射影表現

数学の表現論の分野では、体F上のベクトル空間V上の群Gの射影表現は、Gから射影線型群への群準同型であり 、GL( V ) はF上のVの可逆線型変換の一般線型群、F ^∗は恒等変換の非ゼロのスカラー倍からなる正規部分群である（スカラー変換を参照）。^[1] $${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)=\mathrm {GL} (V)/F^{*},}$$

線型表現が線型変換を介してベクトル空間上のグループGの可能な作用を調べるのと同様に、射影表現は線型変換を介してこれらのベクトル空間内の直線 (つまりV / F ^* ) 上の作用を調べます。

より具体的には、 の射影表現は、定数までの準同型性を満たす 演算子の集合として表すことができます。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho (g)\in \mathrm {GL} (V),\,g\in G}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=c(g,h)\rho (gh),}$

定数 に対して が成り立ちます。任意の に対して の選択がスカラー値まで同じであれば、そのような演算子の2つの選択は同じ射影表現を定義します。同様に、 の射影表現は、 となる演算子の集合です。この表記法では、 は非ゼロのスカラー値との乗算によって関連付けられた線型演算子の集合であることに注意してください。 ${\displaystyle c(g,h)\in F}$ ${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho _{1}(g),\rho _{2}(g)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)\subset \mathrm {GL} (V),g\in G}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(gh)={\tilde {\rho }}(g){\tilde {\rho }}(h)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}(g)}$

各演算子族において、準同型性が定数までではなく だけを満たすような特定の代表値を選択できる場合、 は「逆射影化」できる、あるいは は「通常の表現に持ち上げられる」と言えます。より具体的には、となる各 に対して が存在する場合、 は逆射影化できると言えます。この可能性については、以下でさらに議論します。 ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\rho }}}$ ${\displaystyle \rho (g)\in {\tilde {\rho }}(g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=\rho (gh)}$

線形表現と射影表現

射影表現が生じる一つの方法は、GのV上の線型群表現をとり、商写像を適用すること である。

${\displaystyle \operatorname {GL} (V,F)\rightarrow \operatorname {PGL} (V,F)}$

これはスカラー変換（すべての対角要素が等しい対角行列）の部分群F ^∗による商です。代数学にとって興味深いのは、逆方向のプロセスです。射影表現 が与えられたとき、それを通常の線型表現に「持ち上げる」ことを試みます。一般的な射影表現ρ : G → PGL( V ) は線型表現G → GL( V )に持ち上げることはできず、この持ち上げの障害は、以下で説明する群コホモロジーによって理解できます。

しかしながら、Gの射影表現を別の群Hの線型表現に持ち上げることが可能であり、これはGの中心拡大となる。この群は以下のように定義されるの部分群である。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$

${\displaystyle H=\{(g,A)\in G\times \mathrm {GL} (V)\mid \pi (A)=\rho (g)\}}$ 、

ここで、は の への商写像です。 は準同型なので、が確かに の部分群であることは簡単に確認できます。元の射影表現が忠実であれば、はのの逆像と同型です。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho (G)\subseteq \mathrm {PGL} (V)}$

と設定することで準同型を定義できます。 の核は次のようになります。 ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi ((g,A))=g}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \mathrm {ker} (\phi )=\{(e,cI)\mid c\in F^{*}\}}$ 、

これは の中心に含まれます。 が射影的であることも明らかなので、 はの中心拡大です。と設定することにより、 の通常の表現を定義することもできます。の通常の表現は、 の射影表現を持ち上げたものであり、次の意味で次のようになります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma ((g,A))=A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \pi (\sigma ((g,A)))=\rho (g)=\rho (\phi ((g,A)))}$ 。

Gが完全群である場合、使用できる Gの単一の普遍完全中心拡張が存在します。

群コホモロジー

持ち上げ問題の解析には群コホモロジーが関係する。実際、 Gの各gに対して、 PGL( V )からGL( V )への持ち上げにおける持ち上げ元L ( g )を固定すると、持ち上げは次式を満たす。

${\displaystyle L(gh)=c(g,h)L(g)L(h)}$

F ^∗の何らかのスカラーc ( g , h )に対して、2-コサイクルまたはシュアー乗数cはコサイクル方程式を満たす 。

${\displaystyle c(h,k)c(g,hk)=c(g,h)c(gh,k)}$

Gの全てのg、h、kに対して。このc は揚力Lの選択に依存する。揚力L′ ( g ) = f ( g ) L ( g )の選択が異なると、異なるコサイクルが生じる。

${\displaystyle c^{\prime }(g,h)=f(gh)f(g)^{-1}f(h)^{-1}c(g,h)}$

cと共相である。したがって、L はH ² ( G , F ^∗ )の唯一の類を定義する。この類は自明ではないかもしれない。例えば、対称群と交代群の場合、シュアーはシュアー乗数の非自明な類がちょうど1つ存在することを証明し、対応するすべての既約表現を完全に決定した。^[2]

一般に、非自明な類はGの拡大問題を引き起こす。G が正しく拡大されれば、拡大群の線型表現が得られ、これをGに押し戻すと元の射影表現が導かれる。その解は常に中心拡大である。シュアーの補題から、 Gの中心拡大の既約表現とGの既約射影表現は本質的に同じ対象である ことが分かる。

最初の例: 有限アーベル群

2つの要素を持つグループ

まず、で表される2つの元を持つ群を考えます。ここでは自明元であり、群は恒等写像 によって定義されます。すべての射影表現において は恒等写像に写像されるため、表現は の像によって完全に決定されます。この群には、どちらも1次元で ある2つの（既約な）線型表現があります。${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle e,\sigma }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}=e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \sigma }$

• 単純な表現:${\displaystyle \sigma \mapsto 1}$
• 非自明な表現:${\displaystyle \sigma \mapsto -1}$

これらは線型表現としては異なる、つまり点への作用が異なるものの、射影表現としては同じです。1次元空間には1本の直線があり、どちらもその直線を自身に投影します。より一般的には、像をどのような形で選んでも同じ1次元射影表現が得られます。つまり、1次元射影表現は唯一つ存在し、それが自明な表現です（これは任意の群に対して成り立ちます）。 ${\displaystyle \sigma \mapsto c}$

2次元平面上で、回転を送信できます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$

$${\displaystyle \rho :\sigma \mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$$

2つの回転、すなわち回転は、平面上の直線をそれ自身に戻すため、射影表現を定義します。より正式には、符号を除いて同じです。 ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \rho (\sigma ^{2}),\rho (\sigma )^{2}}$

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{2}=-Id=-\rho (e)=-\rho (\sigma ^{2}).}$$

1次元の場合とは異なり、この射影表現は標準的な線型表現からは生じません。しかし、実数ではなく複素数を扱う場合、この射影表現は次のようになります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \rho ':\sigma \mapsto i\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ この場合は なので線形表現となります。 ${\displaystyle \rho '(\sigma )^{2}=\rho '(\sigma ^{2})=Id}$

一般巡回群

ここで、 を と乗法的に書き、 を射影表現の代表例として選びます。 ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle G=\{e,\sigma ,\sigma ^{2},...,\sigma ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$

• 自明な元：、 、は可逆なので、 はスカラー でなければなりません。したがって、表現を変えずにの選択を に変更できます。${\displaystyle \rho (e)\rho (e)=c(e,e)\rho (e^{2})=c(e,e)\rho (e)}$ ${\displaystyle \rho (e)}$ ${\displaystyle \rho (e)=c(e,e)\cdot Id}$ ${\displaystyle \rho (e)=Id}$
• 非自明な要素:はスカラーまで同じなので、 について となるように同様に代表値を選択できます。${\displaystyle \rho (\sigma )^{k},\rho (\sigma ^{k})}$ ${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=\rho (\sigma )^{k}}$ ${\displaystyle k=0,...,n-1}$

これらの削減の後、我々はと という スカラーの選択肢を残す。${\displaystyle \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c\cdot \rho (\sigma ^{n})=c\cdot \rho (e)=c\cdot Id.}$$

一方、あるスカラーの根の任意の選択は、次のように設定することで射影表現を定義することができる。${\displaystyle A^{n}=c\cdot Id}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ $${\displaystyle \rho (\sigma ^{k})=A^{k},\;k=0,...,n-1.}$$

複素数体（または一般に代数閉体）上で、を に変更すると標準的な線型表現が得られる。言い換えれば、すべての射影表現は通常の線型表現から生じる。 ${\displaystyle \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{n}]{c}}}\rho (\sigma )}$

巡回群の積

2つの巡回群の積では、代表値の選択を変更して次の式を満たすことで同様の処理を実行できます。 ${\displaystyle G=\{e,\sigma ,...\sigma ^{n-1}\}\times \{e,\tau ,...,\tau ^{m-1}\}}$

$${\displaystyle \rho (\sigma ^{k}\cdot \tau ^{\ell }):=\rho (\sigma )^{k}\rho (\tau )^{\ell },\;\;0\leq k<n,\;0\leq \ell <m.}$$

これは次の 3 つの条件に要約されます。

1. ${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=c_{\sigma }\cdot Id}$ 、 、 そして${\displaystyle \rho (\tau )^{m}=c_{\tau }\cdot Id}$
2. ${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma \tau )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$ 。

この新しいスカラーは次を満たす必要があります:

• ${\displaystyle c_{\tau }\rho (\sigma )=\rho (\tau )^{m}\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )\rho (\tau )^{m}=c_{\tau }c_{\tau ,\sigma }^{m}\rho (\sigma )}$ 、 となることによって。${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{m}=1}$
• 同様に、.${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$

これら2つを合わせると、 となります。これらの3つの条件を満たす任意の選択肢は、射影表現を定義します。 ${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$ ${\displaystyle \rho (\sigma ),\rho (\tau )}$

複素数 については、前述のように と仮定できるので、唯一のパラメータは です。 ${\displaystyle c_{\tau }=c_{\sigma }=1}$ ${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{{\text{gcd}}(n,m)}=1}$

例えば、と の3つの条件が成り立ちます。これらの方程式は、およびの任意の単位根に対して で解を持ちます。より具体的には、 をそのような単位根とすると、次のように定義されます。 ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$ ${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=c_{\tau ,\sigma }\rho (\sigma )\rho (\tau )}$ ${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$ ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }^{n}=1}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$

${\displaystyle \rho (\sigma )\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&\zeta _{n}&0&&\vdots \\0&0&\zeta _{n}^{2}&&\\\vdots &&&\ddots &0\\0&\cdots &&0&\zeta _{n}^{n-1}\end{pmatrix}}\;\;;\;\;\rho (\tau )\mapsto {\begin{pmatrix}0&1&0&&\\&0&1&\ddots &\\\vdots &&0&\ddots &0\\0&&&\ddots &1\\1&0&\cdots &&0\end{pmatrix}}}$ 。

どちらの行列も「-回転」を定義します。つまり、 は各座標を複素数として個別に回転しますが、 はベクトルの座標を回転します。特に です。さらに、 も成り立ちます。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )}$ ${\displaystyle \rho (\tau )}$ ${\displaystyle \rho (\sigma )^{n}=\rho (\tau )^{n}=Id}$ ${\displaystyle \rho (\tau )\rho (\sigma )=\zeta _{n}\rho (\sigma )\rho (\tau )}$

は代表の選択とは独立であることに注意する。したがって、上で定義された単位元 に対する相異なる射影表現は相異なる表現である。${\displaystyle c_{\tau ,\sigma }=\rho (\tau )\rho (\sigma )\rho (\tau )^{-1}\rho (\sigma )^{-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

巡回群の一般積の射影表現も同様の方法で行われます。

離散フーリエ変換

上で述べたように、の射影表現は多くの場合、フーリエ変換のレンズを通して見られます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

を法とする整数体を考えます。ここでは素数であり、は に値を持つ上の関数の 次元空間とします。 の各 について、と 上の を次のように2つの演算子で定義します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(b)&=f(b-a)\\(S_{a}f)(b)&=e^{2\pi iab/p}f(b).\end{aligned}}}$

の式は、と が整数であるかのように書きますが、結果はと を法としての値のみに依存することは容易に分かります。演算子 は平行移動ですが、は周波数空間におけるシフトです（つまり、の離散フーリエ変換を平行移動させる効果があります）。 ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle f}$

の任意の と に対して、演算子と は定数倍を除いて可換である ことは簡単に確認できます。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$

${\displaystyle T_{a}S_{b}=e^{-2\pi iab/p}S_{b}T_{a}}$ 。

したがって、 の射影表現を次のように定義できます。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}]}$ 、

ここで、は商群 における作用素の像を表す。と は定数項を除いて可換なので、は射影表現であることが容易に分かる。一方、と は実際には可換ではなく、またそれらの非零倍は可換ではないため、 を の通常の（線形）表現に持ち上げることはできない。 ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{b}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$

射影表現は忠実なので、前節の構成によって得られたの中心拡大はの像の における逆像に等しい。これは、が の形の作用素の群である ことを意味する。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\times \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle e^{2\pi ic/p}T_{a}S_{b}}$

に対してである。この群はハイゼンベルク群の離散版であり、次の形式の行列群と同型である。 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

と。 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} /p}$

リー群の射影表現

リー群の射影表現を研究すると、その中心拡大の真の表現を考えることになります（「群の拡大」の「§ リー群」を参照）。多くの場合、被覆群の表現を考えれば十分です。具体的には、が連結リー群 の連結被覆であるとし、の離散中心部分群 に対して が成り立つとします。（ はの中心拡大の特殊な種類であることに注意）。また、 が（おそらく無限次元の）の既約ユニタリ表現であるとします。すると、シュアーの補題により、中心部分群 は恒等式のスカラー倍によって作用します。したがって、射影レベルでは、は に降下します。つまり、 のそれぞれに対して、におけるの逆像を選び、の射影表現を次のように 定義できます。${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\cong {\hat {G}}/N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho (g)=\left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$ 、

ここで、 は演算子 の像を表します。は の中心に含まれ、 の中心はスカラー として作用するため、 の値はの選択に依存しません。 ${\displaystyle [A]}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} (V)}$ ${\displaystyle A\in \mathrm {GL} (V)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \left[\Pi \left({\hat {g}}\right)\right]}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

前述の構成は、射影表現の重要な例となる。後述するバーグマンの定理は、 のあらゆる既約射影ユニタリ表現がこのようにして生じるという基準を与える。 ${\displaystyle G}$

射影表現SO(3)

上記の構成の物理的に重要な例は、普遍被覆がSU(2)である回転群SO(3 )の場合である。SU (2)の表現論によれば、各次元においてSU(2)の既約表現はちょうど1つ存在する。次元が奇数の場合（「整数スピン」の場合）、表現はSO(3)の通常の表現に至る。^[3]次元が偶数の場合（「分数スピン」の場合）、表現はSO(3)の通常の表現には至らないが、（上述の結果により）SO(3)の射影表現に至る。このようなSO(3)の射影表現（通常の表現に由来しないもの）は「スピノル表現」と呼ばれ、その要素（ベクトル）はスピノルと呼ばれる。

以下で議論する議論によれば、SO(3)のすべての有限次元既約射影表現はSU(2)の有限次元既約通常表現から得られる。

射影表現につながる被覆の例

興味深い射影表現を与える被覆群の注目すべき例:

• 特殊直交群 SO( n , F )はスピン群 Spin( n , F )によって二重に覆われる。
• 特に、SO(3)群（3次元の回転群）はSU(2)によって二重被覆されている。これは量子力学において重要な応用があり、SU(2)の表現の研究は非相対論的（低速度）スピン理論につながる。
• メビウス群と同型な群SO ⁺ (3;1)も、同様にSL ₂ ( C )によって二重被覆されている。どちらも前述のSO(3)とSU(2)の超群であり、相対論的スピン理論を形成する。
• ポアンカレ群の普遍被覆は二重被覆（SL ₂ ( C )とR ⁴の半直積）である。この被覆の既約ユニタリ表現は、ウィグナーの分類と同様に、ポアンカレ群の射影表現を生み出す。分数スピンの場合を含めるためには、被覆への移行が不可欠である。
• 直交群 O ( n )はPin群 Pin _± ( n )によって二重被覆される。
• シンプレクティック群 Sp(2 n )=Sp(2 n , R )（シンプレクティック群のコンパクト実形（Sp( m )と表記されることもある）と混同しないように注意）は、メタプレクティック群 Mp(2 n )によって二重被覆される。Sp (2 n )の重要な射影表現は、Mp(2 n )のメタプレクティック表現から得られる。

有限次元射影ユニタリ表現

量子物理学では、物理系の対称性は典型的には量子ヒルベルト空間上のリー群の射影ユニタリー表現、すなわち連続準同型写像 によって実現される。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \rho :G\rightarrow \mathrm {PU} ({\mathcal {H}}),}$

ここで、はユニタリ群をの形の演算子で割った商です。この商を取る理由は、物理的には、ヒルベルト空間において比例する2つのベクトルは同じ物理的状態を表すからです。[つまり、（純粋）状態空間は単位ベクトル の同値類の集合であり、2つの単位ベクトルが比例する場合、それらは同値であるとみなされます。] したがって、単位元の倍数であるユニタリ演算子は、実際には物理的状態のレベルでは単位元として機能します。 ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle cI,\,|c|=1}$

の有限次元射影表現から、のリー代数の射影ユニタリ表現が得られる。有限次元の場合、トレースがゼロである各 の代表を選択するだけで、リー代数表現を「逆射影化」することが常に可能である。 ^[4]準同型定理を考慮すると、 自身を逆射影化することは可能であるが、の普遍被覆を通過するという犠牲を払うことになる。^[5]つまり、 のすべての有限次元射影ユニタリ表現は、このセクションの冒頭で述べた手順によって、 の通常のユニタリ表現から生じる。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho _{*}}$ ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

具体的には、リー代数表現はトレースゼロの代表を選択することで逆射影化されているため、 の有限次元射影ユニタリ表現はすべて、 の行列式1の通常ユニタリ表現（すなわち、 の各元が行列式1を持つ作用素として作用する表現）から生じる。が半単純である場合、 のすべての元は交換子の線型結合となり、その場合、のすべての表現はトレースゼロを持つ作用素によって表される。したがって、半単純な場合、 の関連する線型表現は一意である。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

逆に、 が の普遍被覆の既約ユニタリ表現である場合、シュアーの補題より、の中心は恒等表現のスカラー倍として作用する。したがって、射影レベルでは、 は元の群 の射影表現に降下する。したがって、 の既約射影表現と の既約かつ行列式1の通常表現との間には、自然な一対一対応が存在する。（半単純な場合、「行列式1」という修飾語は省略可能である。その場合、 のすべての表現は自動的に行列式1となるからである。） ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$

重要な例として、普遍被覆がSU(2)であるSO(3)の場合が挙げられます。リー代数は半単純です。さらに、SU(2)はコンパクト群であるため、その任意の有限次元表現は、その表現がユニタリとなるような内積を持ちます。^[6]したがって、SO(3)の既約射影表現は、SU(2)の既約通常表現と一対一に対応します。 ${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

無限次元射影ユニタリ表現：ハイゼンベルクの場合

前節の結果は無限次元の場合には成り立たない。これは単に、 の軌跡が典型的には明確に定義されていないためである。実際、この結果は成り立たない。例えば、 を運動し、ヒルベルト空間 に作用する量子粒子の位置空間と運動量空間における並進を考えてみよう。^[7]これらの演算子は以下のように定義される。 ${\displaystyle \rho _{*}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(T_{a}f)(x)&=f(x-a)\\(S_{a}f)(x)&=e^{iax}f(x),\end{aligned}}}$

すべての に対して となる。これらの演算子は、上記の「最初の例」のセクションで説明した演算子の連続バージョンに過ぎない。そのセクションと同様に、の射影ユニタリ表現を定義できる。 ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{a}}$ ${\displaystyle S_{a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \rho (a,b)=[T_{a}S_{b}],}$

なぜなら、演算子は位相因子まで可換であるからである。しかし、位相因子をどのように選んでも通常のユニタリ表現にはならない。なぜなら、位置の移動は運動量の移動と可換ではないからである（そして、非ゼロの定数を乗じても、これは変わらない）。しかし、これらの演算子は、の1次元中心拡大であるハイゼンベルク群の通常のユニタリ表現から来ている。^{[8] （}ストーン・フォン・ノイマンの定理も参照のこと。） ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

無限次元射影ユニタリ表現：バーグマンの定理

一方、バーグマンの定理は、の第二リー代数コホモロジー群が自明であれば、 のすべての射影ユニタリ表現は普遍被覆に移った後で逆射影化できることを述べています。^{[9] [10]}より正確には、リー群 の射影ユニタリ表現から始めるとします。すると、定理はをの普遍被覆の通常のユニタリ表現に持ち上げることができることを述べています。これは、が被覆写像の核の各要素を単位元 のスカラー倍に写像することを意味します。そのため、射影レベルではは に降下し、 の関連する射影表現はに等しくなります。 ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \rho }$

定理は群には適用されない（前の例が示すように）。これは、付随する可換リー代数の第二コホモロジー群が非自明であるためである。この結果が適用される例としては、半単純群（例えばSL(2,R)）とポアンカレ群が挙げられる。この最後の結果は、ウィグナーによるポアンカレ群の射影ユニタリ表現の 分類において重要である。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

バーグマンの定理の証明は、線型表現と射影表現に関する上記の節と同様に構築されたの中心拡大 を直積群 の部分群として考えることによって行われる。ここで はが作用するヒルベルト空間であり、は 上のユニタリ作用素の群である。この群は次のように定義される。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H=\{(g,U)\mid \pi (U)=\rho (g)\}.}$

前のセクションと同様に、によって与えられる写像は、 の核が となる射影準同型写像であり、 は の中心拡大となる。また、前のセクションと同様に、と設定することによりの線型表現を定義できる。すると、は という意味でのリフトとなり、はから への商写像となる。 ${\displaystyle \phi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle \phi (g,U)=g}$ ${\displaystyle \{(e,cI)\mid |c|=1\},}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma (g,U)=U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho \circ \phi =\pi \circ \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle PU({\mathcal {H}})}$

重要な技術的ポイントは、がリー群であることを示すことです。（この主張はそれほど自明ではありません。なぜなら、が無限次元の場合、群 は無限次元位相群となるからです。）この結果が確立されると、が の1次元リー群中心拡大であること、したがってのリー代数も の1次元中心拡大であることがわかります（ここで、「1次元」という形容詞は と を指すのではなく、それらの対象から と への射影写像の核を指すことに注意してください）。しかし、コホモロジー群はの1次元（前述の意味で）中心拡大の空間と同一視できます。が自明であれば、 のすべての1次元中心拡大は自明です。その場合、は と実数直線のコピーの直和に過ぎません。したがって、 の普遍被覆はの普遍被覆と実数直線のコピーの直積に過ぎません。次に、をに持ち上げ（被覆写像と合成することにより）、最終的にこの持ち上げを の普遍被覆に制限することができます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle G\times U({\mathcal {H}})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

参照

• アフィン表現
• 集団行動
• 中央拡張
• 素粒子物理学と表現理論
• スピン1/2
• スピノル
• 量子力学における対称性
• ハイゼンベルク群

注記

1. ギャノン 2006年、176～179頁。
2. シュール 1911
3. ホール 2015 セクション 4.7
4. ホール 2013 提案 16.46
5. ホール 2013 定理 16.47
6. Hall 2015 定理4.28の証明
7. ホール 2013 例 16.56
8. ホール 2013 第 14 章演習 6
9. バーグマン 1954
10. シムズ 1971

参考文献

• バーグマン、バレンタイン（1954）、「連続群のユニタリー光線表現について」、Annals of Mathematics、59（1）：1– 46、doi：10.2307/1969831、JSTOR  1969831
• ギャノン、テリー（2006年）、Moonshine Beyond the Monster：代数、モジュラー形式、物理学をつなぐ架け橋、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-83531-2
• ホール、ブライアン・C.（2013）「数学者のための量子理論」、数学大学院テキスト、第267巻、シュプリンガー、ISBN 978-1461471158
• ホール、ブライアン・C.（2015）「リー群、リー代数、表現：初等入門」、大学院数学テキスト第222巻（第2版）、シュプリンガー、ISBN 978-3319134666
• Schur, I. ( 1911)、「対称性と代替性を考慮した代替グループ」、Crelle's Journal、139 : 155–250
• Simms, DJ (1971)、「リー群の射影表現の持ち上げに関するBargmannの基準の簡潔な証明」、Reports on Mathematical Physics、2 (4): 283– 287、Bibcode :1971RpMP....2..283S、doi :10.1016/0034-4877(71)90011-5