数学表記

強調表示されたLaTeXの数学的表記

数学記法は、演算、不定数、関係、その他の数学的対象を表す記号を用い、それらを式や公式に組み立てることから成ります。数学記法は、複雑な概念や特性を簡潔かつ明確かつ正確に 表現するために、数学、科学、工学の分野で広く用いられています。

例えば、物理学者アルバート・アインシュタインの公式は、質量とエネルギーの等価性を数学的表記で定量的に表現したものです。^[1]${\displaystyle E=mc^{2}}$

数学表記法は、16 世紀末にフランソワ・ヴィエトによって初めて導入され、17 世紀から 18 世紀にかけて、ルネ・デカルト、アイザック・ニュートン、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ、そしてレオンハルト・オイラーによって大幅に拡張されました。

記号と書体

多くの記号の使用は数学表記の基礎です。記号は自然言語における単語と同様の役割を果たします。動詞、形容詞、名詞が文中で異なる役割を果たすのと同様に、数学表記においても記号は異なる役割を果たすことがあります。

文字を記号として

文字は通常、数学的対象を命名するために、数学的専門用語で言えば、数学的対象を表すために使用されます。ラテン文字とギリシャ文字は広く使用されていますが、ヘブライ文字の ⁠ ⁠ 、キリル文字の Ш 、ひらがなのよなど、他のアルファベットの文字も散発的に使用されます。大文字と小文字は異なる記号として扱われます。ラテン文字の場合、異なる書体によって異なる記号が提供されます。たとえば、と は、理論的には同じ数学テキストに6つの異なる意味を持って現れる可能性があります。通常、ローマンアップライト書体は、正弦関数の記号「 」などの標準関数を表す記号を除いて、記号には使用されません。^[2] ${\displaystyle \aleph }$ ${\displaystyle r,R,\mathbb {R} ,{\mathcal {R}},{\mathfrak {r}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ ${\displaystyle \sin }$

より多くの記号を用い、関連する数学的対象を関連する記号で表すために、分音記号、下付き文字、上付き文字がよく用いられる。例えば、 は、と呼ばれる関数の微分のフーリエ変換を表すことができる。${\displaystyle {\hat {f'_{1}}}}$ ${\displaystyle f_{1}.}$

その他の記号

記号は数学的な対象に名前を付けるだけでなく、関係式、論理接続詞、量指定子などの演算 にも 使用できます。${\displaystyle (+,-,/,\oplus ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (=,<,\leq ,\sim ,\equiv ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\implies ,\land ,\lor ,\ldots ),}$ ${\displaystyle (\forall ,\exists ),}$

いくつかの記号はラテン文字やギリシャ文字に似ており、文字を変形して作られたものや、伝統的な印刷記号もありますが、多くは数学用に特別に設計されています。

国際標準数学表記法

国際標準化機構（ISO）は、加盟国の国家標準化機関の代表者で構成される国際規格策定機関です。国際規格ISO 80000-2（旧ISO 31-11 ）は、数式で使用する記号を規定しています。この規格では、変数（例： E = mc ²）にはイタリック体フォント、数学定数（例：e または π ）にはローマン体フォント を使用することが規定されています。

表現と公式

式とは、文脈に依存する数学表記法の構文規則に従って記号を並べたものです。記号は、数値、変数、演算、関数などを表します。^{[3]その他の記号には、}句読点や括弧などがあり、演算の順序が明確に定義されていない場合にグループ化するために使用されます。

式は一般的に公式とは区別されます。式は数学的対象の一種であるのに対し、公式は数学的対象に関する文です。^[4]これは自然言語に類似しており、名詞句は対象を指し、文全体は事実を指します。例えば、は式ですが、不等式は公式です。 ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

式を評価するということは、その式と等価な数値を求めることを意味します。 ^{[5] [6]式は、式中の}演算をその結果に置き換えることで評価または簡略化できます。例えば、式は簡略化されて となり、次のように評価されます。${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

歴史

数字

数を表す記法は、少なくとも5万年前に初めて開発されたと考えられています。^[7]指で数える^[8]などの初期の数学的概念も、岩、棒、骨、粘土、石、木彫り、結び目のあるロープなどの材料で表現されてきました。数え棒は、後期旧石器時代にまで遡る数え方です。おそらく最も古い数学文献は、古代シュメールのものです。アンデスの人口調査キプとアフリカのイシャンゴ骨はどちらも、数の概念を表すために数え棒法を用いていました。

ゼロの概念とその表記法の導入は、初期数学における重要な発展であり、数としてのゼロの概念よりも何世紀も前から存在していました。バビロニア人やギリシャ・エジプト人によってゼロは仮置きとして使用され、その後、マヤ人、インド人、アラブ人によって整数として使用されるようになりました（ゼロの歴史を参照）。

現代の記法

16世紀まで、数学は本質的に修辞学的なものであり、明示的な数字以外はすべて言葉で表現されていました。しかし、ディオファントスなどの著述家は、いくつかの記号を略語として使用していました。

数式、特に不特定の数を表す記号（変数）の使用を体系的に初めて体系的に用いたのは、一般的にフランソワ・ヴィエト（16世紀）とされています。しかし、彼が用いた記号は、現在標準的に用いられているものとは異なります。

その後、ルネ・デカルト（17世紀）は、変数と方程式の現代的な表記法を導入しました。特に、未知数には、既知数（定数）には を用いました。また、虚数単位を表す「虚数」という用語と、iという表記法も導入しました。 ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle a,b,c}$

18世紀と19世紀には、今日使用されている数学表記法の標準化が見られました。レオンハルト・オイラーは、現在使用されている多くの表記法の考案者です。例えば、自然対数の底を表す関数表記 e、和を表す関数表記などです。^[9]また、アルキメデス定数にπを使用する方法も普及させました（これはウィリアム・オートレッドの以前の表記法に基づいてウィリアム・ジョーンズが提案したものです）。^[10]${\displaystyle f(x),}$ ${\textstyle \sum }$

それ以来、多くの新しい表記法が導入され、その多くは数学の特定の分野に特有のものでした。ライプニッツの表記法、ルジャンドル記号、アインシュタインの和の規則など、 発明者にちなんで名付けられた表記法もあります。

組版

一般的な組版システムは、一般的に数学表記には適していません。その理由の一つは、数学表記では記号が2次元の図形に配置されることが多いためです。例えば、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{n}}{n!}}.}$

TeXは、1978年にドナルド・クヌースによって開発された数学指向の組版システムです。LaTeXと呼ばれる拡張機能を通じて数学分野で広く利用されており、事実上の標準となっています。（上記の式はLaTeXで記述されています。）

最近では、数学的な組版のための別のアプローチとしてMathMLが提供されています。しかし、MathML の主なターゲットである Web ブラウザでは十分にサポートされていません。

ラテン文字に基づかない数学表記

現代アラビア語の数学表記法は、主にアラビア文字に基づいており、アラブ世界で、特に高等教育前の教育において広く使用されています。（西洋の表記法ではアラビア数字が使用されていますが、アラビア表記法ではラテン文字や関連記号もアラビア文字に置き換えられています。）

数学では、アラビア数字に加えて、ギリシャ文字を用いて様々な数学的対象や変数を表します。場合によっては、ヘブライ文字も使用されます（例えば、無限基数など）。

数学表記法の中には、主に図式的な表記法が用いられており、スクリプトからほぼ完全に独立しています。例としては、ペンローズ記法やコクセター・ディンキン図などが挙げられます。

視覚障害者が使用する点字ベースの数学表記法には、Nemeth BrailleやGS8 Brailleなどがあります。

意味と解釈

記法の構文は、記号をどのように組み合わせて整形式の表現を作るかを定義しますが、意味や解釈は特に規定されていません。記法の意味論は、記号が何を表しているかを解釈し、表現や数式に意味を付与します。逆に、ある文を論理記法や数学記法で書き表すプロセスを「翻訳」と呼びます。

解釈

形式言語が与えられた場合、解釈は言語に談話領域を割り当てる。具体的には、定数記号をその領域のオブジェクトに、関数文字をその領域内の関数に、述語文字をその文に割り当て、変数は領域全体にわたると仮定する。

地図と領土の関係

地図と領域の関係は、ある物体とその物体の表現との関係を表します。例えば、地球とその地図などです。数学では、数字の「4」とその表現「4」の関係はまさにこの関係です。引用符は正式な用法であり、数字とその名前を区別するものです。しかし、数学ではこの誤謬を「x は…を表す」と言い、実際には「"x" は…を表す」と言わないのが一般的です。後者は一般的に無害です。

数学組版用ソフトウェア

参照

• 表記法の乱用
• 結合法則
• 化学表記法
• 表記
• クヌースの上矢印記法
• 数学の言語
• 数学用オープンソースソフトウェアのリスト
• 数学の英数字記号
• 現代アラビア語の数学記法
• 確率と統計における表記法
• 構成性の原則
• 科学的記数法
• セマシオグラフィ
• 糖衣構文
• ベクトル表記

参考文献

1. アインシュタイン、アルバート (1905)。 「エネルギーを維持することは可能ですか?」Annalen der Physik (ドイツ語)。323 (13): 639–641。書誌コード:1905AnP...323..639E。土井：10.1002/andp.19053231314。ISSN  0003-3804。
2. ISO 80000-2:2019
3. Oxford English Dictionary、sv「Expression (n.)、II.7の意義」「数値、代数、その他の数学的量や関数を表す記号のグループ。」
4. ストール、ロバート・R. (1963).集合論と論理. サンフランシスコ、カリフォルニア州: Dover Publications. ISBN 978-0-486-63829-4。
5. Oxford English Dictionary、sv「評価する (v.)、意味a」、「数学。（定量的表現の）「値」を計算すること。（定量的事実または関係）の数値表現を見つけること。」
6. Oxford English Dictionary、sv「Simplify (v.)、意味4.a」「同類項をまとめたり変数を代入したりして、理解、分析、または操作しやすい形式で（方程式またはその他の数式を）表現すること。」
7. イヴス、ハワード(1990). 『数学史入門』（第6版）サンダース大学出版局 p.9. ISBN 978-0-03-029558-4。
8. イフラ、ジョルジュ（2000年）『数の普遍史：先史時代からコンピュータの発明まで』 ベロス、デイビッド、ハーディング、E・F、ウッド、ソフィー、モンク、イアン訳。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。p.48。ISBN 0-471-39340-1。（注：イフラは世界中の言語から慣用句を引用することで自身の主張を裏付けている。彼は人類が手で数を数えることを学んだと指摘し、例えばボエティウス（480年から524年または525年まで生きた）が指で数えている絵を示している。）
9. ボイヤー, カール・ベンジャミン;メルツバッハ, ウタ・C. (1991). 『数学の歴史』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp.  442– 443. ISBN 978-0-471-54397-8。
10. アルント、ヨルク;ヘネル、クリストフ (2006)。パイ・アンリーシュド。スプリンガー・フェルラーグ。 p. 166.ISBN​ 978-3-540-66572-4。

さらに読む

• フロリアン・カジョリ『数学記法の歴史』（1929年）、第1巻、第2巻。（ドーバー再版2011年、ISBN 0-486-67766-4）
• マズール、ジョセフ（2014年）『啓蒙的な記号：数学記法の小史とその秘められた力』プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-15463-3

外部リンク

• さまざまな数学記号の初期の使用
• 数学的な ASCII 表記法、任意のテキスト エディターで数式表記を入力する方法。
• Cut-the-Knotにおける言語としての数学
• Stephen Wolfram ：「数学表記法：過去と未来」。2000年10月。MathMLおよびMath on the Web：MathML国際会議における基調講演の記録。