中間点

幾何学において、中点とは線分の中点のことです。線分と端点から等距離にあり、線分と端点の両方の重心となります。線分を二等分します。

式

n次元空間の線分の中点は、端点がであり、次のように与えられる。 $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

{\frac {A+B}{2}}.

つまり、中点のi^{番目の座標（}i = 1, 2, ..., n）は

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.

工事

2つの関心点が与えられれば、それらが定める線分の中点を見つけることは、コンパスと定規を使って作図することで達成できる。平面に埋め込まれた線分の中点は、まず2つの端点を中心とした等しい（そして十分に大きい）半径の円弧を使ってレンズを作り、次にレンズの尖点（円弧が交差する2点）を結ぶことで見つけることができる。尖点を結ぶ線が線分と交差する点が線分の中点となる。コンパスのみを使って中点を見つけることはより困難だが、モール・マスケローニの定理によれば、それでも可能である。^[1]

中点に関する幾何学的性質

丸

円の直径の中点は円の中心です。
円の弦に垂直で、円の中点を通る線は、円の中心も通ります。
バタフライ定理は、円の弦 $PQ$ の中点を $M$ とし、その弦 PQ を通って他の 2 つの弦 $AB$ と $CD$ が描かれ、 $AD$ と $BC が$ 弦 $PQとそれぞれ$ $X$ と $Y$ で交差する場合、 $Mは$ $XY$ の中点である、と述べています。

楕円

楕円の面積二等分線または周囲の二等分線の中点は、楕円の中心です。
楕円の中心は、楕円の2 つの焦点を結ぶ線分の中点でもあります。

双曲線

双曲線の頂点を結ぶ線分の中点は、双曲線の中心です。

三角形

三角形の辺の垂直二等分線とは、その辺に垂直で、かつその辺の中点を通る線です。三角形の3辺の3本の垂直二等分線は、外心（3つの頂点を通る円の中心）で交差します。
三角形の辺の中線は、辺の中点と三角形の対角点の両方を通ります。三角形の3つの中線は、三角形の重心（均一な密度の金属の薄い板で三角形がバランスをとる点）で交差します。
三角形の9点の中心は、外心と垂心の中心にあります。これらの点はすべてオイラー線上にあります。
三角形の中線（または中線）とは、三角形の2辺の中点を結ぶ線分です。中線は3辺目に平行で、長さはその3辺目の半分に等しくなります。
与えられた三角形の中心三角形は、与えられた三角形の辺の中点に頂点を持つため、その辺は与えられた三角形の3つの中線となります。与えられた三角形と重心と中線は同じです。中心三角形の周長は元の三角形の半周長（周長の半分）に等しく、面積は元の三角形の面積の4分の1です。中心三角形の垂心（高低差の交点）は、元の三角形の外心（頂点を通る円の中心）と一致します。
すべての三角形には、シュタイナー内接楕円と呼ばれる内接楕円が存在します。この楕円は三角形のすべての辺の中点で三角形に内接します。この楕円は三角形の重心を中心とし、三角形に内接する楕円の中で最大の面積を持ちます。
直角三角形では、外心は斜辺の中点です。
二等辺三角形では、中線、標高、底辺からの垂直二等分線、頂点の角の二等分線がオイラー線および対称軸と一致し、これらの一致線は底辺の中点を通ります。

四辺形

凸四辺形の2つの双中線は、対辺の中点を結ぶ線分であり、したがってそれぞれが2つの辺を二等分する。2つの双中線と対角線の中点を結ぶ線分は、「頂点の重心」と呼ばれる点で一致（交差）し、3つの線分すべての中点となる。^[2]^{: p.125}
凸四辺形の4つの「反心」は、ある辺の中点を通る垂線であり、したがって反対側の辺を二等分する。四辺形が円周状（円に内接する）の場合、これらの反心はすべて「反心」と呼ばれる共通点で交わる。
ブラフマグプタの定理によれば、円周四辺形が直交対角線（つまり、直交する対角線を持つ）である場合、対角線の交点から辺に引いた垂線は、常に反対側の辺の中点を通ることになります。
ヴァリニョンの定理は、任意の四辺形の辺の中点が平行四辺形の頂点を形成し、四辺形が自己交差しない場合には平行四辺形の面積は四辺形の面積の半分になると述べています。
ニュートン線とは、平行四辺形ではない凸四辺形の2つの対角線の中点を結ぶ直線です。凸四辺形の対辺の中点を結ぶ線分は、ニュートン線上の点で交わります。

一般的な多角形

正多角形には、多角形の各辺の中点で接する内接円があります。
偶数辺を持つ正多角形の場合、向かい合う頂点間の対角線の中点が多角形の中心になります。
環状多角形 $P$ （すべての頂点が同じ円上にある多角形）の中点伸長多角形は、同じ円に内接する別の環状多角形で、その頂点が $P$ の頂点間の円弧の中点である多角形である。^{[3]任意の初期多角形に対して中点伸長操作を繰り返すと、形状が}正多角形の形状に収束する一連の多角形が得られる。^[3]^[4]

一般化

線分の中点に関する上述の公式は、線分の長さを暗黙的に用いている。しかし、線分の長さが定義されていないアフィン幾何学への一般化においては、^[5]中点はアフィン不変量であるため定義することができる。線分 $AB$ の中点 $Mの$ 合成アフィン定義は、直線 $ABの$ 無限遠点 $P$ の射影調和共役である。すなわち、 $H[$ $A$ $,$ $B$ $;$ $P$ $,$ $M$ $]$ となる点 $M$ である。^[6]アフィン幾何学に座標を導入できる場合、中点の2つの定義は一致する。^[7]

射影幾何学においては、無限遠点の役割を果たす明確な点が存在しない（射影範囲上の任意の点は、（同一または他の）射影範囲上の任意の点に射影的に写像することができる）ため、中点は自然に定義されない。しかし、無限遠点を固定すると、当該射影直線上にアフィン構造が定義され、上記の定義を適用することができる。

線分の中点の定義は、リーマン多様体上の測地線弧などの曲線線分にも拡張できます。アフィン変換の場合とは異なり、2点間の中点は一意に決定されない場合があることに注意してください。

参照

参考文献

^ 「Wolfram mathworld」. 2010年9月29日.
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
^ ab Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (2003年7月1日)、「マルコフ連鎖と多角形の動的幾何学」(PDF)、線形代数とその応用、367 : 255– 270、doi :10.1016/S0024-3795(02)00634-1 、 2011年10月19日閲覧。。
^ Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008)「内接多角形の影列の収束」第18回秋季計算幾何学ワークショップ、Artesa、ISBN 978-84-8181-227-5
^ フィッシュバック, WT (1969),射影幾何学とユークリッド幾何学（第2版）, John Wiley & Sons, p. 214, ISBN 0-471-26053-3
^ Meserve、Bruce E. (1983) [1955]、幾何学の基本概念、ドーバー、p. 156、ISBN 0-486-63415-9
^ ヤング、ジョン・ウェスレー（1930年）、射影幾何学、カーラス数学モノグラフ第4号、アメリカ数学協会、 pp.84-85

外部リンク

アニメーション – 線分の中点の特性を示す
中間点計算機 - 数値、時間、測定値間の中間値をオンラインで正確に計算します。