ホップファイブレーション

微分位相幾何学において、ホップファイバ（ホップバンドルまたはホップマップとも呼ばれる）は、 3-球面（4次元空間の超球面）を円と通常の球面で記述するものである。これは1931年にハインツ・ホップによって発見され、ファイバーバンドルの初期の影響力のある例である。技術的には、ホップは、2-球面の各個別点が3-球面の個別大円から写像されるような、3-球面から2-球面への多対1の $連続$ 関数（または $「$ 写像」）を発見した $（$ $Hopf$ 1931 ）。[ ^1]したがって、 $3-球面はファイバーで構成され、各ファイバーは円であり、つまり$ $2-$ 球面の各点に1つずつ対応する。

この繊維束構造は

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},

これは、ファイバー空間 $S 1$ （円）が全空間 $S$ $3$ （ $3次元球面）に$ 埋め込まれ、 $p$ $:$ $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ （ホップ写像）が $S$ $3$ を基底空間 $S$ $2$ （通常の $2次元球面）に射影することを意味します。ホップファイバは、他のファイバー束と同様に、$ 局所的には積空間であるという重要な性質を持っています。しかし、ホップファイバは自明なファイバー束ではありません。つまり、 $S$ $3$ は局所的には $S$ $2$ とS 1 の積ではありませんが、局所的にはS 2 と $S$ $1$ の積ではありません。

これには多くの意味合いがあります。例えば、この束の存在は、球面の高次ホモトピー群が一般には自明ではないことを示しています。また、ファイバーを円群と同一視することで、主束の基本的な例も示しています。

ホップファイバの立体射影により、 $R 3$ 上に注目すべき構造が誘導されます。この構造では、 z 軸を除くすべての 3 次元空間が、連結されたヴィラルソー円で構成された入れ子状のトーラスで満たされます。ここでは、各ファイバが空間内の円に射影されます(そのうちの 1 つは直線で、「無限遠を通る円」と考えられます)。各トーラスは、 $2$ -球面の緯度円の逆像の立体射影です。 (位相幾何学的には、トーラスは 2 つの円の積です。) これらのトーラスは、右の図に示されています。 $R$ $3$ が球の境界に圧縮されると、位相構造は保持されますが、一部の幾何学的構造は失われます (位相と幾何学を参照)。ループは円に同相ですが、幾何学的な円ではありません。

ホップファイブレーションには数多くの一般化が存在する。複素座標空間 $C n +1$ 上の単位球面は、円をファイバーとする複素射影空間 $CP n$ 上に自然にファイバーとなる。また、これらのファイブレーションには実数、四元数、^[2]、八元数バージョンも存在する。特に、ホップファイブレーションは、全空間、基底空間、ファイバー空間がすべて球面となる4つのファイバー束の族に属する。

S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.

アダムスの定理によれば、そのようなファイバ化はこれらの次元でのみ発生します。

定義と構築

任意の自然数 nに対して、n次元球面またはn 球面は、中心点から固定距離にある次元空間の点の集合として定義できます。具体的には、中心点は原点とし、この原点から球面上の点までの距離は単位長さと仮定できます。この規則を用いると、n球面は、 x ₁² + x ₂² + ⋯+ x _n_{+ 1}² = 1を満たす内の点で構成されます。たとえば、 $3球面は、x$ _{1 2}_{+ x}₂ 2 + x _{3 2} + x _{4 2}⁼ 1 ^を満たすR ⁴内の点 ( x 1 _、 x 2 ^、 x 3 _、 x 4 ₎から構成^されます。 $(n+1)$ $S^{n}$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

$2$ 球面上の $3$ 球面のホップファイバ $p : S 3 \to S 2$ は、いくつかの方法で定義できます。

直接建設

$R 4$ と $C 2$ （ $C$ は複素数を表す）を次のように記述して同一視する。

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4}),

そして $R 3 を$ $C \times R$ と同一視し、次のように書く。

(x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})

。

したがって、 $S 3は、$ $C$ $2$ のすべての $($ $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)の$ 部分集合であって、 $|$ $z$ $0$ $|$ $2$ $+ |$ $z$ $1$ $|$ $2$ $= 1$ と同一視され、 $S$ $2は、$ $C$ $\times$ $R$ のすべての $($ $z$ $,$ $x$ $)$ の部分集合であって、 $|$ $z$ $|$ $2$ $+$ $x$ $2$ $= 1$ と同一視される。（ここで、複素数 $z$ $=$ $x$ $+ i$ $y$ に対して、その絶対値の二乗は | z | ² = z z ^∗ = x ² + y ²であり、星印は複素共役を表す。）すると、ホップファイバ $p$ は次のように定義される。

p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).

最初の要素は複素数であり、2番目の要素は実数である。3 $次元球面上の任意の点は、$ $| z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ という性質を持つ。もしそうであれば、 $p (z 0, z 1)は$ $C$ $\times$ $R$ の単位 $2次元球面上にあり、これは$ $p$ の複素要素と実要素の絶対値の2乗を足し合わせることで示される。

2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1

さらに、 3 次元球面上の 2 点が 2 次元球面上の同じ点に写像される場合、つまり、 $p (z 0, z 1) = p (w 0, w 1)$ である場合、 $|$ $λ$ $|$ $2$ $= 1$ となる複素数 $λ$ $に対して、 (w 0, w 1)は$ $(λ z 0, λ z 1)$ に等しくなければなりません。逆もまた真で、共通の複素因数 $λ$ $だけ異なる3 次元$ 球面上の任意の 2 点は、 $2 次元$ 球面上の同じ点に写像されます。これらの結論は、複素因数 $λ が$ $p$ の両方の部分、すなわち複素 $2$ $z$ $0$ $z$ $1$ $*$ 成分と実数成分 $|$ $z$ $0$ $|$ $2$ $- |$ $z$ $1$ $|$ $2でその複素共役$ $λ$ $*$ と打ち消すことから導き出されます。

$|$ $λ$ $|$ $2$ $= 1$ を満たす複素数 $λ$ の集合は複素平面上の単位円を形成するので、 $S$ $2$ の各点 $m$ に対して、その逆像 $p$ $-1$ $($ $m$ $)$ は円、すなわち $p$ $-1$ $m$ $≅$ $S$ $1$ となる。したがって、 $3$ 次元球面はこれらの円繊維の互いに素な和集合として実現される。

ホップ写像を用いた $3$ 球面の直接的なパラメータ化は次のようになる。 ^[3]

z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta

z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .

またはユークリッド $R 4$

x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

ここで、 $η は$ $0$ から $π /2 の$ 範囲、 $ξ 1 は$ $0$ から $2 π$ の範囲、 $ξ 2 は$ $0$ から $4 π$ の範囲の任意の値を取ります。円を表す $0$ と $π$ $/2$ を除く $η$ $の値はいずれも、 3$ 球面上に独立した平坦なトーラスを表します。ξ $1$ または $ξ$ $2$ のいずれかを 0 から 4 π まで往復させると、 $トーラス$ $の$ $両辺$ $を$ 一周します。

上記のパラメータ化を $2$ 球面にマッピングすると次のようになります。円上の点は $ξ 2$ でパラメータ化されます。

z=\cos(2\eta )

x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}

y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}

複素射影直線を用いた幾何学的解釈

ファイバ化の幾何学的解釈は、 C 2 のすべての複素1次元部分空間の集合として定義される複素射影直線 CP 1 を用いて得られる。 $同様$ $に$ 、CP 1は $、任意$ の $非$ $ゼロ$ 複素数λに対して( $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)$ $と$ $($ λ $z$ $0$ $,$ $λ$ $z$ $1$ $)$ $を$ $同一$ 視する同値関係による $C$ $2 \{0} の商である。$ $C$ $2$ の任意の複素直線上には単位ノルムの円が存在するため、商写像を単位ノルムの点に制限することは、 $CP$ $1$ $上$ の $S$ $3$ のファイバ化である。

$CP 1$ $は2$ 球面と微分同相である。実際、CP 1 はリーマン球面 $C \infty = C \cup {\infty}$ と同一視できるこれは $C$ の一点コンパクト化（無限遠点を追加することで得られる）である。上記の $p$ の式は、 $3$ 次元空間における複素射影直線と通常の $2$ 球面。あるいは、点 $($ $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)$ はリーマン球面 $C$ $\infty$ における比 $z$ $1$ $/$ $z$ $0$ に写像することもできる。

繊維束構造

ホップファイバは、束射影 $p$ を持つファイバ束を定義する。これは、 $2$ -球面上の任意の点に近傍 $U$ $が存在し、その3$ -球面における逆像が $U$ と円の積 $p$ $-1$ $($ $U$ $) ≅$ $U$ $\times$ $S$ $1$ と同一視できるという意味で、「局所積構造」を持つことを意味する。このようなファイバは局所的に自明であると言われる。

ホップファイバリングの場合、 $S$ $2$ から1点 $mを除去し、$ $S$ $3$ から対応する円 $p$ $-1$ $($ $m$ $)を除去するだけで十分です。したがって、$ $U$ $=$ $S$ $2$ $\{$ $m$ $}$ とすることができ、 $S$ $2$ の任意の点にはこの形式の近傍が存在します。

回転を用いた幾何学的解釈

ホップファイブレーションの別の幾何学的解釈は、通常の $3$ 次元空間における $2球面の回転を考えることで得られる。$ 回転群SO(3)は、 $3$ 球面と微分同相な二重被覆、すなわちスピン群 $Spin(3)$ を持つ。スピン群は回転によって $S$ $2$ に推移的に作用する。点の安定群は円群と同型であり、その要素は与えられた点を動かさずに残す回転角であり、その点と球面の中心を結ぶ軸をすべて共有する。このことから、 $3$ 球面は $2$ 球面上の主円束であることが容易に導かれ、これがホップファイブレーションである。

$これをより明確にするために、2つのアプローチがあります。Spin (3)$ 群は単位四元数の群Sp(1)と同一視するか、特殊ユニタリ群 SU(2)と同一視するかのいずれかです。

$最初のアプローチでは、 R$ $4$ のベクトル $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ は、次のように記述される四元数 $q$ $\in$ $Hとして解釈される。$

q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!

3球面は、単位ノルムの四元数であるベルソル $q$ $\in$ $H$ と同一視され、 $|$ $q$ $|$ $2$ $= 1$ となります。ここで $|$ $q$ $|$ $2$ $=$ $qq$ $*$ $であり、これは上記のように$ $q$ に対して $x$ $1$ $2$ $+$ $x$ $2$ $2$ $+$ $x$ $3$ $2$ $+$ $x$ $4$ $2$ に等しくなります。

一方、 $R$ $3$ $のベクトル(y 1, y 2, y 3)$ は、純粋な四元数として解釈できる。

p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!

そして、ケイリー（1845）以来よく知られているように、マッピング

p\mapsto qpq^{*}\,\!

$はR 3$ の回転です。実際、 $|$ $qpq$ $*$ $|$ $2$ $=$ $qpq$ $*$ $qp$ $*$ $q$ $*$ $=$ $qpp$ $*$ $q$ $*$ $= |$ $p$ $|$ $2$ であるため、明らかに等長変換であり、方向が保存されていることを確認するのは難しくありません。

実際、これは、バーソル $q$ と $-$ $q が$ 同じ回転を決定するという事実を法として、バーソル群を $R 3$ の回転群と同一視します。上で述べたように、回転は $S$ $2$ に推移的に作用し、与えられた右バーソル $pを固定するバーソル$ $q$ の集合は $q$ $=$ $u$ $+$ $v$ $p$ の形式を持ちます。ここで、 $u$ と $v は、$ $u$ $2$ $+$ $v$ $2$ $= 1$ となる実数です。これは円部分群です。具体的には、 $p$ $=$ $k$ とすると、ホップ・ファイブレーションは、バーソル $ω を$ $ω$ $k$ $ω$ $*$ $に$ 送る写像として定義できます。 $qが$ $k を$ 固定するバーソルの円の 1 つである四元数 $ωq$ はすべて、同じものにマッピングされます (これは、 $k を$ $ω$ と同じ場所に回転させる 2 つの $180°$ 回転のうちの 1 つになります)。

このファイバー化を別の視点から見ると、すべてのバーソル ω は、 ${1, k}が張る平面を$ ${ω, ωk}$ が張る新しい平面へと移動させる、ということになります。任意の四元数 $ωq$ （ただし $qは$ $k を$ 固定するバーソル円の1つ）は、同じ効果を持ちます。これらすべてを1つのファイバーにまとめると、ファイバーは $ωkω$ $*$ の範囲である $180°$ 回転の $2$ -球面に1対1でマッピングできます。

$このアプローチは、 2\times2$ 行列と四元数 $q = x 1 + i x 2 + j x 3 + k x 4$ を同一視することによる直接構築に関連しています。

{\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!

これは、バーソル群を $SU(2)$ と同一視し、虚数四元数を歪エルミート $2\times2$ 行列（ $C \times R$ と同型）と同一視する。

明示的な式

$単位四元数q = w + i x + j y + k z$ によって誘起される回転は、直交行列によって明示的に与えられる。

{\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.

$ここで、 z$ 軸に沿った固定単位ベクトル $（0,0,1）$ が別の単位ベクトルに回転することに注目して、バンドル射影の明示的な実数式を見つける。

{\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!

$これは(w, x, y, z)$ の連続関数である。つまり、 $q$ $の像は、 2$ -球面上の点であり、単位ベクトルを $z軸に沿って送る点である。S$ $2 上$ の任意の点に対するファイバーは、単位ベクトルをそこに送るすべての単位四元数から構成される。

$S$ $2$ の点 $(a, b, c)$ 上のファイバーの明示的な式を書くこともできる。単位四元数の乗算は回転の合成を生成し、

q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta

$はz$ 軸の周りの $2 θ$ の回転である。θ が変化すると $、これは我々の原型的な繊維である$ $S$ $3$ の大円を描く。基点 $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)が対蹠点$ $(0, 0, -1)$ でない限り、四元数は

q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)

$は(0, 0, 1)を$ $(a, b, c)$ に送ります。したがって、 $(a, b, c)$ のファイバーは $q (a, b, c) q θ$ の形の四元数で与えられ、これは $S 3$ 点です。

{\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!

$q (a 、 b 、 c)$ による乗算は四元数空間の回転として機能するため、ファイバーは単なる位相的な円ではなく、幾何学的な円です。

最終的なファイバー $（0, 0, -1）は、$ $q （0,0,-1）を$ $i$ と等しく定義することで与えられ、

{\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},

$これにより束が完成する。ただし、 S 3$ と $S 2 \times S 1$ 間の1対1の写像はこの円上では連続ではないことに注意する。これは、 $S 3が$ $S 2 \times S 1$ と位相的に同値ではないという事実を反映している。

したがって、ホップファイブレーションを視覚化する簡単な方法は次のようになります。 $3球面上の任意の点は$ 4 元数に相当し、これは3 次元の直交座標系の特定の回転に相当します。すべての可能な 4 元数の集合は、すべての可能な回転の集合を生成し、これはそのような座標系の 1 つの単位ベクトル (たとえば、 $z$ ベクトル) の先端を単位 $2球面上のすべての可能な点に移動します。ただし、$ $z$ ベクトルの先端を固定しても回転が完全に指定されるわけではなく、 $z 軸$ を中心にさらに回転できます。したがって、 $3球面は$ $2$ 球面にマッピングされ、さらに 1 つの回転が行われます。

回転はオイラー角 θ、φ、ψを用いて表すことができます。ホップ写像は、回転を θ と φ で与えられる2次元球面上の点に写像し、関連する円は ψ によってパラメータ化されます。θ = π の場合、オイラー角 φ と ψ は個別に明確に定義できないため、( θ、φ、ψ ) の3次元トーラスとS ³の間には1対1写像（または1対2写像）が存在しないことに注意してください。

流体力学

ホップファイブレーションを3次元空間のベクトル場として扱うと、流体力学の（圧縮性、非粘性）ナビエ・ストークス方程式の解が存在します。この方程式では、流体はホップファイブレーションの3次元空間への投影の円に沿って流れます。各点における速度、密度、圧力の大きさは、これらの方程式を満たすように選択できます。これらの量はすべて、中心から離れるにつれてゼロになります。aを内輪までの距離とすると、速度、圧力、密度場は次のように表されます。

\mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)

p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},

\rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}

任意の定数 $A$ と $B$ に対して、同様の場のパターンが電磁流体力学のソリトン解にも見られる：^[4]

一般化

ホップ構成は、ファイバー束p : S ³ → CP ¹として見ると、いくつかの一般化が可能であり、これらはホップファイバー化とも呼ばれます。まず、射影直線を n次元射影空間に置き換えることができます。次に、複素数を任意の（実）除算代数（ n = 1の場合）を含む八元数に置き換えることができます。

実ホップファイバ

ホップファイバリングの実バージョンは、円S ¹を通常の方法でR ²の部分集合とみなし、対心点を同一視することによって得られる。これは、ファイバーS ^{0 = {1, −1} を持つ}実射影直線上のファイバー束S ¹ → RP ^{1を与える。CP}¹が球面と微分同相であるのと同様に、 RP ^{1 は}円と微分同相である。

より一般的には、ファイバーS ^0を持つ実射影空間RP ⁿ上のn球面S ⁿファイバー。

複素ホップファイバ

ホップ構成は、複素射影空間上の円束p : S ^{2 n +1} → CP ⁿを与える。これは実際には、 CP ⁿ上の同語直線束をC ⁿ⁺¹内の単位球面に制限したものである。

四元ホップファイバ

同様に、S ^{4 n+3 を}H ⁿ⁺¹（四元数 n空間）とみなし、単位四元数（= S ^{3 ）の乗算によって}四元数射影空間 HP ⁿを得ることができる。特に、S ⁴ = HP ¹であるため、ファイバーS ³を持つバンドルS ⁷ → S ⁴が存在する。

八元数ホップファイバ

八元数を用いた同様の構成は、S ¹⁵ → S ⁸という束とS ⁷という繊維を持つ。しかし、球面S ^{31 は}S ¹⁶を繊維S ¹⁵で繊維化しない。S 8^は八元数射影直線OP ¹とみなせる。八元数射影平面 OP ²も定義できるが、球面S ^23はOP ²を繊維S ⁷で繊維化しない。^[5]^[6]

球間の繊維化

「ホップファイブレーション」という用語は、上で得られた球面間のファイブレーションに限定されることもある。

S ¹ → S ¹（ファイバーS ^0付き）
S ³ → S ²（ファイバーS ^{1を使用）}
S ⁷ → S ⁴（ファイバーS ^3付き）
S ¹⁵ → S ⁸（ファイバーS ^7付き）

アダムズの定理の帰結として、球を全空間、基底空間、ファイバーとするファイバー束は、これらの次元においてのみ存在し得る。ホップファイバーとは異なるが、同様の性質を持つファイバー束は、ジョン・ミルナーによってエキゾチックな球を構成するために用いられた。

ツイスター繊維

上ののファイバ化も存在し、これはツイスターファイバ化として一部の界隈で知られている。^[7]ファイバはである。ここではを四元数の最大可換部分体で割った商として実現される。 $\mathbb {CP} ^{2n+1}$ $\mathbb {HP} ^{n}$ $\mathbb {CP} ^{1}$ $\mathbb {CP} ^{2n+1}$ $\mathbb {H} ^{n+1}$

より一般的には、ロバート・ブライアントは、リーマン対称空間上のすべての同次ファイバ化を、その全空間が複素多様体である複素多様体、つまりツイスター空間であると同定した。[ ^8]ここで説明するケースは、 $\operatorname {Sp} (n+1)/U(1)\times \operatorname {Sp} (n)$ $\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (1)\times \operatorname {Sp} (n).$

一般に、（閉じた）リー部分群の塔が存在するときはいつでも、上ののファイバ化が存在する。古典的なホップファイバ化の場合、、、およびとなる。 $K\subset H\subset G$ $G/K$ $G/H$ $G=U(n+1)$ $K=U(n)$ $H=U(1)\times U(n)$

幾何学と応用

ホップファイバー化には多くの意味合いがあり、純粋に興味深いものもあれば、より深い意味を持つものもあります。例えば、S ³ → R ³という立体射影は R ³に注目すべき構造を誘起し、それが束の位相を明らかにします (Lyons 2003)。立体射影は円を保存し、ホップファイバーを空間を満たすR ^{3内の幾何学的に完全な円に写像します。ただし、例外が1つあります。射影点を含むホップ円は、}R ³内の直線、つまり「無限遠を通る円」に写像されます。

S ²上の緯度円上のファイバーはS ³でトーラスを形成し（位相的には、トーラスは 2 つの円の積である）、これらはR ³の入れ子になったトーラスに投影され、これも空間を満たす。個々のファイバーは、投影点を通る円とその反対の点を通る円を除き、これらのトーラス上の連結ヴィラルソー円に写像される。前者は直線に写像され、後者はこの直線に垂直で中心にある単位円に写像される。後者は、短半径が 0 に縮小した退化したトーラスと見なすことができる。他のすべてのファイバー像も直線を囲むため、対称性により、各円はR ³とS ^{3の両方で}すべての円に連結される。このような連結円 2 つは、 R ³でホップリンクを形成する。

ホップはホップ写像がホップ不変量1を持ち、したがってヌルホモトピーではないことを証明した。実際、ホップ写像はホモトピー群π ₃ ( S ² )を生成し、無限位数を持つ。

量子力学では、リーマン球面はブロッホ球面として知られ、ホップファイバは量子力学的な2準位系または量子ビットの位相構造を記述する。同様に、一対のエンタングルされた2準位系の位相はホップファイバによって与えられる。

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.

(Mosseri & Dandoloff 2001) さらにホップファイバはディラックモノポールのファイバ束構造と等価である。^[9]

ホップファイバはロボット工学にも応用され、動作計画における確率的ロードマップアルゴリズムのためにSO(3)上の均一なサンプルを生成するために使われた。^{[10]また、}クアッドローターの自動制御にも応用された。^[11]^[12]

参照

ヴィラルソーサークル

注記

^ $3$ 球面を互いに交わらない大円に分割することは $、 2球面とは異なり、$ $3$ 球面の別々の大円が交差する必要がないため、可能です。
^ 四元ホップファイバ化、ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
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参考文献

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外部リンク

「ホップファイブレーション」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
ローランド、トッド. 「ホップファイブレーション」. MathWorld .
Dimensions Math の第 7 章と第 8 章では、アニメーション化されたコンピュータグラフィックスを使用してホップファイブレーションを説明します。
ホップファイブレーション入門（David W. Lyons著）（PDF）
2 次元球面上の点を 3 次元球面上の円に動的にマッピングする様子を示す、Niles Johnson 教授による YouTube アニメーション。
Gian Marco Todesco による 120 セルの構築に関する YouTube アニメーションは、120 セルのホップファイバを示しています。
http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ からの 600 セルの 1 つの 30 セルリングのビデオ。
2次元球面上の点から3次元球面上の円への写像のインタラクティブな視覚化