されるコホモロジーを使って、CW 複体と多重連結空間の間のホモトピー類を計算できる。 $[X,K(G,n)]$ $K(G,n)$ $H^{n}(X,G)$

最近、ホモトピー理論は、拡散モデルやフローベースの生成モデルといった深層学習に基づく生成モデルの開発に用いられています。複雑な非ガウス状態を摂動することは困難な作業です。深層学習とホモトピーを用いることで、このような複雑な状態をガウス状態に変換し、さらに軽く摂動を加えることで、摂動を受けた複雑な状態に戻すことができます。^[12]

参照

参考文献

^ 「ホモトピーの定義と意味」。 2022年4月22日閲覧。
^ 「ホモトピー型理論について議論 - Computerphile」YouTube 2017年10月13日. 2022年4月22日閲覧。
^ 「ホモトピー | 数学」ブリタニカ百科事典. 2019年8月17日閲覧。
^ 「代数的位相幾何学 - パスホモトピーと個別連続関数」。Mathematics Stack Exchange。
^ アレン、ハッチャー (2002).代数的位相幾何学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 185. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394。
^ Singh, Tej Bahadur (2019).トポロジー入門. Springer Singapore. p. 317. doi :10.1007/978-981-13-6954-4. ISBN 9789811369544。これは、誤って名付けられたUnicodeシンボルU+2243 ≃ ASYMPTOTICALLY EQUAL TOです。
^ GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ：Albin, Pierre (2019). 「代数的位相幾何学の歴史」. YouTube .
^ アレン、ハッチャー (2002).代数的位相幾何学. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 11. ISBN 9780521795401. OCLC 45420394。
^ ワイスタイン、エリック・W.「アイソトーピー」。マスワールド。
^ モンロー、ハンター (2008年11月1日). 「因果律違反は望ましくないのか？」. Foundations of Physics . 38 (11): 1065– 1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Bibcode :2008FoPh...38.1065M. doi :10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN 0015-9018. S2CID 119707350.
^ Allgower, EL (2003).数値接続法入門. Kurt Georg. フィラデルフィア: SIAM. ISBN 0-89871-544-X. OCLC 52377653。
^ Rout, Siddharth; Haber, Eldad; Gaudreault, Stéphane (2025-03-15),欠損データまたは不完全データを含む動的システムの確率予測, arXiv : 2503.12273

出典

アームストロング、MA (1979).基本トポロジー. シュプリンガー. ISBN 978-0-387-90839-7。
「ホモトピー」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
「同位体（位相幾何学における）」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
スパニエ、エドウィン（1994年12月）『代数的位相幾何学』シュプリンガー、ISBN 978-0-387-94426-5。