団結の根源

複素平面における1の5乗根（青い点）

数学において、単位根（ぐんねん）とは、正の整数n乗したときに 1 となる複素数である。単位根は数学の多くの分野で用いられ、特に数論、群指標論、離散フーリエ変換において重要である。フランスの数学者アブラアン・ド・モアブルにちなんで、ド・モアブル数と呼ばれることもある。

単位根は任意の体において定義できます。体 の特性がゼロの場合、根は複素数であり、代数的整数でもあります。正の特性を持つ体の場合、根は有限体に属し、逆に有限体の非ゼロ元はすべて単位根です。代数的に閉体には、 nが体の（正の）特性の倍数である 場合を除き、 n乗の単位根が正確にn個含まれます。

一般的な定義

一般複素数の2乗根から6乗根まで​​の極座標での幾何学的表現。n乗根を求めるには、r = 1、φ = 0とします。主 根は黒 で示されています。

n乗根（nは正の整数）は、次式を満たす数zである^{[1] [2] 。} 特に指定がない限り、単位根は複素数（虚数部がゼロの複素数である数1と数 -1 を含む）とみなされ、この場合、n乗根は^{[3]である。} $${\displaystyle z^{n}=1.}$$ $${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

しかし、単位根の定義式は任意の体（さらには任意の環） F上でも意味を持ち、これによりFにおける単位根を考えることができます。体F がどのような体であっても、 Fにおける単位根は、Fの標数が 0 であれば複素数となり、それ以外の場合は有限体に属します。逆に、有限体におけるすべての非零元は、その体における単位根です。詳細については、 「nを法とする単位根」および「有限体」を参照してください。

n乗根は次のように言われます。原始的とは、あるより小さなmm乗根でない場合、つまり^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

nが素数ならば、1を除くすべてのn乗根は原始根である。^[6]

上記の指数関数と三角関数の式では、原始n乗根はkとnが互いに素な整数となる根です。

この記事の以降の節では、複素単位根について扱います。非零標数の体における単位根については、「有限体 § 単位根」を参照してください。モジュラー整数環における単位根については、「nを法とする単位根」を参照してください。

基本的な性質

すべてのn乗根zは、何らかのa ≤ nに対して原始a乗根であり、これはz ^a = 1となる最小の正の整数です。

任意のn乗根の整数乗もまたn乗根である。[ ^7]

${\displaystyle {\bigl (}z^{k}{\bigr )}^{n}=z^{kn}={\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=1^{k}=1.}$

これは負の指数にも当てはまります。特に、n乗根の逆数はその複素共役であり、これもn乗根です。^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

もしzがn乗根でa≡b (mod n )ならばz a = z ^bとなる。実際、 nを法とする合同の定義により、ある整数kに対してa = b + knと^なるので、

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}{\bigl (}z^{n}{\bigr )}^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

したがって、 zの累乗z ^aが与えられれば、 z ^a = z ^rが成立します。ここで、 0 ≤ r < nは、 aをnでユークリッド除算した余りです。

z を原始n乗根とします。すると、 z , z 2 , ..., z n −1 , z n = z 0 = 1 のべき乗はn乗根と^なり、 すべて^{互いに異なり}ます。⁽ z a ⁼ z bで 1 ≤ a < b ≤ n の場合、z ^b − a ⁼ 1となり、zは原始根では^{ないことが}示されます。 ) これは、 z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1がすべてn乗根であることを意味します。なぜなら、体 (この場合は複素数体) 上のn次多項式方程式には最大でn 個の解があるからです。

以上のことから、もしzが原始n乗根であれば、 もしzが原始n乗根でなければ、 となるが、逆は偽となる可能性がある。これは次の例で示される。n = 4 の場合、非原始n乗根はz = −1であり、となるが、${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$ ${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$ ${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

zを原始n乗根とする。zの冪w = z kは^原始a乗根である。

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

ここではnとkの最大公約数です。これは、 kaがkの最小の倍数であり、かつnの倍数であるという事実から生じます。言い換えれば、kaはkとnの最小公倍数です。したがって ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

したがって、kとn が互いに素であれば、z ^kも原始n乗根となるため、φ ( n )個の異なる原始n乗根が存在する（ただし、φはオイラーのトーシェント関数）。これは、 n が素数であれば、+1 を除くすべての根が原始根であることを意味する。

言い換えれば、R( n )がすべてのn乗根の集合であり、 P( n )が原始n乗根の集合である場合、R( n )はP( n )の互いに素な和集合である。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

ここで、この表記は、d が1とnを含むnのすべての正の約数を通過することを意味します。

R( n )の濃度はnであり、P( n )の濃度はφ ( n )なので、これは古典的な式である

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

グループのプロパティ

すべての統一の根源のグループ

2つの単位根の積と逆数も単位根です。実際、x ^m = 1、y ⁿ = 1 のとき、( x ⁻¹ ) ^m = 1、( xy ) ^k = 1 となります。ここで、kはmとnの最小公倍数です。

したがって、単位根は乗法に関してアーベル群を形成する。この群は円周群の捩れ部分群である。

のグループn統一の根源

整数nについて、2つのn乗根の積とその逆元もn乗根である。したがって、n乗根は乗法に関してアーベル群を形成する。

原始n乗根ωが与えられれば、他のn乗根はωのべき乗となる。これは、 n乗根の群が巡回群であることを意味する。巡回群という用語は、この群が円群の部分群であるという事実に由来していることは注目に値する。

原始ガロア群n統一の根源

を原始n乗根ωによって生成される有理数の体拡大とする。すべてのn乗根はωのべき乗なので、この体にはすべてのn乗根が含まれ、 ωのガロア拡大となる。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

kが整数ならば、 ω ^kが原始n乗根となるのは、 kとnが互いに素である場合に限ります。この場合、写像

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

は の自己同型を誘導し、これはn乗根をそのk乗に写す。 のすべての自己同型はこのようにして得られ、これらの自己同型は有理数体体上 の のガロア群を形成する。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

べき乗則によれば、このような2つの自己同型写像​​の合成は、指数を掛け合わせることで得られる。したがって、写像は

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

nを法とする整数環の単位とガロア群の間の群同型を定義する。${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

これは、このガロア群がアーベル群であることを示しており、したがって単位根の原始根が根号で表現できることを意味します。

原始単位根の実部のガロア群

単位の原始根の実部は、最小多項式の根として互いに関連しています。最小多項式の根は実部のちょうど 2 倍であり、これらの根は巡回ガロア群を形成します。 ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

三角関数の式

1の立方根

ド・モアブルの公式は、すべての実数 xと整数nに対して有効であり、

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

設定x = ⁠2π/n⁠ は原始n乗根を与える。つまり、

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

しかし

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

k = 1, 2, …, n − 1の場合。言い換えれば、

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

は原始的なn乗根です。

この式は、複素平面において、単位円に内接する正n角形の各頂点に1のn乗根が存在することを示しています（右のn = 3のグラフを参照）。この幾何学的事実は、円分体（cyclotomic field）や円分多項式（cyclotomic polynomial ）といった語句における「円分」という用語の由来です。この語源はギリシャ語の「cyclo」（円）と「tomos」（切る、割る）を組み合わせたものです。

オイラーの公式

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

これはすべての実数xに対して有効であり、1のn乗根の 式を次の形に置き換えることができる。

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

前の節の議論から、これが原始n乗根であるのは、分数⁠け/n⁠は最小項で表されます。つまり、 kとnは互いに素です。1の根の実部として表される無理数、つまり は三角数と呼ばれます。 ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

代数式

定義により、 n次単位根は多項式x ⁿ − 1の根であり、したがって代数的数です。この多項式は既約ではないため ( n = 1を除く)、原始n次単位根はより低い次数の既約多項式 (整数部) の根であり、n次円分多項式と呼ばれ、しばしばΦ _nと表記されます。 Φ _nの次数はオイラーのトーシェント関数で与えられ、これは (とりわけ) 原始n次単位根の数を数えます。^[9] Φ _nの根はまさに原始n次単位根です。

ガロア理論を用いると、円分多項式が根号を用いて簡単に解けることが示せます。(自明な形式は、円分多項式の根ではない 1 などの非原始根を含み、実部と虚部を別々に与えないため、便利ではありません。) これは、各正の整数nに対して、根号抽出、加算、減算、乗算、除算 (それ以外は何も行いません) によって整数から構築された式が存在し、その式における原始n乗根は、根号抽出の値を選択することで得られる値の集合とまったく同じであることを意味します ( k 乗根に対して k個の可能な値)。(詳細については、以下の § 円分体を参照してください。) ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

ガウスは、原始n乗根が平方根、加減乗除のみで表せるのは、コンパスと定規を用いて正n角形を構成できる場合のみであることを証明した。これは、 nが2のべき乗であるか、2のべき乗とフェルマー素数（いずれも異なる） の積である場合に限る。

zが原始n乗根であれば、 1/ zについても同様であり、zの実部は2倍である。言い換えれば、Φ _{n は}逆多項式であり、 rを根とする多項式は逆多項式の標準的な操作によってΦ _nから演繹でき、原始n乗根は二次方程式を解くことによっての根から演繹できる。つまり、原始根の実部は であり、虚部は である。${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ ${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$ ${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

多項式は、根がすべて実数である既約多項式である。その次数が2のべき乗となるのは、nが2のべき乗と異なるフェルマー素数の積（空でもよい）の積であり、かつ正n角形がコンパスと定規で作図できる場合のみである。それ以外の場合、この多項式は根号で解けるが、そのうちの1つは既約条件（casus irreducilis）にある。つまり、根号による根号のすべての表現には、非実根号が含まれる。 ${\displaystyle R_{n}}$

低度の明示的な表現

• n = 1の場合、円分多項式はΦ ₁ ( x ) = x − 1です。したがって、唯一の原始的な最初の 1 乗根は 1 であり、これはすべてのn > 1 に対して非原始的なn乗 1 乗根です。
• Φ ₂ ( x ) = x + 1であるため、唯一の原始二乗根（平方根）は -1 であり、これはn > 2 の偶数に対して非原始n乗根でもある。前の場合と合わせて、実数二乗根のリストはこれで完了する。
• Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1なので、この2次多項式の根である原始3乗根（立方根）は、$${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Φ ₄ ( x ) = x ² + 1なので、2つの原始4乗根はiと−iです。
• Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1であるため、4 つの原始 5 乗根はこの 4 次多項式の根であり、これを根号で明示的に解くと、根が得られます。ここで、 は 1 と -1 (2 回とも同じ値) の 2 つの値を取る場合があります。$${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1なので、2つの原始3乗根の負数（平方根でもある）である、2つの原始6乗根があります。$${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• 7 はフェルマー素数ではないので、7 乗根は立方根を必要とする最初の根です。 6 つの原始 7 乗根があり、これらは互いに複素共役です。 根とその共役の和は実部の 2 倍です。 これら 3 つの和は 3 次多項式の 3 つの実根であり、原始 7 乗根はr が上記の多項式の根を横切るときにとなります。 すべての 3 次多項式と同様に、これらの根は平方根と立方根で表すことができます。 ただし、これら 3 つの根はすべて実数であるため、これはcasus irreducbilisであり、このような表現には実数でない 3 次根が含まれます。${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$ $${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
• Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1なので、4つの原始8乗根は原始4乗根±  i の平方根である。したがって、$${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• 17 乗根の実部については17 角形を参照してください。

周期性

zが原始n乗根で ある場合、べき乗の列は

… 、  z ⁻¹、  z ⁰、  z ¹、…

はn周期的である（すべてのjの値に対してz ^{j  +  n} = z ^j z ⁿ = z ^jであるため）、n個のべき乗の列は

s _k : … 、  z ^{k ⋅(−1)}、  z ^{k ⋅0}、  z ^{k ⋅1}、 …

k = 1, … ,  nに対して、すべてn周期である（z ^{k ⋅( j  +  n )} = z ^{k ⋅ j}であるため）。さらに、これらの数列の集合{ s ₁ , … ,  s _n } は、すべてのn周期数列の線形空間の基底となる。これは、任意のn周期複素数数列が

…、  x ₋₁  、  x ₀  、  x ₁、…

は、原始的なn乗根の べき乗の線形結合として表現できます。

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

いくつかの複素数X ₁ , … ,  X _nと任意の整数jに対して。

これはフーリエ解析の一種です。j が（離散）時間変数である場合、 kは周波数、 X k_は複素振幅です。

原始n乗根の 選択

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

x _{j を}cosとsinの線形結合として表すことができます。

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

これは離散フーリエ変換です。

合計

SR( n )を原始根であろうとなかろうと、すべてのn乗根の 和とする。すると

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

これはヴィエタの公式から直接導かれる帰結です。実際、n乗根は多項式X ⁿ − 1の根であり、その和はn − 1次の係数であり、 n = 1かn > 1かに応じて1か0のいずれかになります。

あるいは、n = 1の場合、証明するものは何もありませんが、n > 1の場合、根z ≠ 1が存在します。これは、すべてのn乗根の集合Sがグループであるため、z S = Sとなり、合計はz SR( n ) = SR( n )を満たし、したがってSR( n ) = 0 となります。  

SP( n )をすべての原始n乗根の 和とすると、

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

ここでμ ( n )はメビウス関数である。

基本的性質の節では、R( n )がすべてのn乗根の集合であり、 P( n )が原始n乗根の集合である場合、R( n )はP( n )の互いに素な和集合であることが示されました。

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

これは、

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

メビウスの反転公式を適用すると、

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

この式において、d < n の場合、SR( ⁠n/d⁠ ) = 0 、 d = n の場合: SR( ⁠n/d⁠ ) = 1。したがって、 SP( n ) = μ ( n )。

これはラマヌジャンの和c _n ( s )の特別な場合c _n (1)であり、^[10]は原始n乗根 のs乗の和として定義されます。

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

直交性

和の公式から直交関係が導かれる：j  = 1, … ,  nおよびj′  = 1, … ,  nの場合

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

ここで、δはクロネッカーのデルタであり、zは任意の原始n乗根です。

n  ×  n 行列 Uの( j ,  k )番目の要素 が

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

は離散フーリエ変換を定義する。ガウス消去法を用いて逆変換を計算するには、O ( n ³ )回の演算が必要となる。しかし、直交性から、Uはユニタリであることが分かる。つまり、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

したがって、 Uの逆関数は単に複素共役である。（この事実は、ガウスが三角関数の補間問題を解いた際に初めて指摘された。） Uまたはその逆関数を与えられたベクトルに直接適用するには、O ( n2 )回^の演算が必要となる。高速フーリエ変換アルゴリズムは 、 演算回数をさらにO ( nlogn )回に削減する。

円分多項式

多項式の 零点

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

は、それぞれ重複度が1であるn乗根とまったく同じです。n乗円分多項式は、その零点がそれぞれ重複度が 1 である原始n乗根と まったく同じであるという事実によって定義されます。

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

ここで、z ₁、  z ₂、  z ₃、…、z _{φ( n )}は原始n乗根、φ( n )はオイラーのトーシェント関数である。多項式Φ _n ( z )は整数係数を持ち、有理数上の既約多項式である（つまり、有理数係数を持つ2つの正次多項式の積として表すことはできない）。^[9]素数nの場合は、一般的な主張よりも簡単で、アイゼンシュタインの基準を多項式に 適用することでわかる。

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

二項定理によって展開します。

任意のn乗根は、 nのちょうど1つの正の約数dに対して原始d乗根となる。これは^[9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

この式は多項式z ⁿ − 1を既約因数に 因数分解することを表しています。

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

この式に メビウス反転を適用すると、

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

ここで、μはメビウス関数である。したがって、最初のいくつかの円分多項式は

Φ ₁ ( z ) = z − 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

pが素数である場合、1 を除くすべてのp乗根は原始p乗根である。したがって、^[6] z に 2 以上の任意の正の整数を代入すると、この和はz を底とするレプユニットとなる。したがって、レプユニットが素数であるための必要条件（ただし十分条件ではない）は、その長さが素数であることである。 $${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

一見するとそう思えませんが、すべての円分多項式の係数が 0、1、または -1 であるとは限らないことに注意してください。最初の例外はΦ ₁₀₅です。係数の振る舞いはn自体よりも、 nに奇数の素因数がいくつ現れるかによって決まるため、例を挙げるのにこれほど時間がかかるのは当然です。より正確には、 n に1 つまたは 2 つの奇数の素因数がある場合 (たとえば、n  = 150 )、n番目の円分多項式の係数は 0、1、または -1 のみであることがわかります。したがって、0、1、または -1 以外の係数を持つ可能性がある最初のnは、3 つの最小の奇数の素数の積であり、3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105です。これだけでは105番目の多項式に別の係数があることは証明されませんが、それが成立する可能性のある最初の多項式であることを示しています（そして、係数を計算すると、それが成立することが示されます）。シュアーの定理によれば、係数の絶対値が任意に大きい円分多項式が存在するとされています。特に、が奇数の素数でtが奇数の場合、1 − t はn番目の円分多項式の係数として現れます。^[11]${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

円分多項式が整数値において取り得る値については、多くの制約が知られています。例えば、pが素数の場合、d  ∣ Φ _p ( d )となるのは、 d ≡ 1 (mod p )の場合のみです。

円分多項式は根号で解ける。これは、根号が根号自身も根号であるためである。さらに、根号の値（例えば平方根の符号）を選択することによって得られる式のすべての値が原始的なn 乗根号であるという追加の性質[ 12 ^]を持つ、より情報量の多い根号式が存在する。これは1797年にガウスによって既に示されていた^[13]。このような式を計算するための効率的なアルゴリズムが存在する^[14]。

巡回群

n乗根は乗法のもとで n 位の巡回群を形成し、実際、これらの群は複素数体の乗法群の有限部分群のすべてを構成します。この巡回群の生成元は原始n乗根です。

n乗根は、位数nの任意の巡回群の既約表現となる。直交関係は、指標群で説明されている群論的原理からも導かれる。

単位根は、巡回行列、つまり巡回シフトに対して不変な行列の固有ベクトルの要素として現れ、この事実は、ブロッホの定理の変形として群表現論からも導かれます。^{[15] [ページが必要]}特に、巡回エルミート行列（たとえば、周期境界を持つ離散化された1次元ラプラシアン^[16]）を考えると、エルミート行列の固有ベクトルの通常の直交性から、直交性の性質が直ちに導かれます。

円分体

原始n乗根を1に付加するとn乗円分体が得られる。この体にはすべてのn乗根が含まれており、n乗円分多項式の分解体である。この体拡大は次数φ( n )であり、そのガロア群は環の単位の乗法群と自然に同型である。${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

のガロア群はアーベル群なので、これはアーベル拡大である。円分体のすべての部分体は、有理数のアーベル拡大である。したがって、任意のn乗根はk乗根で表すことができ、kはφ( n )を超えない。これらの場合、ガロア理論はガウス周期を用いて明示的に記述することができる。ガウスの『算術論』に収録されているこの理論は、ガロアより何年も前に出版された。^[17]${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

逆に言えば、有理数のすべてのアーベル拡大は円分体のそのような部分体である。これはクロネッカーの定理の内容であり、ウェーバーが証明を完成させたという理由で、 通常はクロネッカー-ウェーバーの定理と呼ばれる。

二次整数との関係

複素平面では、赤い点は 5 倍根であり、黒い点は 5 倍根とその複素共役の和です。

複素平面では、2 つの正方形の角は 1 の 8 乗根になります。

n = 1, 2の場合、 1と-1の両方の根は整数です。

nの値が 3 つの場合、1 の根は2 乗の整数になります。

• n = 3, 6の場合、それらはアイゼンシュタイン整数( D = −3 ) です。
• n = 4の場合、これらはガウス整数( D = −1 ) です。虚数単位を参照してください。

nの他の 4 つの値の場合、原始的な 1 の根は 2 次整数ではありませんが、任意の 1 の根とその複素共役(これもn乗 1 の根)の和は 2 次整数になります。

n = 5, 10の場合、実数でない 1 の根（4 次方程式を満たす）はいずれも 2 次整数ではありませんが、各根とその複素共役（これも 1 の 5 次根）の和z + z = 2  Re zは環 Z [ ⁠1 +  √ 5/2⁠ ] ( D = 5)。2組の非実数の5乗根の場合、これらの和は逆 黄金比と負の黄金比になります。

n = 8の場合、任意の 1 の根号 z + zは0、±2、または ± √ 2 ( D = 2 ) のいずれかになります。

n = 12の場合、任意の 1 の根に対して、 z + z は0、±1、±2、または ± √ 3 ( D = 3 ) のいずれかになります。

参照

• アルガンドシステム
• 円群、単位複素数
• 円分体
• 統一の根源のグループスキーム
• ディリクレ特性
• ラマヌジャンの和
• ウィットベクトル
• タイヒミュラーの性格

注記

1. ハドロック、チャールズ・R. (2000). 場の理論とその古典的問題, 第14巻. ケンブリッジ大学出版局. pp.  84– 86. ISBN 978-0-88385-032-9。
2. ラング、セルジュ (2002). 「統一の根源」.代数学. シュプリンガー. pp.  276– 277. ISBN 978-0-387-95385-4。
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17. 『Disquisitiones』は1801年に出版されたが、ガロアは1811年に生まれ、1832年に亡くなったが、1846年まで出版されなかった。

参考文献

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