自然数（ℕ）、整数（ℤ）、小数（𝔻）、有理数（ℚ）、実数（ ℝ）、複素数（ℂ）間の包含関係

数は、数えたり、測ったり、ラベルを貼ったりするのに用いられる数学的な対象です。最も基本的な例は、1、2、3、4、5といった自然数です。 [1]個々の数は、言語では数詞、または数字と呼ばれる専用の記号で表すことができます。例えば、「5」は数詞であり、「5」は対応する数字です。記憶できる記号は限られているため、数を体系的に表すために数字体系が用いられます。最も一般的な表現はヒンドゥー・アラビア数字体系で、これは数字と呼ばれる10個の記号の組み合わせを用いて、任意の非負整数を表すことができます。[2] [a]数字は、数え方（集合の基数など）、ラベル（電話番号など）、順序付け（シリアル番号など）、コード（ISBNなど）に用いられます。一般的な用法では、数字とそれが表す 数とは明確に区別されません。

数学において、数の概念は何世紀にもわたって拡張され、ゼロ (0) [3] 、負の数[4] 、半分などの有理数、2 の平方根やπなどの実数[5]、そして実数を-1の平方根で拡張した複素数[6]、およびその倍数を加算または減算することによる実数との組み合わせが含まれるようになりました。[4]数の計算は算術演算で行われ、最もよく知られているのは加算、減算、乗算、除算、および累乗です。これらの研究や使用法は算術と呼ばれ、数の性質を研究する 数論を指す場合もあります。

ゼロの概念を数とみなすには、哲学の根本的な転換が必要となり、無を値と同一視することになった。19世紀には、数学者たちは、現在では代数構造と呼ばれる様々な体系を開発し始めた。これらの体系は数と特定の性質を共有しており、ゼロの概念を拡張したものと見なすこともできる。代数構造の中には、明示的に数と呼ばれるもの（p進数や超複素数など）もあれば、そうでないものもあるが、これは数学的な区別というよりも慣習的なものである。[7]

歴史

数字の最初の使用

ベルギー自然科学博物館に展示されているイシャンゴの骨[8]

骨やその他の遺物に刻まれた痕跡が発見されており、多くの人がこれを計算用の印だと考えている。[9]歴史家の中には、レボンボの骨（約43,000年前）とイシャンゴの骨（約22,000～30,000年前）が最古の算術用遺物であると主張する者もいるが、この解釈には異論がある。[10] [11]これらの計算用の印は、日数や月の周期などの経過時間を数えたり、動物などの数量を記録したりするために使用された可能性がある。 [12]算数の基盤となっていると考えられている数量の知覚体系は 他の種と共有されており、系統分布から、言語の出現以前に存在していたことが示唆されている。[13] [10]

タリーシステムには、現代の十進記法のような位取りの概念がないため、大きな数の表現には限界があります。しかしながら、タリーシステムは抽象的な記数法の最初の種類と考えられています。[14]

考古学的記録に残る最も古い明確な数字は、メソポタミアの60進法（紀元前3400 年頃）である。[15]位取りは紀元前3千年紀に出現した。[16]最も古い10進法は、エジプトで紀元前3100年に遡る。 [17]バビロニアの粘土板は、紀元前 3400年頃のものである。紀元前1900～1600年頃には円周と直径の推定値が3.125とされており、これはおそらくπの最も古い近似値である。[18]

数字

上から、点字、ヒンドゥーアラビア語、デーヴァナーガリー文字、東アラビア語、中国語、中国語金融、ローマ数字を表示

数は、数を表すために使用される記号である数字とは区別する必要があります。エジプト人が最初の暗号化された記数法を発明し、ギリシャ人がそれに続いてイオニア文字とドーリア文字に数え数をマッピングしました。[19]（ただし、紀元前300年にアルキメデスは「砂の計算者」で非常に大きな数を表示するために位置記数法の使用を初めて実証しました。[20]）ローマ数字、つまりローマアルファベットの文字の組み合わせを使用するシステムは、 14世紀後半頃にヒンドゥー-アラビア数字システムが広まるまでヨーロッパで支配的であり、ヒンドゥー-アラビア数字システムは現在でも世界中で数を表す最も一般的なシステムです。[21]このシステムの有効性の鍵は、紀元後500年頃に古代インドの数学者によって開発されたゼロの記号でした。[21]

ゼロ

クメール数字の605。西暦683年の碑文に記されている。小数点の数字としてゼロが使われ始めた初期の頃の記録である。[22]

ゼロを整数として用いた最初の記録は西暦628年、インドの数学者ブラフマプタの主著『ブラフマスフタシッダーンタ』に見られる。彼は通常、ゼロという数学的概念を初めて定式化した人物と考えられている。ブラフマプタはゼロを数として扱い、ゼロ除算を含むゼロを含む演算について論じた。彼は「ゼロに正の数を足すと正の数になり、負の数にゼロを足すと負の数になる」といった、正負の数におけるゼロの使用法を示した。この頃（7世紀）までに、この概念はクメール数字の形でカンボジアに明らかに伝わっており[ 22] 、後に中国やイスラム世界にも広まったことが記録されている。この概念は、1000年頃にイスラムの文献を通じてヨーロッパに伝わり始めた[23]。

ブラフマグプタ以前にもゼロの使用例はあるが、その記録はブラフマスフタシッダーンタほど完全ではない。[24]ゼロの最古の使用例は、単に位取り記数法におけるプレースホルダー数字であり、バビロニア人のように別の数を表すものであった。[25]バビロニアやエジプトのテキストを含む多くの古代テキストでゼロが使用されている。エジプト人は複式簿記で残高がゼロであることを示すためにnfrという語を使用した。インドのテキストでは、空の概念を指すのにサンスクリット語のShunyeまたはshunya を使用している。数学のテキストでは、この単語はしばしば数ゼロを指す。[26]同様に、パーニニ(紀元前 5 世紀) はサンスクリット語の代数文法の初期の例であるアシュタディヤイ[ 24]でヌル (ゼロ) 演算子を使用している (ピンガラも参照)。

記録によると、古代ギリシャ人は0の数としての地位について確信が持てなかったようで、「『無』がどのようにして何かになり得るのか？」と自問し、0と真空の性質と存在について、興味深い哲学的議論、そして中世には宗教的議論へと発展しました。エレアのゼノンのパラドックスは、0の不確かな解釈に一部依存しています。 [27]（古代ギリシャ人は 1が数であるかどうかさえ疑問視していました。[28]）

マヤ数字は20進法の記数法の一例である。[29]

メキシコ中南部の後期オルメカ人は、紀元前38年までに新世界でゼロの仮置き記号である貝殻のグリフを使い始めました。 [30]ゼロを基数として発展させたのはマヤ人で、マヤ暦や記数法に使用しました。[31]マヤ人は、多数の点（基数5）と多数の棒（基数4）を組み合わせた20進数の記数法を使用していました。 [29]ジョージ・I・サンチェスは1961年に、基数4と基数5の「指」そろばんを報告しました。[32] [33]

紀元130年までに、プトレマイオスはヒッパルコスとバビロニア人の影響を受け、 60進法の中で0の記号（長い上線のある小さな円）を使用していました。60進法では、0はギリシャ文字のアルファベット数字を使用していました。[34]このヘレニズム時代のゼロは、単なる仮置きではなく、単独で使用されたため、旧世界で初めて記録された真のゼロの使用でした。後のビザンチン時代の彼の著書『アルマゲスト』の写本では、ヘレニズム時代のゼロはギリシャ文字のオミクロン[35]（等角投影法で70を意味する[36] ）に変化していました。

真のゼロは西暦525年（ディオニュシウス・エクシグスによる最初の使用）までにローマ数字と並んで表に使用されていたが、記号としてではなく、無を意味する「nulla」という単語としてであった。 [37]割り算の余りが0になった場合、これも無を意味する「nihil」が使用された。これらの中世のゼロは、その後の中世の計算者（イースターの計算者）すべてに使用された。[要出典]それらの頭文字Nは、真のゼロ記号として、ベーダかその同僚 によって西暦725年頃にローマ数字の表で単独で使用されていた。

負の数

負の数という抽象概念は、紀元前100年から50年頃に中国で既に認識されていました。『九章算術』には図形の面積を求める方法が記されており、赤い棒は正の係数、黒い棒は負の係数を示していました。[38]西洋の文献における最初の言及は、紀元3世紀のギリシャにおけるものです。ディオファントスは『算術』の中で、 4 x + 20 = 0（解は負）に相当する方程式に言及し、この方程式は不合理な結果をもたらすと述べています。[39]

600年代、インドでは負の数は負債を表すために使用されていました。ディオファントスによるこの言及は、インドの数学者ブラフマグプタによって628年に『ブラフマスプータシッダーンタ』の中でより明確に論じられており、ブラフマスプータシッダーンタは負の数を用いて、今日まで使われている二次方程式の一般的な形を導き出しました。しかし、12世紀のインドでは、バースカラが二次方程式の負の根を与えていますが、「この場合、負の値は取るべきではない。なぜなら、それは不十分だからである。人々は負の根を認めないからである」と述べています。[40]

ヨーロッパの数学者は、17世紀まで負の数の概念に抵抗していましたが、大部分は17世紀まで負の数の概念を受け入れていませんでした。 [40]フィボナッチは、負の解を金融問題において負債（算盤の書、1202年、第13章）として、後に損失（フロス、1843年）として解釈できることを認めていました。ルネ・デカルトは、代数多項式に現れる負の解を偽根と呼びましたが、真根と偽根を入れ替える方法も発見しました。[41]同じ頃、中国では、負の数を表すために、対応する正の数の数字の右端の非ゼロの桁に斜線を引いていました。[42]負の数を初期に実験したヨーロッパ人は、15世紀のニコラ・シュケです。彼は負の数を指数として使いましたが、[43]それを「不条理な数」と呼びました。

18 世紀に至るまで、方程式によって返される負の結果は無意味であると仮定して無視するのが一般的でした。

有理数

アルキメデスは、外接多角形と内接多角形の周囲長を用いて円周率の値を制限することにより、有理数の推定値を得ました。[44]

分数の概念は先史時代にまで遡る可能性が高い。[40]古代エジプト人は、リンド数学パピルスやカフン・パピルスなどの数学テキストで有理数を表すためにエジプトの分数記法を使用した。[45]リンド・パピルスには、円の面積をその直径から求める例が含まれており、π の概算値は≈ 3.16049...となる。 [18]古代ギリシャとインドの数学者は、数論の一般研究の一環として、有理数論の研究を行った。 [ 46] [40]これらの中で特に影響力のある例は、紀元前 300 年頃のユークリッドの『原論』である。 [47]インドのテキストの中で最も関連性が高いのは、数学の一般研究の一環として数論を扱っているスタンガ・スートラである。[40]

小数の概念は小数位取り記法と密接に関連しており、両者は並行して発展してきたようです。例えば、ジャイナ教の数学スートラには、円周率や2の平方根の小数近似値の計算が含まれることがよくあります。[要出典]同様に、バビロニアの数学文献では60進法（基数60）の分数が使用されていました。[48]

実数と無理数

バビロニアの粘土板YBC 7289には、2の平方根の近似値の最初の4つの60 進法の位が示されている： [49] 1 24 51 10

バビロニア人は紀元前1800年という早い時期に、粘土板に√2のような無理数の近似値を記しており、その精度は小数点以下6桁に相当し、例えばYBC 7289の粘土板に見られるように、そのように記されていた。[49]これらの値は主に幾何学や土地測量の実用計算に用いられた。[50]紀元前800年から500年の間に編纂されたインドの シュルバ・スートラにも無理数の実用的近似値が記されている。[51]

無理数の存在を初めて証明したのは、通常ピタゴラス、より具体的にはピタゴラス派の ヒッパソスであるとされる。彼は2の平方根の無理数を（おそらく幾何学的に）証明した。[52]ヒッパソスは2の平方根を分数で表そうとした際に無理数を発見したという逸話がある。しかし、ピタゴラスは数の絶対性を信じていた。無理数の存在を反証することも、受け入れることもできなかったため、伝説によると、彼はこの不穏なニュースの拡散を防ぐために、ヒッパソスを溺死に処したという。[53]

16世紀には、ヨーロッパで負の整数と分数が最終的に受け入れられました。17世紀までには、数学者は一般的に現代的な表記法で小数を使用していました。実数の概念は17世紀にルネ・デカルトによって導入されました。[54] 1683年、ヤコブ・ベルヌーイは複利を研究していた際、複利の期間が短くなるにつれて、指数関数的増加率が2.71828...を底として収束することを発見しました。この重要な数学定数は後にオイラー数（e ）と名付けられました。[55]無理数は18世紀に体系的に研究されるようになり、レオンハルト・オイラーは、無理数とは単純な連分数が有限でない数であり、オイラー数（e）は無理数であることを証明しました。[56] πの無理数は1761年にヨハン・ランベルトによって証明されました。[57]

実数、そして無理数は、19世紀後半にオーギュスタン＝ルイ・コーシー、シャルル・メレー（1869年）、カール・ワイエルシュトラス（1872年）、エドゥアルト・ハイネ（1872年）[58] 、 ゲオルク・カントール（1883年） [59]、リヒャルト・デデキント（1872年）[60]らの研究によって厳密に定義されました。

超越数と実数

超越数とは、整数係数を持つ多項式の根ではない数値である。つまり、代数的ではないため、すべての有理数は除外される。[61]超越数の存在[62]は、リウヴィル(1844, 1851)によって初めて確立された。エルミートは1873年にeが超越数であることを証明し、リンデマンは1882年に π が超越数であることを証明した。[63]最後に、カントールは、すべての実数の集合は無限であるが、すべての代数的数の集合は無限であるため、超越数は無限に存在することを示した。[64]

無限と無限小

数学において、無限は数ではなく抽象的な概念とみなされる。無限は「いかなる数よりも大きい」のではなく、終わりがない性質である。 [65]数学的無限に関する最も古い概念は、古代インドの写本であるヤジュル・ヴェーダに見られる。そこには、「[全体]から[全体]を引いても、残りは依然として[全体]である」と記されている。[66]無限は、紀元前400年頃のジャイナ教の数学者の間で哲学研究の盛んなテーマであった。彼らは、無限を5つの種類に分類した。一方向と二方向の無限、面積の無限、あらゆる場所での無限、そして永遠の無限である。[67]

アリストテレスは西洋の伝統的な数学的無限の概念を定義した。彼は実在的無限と潜在的無限を区別し、後者だけが真の価値を持つというのが一般的な見解であった。[68] ガリレオ・ガリレイの『二つの新科学』では、ガリレオのパラドックスとして知られる、無限集合間の一対一対応の概念が論じられた。[69]この理論における次の大きな進歩はゲオルク・カントールによってもたらされた。1895年、彼は新しい集合論に関する著書を出版し、超限数や連続体仮説の定式化などを提示した。[64]しばしば無限量を表すために使用される記号 は、 1655年にジョン・ウォリスによって数学的な文脈で初めて導入された。[70]

1960年代に、アブラハム・ロビンソンは、無限大数と無限小数を厳密に定義し、非標準解析の分野を発展させるために使用できることを示しました。[71] [72]超実数体系は、ニュートンとライプニッツによる微積分学の発明以来、数学者、科学者、エンジニアによって気軽に使用されてきた無限数と無限小数に関する概念を厳密に扱う方法を表しています。[73]

無限の現代幾何学的解釈は射影幾何学によって与えられ、これは空間の各方向ごとに「理想無限遠点」を導入する。与えられた方向における平行線の各族は、対応する理想点に収束すると仮定される。これは透視図における消失点の概念と密接に関連している。[74]

複素数

負の数の平方根に関する最も初期の言及は、紀元1世紀のアレクサンドリアの数学者で発明家のヘロンの著作の中に見られ、彼は不可能な錐台の体積を考察した。[75] 16世紀にニッコロ・フォンタナ・タルタリアやジェロラモ・カルダーノといったイタリアの数学者が3次および4次多項式の根の閉じた公式を発見したことで、負の数の平方根はより重要になった。これらの公式は、たとえ実数解のみに関心がある場合でも、負の数の平方根の操作を必要とする場合があることがすぐに認識された。[76]

これは二重に不安を招きました。なぜなら、当時は負の数さえ確固たる根拠があるとは考えられていなかったからです。ルネ・デカルトは1637年にこれらの量に「虚数」という用語を造語したと言われていますが、これは軽蔑的な意味合いを込めていました。[77]（複素数の「実在性」に関する議論については虚数を参照）。さらに混乱を招いたのは、

代数的恒等式と気まぐれに矛盾しているように思われた

これは正の実数aとbに対して有効であり、 aとbの一方が正で他方が負である 複素数計算にも用いられた。この恒等式と関連する恒等式の誤った使用は、

aとbが両方とも負の場合、オイラーですら困惑した。[78]この困難から、彼は最終的に、この間違いを防ぐため に の代わりに特別な記号iを使用する慣例を思いついた。

複素平面におけるオイラーの公式のアルガン図。実座標と虚座標を示している。

18世紀にはアブラハム・ド・モアブルとレオンハルト・オイラーが活躍した。ド・モアブルの公式（1730年）は次のように述べている。[79]

一方、オイラーの複素解析の公式（1748）は次のようになりました。

この式の特別なケースはオイラーの恒等式となる。

数学における最も基本的な数字の間の深いつながりを示している。[80]

複素数の存在は、 1799年にカスパール・ヴェッセルが幾何学的解釈を述べるまで完全には受け入れられていませんでした。数年後、カール・フリードリヒ・ガウスがそれを再発見し、普及させ、その結果、複素数理論は大きく発展しました。[81]しかし、複素数のグラフ表現のアイデアは、1685年にウォリスの『代数学論』にすでに登場していました。[82]

同年、ガウスは代数の基本定理の一般に受け入れられている最初の証明を提供し、[要出典]、複素数上のすべての多項式はその領域で完全な解の集合を持つことを示した。ガウスは形式a + biの複素数を研究した。ここでaとbは整数 (現在ではガウス整数と呼ばれる) または有理数である。[83]彼の弟子であるゴットホルト・アイゼンシュタインはタイプa + bωを研究した。ここでωはx 3 − 1 = 0の複素根(現在ではアイゼンシュタイン整数と呼ばれる ) である。複素数のその他のそのようなクラス (円分体と呼ばれる) は、 kのより高い値に対して1 の根 x k − 1 = 0から導出される。この一般化は主にエルンスト・クンマーによるものであり、彼はまた1893 年にフェリックス・クラインが幾何学的実体として表現したイデアル数を発明した。

1850年、ヴィクトル・アレクサンドル・ピュイズーは極と分岐点を区別するという重要な一歩を踏み出し、本質的特異点の概念を導入した。[説明が必要]これは最終的に拡張複素平面の概念につながった。

素数

素数は有史以来研究されてきたと考えられる。素数は、2つのより小さな自然数の積ではない自然数である。イシャンゴの骨には、10から20までの素数のリストが含まれていると示唆されている。 [84]リンド・パピルスは素数を様々な形で示している。しかし、素数の正式な研究は古代ギリシャによって初めて記録されている。ユークリッドは『原論』の一巻を素数論に捧げ、その中で素数の無限性と算術の基本定理を証明し、2つの数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法を提示した。 [85]

紀元前240年、エラトステネスはエラトステネスの篩を用いて素数を素早く分離しました。しかし、ヨーロッパにおける素数理論のさらなる発展は、ルネサンス以降の時代にまで遡ります。西暦1000年頃、イブ​​ン・アル＝ハイサムはウィルソンの定理を発見しました。イブン・アル＝バンナー・アル＝マラクシは、数の平方根までしか検定しないことでエラトステネスの篩を高速化する方法を発見しました。フィボナッチはイスラム数学の貢献をヨーロッパに伝え、1202年には試し割り法を初めて記述しました。[85]

1796 年、アドリアン・マリー・ルジャンドルは、素数の漸近分布を記述する素数定理を予想しました。[86]素数の分布に関するその他の結果には、素数の逆数の和が発散するというオイラーの証明[87]や、十分に大きい偶数は 2 つの素数の和であると主張するゴールドバッハ予想などがあります。 [88]素数の分布に関連するさらに別の予想は、 1859 年にベルンハルト・リーマンが定式化したリーマン予想です。 [89]素数定理は、最終的に1896 年にジャック・アダマールとシャルル・ド・ラ・ヴァレ＝プーサンによって証明されました。 [86]ゴールドバッハ予想とリーマン予想は未証明のままであり、反論もされていません。

文化的および象徴的な重要性

上海のアパートでは0階、4階、13階、14階が欠落している

数字は歴史を通して、そして多くの文化において、文化的、象徴的、宗教的な意味を持っていました。[12] [90] [91] [92]古代ギリシャでは、数の象徴がギリシャ数学の発展に大きな影響を与え、今日でも関心を集めている数論の多くの問題の研究を刺激しました。[12]プラトンによれば、ピタゴラス学派は特定の数に特定の特徴と意味を帰し、「物自体が数である」と信じていました。[93]

様々な文化の民話には特定の数字への好みが見られ、ヨーロッパ文化では3と7が特別な意味を持つのに対し、中国の民話では4と5がより重要な意味を持つ。[94]数字は幸運と関連付けられることもある。西洋社会では13は不吉とされ、中国文化では8は縁起が良いとされている。[95]

主な分類

数は、自然数や実数などの数集合または数体系と呼ばれる集合に分類できます。主な数体系は次のとおりです。[96]

これらの記数法はそれぞれ、次の記数法の部分集合です。例えば、有理数は実数でもあり、すべての実数は複素数でもあります。これは記号的に次のように表すことができます。[96]

。
数体系のベン図

自然数

1から始まる自然数

最もよく知られている数は自然数（整数または可算数と呼ばれることもある）で、1、2、3 などである。伝統的に、自然数の列は 1 から始まっていた（古代ギリシャ人にとって 0 は数とはみなされていなかった）。しかし、19 世紀に、集合論者やその他の数学者が、自然数の集合に 0（空集合の基数、つまり 0 個の要素。したがって 0 は最小の基数）を含め始めた。 [97] [98]今日では、さまざまな数学者が、0 を含む集合と含まない集合の両方を説明するためにこの用語を使用している。すべての自然数の集合を表す数学記号はNであり、とも表記される。 [96]また、集合が 0 から始まるか 1 から始まるかを示す必要がある場合は、それぞれ[99]または[100]と表記されることもある。

今日では数学演算にほぼ普遍的に用いられている10進法では、自然数の記号は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10桁で表記されます。基数（基数）とは、数値体系において数値を表す際に用いられる、0を含む固有の数値桁の数です（10進法では基数は10です）。この10進法では、自然数の右端の桁の位は1であり、他のすべての桁の位は、その右隣の桁の位の10倍になります。[101]

現代数学の公理的基礎として機能する集合論においては、 [102]自然数は同値な集合のクラスで表すことができる。例えば、数3は、ちょうど3つの要素を持つ集合全体のクラスとして表すことができる。あるいは、ペアノ算術では、数3はS ( S ( S (0)))と表される。ここで、Sは「後継」関数である（つまり、3は0の3番目の後継関数である）。[103]多様な表現が可能であり、3を形式的に表すために必要なのは、特定の記号または記号のパターンを3回刻むことだけである。

整数

インカ帝国では、数字の記録やその他の用途に結び目のある紐、またはキープスを使用していました[104]

正の整数の負数は、対応する正の整数に加えると0になる数として定義されます。負の数は通常、負の符号（マイナス記号）を付けて表記されます。例えば、7の負数は-7と表記され、7 + (-7) = 0となります。負の数の集合を自然数（0を含む）の集合と組み合わせると、結果は整数の集合として定義され、Zはとも表記されます。[96]ここで、文字Zはドイツ語のZahl （数）に由来します。整数の集合は、加算と乗算の演算で環を形成します。 [105]  

自然数は整数の部分集合です。自然数にゼロが含まれるかどうかについては共通の基準がないため、ゼロを含まない自然数は一般に正の整数と呼ばれ、ゼロを含む自然数は非負の整数と呼ばれます。

有理数

有理数とは、分子が整数、分母が正の整数である分数で表せる数です。分母に負の数は許容されますが、一般的には避けられます。なぜなら、すべての有理数は分母が正の分数と等しいからです。[106]分数は、分子と分母の2つの整数と、その間に区切線を挟んで表されます。分数はメートル/n⁠ は、全体のm部分をn等分したものを表します。2つの異なる分数が同じ有理数に対応する場合があります。例えば、⁠1/2⁠と⁠2/4⁠は等しい、つまり：[107]

一般的に、[b]

もし、そして、もし、

mの絶対値がn (正と仮定)より大きい場合、分数の絶対値は 1 より大きくなり、仮分数またはトップヘビー分数と呼ばれます。[108]分数は 1 より大きい、1 以下、または 1 に等しい場合があり[106] 、正、負、または 0 になることもあります。すべての有理数の集合には整数が含まれます。これは、すべての整数が分母が 1 の分数として表すことができるためです。たとえば、-7 は次のように表すことができます 。−7/1⁠有理数の記号はQ（商）で、 とも表記される。[96]

実数

実数の記号はRで、 [96]とも表記されます。実数にはすべての測量数が含まれます。すべての実数は数直線上の点に対応します。負の実数の扱いは算術の一般規則に従い、対応する正の数の前にマイナス記号を付けるだけです（例：-123.456）。

小数点の右側の数字は、左側の数字の10分の1の位の値を持ちます。例えば、123.456は⁠123456/1000⁠、つまり言葉で言えば、100、20、30、40分の1、500分の1、6000分の1です。実数は、有理数であり、その分数部の分母の素因数が2または5、あるいはその両方である場合に限り、有限の小数桁数で表すことができます。なぜなら、これらは10進法の底である10の素因数だからです。したがって、例えば、2分の1は0.5、5分の1は0.2、10分の1は0.1、50分の1は0.02です。

循環小数

実数の小数部が循環的なパターンに従う無限の桁列を持つ場合、省略記号や、その繰り返しパターンを示す他の表記法で表記することができます。このような小数は循環小数と呼ばれます。したがって、⁠3/11⁠ は0.272727...と書くことができ、省略記号はパターンが続くことを示します。永遠に繰り返される27は0.27とも書きます。 [ 109]これらの循環小数は、ゼロの繰り返しも含めて、まさに有理数を表します。つまり、すべての有理数は実数ですが、すべての実数が有理数であるとは限りません。[110]

9が連続する循環小数を含む小数部は、9の前の最後の桁を増分することで置き換えることができます。したがって、3.7399999999... または 3.73 9は 3.74 と等しくなります。0の数が無制限の小数部は、右端の非ゼロ桁の右側の0を削除することで書き換えることができます。[111]同じ分数が複数の方法で表記されるのと同様に、同じ実数も複数の小数表現を持つ場合があります。例えば、0.999...、1.0、[111] 1.00、1.000、... はすべて自然数 1 を表します。

無理数

有理数ではない実数を小数で表すには、小数点の右側に無限の桁数が必要になります。これらの実数は無理数と呼ばれます。有名な無理数としてπ [ 57]があります。これは任意の円の円周と直径の比です。πは次のように表されます 。

時々あるように、省略記号は小数が繰り返されることを意味するのではなく（実際には繰り返されません）、むしろ小数に終わりがないことを意味します。πは無理数であることが証明されています。他に、無理数であることが証明されている有名な数があります。

2の平方根、つまり平方すると2になる唯一の正の実数。[112]これらの数は両方とも（コンピュータによって）兆桁（1兆 = 10の12乗= 1,000,000,000,000）に近似されています。[113] [114]

ユークリッドの黄金比は、ここではから までのように定義され、無理数 𝜙=1.61803…であり、芸術と科学の両方の多くの側面に現れる傾向があります。[115]

実数はほとんどすべて無理数であるため、繰り返しパターンがなく、対応する小数も存在しません。実数は、小数点が1の位の数字の右側に置かれる、丸められた、または切り捨てられた実数を表す小数でのみ近似できます。丸められた、または切り捨てられた数は必ず有理数であり、その数は可算個しかありません。

あらゆる測定値は、その性質上、近似値であり、常に誤差が生じます。したがって、123.456は、区間内の任意の実数の近似値とみなされます。

小数点以下3桁に丸める場合、または範囲内の任意の実数の場合:

小数点第3位以下を切り捨てる場合。測定値自体よりも高い精度を示唆する数字は削除する必要があります。残りの数字は有効数字と呼ばれます。

例えば、定規による測定は、少なくとも0.001 mの誤差が生じることはほとんどない。長方形の辺の長さが1.23 mと4.56 mの場合、掛け算によって長方形の面積は5.614591 m 2から5.603011 m 2となる。小数点第2位も保存されないため、それ以下の桁は意味を持たない。したがって、結果は通常5.61 m 2に丸められる。[116]

集合論

実数には、最小上限特性と呼ばれる、重要かつ高度に技術的な特性があります。

任意の完全な順序付き体は実数と同型であることが示される。 [117]しかし、実数は代数方程式の解（マイナス1の平方根と呼ばれることが多い）を含まないため、代数的に閉じた体ではない。[118]

複素数

マンデルブロ集合は、再帰的に列挙できない値を持つ複素平面上のフラクタルである[119]

より抽象度の高いレベルに進むと、実数は複素数に拡張できます。2次以上の多項式の完全な解の集合には、負の数の平方根を含めることができます。（例としては があります。[118]）これを便宜的に表すと、 -1の平方根はiで表されます。これはレオンハルト・オイラーによって割り当てられた虚数単位と呼ばれる記号です。[120]したがって、複素数は次の形式で表されるすべての値で構成されます。

ここで、 aとbは実数である。そのため、複素数は複素平面（実数2次元のベクトル空間）上の点に対応する。式a + biにおいて、実数aは実部、bは虚部と呼ばれる。[120]

複素数の実部が0の場合、その数は虚数または純虚数と呼ばれます。[120]虚部が0の場合、その数は実数です。したがって、実数は複素数の部分集合です。複素数の実部と虚部が両方とも整数の場合、その数はガウス整数と呼ばれます。[121]複素数の記号はCまたはです。[96]

代数学の基本定理によれば、複素数は代数的に閉じた体を形成する。つまり、複素係数を持つすべての多項式は複素数に根を持つ。 [122]実数と同様に、複素数は完全な体を形成するが、実数とは異なり、順序付けられていない。[123]つまり、 iが 1 より大きいと言うことには一貫した意味がなく、 i が1より小さいと言うことにも意味がない。技術的には、複素数には体の演算と互換性のある全順序がない。

複素解析は、複素数の関数を研究する数学解析の一分野です。物理学的問題の解決に役立ち、現代数学、工学、そして自然科学の分野で広く用いられています。応用例としては、流体力学、制御理論、信号処理、数論、微分方程式の解法などが挙げられます。[124]複素数は量子力学の基本的な側面であると考えられており、実数のみを用いて定式化することはできません。[125]

整数のサブクラス

偶数と奇数

偶数とは、2で割り切れる整数、つまり2で割っても余りがない整数のことである。奇数とは、偶数ではない整数のことである。[126]（昔ながらの「割り切れる」という表現は、現在ではほとんどの場合「割り切れる」と短縮されている。）この整数の性質は偶奇性（パリティ）と呼ばれる。[127]任意の奇数nは、適切な整数kに対して、n = 2 k + 1という式で表すことができる。k = 0から始めて、最初の非負の奇数は{1, 3, 5, 7, ...}である。任意の偶数mは、m = 2 kという式で表される。ここでkは整数である。同様に、最初の非負の偶数は{0, 2, 4, 6, ...}である。偶数と整数の積は別の偶数である。奇数と奇数の積だけが別の奇数である。[126]

素数

1951年以降の年別最大素数[128]

素数（素数）は、しばしば単に素数と略され、1より大きい整数で、2つのより小さい正の整数の積ではない。最初の素数は2、3、5、7、11である。奇数と偶数から素数を生成するような単純な公式は存在しない。特別なクラスとしてメルセンヌ素数があり、これは2 n − 1（nは正の整数）の形をとる素数である。これらは、発見された最大の素数に関する多くの記録を保持している。[129]

素数の研究は多くの疑問を生み出してきたが、そのうちのほんの一部しか解明されていない。これらの疑問の研究は整数論に属する。[12] ゴールドバッハ予想は、未だ答えが出ていない疑問の一例である。「すべての偶数は2つの素数の和であるか？」[88] 1より大きいすべての整数は、素数の並び替えを除いて、ただ1つの方法でのみ素数の積となるかどうかという疑問は既に証明されており、この証明された主張は算術の基本定理と呼ばれている。証明はユークリッドの『原論』に記載されている。[85]

現代社会では、素数は公開鍵暗号、デジタル署名、疑似乱数生成、信号処理、デジタル画像処理のためのデータフィルタリングなど、多くの重要な用途に用いられています。[130]素数はハッシュテーブル[131]やエラー検出コード（ ISBNやISSNなどで使用されているもの）にも有用です。[132]

その他の整数クラス

自然数の多くの部分集合は特定の研究の対象となっており、しばしばそれらを研究した最初の数学者にちなんで名付けられてきました。そのような整数集合の例としては、ベルヌーイ数[133] 、フィボナッチ数、ルーカス数[134]、完全数[135]などが挙げられます。その他の例については、整数列を参照してください。

複素数のサブクラス

代数的数、無理数、超越数

代数的数とは、整数係数の多項式方程式の解である。有理数でない実数は無理数と呼ばれる。代数的でない複素数は超越数と呼ばれる。[61]整数係数の単項多項式方程式の解である代数的数は代数的整数と呼ばれる。[136]

周期と指数周期

周期とは、代数的関数の代数的領域における積分として表される複素数である。周期は、代数的数に加えて、πなどの多くのよく知られた数学定数を含む数のクラスである。周期の集合は可算環を形成し、代数的数と超越数の間の橋渡しとなる。[137] [138]

積分関数を代数関数とその指数関数の積とすることで、周期を拡張することができる。これにより、別の可算環、すなわち指数周期が得られる。数eとオイラー定数は指数周期である。[137] [139]

構成可能な数字

定規とコンパスを用いた作図の古典的な問題に着想を得た構成可能数とは、定規とコンパスを用いて、与えられた単位長さの線分から有限回のステップで実部と虚部を作図できる複素数である。[140]関連する主題として、折り紙数がある。これは紙を折ることで作られる点である。[141]

計算可能な数

計算可能数（再帰数とも呼ばれる）は、正の数nを入力として与えられたときに、計算可能数の10進表現の最初のn桁を生成するアルゴリズムが存在する実数である。 [142] μ-再帰関数、チューリングマシン、またはλ-計算を使用して同等の定義を与えることができる。[143]計算可能数は、多項式の根の計算を含むすべての通常の算術演算に対して安定であり、したがって実代数数を含む実閉体を形成する。[144]

計算可能数は、コンピュータで正確に表現できる実数と見なすことができます。つまり、計算可能数は、最初の桁と、それ以降の桁を計算するプログラムによって正確に表現されます。しかし、計算可能数は実際にはほとんど使用されません。その理由の一つは、2つの計算可能数の等価性を判定するアルゴリズムが存在しないからです。より正確に言えば、任意の計算可能数を入力として受け取り、その数が常にゼロかどうかを判定するアルゴリズムは存在しません。

計算可能数の集合は自然数と同じ濃度を持つ。したがって、ほとんどすべての実数は計算不可能である。しかし、計算不可能な実数を明示的に生成することは非常に困難である。

概念の拡張

p-進数

p進数は、実数が小数点の右側に無限に長い展開を持つのと同様に、小数点の左側に無限に長い展開を持つことがあります。結果として得られる数体系は、桁にどのような基数を用いるかによって異なります。任意の基数が可能ですが、素数基数を用いると最も数学的な特性が得られます。p進数の集合には有理数[145] [146]が含まれますが、複素数には含まれません。

有限体上の代数的函数体の元と代数的数は多くの類似した性質を持つ（函数体のアナロジーを参照）。そのため、数論者はこれらをしばしば数とみなす。このアナロジーにおいて、 p進数は重要な役割を果たしている。

超複素数

高次元数体系は、複素数の構築を一般化する方法で、実数から構築できます。これらは超複素数と呼ばれることもあり、複素数の集合には含まれません。これらには、ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿によって導入された、乗算が可換でない四元数[147]、乗算が可換でないだけでなく結合法でもない八元数[ 148] 、乗算が選択的ではなく、結合法も可換法でもない七元数[ 149]が含まれます。超複素数は、1つの実数単位と虚数単位を含み、nは負でない整数です。たとえば、四元数は一般に次の形式を使用して表すことができます。

ここで係数a、b、c、dは実数であり、i、j、kは3つの異なる虚数単位である。[148]

それぞれの超複素数系は、ケーリー・ディクソン構成によって得られる次の2次元の超複素数系の部分集合である。[150]例えば、4次元四元数は8次元八元数の部分集合であり、八元数は16次元七元数の部分集合であり、さらに16次元三元数は32次元三元数の部分集合であり、nは任意の非負整数である。複素数と実数、およびそれらの部分集合を含めると、これは次のように記号的に表すことができる。[150]

あるいは、複素単位がゼロである実数から始めると、これは次のように表される。

寸法を含む。[ 151]

クォータニオンは、特に3次元における回転の計算に有用であることが証明されています。例えば、ロケットや航空機の制御システム、ロボット工学、コンピュータ可視化、ナビゲーション、アニメーションなどに利用されています。[152]オクトニアン（八元数）は、特に弦理論、M理論、超重力理論において、物理学とより深い理論的つながりを持っているようです。[153]

超限数

無限集合を扱うために、自然数は順序数と基数へと一般化されている。前者は集合の順序を与え、後者は集合の大きさを与える。有限集合の場合、順序数と基数はどちらも自然数と同一視される。無限集合の場合、複数の順序数が同じ基数に対応する。[154]

非標準の番号

超実数は非標準解析において用いられる。超実数、あるいは非標準実数（通常 * Rと表記される）は、実数体Rの適切な拡張であり、転移原理を満たす順序体を表す。この原理により、 Rに関する真の一階述語は、 * Rに関する真の一階述語として再解釈することができる。[155]

超実数と超実数は、無限に小さい数と無限に大きな数を加算することで実数を拡張しますが、それでも体を形成します。[156] [157]

参照

注記

  1. ^ 言語学では、数字は5 のような記号を指すこともありますが、「500」のように数を表す単語や句を指すこともあります。また、数字には「12」のように数を表す他の単語も含まれます。
  2. ^ これは等式の置換特性から、両方の分数をそれぞれの分母の積で乗じることによって得られます。同様に、逆は積で割ることによっても成り立ちます。

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