第二可算空間

位相幾何学において、第二可算空間（または完全可分空間）とは、位相が可算な基底を持つ位相空間である。より明確に言えば、位相空間が第二可算であるとは、の開部分集合の可算な集合が存在し、の任意の開部分集合がの何らかの部分族の元の和集合として表せる場合である。第二可算空間は、第二可算公理を満たすと言われる。他の可算公理と同様に、第二可算であるという性質は、空間が持つことができる開部分集合の個数を制限します。 $T$ ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ $T$ $T$ ${\mathcal {U}}$

数学における多くの「行儀の良い」空間は第二可算である。例えば、ユークリッド空間( R ⁿ ) は、通常の位相では第二可算である。開球体の通常の基底は非可算であるが、これを有理半径を持ち、中心が有理座標を持つすべての開球体の集合に限定することができる。この限定された集合は可算であり、依然として基底を形成する。

プロパティ

第二可算性は第一可算性よりも強い概念です。空間が第一可算であるとは、各点が可算な局所基底を持つことを意味します。位相の基底と点xが与えられたとき、 x を含むすべての基底集合の集合はxにおける局所基底を形成します。したがって、位相の可算基底を持つならば、すべての点において可算な局所基底を持つため、すべての第二可算空間は第一可算空間でもあります。ただし、任意の非可算離散空間は第一可算ですが、第二可算ではありません。

第二可算性は、他の位相的性質を示唆する。具体的には、すべての第二可算空間は可分（可算稠部分集合を持つ）かつリンデレフ（すべての開被覆は可算部分被覆を持つ）である。逆の含意は成り立たない。例えば、実数直線上の下限位相は第一可算、可分、リンデレフであるが、第二可算ではない。しかし、計量空間においては、第二可算、可分、リンデレフであることはすべて同値である。^[1] したがって、実数直線上の下限位相は計量化可能ではない。

第二可算空間では、距離空間と同様に、コンパクト性、順次コンパクト性、可算コンパクト性はすべて同等の特性です。

ウリゾーンの計量化定理は、すべての第二可算なハウスドルフ正則空間は計量化可能であることを述べています。したがって、そのような空間はすべて完全に正規かつパラコンパクトです。したがって、第二可算性は位相空間におけるかなり制限的な性質であり、計量化可能であるためには分離公理のみが必要です。

その他の特性

2 番目に可算な空間の連続した開いた像は、2 番目に可算です。
第二可算空間のすべての部分空間は第二可算です。
2 番目に可算な空間の商は2 番目に可算である必要はありませんが、開いた商は常に 2 番目に可算です。
第二可算空間の可算積はすべて第二可算ですが、不可算積は必ずしもそうである必要はありません。
_{第二可算な T 1}空間の位相は、その基数がc (連続体の基数)以下である。
第二可算空間の任意の基底には、やはり基底である可算なサブファミリーが存在します。
第二可算空間内の互いに素な開集合のすべての集合は可算である。

例

互いに素な可算和集合を考えてみましょう。区間の左端を特定することで、同値関係と商位相を定義します。つまり、0 ~ 2 ~ 4 ~ … ~ 2k などを特定します。Xは、第二可算空間の可算和集合として、第二可算です。しかし、X /~ は、特定された点の剰余類において第一可算ではないため、第二可算でもありません。 $X=[0,1]\cup [2,3]\cup [4,5]\cup \dots \cup [2k,2k+1]\cup \dotsb$
上記の空間は、明白な計量、すなわち同一区間内の2点間の正則なユークリッド距離と、同一区間外の点間の左点までの距離の和を与えられた同値類の集合とは同相ではない。このため、上記の空間よりも厳密に粗い位相が得られる。これは可分計量空間（有理点の集合を考える）であり、したがって第二可算である。
長い線は２番目に可算ではありませんが、１番目に可算です。

注記

^ ウィラード、定理16.11、p.112

参考文献

スティーブン・ウィラード著『一般位相幾何学』 (1970年)Addison-Wesley Publishing Company、マサチューセッツ州リーディング。
ジョン・G・ホッキング、ゲイル・S・ヤング (1961).位相幾何学.訂正再版, ドーバー, 1988. ISBN 0-486-65676-4