サンプルスペース

確率論において、実験またはランダム試行の標本空間（標本記述空間^[1] 、可能性空間^[2]、または結果空間^[3]とも呼ばれる）は、その実験のすべての可能な結果または結果の集合です。 ^[4]標本空間は通常、集合記法を用いて表され、可能な順序付き結果、つまり標本点^[5]が集合内の要素として列挙されます。標本空間は、S、Ω、またはU（「普遍集合」の略）というラベルで参照するのが一般的です。標本空間の要素は、数字、単語、文字、または記号です。また、有限、可算無限、または非可算無限となることもあります。^[6]

標本空間の部分集合は事象であり、で表されます。実験の結果がに含まれる場合、事象が発生しています。^[7] $E$ $E$ $E$

例えば、実験が1枚のコインを投げることである場合、標本空間は集合であり、結果はコインが表であることを意味し、結果はコインが裏であることを意味します。^[8]起こり得る事象は、、、です。2枚のコインを投げる場合、標本空間はであり、結果は両方のコインが表の場合、1枚目のコインが表で2枚目が裏の場合、1枚目のコインが裏で2枚目が表の場合、両方のコインが裏の場合です。[ ^9]少なくとも1枚のコインが表であるという事象はで与えられます $\{H,T\}$ $H$ $T$ $E=\{\}$ $E=\{H\}$ $E=\{T\}$ $E=\{H,T\}$ $\{HH,HT,TH,TT\}$ $HH$ $HT$ $TH$ $TT$ $E=\{HH,HT,TH\}$

6面サイコロを1回投げて、表向きの目の数を求める場合、標本空間はとなる。^[10] $\{1,2,3,4,5,6\}$

明確に定義された空でない標本空間は、確率モデルの3つの要素の1つです（確率空間）。他の2つの基本要素は、可能性のある事象の明確に定義された集合（事象空間）です。事象空間は通常、離散的な場合はの冪集合、連続的な場合はのσ-代数です。そして、各事象に割り当てられた確率（確率測度関数）です。^[11] $S$ $S$ $S$ $S$

標本空間は長方形で視覚的に表すことができ、標本空間の結果は長方形内の点で示されます。事象は楕円で表すことができ、楕円で囲まれた点が事象を構成します。^[12]

標本空間の条件

結果（つまり）を持つ集合は、標本空間であるためにはいくつかの条件を満たす必要があります。^[13] $\Omega$ $s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}$ $\Omega =\{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}\}$

結果は相互に排他的でなければなりません。つまり、が発生した場合、他の結果は発生しません。 ^[6] $s_{j}$ $s_{i}$ $\forall i,j=1,2,\ldots ,n\quad i\neq j$
結果は集合的に網羅的でなければなりません。つまり、すべての実験（またはランダム試行）において、について常に何らかの結果が発生します。^[6] $s_{i}\in \Omega$ $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$
サンプル空間 ( )は、実験者の関心に応じて適切な粒度を持つ必要があります。無関係な情報はサンプル空間から削除され、適切な抽象化が選択される必要があります。 $\Omega$

例えば、コインを投げる実験において、考えられる標本空間の1つはで、はコインが表になった場合の結果、は裏になった場合の結果です。もう1つの考えられる標本空間はです。ここで、は雨の日、は雨が降っていない日を表します。ほとんどの実験では、よりもの方が良い選択でしょう。なぜなら、実験者は天候がコイン投げにどのように影響するかを気にしない可能性が高いからです。 $\Omega _{1}=\{H,T\}$ $H$ $T$ $\Omega _{2}=\{(H,R),(H,NR),(T,R),(T,NR)\}$ $R$ $NR$ $\Omega _{1}$ $\Omega _{2}$

多重標本空間

多くの実験では、実験者がどのような結果に関心を持っているかに応じて、複数の妥当な標本空間が利用できる場合があります。例えば、標準的な52枚のトランプからカードを引く場合、標本空間の1つの可能性は、さまざまなランク（エースからキングまで）であり、もう1つの可能性は、スート（クラブ、ダイヤ、ハート、スペード）です。^[4]^[14]しかし、結果をより完全に記述するには、額面とスートの両方を指定し、各カードを記述する標本空間を、上記の2つの標本空間の直積として構築することができます（この空間には、52の等確率の結果が含まれます）。さらに、シャッフル時に一部のカードが裏返された場合、表向きまたは裏返しなど、他の標本空間も可能です。

等確率の結果

確率の扱い方によっては、実験の様々な結果が常に等しく起こり得るように定義されていると仮定しています。^[15]等しく起こり得る結果を持つ任意の標本空間では、それぞれの結果に確率が割り当てられます。^[16]しかし、等しく起こり得る結果の標本空間では簡単に記述できない実験があります。例えば、画鋲を何度も投げて、先端が上向きか下向きかを観察した場合、2つの結果が等しく起こり得ることを示唆する物理的な対称性はありません。^[17] $N$ ${\frac {1}{N}}$

ほとんどのランダム現象は等しく起こり得る結果を持ちませんが、結果が少なくとも近似的に等しく起こり得るように標本空間を定義すると役立ちます。この条件により、標本空間内のイベントの確率の計算が大幅に簡素化されるためです。個々の結果が同じ確率で発生する場合、あらゆるイベントの確率は単純に次のようになります。^[18]^{: 346–347}

\mathrm {P} ({\text{event}})={\frac {\text{number of outcomes in event}}{\text{number of outcomes in sample space}}}

例えば、2つの公平な6面サイコロを投げて、それぞれ1から6までの範囲の均一に分布する2つの整数とを生成するとします。この場合、36通りの可能な結果の順序付きペアは、等しく起こりうる事象の標本空間を構成します。この場合、上記の式が適用され、2回のロールの特定の合計が結果となる確率を計算します。合計が5になる事象の確率はです。なぜなら、36通りの等しく起こりうる結果のペアのうち4つが合計5になるからです $D_{1}$ $D_{2}$ $(D_{1},D_{2})$ $D_{1}+D_{2}$ ${\frac {4}{36}}$

標本空間が6面サイコロを2つ振ったときに得られる可能性のあるすべての和であったとしても、サイコロの出目は公平であるため上記の式を適用できますが、特定の事象における結果の数は変化します。結果がで和が2になる可能性もあるため、確率はです。和が7の場合、事象における結果はなので、確率はです。^[19] $\{(1,1)\}$ ${\frac {1}{36}}$ $\{(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)\}$ ${\frac {6}{36}}$

単純無作為標本

統計学では、母集団の個体の標本を研究することによって、母集団の特性について推論を行います。母集団の真の特性を偏りなく推定する標本を得るために、統計学者はしばしば単純無作為標本、つまり母集団内のすべての個体が等しく含まれる可能性のある標本を研究しようとします。^[18]^{: 274–275}その結果、標本に選ばれる可能性のあるすべての個体の組み合わせは、選択される標本となる可能性が等しくなります（つまり、与えられた母集団から与えられたサイズの単純無作為標本の空間は、等しく起こり得る結果で構成されます）。^[20]

無限に大きな標本空間

確率への初歩的なアプローチでは、標本空間の任意の部分集合は通常、事象と呼ばれます。^[9]しかし、標本空間が連続している場合、これは問題を引き起こすため、より正確な事象の定義が必要になります。この定義では、標本空間自体のσ代数を構成する、標本空間の測定可能な部分集合のみが事象と見なされます

無限に大きい標本空間の例としては、電球の寿命を測定することが挙げられます。対応する標本空間は $[0,\infty)$ となります。^[9]

参照

参考文献

^ Stark, Henry; Woods, John W. (2002). Probability and Random Processes with Applications to Signal Processing (3rd ed.). Pearson. p. 7. ISBN 9788177583564。
^ Forbes, Catherine; Evans, Merran; Hastings, Nicholas; Peacock, Brian (2011). Statistical Distributions (4th ed.). Wiley. p. 3. ISBN 9780470390634。
^ ホッグ、ロバート、タニス、エリオット、デール・ジマーマン (2013年12月24日).確率と統計的推論. ピアソン・エデュケーション社. p. 10. ISBN 978-0321923271。すべての可能な結果の集合は、結果空間と呼ばれます
^ ab Albert, Jim (1998-01-21). 「すべての可能な結果のリスト（標本空間）」. ボーリンググリーン州立大学. 2019年9月13日時点のオリジナルからアーカイブ。 2013年6月25日閲覧。
^ Soong, TT (2004).エンジニアのための確率と統計の基礎. チチェスター: Wiley. ISBN 0-470-86815-5. OCLC 55135988.
^ abc "UOR_2.1". web.mit.edu . 2019年11月21日閲覧。
^ Ross, Sheldon (2010). 『確率入門』（PDF）（第8版）.ピアソン・プレンティス・ホール. p. 23. ISBN 978-01360331342021年7月24日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。 2021年12月2日閲覧。
^ デッキング、FM（フレデリック・ミシェル）、1946-（2005年）。確率と統計の現代的入門：なぜ、どのように理解するか。シュプリンガー。ISBN 1-85233-896-2 OCLC 783259968{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
^ abc 「標本空間、事象、確率」（PDF）。イリノイ大学の数学。 2023年5月23日にオリジナル（PDF）からアーカイブ。2019年11月21日閲覧
^ Larsen, RJ; Marx, ML (2001).数理統計学とその応用入門（第3版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州：プレンティスホール。p. 22。ISBN 9780139223037。
^ LaValle, Steven M. (2006). Planning Algorithms (PDF) . Cambridge University Press . p. 442.
^ 「サンプル空間、事象、およびその確率」. saylordotorg.github.io . 2019年11月21日閲覧.
^ Tsitsiklis, John (2018年春). 「サンプル空間」. マサチューセッツ工科大学. 2018年7月9日閲覧
^ ジョーンズ、ジェームズ (1996). 「統計：確率入門 - 標本空間」リッチランド・コミュニティ・カレッジ. 2013年11月30日閲覧
^ ポール・A・フォスター (2006). 代数と三角法：関数と応用、教師用版（古典版）.プレンティス・ホール. 633ページ. ISBN 0-13-165711-9。
^ 「等確率の結果」（PDF） .ノートルダム大学.
^ 「第3章：確率」（PDF） .ココニノ・コミュニティ・カレッジ
^ ab Yates, Daniel S.; Moore, David S.; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd ed.). New York: Freeman . ISBN 978-0-7167-4773-4. 2005年2月9日にオリジナルからアーカイブされました。
^ "Probability: Rolling Two Dice". www.math.hawaii.edu . 2021年12月17日閲覧。
^ "Simple Random Samples". web.ma.utexas.edu . 2019年11月21日閲覧。

外部リンク

ウィキメディア・コモンズにおける標本空間に関連するメディア