双曲角

曲線はxy = 1を表します。双曲角の大きさは対応する双曲扇形の面積に等しく、a = 1の場合は標準位置にあります。

幾何学において、双曲角は、直交平面の第1象限におけるxy = 1の対応する双曲扇形の面積によって決定される実数です。双曲角は自然対数の変形形であり、どちらも双曲線xy = 1に対する面積として定義され、スクイーズ写像によって面積が保存されるため、どちらもスクイーズ写像によって保存されます。

双曲線xy = 1 は長半径 を持つ長方形で、円角が半径の円弧の面積に等しいことに似ています。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

双曲角は、双曲関数sinh、cosh、tanhの独立変数として用いられます。これは、これらの関数が、双曲角を双曲三角形を定義するものと見なすことで、対応する円関数（三角関数）との双曲的な類似性に基づいていると仮定できるためです。双曲角は、双曲関数を座標として持つ 単位双曲線を媒介変数化します。

意味

POQ = POS + PQRS − QOR。POSとQORの面積が等しいということは、POQの面積 = PQRSの面積 = であることを意味します。${\displaystyle \int _{S}^{R}{\frac {dx}{x}}=\ln R-\ln S=ln{\frac {R}{S}}}$

直角双曲線 を考え、（慣例により） の部分に特に注意を払います。 ${\displaystyle \textstyle \{(x,{\frac {1}{x}}):x>0\}}$ ${\displaystyle x>1}$

まず定義します:

• 標準位置における双曲角は、 から への光線と から への光線の間の角度です( ) 。${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle \textstyle (x,{\frac {1}{x}})}$ ${\displaystyle x>1}$
• この角度の大きさは、対応する双曲セクターの符号付き面積であり、 となります。${\displaystyle \operatorname {ln} x}$

自然対数の性質により次の点に注意してください。

• 円角とは異なり、双曲角は無限大です(無限大であるため)。これは調和級数が無限大であるという事実と関連しています。${\displaystyle \operatorname {ln} x}$
• 角度の大きさの公式から、 の場合、双曲角は負になるはずです。これは、定義どおり、角度がに向いているという事実を反映しています。${\displaystyle 0<x<1}$

最後に、双曲角の定義を、双曲線上の任意の区間によって囲まれる角に拡張する。 が正の実数でおよびであるとし、および が双曲線上の点であり、その上の区間を決定するものとする。次に、スクイーズ写像により、角度 が標準位置角に写像される。グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンの結果によれば、これらの角度によって決定される双曲扇形は面積が同じであり、これが角度の大きさとされる。この大きさは である。 ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle ab=cd=1}$ ${\displaystyle c>a>1}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (c,d)}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \textstyle f:(x,y)\to (bx,ay)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((a,b),(0,0),(c,d)\right)}$ ${\displaystyle \angle \!\left((1,1),(0,0),(bc,ad)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {ln} {(bc)}=\operatorname {ln} (c/a)=\operatorname {ln} c-\operatorname {ln} a}$

円角との比較

単位双曲線は、双曲線角の半分の面積を持つ扇形を持つ。

円角と双曲角

単位円は 、ラジアンで表した円角の半分の面積を持つ円弧です。同様に、単位双曲線は、双曲線角の半分の面積を持つ 双曲弧です。${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$

円弧と双曲曲線の間にも射影分解が存在します。どちらの曲線も円錐曲線であるため、射影幾何学では射影範囲として扱われます。これらの範囲の1つに原点があるとすると、他の点は角度に対応します。科学の基本である角度の加法という概念は、これらの範囲の1つにある点の加法と以下のように対応します。

円角は、2 本の弦 P ₀ P ₁とP ₀ P _{2 が}円の中心で角度L ₁とL _{2を囲む場合、それらの和}L ₁ + L ₂が弦P ₀ Qによって囲まれる角度であり、ここでP ₀ QはP ₁ P ₂と平行である必要があります。

同じ構成は双曲線にも適用できる。P ₀を点(1, 1)、P ₁を点( x ₁ , 1/ x ₁ )、P ₂を点( x ₂ , 1/ x ₂ )とすると、平行条件によりQ は点( x ₁ x ₂ , 1/ x ₁ 1/ x ₂ )となる。したがって、 P _{0から曲線上の任意の点までの双曲線角を、その点の}xの値の対数関数として定義することは理にかなっている。^{[1] [2]}

ユークリッド幾何学では、原点からの直線に直交する方向に定常的に移動すると円が描かれますが、擬ユークリッド平面では、原点からの直線に直交する方向に定常的に移動すると双曲線が描かれます。ユークリッド空間では、与えられた角度の倍数は円の周りを等距離で描きますが、双曲線上では指数関数的な距離を描きます。^[3]

円角と双曲角はどちらも不変測度のインスタンスを提供します。円上の角度の大きさを持つ弧は、円上の特定の測定可能な集合上の測度を生成します。その測度は円の回転や自転によって変化しません。双曲線の場合、回転は圧縮写像によって行われ、双曲角の大きさは平面が写像によって圧縮されても変化しません。

( x , y ) ↦ ( rx , y / r ) （ただしr > 0 ）。

ミンコフスキー線要素との関係

双曲角とミンコフスキー空間上で定義された計量との間にも興味深い関係がある。2次元ユークリッド幾何学がその直線要素を次のように 定義するのと同様に、

${\displaystyle ds_{e}^{2}=dx^{2}+dy^{2},}$

ミンコフスキー空間上の線要素は^[4]

${\displaystyle ds_{m}^{2}=dx^{2}-dy^{2}.}$

2次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲線を考えてみましょう。

${\displaystyle x=f(t),y=g(t).}$

ここで、パラメータは（ ）から（ ）までの範囲の実数です。この曲線のユークリッド空間における弧長は次のように計算されます。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\leqslant t<b}$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{e}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt.}$

が単位円を定義する場合、この方程式の単一のパラメータ化された解はととなる。 とすると、弧長を計算するととなる。ここで、ユークリッド要素をミンコフスキー線要素に置き換えて同じ手順を実行すると、 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ ${\displaystyle x=\cos t}$ ${\displaystyle y=\sin t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\theta }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\theta }$

${\displaystyle S=\int _{a}^{b}ds_{m}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt,}$

単位双曲線を と定義し、その対応するパラメータ化された解の集合ととし、（双曲線角）とすることで、 という結果を得ます。ユークリッド計量を用いた場合、円角は円弧の長さであるのと同様に、ミンコフスキー計量を用いた場合、双曲線角は双曲線弧の長さです。 ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=1}$ ${\displaystyle y=\cosh t}$ ${\displaystyle x=\sinh t}$ ${\displaystyle 0\leqslant t<\eta }$ ${\displaystyle S=\eta }$

歴史

双曲線求積法は、双曲扇形の面積を求めるものである。漸近線に対する対応する面積と等しいことが証明できる。この求積法は、 1647年にグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが『円弧及び円弧の求積法』で初めて達成した。ある歴史家は次のように述べている。

[彼は]双曲線の漸近線への求積法を作成し、面積が等差級数で増加すると横軸が等比級数で増加することを示した。 [ 5 ^]

AA de Sarasa は求積法を対数として解釈し、幾何学的に定義された自然対数（または「双曲対数」）は、 x = 1の右側におけるy = 1/ xの面積として理解されます。超越関数の例として、対数はその根拠となる双曲角よりも馴染み深いものです。しかしながら、サン＝ヴァンサンの定理をスクイーズ写像を用いて展開する際には、双曲角が重要な役割を果たします。

円三角法は、オーガスタス・ド・モルガンの教科書 『三角法と二重代数』の中で双曲線に拡張されました。^[6] 1878年、W・K・クリフォードは双曲線角を使って単位双曲線をパラメータ化し、「準調和運動」と表現しました。

1894年、アレクサンダー・マクファーレンは、双曲角を用いて双曲バーソルを生成するエッセイ「代数の虚数」を著書『空間解析論文集』に掲載した。^[7]翌年、アメリカ数学会報はメレン・W・ハスケルによる双曲関数の概要を掲載した。^[8]

ルドヴィク・シルバーシュタインが1914年に出版した新しい相対性理論の教科書では、双曲角aに基づくラピディティ概念を用いています。ここでtanh a = v / cは速度vと光速の比です。彼は次のように書いています。

単位のラピディティには光速の 3/4 という巨大な速度が対応していることは言及する価値があると思われます。より正確には、 a = 1の場合にv = (.7616) cとなります。

[...] 急速度a = 1 、[...] は、結果として、水中の光速度よりわずかに速い速度 .76  cを表します。

シルバースタインはロバチェフスキーの平行角Π( a )の概念も用いてcosΠ( a ) = v / cを導出している。^[9]

仮想円角

双曲角はしばしば虚数のように表現され、双曲関数coshとsinhは円関数を通して表現される。しかしユークリッド平面では、円角の尺度を虚数、双曲角の尺度を実スカラーと見なすこともできる。${\textstyle \cos ix=\cosh x}$ ${\textstyle \sin ix=i\sinh x,}$ ${\textstyle \cosh ix=\cos x}$ ${\textstyle \sinh ix=i\sin x.}$

これらの関係は指数関数の観点から理解することができ、複素引数の場合はそれぞれ偶数部と奇数部に分解できます。そして ${\textstyle z}$ ${\textstyle \cosh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})}$ ${\textstyle \sinh z={\tfrac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z}),}$

$${\displaystyle e^{z}=\cosh z+\sinh z=\cos(iz)-i\sin(iz),}$$

あるいは、引数が実部と虚部に分かれている場合、指数関数はスケーリングと回転の積に分割できる。${\textstyle z=x+iy,}$ ${\textstyle e^{x}}$ ${\textstyle e^{iy},}$

$${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y).}$$

無限級数として、

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}e^{z}&=\,\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+z+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\cosh z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=1+{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}+\dots \\\sinh z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {z^{k}}{k!}}&&=z+{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}+\dots \\\cos z&=\sum _{k{\text{ even}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=1-{\tfrac {1}{2}}z^{2}+{\tfrac {1}{24}}z^{4}-\dots \\i\sin z&=\,\sum _{k{\text{ odd}}}{\frac {(iz)^{k}}{k!}}&&=i\left(z-{\tfrac {1}{6}}z^{3}+{\tfrac {1}{120}}z^{5}-\dots \right)\\\end{alignedat}}}$$

cos の無限級数は、cosh を交代級数に変換することで得られ、sin の級数は、sinh を交代級数に変換することで得られます。

自然対数

スクイーズ マッピングの1つのパラメータ グループは領域を保持します。

自然対数は最初は双曲対数として知られ、 1647 年にグレゴリオ・ア・サン・ビセンテが双曲線の求積法として提唱しました。特定の双曲線y = 1/ xは、アニメーションに示すように、圧縮マッピングの前後で面積が同じである双曲セクターを囲みます。

単位面積の半分の三角形を入れ替えると、双曲扇形の面積は漸近線上の領域の面積に等しいことがわかります。領域は漸近線上の線分における1/xの積分を表します。その値は区間の両端の比のみに依存します。標準的な用法では、一方の端が1です。もう一方の端xが1より小さい場合、

${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {dx}{x}}=-\int _{x}^{1}{\frac {dx}{x}}<0.}$

レオンハルト・オイラーは、 1748年に面積の単位となる数としてe（オイラー数）を発見した後、「自然対数」という造語を生み出しました。指数関数e ^{x の}逆関数は自然対数です。

参照

• 超越角

注記

1. Bjørn Felsager, Through the Looking Glass – A glimpse of Euclid's twin geometry, the Minkowski geometry Archived 2011-07-16 at the Wayback Machine , ICME-10 Copenhagen 2004; p.14. 例題集も参照のこと [1] Archived 2009-01-06 at the Wayback Machine [2] Archived 2008-11-21 at the Wayback Machine標準的なユークリッドの結果のミンコフスキー的類似点の探究
2. Viktor PrasolovとYuri Solovyev (1997) Elliptic Functions and Elliptic Integrals、1ページ、Translations of Mathematical Monographs volume 170、 American Mathematical Society
3. 双曲幾何学 pp 5–6、図15.1
4. Weisstein, Eric W. 「ミンコフスキー計量」. mathworld.wolfram.com .
5. デイヴィッド・ユージン・スミス(1925)数学史、pp. 424,5 v. 1
6. オーガスタス・ド・モルガン（1849）『三角法と二重代数』第6章「一般三角法と双曲三角法の関係について」
7. アレクサンダー・マクファーレン（1894）『空間分析に関する論文』B. ウェスターマン、ニューヨーク
8. メレン・W・ハスケル(1895) 双曲関数の概念の導入についてアメリカ数学会報1(6):155–9
9. Ludwik Silberstein (1914) 『相対性理論』 pp. 180–1、インターネットアーカイブより

参考文献

• ジャネット・ハイン・バーネット(2004)「舞台中央に入ろう：双曲関数の初期のドラマ」、(a)数学雑誌77(1):15–30 または (b)オイラー300ページ第7章、REブラッドリー、LAダントニオ、CEサンディファー編、アメリカ数学協会 ISBN 0-88385-565-8。
• アーサー・ケネリー（1912）双曲関数の電気工学問題への応用
• ウィリアム・ミューラー、『初等微積分学の探究』、§ 数 e、双曲三角法。
• ジョン・スティルウェル（1998）『数と幾何学演習9.5.3』p.298、シュプリンガー・フェアラークISBN 0-387-98289-2。