曲面の微分幾何学

数学において、曲面の微分幾何学は、さまざまな付加構造（最もよく使われるのはリーマン計量）を持つ滑らかな曲面の微分幾何学^[a]を扱います。^[b]

曲面は、ユークリッド空間への埋め込みに関連する外在的観点から、そして曲面上の曲線に沿って測定された曲面内の距離のみによって決定される性質を反映した内在的観点から、様々な観点から広く研究されてきました。研究されている基本概念の一つはガウス曲率であり、これはカール・フリードリヒ・ガウス[ ^1]によって初めて詳細に研究されました。ガウスは、曲率はユークリッド空間への等長的埋め込みとは無関係に、曲面の固有の性質であることを示しました。

曲面は、自然に2変数の関数のグラフとして現れ、媒介変数形式や空間曲線に関連付けられた軌跡として現れることもあります。その研究において重要な役割を果たしてきたのがリー群(エアランゲンプログラムの精神に基づく)、すなわちユークリッド平面、球面、双曲面の対称群です。これらのリー群は、一定のガウス曲率を持つ曲面を記述するために使用できます。また、接続を介した現代の固有微分幾何学へのアプローチに不可欠な要素も提供します。一方、ユークリッド空間への曲面の埋め込みに依存する外在的特性も広く研究されてきました。これは変分法の非線形オイラー・ラグランジュ方程式でよく示されています。オイラーは、埋め込みとは独立して定義される測地線を理解するために 1 変数方程式を開発しましたが、ラグランジュによる 2 変数方程式の主な応用の 1 つは、埋め込みによってのみ定義できる概念である極小曲面への応用でした。

歴史

回転体のある二次曲面の体積はアルキメデスによって計算された。^[2] 17世紀における微積分の発達により、体積をより体系的に計算する方法が確立された。 ^{[3]一般的な曲面の曲率は、}オイラーによって初めて研究された。1760年^[4]に彼は曲面の平面断面の曲率の公式を証明し、1771年^[5]には媒介変数形式で表現された曲面について考察した。モンジュは1795年に発表した古典的な回想録「幾何学分析の応用」で理論の基礎を築いた。曲面理論への決定的な貢献はガウスによって1825年と1827年に書かれた2つの注目すべき論文でなされた。 ^[1]これは伝統からの新たな離脱であった。なぜならガウスは初めて曲面の固有の幾何学、つまり周囲のユークリッド空間で曲面がどのような仕方で配置されているかとは関係なく、曲面上の点間の測地線距離によってのみ決定される特性を考慮したからである。最高の結果であるガウスのエグレギウム定理は、ガウス曲率が固有の不変量、つまり局所的等長変換に対して不変であることを確立した。この観点はリーマンによって高次元空間に拡張され、今日リーマン幾何学として知られるものにつながった。 19 世紀は、位相幾何学と微分幾何学の両方の観点から、曲面理論の黄金時代であり、ほとんどの主要な幾何学者がその研究に専念しました。^[^要出典^]ダルブーは、 4 巻からなる論文「曲面理論」（1887 年 - 1896 年）に多くの結果をまとめました。

概要

植物の葉、ガラスの表面、あるいは顔の形が特定の方法で湾曲していること、そしてこれらの形状はすべて、特徴的な特徴を無視したとしても、互いに区別できる特定の幾何学的特徴を持っていることは、直感的に非常によく知られています。曲面の微分幾何学は、このような現象を数学的に理解する分野です。この分野の研究は、1700年代に現代的な形で始まり、リーマン幾何学や一般相対性理論といった高次元抽象幾何学の発展につながりました。^{[独自の研究ですか？ ]}

数学的に本質的な対象は正則曲面である。正確な定義は慣習によって様々であるが、これらは3次元ユークリッド空間（ $ℝ 3$ ）の部分集合の一般的なクラスを形成し、よく知られた「曲面」の概念の一部を捉えている。このような曲面上に存在する曲線のクラスと、曲面が曲線を $ℝ 3$ 方向に曲げる度合いを分析することで、曲面の各点に主曲率と呼ばれる2つの数値を関連付けることができる。これらの平均は曲面の平均曲率と呼ばれ、それらの積はガウス曲率と呼ばれる。

次のような、規則的な表面の典型的な例が多数あります。

平面、円柱、球体などの身近な例
極小曲面は、平均曲率がどの点においてもゼロであるという性質によって定義されます。最もよく知られている例はカテノイドとヘリコイドですが、他にも多くの曲面が発見されています。極小曲面は表面積に関する性質によっても定義することができ、その結果、ワイヤーフレームに張られた石鹸膜の形状を数学的にモデル化することができます。
線織面: すべての点を通る少なくとも 1 本の直線がある面。例としては、1 枚のシートからなる円筒面や双曲面などがあります。

カール・フリードリヒ・ガウスの驚くべき結果である「エグレギウム定理」は、定義によれば曲面上の曲線が3次元空間でどのように方向を変えるかに関係するガウス曲率は、実際には、曲面上にある曲線の長さと、曲面上の2本の曲線が交差するときに生じる角度によって測定できることを示しました。用語的に言えば、これはガウス曲率が曲面の最初の基本形式（計量テンソルとも呼ばれる）から計算できることを示しています。対照的に、第2の基本形式は、曲線が曲面から押し出されたときに、曲面上の曲線の長さと角度がどのように歪むかをエンコードするオブジェクトです。

長さと角度の異なる側面を測定しているにもかかわらず、第一基本形式と第二基本形式は互いに独立しておらず、ガウス・コダッツィ方程式と呼ばれる特定の制約を満たしています。曲面の微分幾何学の基本定理と呼ばれる重要な定理は、2つの物体がガウス・コダッツィ制約を満たす場合、それらは正則曲面の第一基本形式と第二基本形式として現れると主張しています。

第一基本形式を用いることで、正則面上に新たなオブジェクトを定義することが可能です。測地線とは、第一基本形式によって規定される特定の二階常微分方程式を満たす面上の曲線です。測地線は曲線の長さの研究と非常に密接に関連しており、十分に短い測地線は、その二端点を結ぶ面上で常に最短の長さの曲線となります。したがって、測地線は、正則面上の与えられた二点間の最短経路を決定する最適化問題において基本的な役割を果たします。

任意の曲線に沿った平行移動を定義することもできます。これは、曲線のある点における曲面の接線ベクトルを、曲線の他のすべての点における接線ベクトルに変形する方法を規定するものです。この規定は、第一基本形式で規定される一次常微分方程式によって決定されます。

上記の概念は、本質的にはすべて多変数微積分学に関係しています。ガウス・ボネ定理は、より大域的な結果であり、曲面のガウス曲率とその位相型を関連付けます。ガウス曲率の平均値は、曲面のオイラー標数と表面積によって完全に決定されると主張しています。

任意の正則曲面は、リーマン多様体とリーマン面の両方の例です。ここで議論されている正則曲面の理論の本質はすべて、リーマン多様体とその部分多様体の理論に一般化されています。

ユークリッド空間における正則面

意味

球面は滑らかであるのに対し、円錐や角錐は頂点や辺の性質上、滑らかではないことは直感的に明らかです。「正則面」という概念は、滑らかな面という概念を形式化したものです。この定義は、ユークリッド空間間の写像を介した面の局所表現を利用しています。このような写像には滑らかさの標準的な概念があります。ユークリッド空間の2つの開集合間の写像は、その定義域のあらゆる点において、そのあらゆる位数の偏微分が存在する場合、滑らかであるとされます。^[6]^[7]^[8]

$ユークリッド空間ℝ 3$ における正則曲面は、 $ℝ$ $3$ の部分集合 $Sであり、$ $S$ のすべての点が以下の3つの概念のいずれかを許容する。局所パラメータ化、モンジュパッチ、または暗黙関数である。以下の表はこれらのオブジェクトの定義を示している。モンジュパッチはおそらく最も視覚的に直感的である。これは、正則曲面が $ℝ$ $3の部分集合であり、局所的に滑らかな関数のグラフである（$ $yz$ 平面、 $xz$ 平面、または $xy$ 平面の領域上のいずれにおいても）ことを本質的に示しているからである。

最初の定義に現れる同相写像は、局所媒介変数化、局所座標系、あるいは $S$ 上の局所チャートとして知られている。^[13]最初の2つの定義の同値性は、正則面上の任意の点の周りには、常に $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $),$ $u$ $,$ $v$ $)$ 、 $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $u$ $,$ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $),$ $v$ $)$ 、または $($ $u$ $,$ $v$ $) \mapsto ($ $u$ $,$ $v$ $,$ $h$ $($ $u$ $,$ $v$ $))という形式の局所媒介変数化が存在することを主張している。これらは$ モンジュパッチとして知られている。3番目の定義における関数 $Fは$ 局所定義関数と呼ばれる。これら3つの定義の同値性は、暗黙関数定理から導かれる。^[14]^[15]^[16]

正則曲面の任意の2つの局所パラメータ化 $f : V \to U$ と $f' : V'\to U'$ が与えられたとき、合成 $f -1 \circ f'は$ $R 2$ の開集合間の写像として必然的に滑らかである。^{[17]これは、任意の正則曲面が自然に}滑らかな多様体の構造を持ち、滑らかな地図帳が局所パラメータ化の逆写像によって与えられることを示している。

微分幾何学の古典理論では、曲面は通常、正則な場合のみ研究される。^[7]^[18]しかし、局所媒介変数表示の2つの偏微分 $\partial u f$ と $\partial v f$ が線形独立でなくなる非正則な曲面の研究も一般的である。この場合、 $Sは$ 尖端などの特異点を持つ可能性がある。このような曲面は、典型的には特異点理論で研究される。正則曲面の他の弱められた形態は、コンピュータ支援設計で発生する。この場合、曲面は互いに素な部分に分割され、局所媒介変数表示の微分は境界に沿って連続することさえできなくなる。^[要出典]

簡単な例。正則曲面の簡単な例として、2次元球面 ${(x, y, z) | x 2 + y 2 + z 2 = 1 } が挙げられます。この曲面は、$ $h (u, v) = \pm (1 - u 2 - v 2) 1/2$ をとる6つのモンジュパッチ（上記の3種類のそれぞれ2つずつ）で覆うことができます。また、ステレオ投影を用いた2つの局所媒介変数表示で覆うこともできます。集合 ${(x, y, z) : ((x 2 + y 2) 1/2 - r) 2 + z 2 = R 2$ } は、半径 $r$ と $Rの$ 回転トーラスです。これは正則曲面であり、局所媒介変数表示は次の形式で与えられます。

f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.

二面体 ${($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) :$ $z$ $2$ $= 1 +$ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ } は正則曲面であり、 h ( u , v ) = ±(1 + u 2 + v 2 ) 1/2 を満たす2つのモンジュパッチで覆うことができる。 $ヘリコイド$ $は$ $極小$ $曲面$ $理論$ $に$ $登場$ $し$ $、$ $単一$ $の$ $局所$ パラメータ $化$ f ( u , $v$ $)$ $=$ $($ $u$ $sin$ $v$ $,$ $u$ $cos$ $v$ $,$ $v$ $)$ $で$ $覆わ$ れる。

接線ベクトルと法線ベクトル

$S を$ $ℝ 3$ の正則面とし、p $を$ $S$ の元とする。上記の定義のいずれかを用いることで、 $ℝ 3$ $の特定のベクトルがp$ において $S$ に接していること、また $ℝ$ $3$ の特定のベクトルが $p$ において $S$ に直交（または法線）していることを特定することができる。

$p$ における $S$ への接空間または接平面は $、 p$ における $S$ へのすべての接ベクトルで構成されると定義され、 $R3$ の 2 次元線形部分空間であることがわかります。これは $、$ $T$ $p$ $S$ と表記されることが多いです。

$p$ における $S$ への法空間は、 $p$ における $S$ へのすべての法ベクトルから構成されると定義され、接空間 $T$ $p$ $S$ に直交する $R$ $3$ の1次元線型部分空間である。したがって、 $S$ の各点 $pには、単位長さの法ベクトル（単位法ベクトル）が2つ存在する。$ $p$ における単位法ベクトルは、局所媒介変数表示、モンジュパッチ、または局所定義関数を用いて、以下の式で表すことができる。

\pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{\left\|{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}\right\|}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {\left({\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1\right)}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial h}{\partial u}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial h}{\partial v}}\right)^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},

前述の定義と同じ表記に従います。

接ベクトルの「本質的」定義にも注目すると有益である。これは、滑らかな多様体の設定への正則曲面理論の一般化に典型的である。この定義では、接空間を $R 3$ の線型部分空間としてではなく、抽象的な2次元実ベクトル空間として定義する。この定義では、 $p$ における $S$ の接ベクトルは、 $p$ $\in$ $f$ $($ $V$ $)$ の各局所媒介変数化 $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ に、2つの数 $X$ $1$ と $X$ $2$ を割り当てることで、他の任意の局所媒介変数化 $f$ $' :$ $V$ $\to$ $S$ で $p$ $\in$ $f$ $($ $V$ $)$ （および対応する数 $($ $X$ $')$ $1$ と $($ $X$ $')$ $2$ ）に対して、

{\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},

ここで、 $A f'(p)$ は、点 $f$ $'($ $p$ $)$ における写像 $f$ $-1$ $\circ$ $f$ $'の$ ヤコビ行列である。p における $S$ の接ベクトルの集合は、当然ながら2次元ベクトル空間の構造を持つ。この意味での接ベクトルは $、$ ベクトル

X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.

$ℝ 3$ において、 $X 1$ と $X 2$ のヤコビ条件は連鎖律により、このベクトルが $f$ に依存しないことを保証します。

曲面上の滑らかな関数に対して、ベクトル場（すなわち接ベクトル場）は、一階演算子または微分として重要な解釈を持つ。を正則曲面、平面の開部分集合、座標チャートとする。ならば、空間はと同一視できる。同様に、上のベクトル場は上のベクトル場と同一視される。標準変数 $u$ と $v$ を取ると、ベクトル場はの形を持ち、 $a$ と $b は$ 滑らかな関数である。がベクトル場でが滑らかな関数ならば、も滑らかな関数である。一階微分演算子は微分であり、すなわちライプニッツ則^[19]を満たす。 $S$ $U$ $f:U\rightarrow S$ $V=f(U)$ $C^{\infty }(U)$ $C^{\infty }(V)$ $f$ $U$ $V$ $X=a\partial _{u}+b\partial _{v}$ $X$ $g$ $Xg$ $X$ $X(gh)=(Xg)h+g(Xh).$

ベクトル場 $X$ と $Y$ に対して、作用素がベクトル場に対応する微分であることは簡単に確認できます。これはリー括弧と呼ばれます。これは歪対称であり、ヤコビ恒等式を満たします。 $[X,Y]=XY-YX$ $[X,Y]$ $[X,Y]=-[Y,X]$

[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.

要約すると、または上のベクトル場はリー括弧の下でリー代数を形成する。 ^[20] $U$ $V$

第一および第二基本形式、形状演算子、曲率

$S を$ $R3 の$ 正則面とする。局所パラメータ化 $f : V \to Sと$ $f$ $($ $V$ $)$ への単位法線ベクトル場 $nが与えられたとき、以下のオブジェクトを$ $V$ 上の実数値または行列値関数として定義する。最初の基本形は $f$ のみに依存し、 $nには依存しない。第4列は、これらの関数が$ $f$ に依存する様子を、異なる局所パラメータ化 $f$ $' :$ $V$ $' \to$ $S$ を選択した場合に生じる関数 $E$ $'、$ $F$ $'、$ $G$ $'、$ $L$ $'などを$ $f$ の場合に生じる関数と関連付けて記録する。ここで $A は$ $f$ $-1$ $\circ$ $f$ $'$ のヤコビ行列を表す。第4列の式を確立する上で重要な関係は、

{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},

連鎖律によれば次のようになります。

形状演算子を定義する行列を直接計算することにより、ガウス曲率が形状演算子の行列式であること、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であること、主曲率が形状演算子の固有値であることを確認できます。さらに、ガウス曲率は主曲率の積であり、平均曲率はそれらの和です。これらの観察は、これらのオブジェクトの定義として定式化することもできます。これらの観察により、同様の行列は同一の行列式、トレース、および固有値を持つため、4 列目の最後の 3 行が前の行から直接従うことも明らかになります。 $E$ 、 $G$ 、および $EG - F 2$ はすべて必ず正であることに注意することが重要です。これにより、形状演算子の定義における逆行列が明確に定義され、主曲率が実数であることが保証されます。

また、単位法線ベクトル場の選択を否定すると、第二基本形式、形状演算子、平均曲率、および主曲率は否定されるものの、ガウス曲率は変化しないことにも注意してください。まとめると、これは、正則曲面 $Sが与えられた場合、$ $S$ のガウス曲率は $S$ 上の実数値関数とみなせることを示しています。また、 $S$ 全体に対して単位法線ベクトル場を選択した場合、2つの主曲率と平均曲率も $S$ 上の実数値関数となります。

幾何学的には、第一基本形式と第二基本形式は、 $($ $u$ $,$ $v$ $)が$ $V$ 内でどのように動くかに応じて、 f ( u , v ) が ℝ 3 内でどのように動くか $に関する$ $情報$ $を$ $与える$ $もの$ $と$ $見ること$ ができる。特に、第一基本形式は $f がどれだけ速く動くかを符号化し、第二基本形式は f の動きが法線ベクトル$ $n$ の方向にどの程度向いているかを符号化する。言い換えれば、点 $pにおける第二基本形式は、$ $Sから$ $p$ における $S$ の接平面への直交射影の長さを符号化する。特に、この長さを最もよく近似する二次関数を与える。この考え方は、以下の式によって明確にすることができる。

{\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}

2次元における基本形式の定義とテイラーの定理から直接導かれる。主曲率は次のように考えることができる。Sの任意の点 $pにおいて、$ $Sに直交する直線$ $を$ 含むすべての平面の集合を考える。各平面は $S$ と交差する曲線を持ち、この曲線は平面自身の内部にある平面曲線とみなせる $。p$ における2つの主曲率は、平面が法線を中心に回転する際に、 $p$ におけるこの平面曲線の曲率がとり得る最大値と最小値である。

以下に、上記の量の計算をモンジュパッチ $f (u, v) = (u, v, h (u, v))$ を基準としてまとめる。ここで $、 h u$ と $h v は$ $h$ の2つの偏微分を表し、2次偏微分も同様の表記で表す。2次基本形およびそれ以降のすべての量は、与えられた単位法線ベクトル場を基準として計算される。

クリストッフェル記号、ガウス・コダッツィ方程式、エグレギウム定理

$S を$ $ℝ 3$ の正則曲面とする。クリストッフェル記号は、各局所媒介変数化 $f : V \to S$ に対して、 $V上の8つの関数を割り当てる。これらは$ ^[22]で定義される。

{\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.

これらは次の式で定義することもできます。ここで、 $nは$ $f (V)$ に沿った単位法線ベクトル場であり、 $L 、 M 、 N$ は2番目の基本形式の対応する成分です。

{\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}

この定義の鍵となるのは $、$ $\partial f / \partial u ⁠$ 、 $⁠$ $\partial f / \partial v ⁠$ 、および $n は各点で$ $R 3$ の基底を形成し、3つの方程式のそれぞれは、 $f$ の2次偏微分座標としてクリストッフェル記号を一意に指定します。単位法線の選択はクリストッフェル記号には影響しません。n $をその否定形と交換すると、2次基本形の成分も否定されるため、$ $Ln 、 Mn 、 Nn$ の符号は変更されません。

2番目の定義は、局所媒介変数化の文脈において、クリストッフェル記号が幾何学的に自然であることを示しています。1番目の定義の式はそれほど自然ではないように見えますが、2番目の定義からはすぐには明らかではない、クリストッフェル記号が最初の基本形から計算できることを示すという点で重要です。定義の同値性は、1番目の定義を2番目の定義に直接代入し、 $E 、 F 、 G$ の定義を用いることで確認できます。

コダッツィ方程式は^[23]を主張している。

{\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}

これらの方程式は、上述のクリストッフェル記号の2番目の定義から直接導かれる。例えば、最初のコダッツィ方程式は、最初の方程式を $vについて微分し、2番目の方程式を$ $u$ について微分し、両者を減算し、 $n$ とのドット積をとることで得られる。ガウス方程式は^[24]

{\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}

これらはコダッツィ方程式と同様に導出できるが、 $n$ とのドット積の代わりにワインガルテン方程式を用いる。これらは3つの別々の方程式として書かれているが、クリストッフェル記号の定義を第一基本形に代入すれば同一となる。結果として得られる式は様々な書き方があり、その一つは1852年にブリオスキが行列式の巧みな使い方で導出したものである。^[25]^[26]

K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.

クリストッフェル記号が最初の基本形式によって定義されていると見なされる場合、ガウス方程式とコダッツィ方程式は、最初の基本形式と 2 番目の基本形式の間の特定の制約を表します。ガウス方程式は、ガウス曲率が他の情報を必要とせずに最初の基本形式から直接計算できることを示しているため、特に注目に値します。つまり、これは、 $LN - M 2が、個々の要素$ $L$ $、$ $M$ $、$ $N$ が E 、 F 、 Gの関数として記述できないとしても、実際に $E 、 F 、 G$ の関数として記述できることを述べています。これは、エグレギウム定理として知られ、カール・フリードリヒ・ガウスの主要な発見でした。接触円の最大半径と最小半径によって定義される $S$ のガウス曲率の幾何学的定義を思い出すと、特に印象的です。それらは、 $S が$ $ℝ$ $3$ 内でどのように曲がるかという幾何学によって基本的に定義されているようです。しかしながら、定理は、それらの積が $Sの「本質的」幾何学から決定できることを示しており、それは$ $S$ に沿う曲線の長さとそれらの交点で形成される角度のみに関係している。マルセル・ベルガーは次のように述べている。^[27]

この定理は不可解です。[...] これは、他の数学者によって発見されるまでに数十年も待たなければならなかったであろう類の定理です。なぜなら、これまでの多くの知的歴史とは異なり、この定理は全く世間に知られていなかったからです。[...] 私たちの知る限り、今日、この定理（エグレギウム）を幾何学的に簡単に証明する方法は存在しません。

ガウス-コダッツィ方程式は、エリー・カルタンによる接続形式の言語で簡潔に表現し、導くこともできる。^[28]テンソル計算の言語では、自然な計量とテンソル束上の接続を利用して、ガウス方程式は $H$ $2$ $- |$ $h$ $|$ $2$ $=$ $R$ $と書くことができ、2 つのコダッツィ方程式は\nabla$ $1$ $h$ $12$ $= \nabla$ $2$ $h$ $11$ および $\nabla$ $1$ $h$ $22$ $= \nabla$ $2$ $h$ $12$ と書くことができる。クリストッフェル記号と最初の基本形式に関する複雑な表現は、共変テンソル導関数 $\nabla$ $h$ とスカラー曲率 $R$ の定義に完全に吸収される。ピエール・ボネは、ガウス-コダッツィ方程式を満たす 2 つの二次形式が常に局所的に埋め込まれた面を一意に決定することを証明した。^[29]このため、ガウス-コダッツィ方程式はしばしば埋め込み曲面の基本方程式と呼ばれ、内在曲率と外在曲率がどこから来るのかを正確に特定します。これらの方程式は、より一般的なリーマン多様体に埋め込まれた曲面にも一般化できます。

等長変換

正則曲面上の開集合と微分同相写像は、それが計量、すなわち第一基本形式を保存するとき、等長写像であると言われる。 ^[30]^[31]^[32]したがって、とにおける接ベクトルの任意の点に対して、次の等式が成り立つ。 $\varphi$ $U$ $V$ $S$ $p$ $U$ $w_{1},\,\,w_{2}$ $p$

E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).

最初の基本形式から得られる内積の観点から、これは次のように書き直すことができる。

(w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}

。

一方、パラメータ化された曲線の長さは次のように計算できる。 $\gamma (t)=(x(t),y(t))$

L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt

そして、曲線がにある場合、変数変換の規則により、 $U$

L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).

逆に、曲線におけるすべての媒介変数の長さが保存される場合、は等長変換となる。実際、を適切に選択すると、接ベクトルおよびは任意の接ベクトルおよびを与える。等式は、およびのあらゆる選択において、およびおよびと同様に成立する。したがって、となる。^[33] $\varphi$ $\varphi$ $\gamma$ ${\dot {x}}$ ${\dot {y}}$ $w_{1}$ $w_{2}$ $w_{1}$ $w_{2}$ $\varphi ^{\prime }(w_{1})$ $\varphi ^{\prime }(w_{2})$ $(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}$

等長変換の簡単な例として、開集合を正則曲面とに媒介変数化する2つの例とがある。、、のとき、はからへの等長変換となる。 ^[34] $f_{1}$ $f_{2}$ $U$ $S_{1}$ $S_{2}$ $E_{1}=E_{2}$ $F_{1}=F_{2}$ $G_{1}=G_{2}$ $\varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}$ $f_{1}(U)$ $f_{2}(U)$

円柱と平面は、局所的に等長であるが位相的な理由から等長に拡張できない面の例である。^[35]別の例として、カテノイドとヘリコイドは局所的に等長である。^[36]

共変微分

$S$ 上の接線ベクトル場 $X は、$ $S$ の各 $pに、$ $p$ における $S$ への接線ベクトル $X$ $p を$ 割り当てる。上述の接線ベクトルの「本質的」定義によれば、接線ベクトル場 $Xは、各局所媒介変数$ $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ $に、 V$ 上の2つの実数値関数 $X$ $1$ と $X$ $2$ を割り当てる。したがって、

X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}

$S$ の各 $p$ に対して成り立つ。関数 $X$ $1$ と $X$ $2$ $が任意のf$ の選択に対して滑らかであれば、 $X$ は滑らかであるという。^[37]上で示した接ベクトルの他の定義によれば、 $S$ 上の接ベクトル場 $X を、$ $X$ $($ $p$ $)が$ $S$ の各 $pに対して接空間$ $T$ $p$ $S$ $\subset ℝ$ $3$ に含まれるような写像 $X$ $:$ $S$ $\to ℝ$ $3$ とみなすこともできる。滑らかな多様体などのより一般的な状況でよくあるように、接ベクトル場は $S$ 上の滑らかな関数の空間上の特定の微分作用素として定義することもできる。

トゥリオ・レヴィ＝チヴィタとグレゴリオ・リッチ＝クルバストロによる共変微分（「接線微分」とも呼ばれる）は、滑らかな接線ベクトル場を微分する手段を提供する。接線ベクトル場 $Xと、$ $p$ における $S$ への接線ベクトル $Y$ が与えられたとき、共変微分 $\nabla$ $Y$ $X$ $はp$ における $S$ への特定の接線ベクトルである。したがって、 $X$ と $Y が$ 両方とも接線ベクトル場である場合、 $\nabla$ $Y$ $X$ も接線ベクトル場と見なすことができる。反復的に、 $X$ 、 $Y$ 、 $Z が接線ベクトル場である場合、$ $\nabla$ $Z$ $\nabla$ $Y$ $X$ を計算することができ、これは別の接線ベクトル場となる。共変微分を定義する方法はいくつかある。以下に示す最初の方法では、クリストッフェル記号と接線ベクトルの「本質的」定義を使用し、2番目の方法はより明確に幾何学的である。

接線ベクトル場 $Xと$ $p$ における $S$ への接線ベクトル $Yが与えられ、$ $\nablaY$ $Xを$ $p$ への接線ベクトルと定義し、局所パラメータ化 $f$ $:$ $V$ $\to$ $S$ に次の2つの数を割り当てる $。$

(\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)

ここで、 $D (Y 1, Y 2)$ は方向微分である。^{[38]これは、より簡略化された形式} $(\nabla$ $Y$ $X$ $)$ $k$ $= \partial$ $Y$ $($ $X$ $k$ $) +$ $Y$ $i$ $Γ$ に略記されることが多い。 $k ij X j は$ 、アインシュタイン記法を用い、関数の評価位置は暗黙的に理解されている。これは、リーマン計量から接続を得るためのリーマン幾何学における標準的な規定に従っている。ベクトル

(\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}

$ℝ 3$ におけるは局所パラメータ化 $f$ の選択に依存しませんが、これをチェックするのはかなり面倒です。

共変微分は、クリストッフェル記号や局所パラメータ化を使用しない次のような幾何学的アプローチで定義することもできます。 ^[39]^[40]^[41] $X を$ $S$ 上のベクトル場とし、関数 $S \to ℝ 3$ として見ます。任意の曲線 $c : (a, b) \to S$ が与えられたとき、合成 $X \circ c : (a, b) \to ℝ 3$ を検討できます。ユークリッド空間間の写像として、任意の入力値で微分して $ℝ$ $3$ の元 $(X \circ c)'(t)$ を得ることができます。このベクトルの $T$ $c$ $($ $t$ $)$ $S$ への直交射影は、共変微分 $\nabla$ $c$ $'($ $t$ $)$ $X$ を定義します。これは幾何学的に非常にきれいな定義ですが、結果が $c$ $'($ $t$ $)$ と $X$ のみに依存し、 $c$ と $X$ には依存しないことを示す必要があります。この小さな技術的議論にはローカルパラメータ化を使用できます。

$2番目の定義からは、共変微分がS$ の第一基本形式のみに依存することはすぐには分かりません。しかし、これは第一定義からすぐに分かります。なぜなら、クリストッフェル記号は第一基本形式から直接定義できるからです。2つの定義が同値であることは簡単に確認できます。重要なのは、 $X 1 ⁠について、 \partial f / \partial u ⁠ + \times 2 ⁠ \partial f / \partial v ⁠ は$ $ℝ 3$ 値関数であるため、曲線に沿って微分すると $\partial 2 f の$ 2次偏微分が得られる。クリストッフェル記号は、基底 $⁠$ $に対するf$ の2次微分の接線成分として定式化されるため、接空間への直交射影で入る。 $\partial f / \partial u ⁠$ 、 $⁠$ $\partial f / \partial v ⁠$ , $n$ .^[38]これについては上のセクションで説明されています。

3つのガウス方程式の右辺は共変微分を用いて表すことができます。例えば、右辺は

{\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}

の2番目の座標として認識できます

\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}

基準に対して $⁠$ $\partial f / \partial u ⁠$ 、 $⁠$ $\partial f / \partial v ⁠ は$ 、クリストッフェル記号による共変微分の定義を用いて直接検証できる。リーマン幾何学の言語で言えば、この観察は、ガウス方程式の右辺が、リーマン計量として解釈された場合、第一基本形式のレヴィ・チヴィタ接続のリッチ曲率の様々な成分であると言うこともできる。

例

革命の表面

$回転面は、 xz$ 平面上の曲線を $z$ 軸を中心に回転させることによって得られる。回転面には、球面、円柱面、円錐面、トーラス面、カテノイド面などが含まれる。一般的な楕円面、双曲面、放物面は回転面ではない。曲線が次のように媒介変数化されているとする。

x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)

$s$ は区間 $(a, b)$ から抽出される。c $1 が$ ゼロになることがなく、 $c 1'$ と $c 2'の$ 両方がゼロになることがなく、 $c 1$ と $c 2$ が両方とも滑らかである場合、対応する回転面は

S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}

$はR3 の$ 正則曲面となる。局所パラメータ化 $f :(a, b)\times(0,2π)\to S$ は次のように与えられる。

f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.

このパラメータ化に対する幾何学的データは次の通りである: ^[42]

元の曲線が弧長によって媒介変数化されている特殊な場合、すなわち $(c 1'(s)) 2 + (c 2'(s)) 2 = 1 の$ 場合、微分して $c 1'(s) c 1 "(s) + c 2'(s) c 2 "(s) = 0 が得られる$ 。ガウス曲率に代入すると、簡略化された

K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.

この式の単純さにより、一定のガウス曲率を持つ回転対称面のクラスの研究が特に容易になります。^[43] $c 2 (s) = s$ という別のケースに還元することで、回転対称極小面を研究することができ、その結果、そのような面は平面またはスケール付きカテノイドの一部になります。^[44]

$S$ 上の各定数 $t$ 曲線は測地線としてパラメータ化できます。S 上の定数 $s$ $曲線$ は、 $c$ $1$ $'(s)$ がゼロである場合に限り、測地線としてパラメータ化できます。一般に、 $S$ 上の測地線はクレローの関係に従います。

二次曲面

^[45]で定義される二次曲面を考える。

{x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.

この表面はパラメータ化を許容する

x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.

線織面

$線織面は、 E 3$ における直線の運動によって生成される面である。^[46]面上の準線、すなわち直線に直交する滑らかな単位速度曲線 $c (t)$ を選択し、次に曲線に沿った直線の方向の単位ベクトル $u (t)を選択すると、速度ベクトル$ $v = c t$ および $u は$ 次式を満たす。

u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.

表面は点から構成される

c(t)+s\cdot u(t)

$s$ と $t が$ 変化するためです。

そして、もし

a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},

ガウス曲率と平均曲率は次のように与えられる。

K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.

線織面のガウス曲率がゼロとなるのは、 $u t$ と $v が$ 比例する場合に限ります。^[47]この条件は、曲面が接ベクトル $v$ と直交ベクトル $u$ を含む曲線に沿った平面の包絡線であること、つまり曲面が曲線に沿って展開可能であることと等価です。 ^{[48]より一般的には、} $E$ $3$ の曲面がある点の近くでガウス曲率がゼロとなるのは、その点の近くで展開可能である場合に限ります。^[49]（以下では、計量に関して同等の条件を示します。）

最小限の表面

1760年、ラグランジュはオイラーの1変数の積分に関する変分法の結果を2変数に拡張した。^[50]彼は次のような問題を念頭に置いていた。

$E 3$ の閉曲線が与えられた場合、その曲線を境界として最小面積を持つ表面を見つけます。

このような面は極小面と呼ばれます。

1776年、ジャン・バティスト・ミュニエは、ラグランジュによって導かれた微分方程式が表面の平均曲率が消失することと等価であることを示した。

表面の平均曲率がゼロになる場合にのみ、表面は最小になります。

極小曲面は現実世界では単純な解釈を持つ。それは、曲線状の金網を石鹸水に浸し、注意深く引き上げた時に石鹸膜が取る形状である。与えられた境界を持つ極小曲面が存在するかどうかという問いは、19世紀半ばに石鹸膜の実験を行ったベルギーの物理学者ジョセフ・プラトーにちなんで、プラトー問題と呼ばれている。1930年、ジェシー・ダグラスとティボール・ラドーはプラトー問題に肯定的な答えを与えた（ダグラスはこの功績により1936年に最初のフィールズ賞の一つを受賞した）。^[51]

極小曲面の具体的な例としては、カテノイド、ヘリコイド、シェルク面、エネパー面などが挙げられます。この分野では広範な研究が行われており、Osserman (2002) にまとめられています。特にOssermanの結果は、極小曲面が非平面である場合、ガウス写像によるその像が $S 2$ において稠密であることを示しています。

一定のガウス曲率の曲面

曲面が一定のガウス曲率を持つ場合、それは定曲率面と呼ばれる。^[52]

$E$ $3$ の単位球面は一定のガウス曲率 +1 を持ちます。
ユークリッド平面と円筒はどちらも一定のガウス曲率 0 を持ちます。
単位擬球は、ガウス曲率が-1で一定である（赤道を除く。赤道は特異である）。擬球は、その漸近線を中心にトラクトリクスを回転させることによって得られる。1868年、エウジェニオ・ベルトラミは、擬球の幾何学が、ロバチェフスキー（1830年）とボヤイ（1832年）がそれぞれ独立に発見した、より抽象的な双曲面の幾何学と直接関連していることを示した。ガウスの弟子であるF. ミンディングは、1840年に既に、擬球の三角法の公式が双曲面の公式と同一であることを発見していた。^[53]この曲面の本質的な幾何学は、現在では上半平面または単位円板上のポアンカレ計量によってよりよく理解されており、クラインモデルや双曲面モデルなどの他のモデルによって記述されている。双曲面モデルは、 3次元ミンコフスキー空間における2枚双曲面 $q$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) = -1を$ 考えることによって得られる。ここで $q$ $($ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $) =$ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ $-$ $z$ $2$ である。^[54]

球面、平面、双曲面は、推移的リー群対称性を持つ。この群論的事実は広範な影響を及ぼし、特にポアンカレの均一化定理（下記参照）により、これらの特殊曲面が曲面幾何学において中心的な役割を果たしていることを考えると、なおさら注目に値する。

ガウス曲率 0 の曲面の他の例としては、円錐、接線展開可能面、およびより一般的には展開可能な任意の曲面が挙げられます。

ローカルメトリック構造

3 次元以上のユークリッド空間に埋め込まれた任意の曲面について、曲面上の曲線の長さ、2 本の曲線の間の角度、曲面上の領域の面積を測定することができます。この構造は、線分要素と面積要素を介して、曲面上のリーマン計量に無限小単位でエンコードされます。19 世紀から 20 世紀初頭にかけては、古典的には $R$ $3$ に埋め込まれた曲面だけが考慮され、計量は曲面の局所パラメータ化で点から点へと滑らかに変化する2×2 の正定値行列として与えられました。局所パラメータ化と座標変換の考え方は、後に、現在の抽象概念である多様体によって形式化されました。多様体とは、今日の地球が地図帳で描かれているのとまったく同じように、滑らかな構造が多様体上の局所チャートで与えられる位相空間です。同じ領域の異なるチャート間での座標の変更は、滑らかである必要があります。現実の地図上の等高線が標高の変化を符号化し、地球表面の局所的な歪みを考慮して真の距離を計算するのと同様に、リーマン計量は各局所図における「小さな」距離と面積を記述します。各局所図において、リーマン計量は各点に2×2正定値行列を滑らかに割り当てることで与えられます。異なる図表が使用される場合、行列は座標変化のヤコビ行列に従って変換されます。こうして、多様体は2次元リーマン多様体の構造を持ちます。

シェイプ演算子

ガウス写像 $n$ の微分 $dnは$ 、 形状演算子^[55]またはワインガルテン写像として知られる外在曲率の一種を定義するために用いられる。この演算子は、ヴィルヘルム・ブラシュケの研究において暗黙的に初めて登場し、後にブラリ＝フォルティとブルガティの論文^[56]において明示的に登場した。曲面の各点 $x$ において接空間は内積空間であるため、形状演算子 $S$ $xは$ この空間上の線型演算子として次の式で定義することができる。

(S_{x}v,w)=(dn(v),w)

接ベクトル $v$ 、 $wの場合$ $（ dn (v)$ と $w は両方とも$ $E 3$ にあるので、内積は意味をなします）。^[c]右辺は $v$ と $w$ について対称であるため、形状演算子は接空間で自己随伴です。 $S x$ の固有値は、 $x$ における主曲率 $k 1$ と $k 2$ です。特に、ある点での形状演算子の行列式はガウス曲率ですが、平均曲率が形状演算子のトレースの半分であるため、他の情報も含まれています。平均曲率は外在的不変量です。固有幾何学では、円筒は展開可能であり、ガウス曲率が同一に消失するため、円筒のすべての部分が平面の一部と本質的に区別できないことを意味します。ただし、平均曲率はゼロではないため、外在的に平面とは異なります。

同様に、形状作用素は接空間上の線型作用素として定義することができる。nがMの単位法線体であり、vが接ベクトルであるとき、 $S_{p}:T_{p}M\rightarrow T_{p}M$

S(v)=\pm \nabla _{v}n

(定義において + を使用するか - を使用するかについて標準的な合意はありません)。

一般に、各点における形状演算子の固有ベクトルと固有値は、各点における曲面の曲がる方向を決定します。固有値は曲面の主曲率に対応し、固有ベクトルは対応する主方向です。主方向は、曲面に埋め込まれた曲線が最大曲率と最小曲率を持つために進むべき方向を規定し、これらの方向は主曲率によって与えられます。

表面上の測地線

端点間の長さを最小にする曲面上の曲線は測地線と呼ばれ、 2点間に張られたゴムバンドが取る形状に似ています。数学的には、常微分方程式と変分法を用いて記述されます。曲面の微分幾何学は測地線の研究を中心に展開されます。2次元局所チャート上のすべてのリーマン計量が3次元ユークリッド空間への埋め込みから生じるかどうかは、未だに未解決の問題です。測地線理論は、計量の成分が解析的であるという重要なケースにおいて、これが真であることを示してきました。

測地線

のチャートにおける区分的に滑らかなパスが与えられた場合、その長さは次のように定義される。 $c(t)=(x(t),y(t))$ $t$ $[a,b]$

L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt

そしてエネルギー

E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.

長さは経路のパラメータ化に依存しない。オイラー・ラグランジュ方程式によれば、 $c (t) が$ 弧長でパラメータ化された長さを最小化する経路である場合、それはオイラー方程式を満たす必要がある。

{\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0

{\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0

ここで、クリストッフェル記号 $Γ k ij$ は次のように与えられる。

\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})

ここで、 $g 11 = E$ 、 $g 12 = F$ 、 $g 22 = G$ であり、 $g ij$ $はg ij$ の逆行列である。オイラー方程式を満たす経路は測地線と呼ばれる。コーシー・シュワルツの不等式により、エネルギーを最小化する経路は弧長によってパラメータ化された測地線であり、任意の測地線においてパラメータ $t$ は弧長に比例する。^[57]

測地曲率

有向面上の弧長でパラメータ化された曲線 $c$ $($ $t$ $)$ の点における測地線曲率 $kg は$ ^{次のように定義される[58]}

k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).

ここで $、n (t)$ は表面の曲線に対する「主」単位法線であり、単位接線ベクトル $ċ (t)$ を+90°の角度で回転させることによって構築されます。

ある点における測地曲率は、その点の近くの測定基準にのみ依存する固有の不変量です。
表面上の単位速度曲線は、その測地線曲率が曲線上のすべての点でゼロになる場合にのみ測地線になります。
埋め込まれた表面上の単位速度曲線 $c (t)は、その加速度ベクトル$ $c̈ (t)$ が表面に対して垂直である場合にのみ測地線になります。

測地線曲率は、表面上の曲線が測地線からどれだけ離れているかを正確に測定します。

直交座標

$座標チャート全体にわたってF = 0の$ とき、例えば後述する測地極座標では、 $x$ 軸と $y$ 軸に平行な線の像は直交し、直交座標を与える。H $= ($ $EG$ $)$ $1$ $⁄$ $2$ ^{のとき、ガウス曲率は[59]}で与えられる $。.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].

さらに $E = 1$ 、つまり $H = G 1 ⁄ 2$ $とすると、測地線($ $x$ $($ $t$ $),$ $y$ $($ $t$ $))$ と直線 $y$ = constantの交点における角度 $φは$ 次の式で与えられる。

\tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.

$φ$ の導関数はガウスの古典的な導関数の公式で与えられる：^[60]

{\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.

測地極座標

曲面上に距離が与えられ、基点が固定されると、基点と十分に近い各点を結ぶ測地線は一意に定まります。基点における測地線の方向と距離によって、もう一方の端点が一意に決定されます。方向と大きさという2つのデータによって、基点における接ベクトルが決定されます。接ベクトルから端点への写像は、基点の近傍を滑らかに掃引し、指数写像と呼ばれるものを定義し、その基点における局所座標チャートを定義します。掃引された近傍は、ユークリッド空間の球と同様の特性を持ちます。つまり、その中の任意の2点は、一意の測地線で結ばれます。この特性は「測地線凸性」と呼ばれ、その座標は正規座標と呼ばれます。正規座標の明示的な計算は、測地線が満たす微分方程式を考えることで実現できます。凸性は、ガウスの補題とその一般化の結果です。大まかに言えば、この補題は、基点を始点とする測地線は、基点を中心とする固定半径の球面を直角に切断しなければならない、と述べています。測地極座標は、指数写像と基点の接ベクトル上の極座標を組み合わせることで得られます。曲面のガウス曲率は、その点における計量のユークリッド計量からの 2 次偏差で与えられます。特に、ガウス曲率は計量の不変量であり、ガウスの有名なTheorema Egregium です。曲率を理解する便利な方法は、ガウスによって最初に考えられ、後にヤコビによって一般化された、2 つの異なる点の周りの法座標の変更から生じる常微分方程式です。ガウス・ヤコビ方程式は、ガウス曲率を計算する別の方法を提供します。幾何学的には、測地線に沿ったベクトル場であるヤコビ場に記録されたデータを通じて、固定された基点から小さな曲線セグメントに沿って終点が変化すると測地線に何が起こるかを説明します。^[ 61]ガウスとヤコビから1世紀半後、マーストン・モースは、無限次元ヒルベルト経路多様体上のエネルギー関数の2階微分の観点から、ヤコビ場のより概念的な解釈を与えました。^[62]

指数マップ

常微分方程式の理論によれば、 $f (t, v)$ が滑らかであれば、微分方程式 $⁠$ $dv / dt ⁠ = f (t, v)$ において初期条件 $v (0) = v 0$ $は| t |$ が十分に小さいときに唯一の解を持ち $、その解はt$ と $v 0$ に滑らかに依存します。これは、与えられた点 $p$ $= ($ $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $)における十分に小さい$ 接ベクトル $v$ $に対して、 (-2, 2)$ 上に測地線 $c$ $v$ $($ $t$ $)が定義され、$ $c$ $v$ $(0) = ($ $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $)$ かつ $ċ$ $v$ $(0) =$ $v$ となる $ことを意味します。さらに、 |$ $s$ $| \leq 1$ ならば $c$ $sv$ $=$ $c$ $v$ $($ $st$ $)$ となります。指数写像は次のように定義されます。

exp p (v) = c v

(1)

$は円板‖ v ‖ < δと$ $p$ の近傍との間の微分同相写像を与える。より一般的には、 $(p, v)を$ $exp p (v)$ に写す写像は、 $(p, p)$ の近傍への局所微分同相写像を与える。指数写像は $p$ の近傍の測地線正規座標を与える。^[63]

法線座標の計算

ある点における正規座標 $u$ , $v$ への変数変換を形式的なテイラー級数展開として計算する標準的な手法がある（例えばBerger (2004)を参照）。(0,0)における座標 $x$ , $y が$ 局所的に直交する場合、

x (u, v) = αu + L (u, v) + λ (u, v) + \dots

y (u, v) = βv + M (u, v) + μ (u, v) + \dots

ここで $、 L$ 、 $Mは$ $u$ と $v$ の2次同次多項式、 $λ$ 、 $μ$ は3次同次多項式です。 $u$ と $v$ が固定されている場合、 $x$ $($ $t$ $) =$ $x$ $($ $tu$ $、$ $tv$ $)$ および $y$ $($ $t$ $) =$ $y$ $($ $tu$ $、$ $tv$ $)$ はオイラー方程式の正式なべき級数解と見なすことができます。これにより、 $α$ 、 $β$ 、 $L$ 、 $M$ 、 $λ$ 、 $μ$ が一意に決定されます。

ガウスの補題

$これらの座標において、$ 行列 $g (x)は$ $g (0)= I$ を満たし、直線 $t\mapstotv は$ 0を通る測地線である。オイラー方程式は行列方程式

g (v) v = v

、

これは重要な結果であり、通常ガウスの補題と呼ばれる。幾何学的には、

極座標 $(r, θ)$ をとると、計量は次の形になる。

ds 2 = dr 2 + G (r, θ) dθ 2

。

測地座標系では、零点を通る測地線が長さを最小にすることは容易に確認できる。リーマン多様体上の位相は距離関数 $d (p, q)$ 、すなわち $p$ と $q$ の間の区分的に滑らかな経路の長さの下限で与えられる。この距離は測地線によって局所的に実現されるため、通常の座標系では $d$ $(0,$ $v$ $) = ‖$ $v$ $‖$ となる。半径 $δ を$ 十分に小さくとると、ガウスの補題をわずかに鋭くすることで、指数写像による円板 $‖$ $v$ $‖ <$ $δの像$ $U$ が測地的に凸であることが示される。つまり、 $U$ 内の任意の2点は、完全に $U の$ 内部に位置する唯一の測地線によって結ばれる。^[64]^[65]

テオレマ・エグレギウム

ガウスの「注目すべき定理」として知られるエグレギウム定理は、曲面のガウス曲率は計量のみを用いて計算でき、したがって曲面の本質的不変量であり、 $E$ $3$ における等長埋め込みとは独立であり、座標変換によっても変化しないことを示しています。特に、曲面の等長変換と局所等長変換はガウス曲率を保存します。^[66]

$この定理は、計量ds$ のべき級数展開によって表現され、通常の座標 $(u, v)$ で次のように与えられる。

ds 2 = du 2 + dv 2 - K (u dv - v du) 2 /12 + \dots

。

ガウス・ヤコビ方程式

$p$ の通常の座標から近傍の点 $q$ の通常の座標への座標変換をとると、ガウスによって発見され、後にヤコビによって一般化された $H$ $($ $r$ $,$ $θ$ $) =$ $G$ $($ $r$ $,$ $θ$ $)$ $1$ $⁄$ $2$ を満たすシュトゥルム・リウヴィル方程式が得られる。

H rr = - KH

。

この座標変化の $q$ におけるヤコビ行列は $H$ $r$ に等しい。これはガウス曲率の本質的な性質を確立する別の方法を与える。H $($ $r$ $,$ $θ$ $) は$ $線分$ の $θ$ 方向の長さとして解釈できるため、ガウス・ヤコビ方程式はガウス曲率が幾何学的表面上の測地線が点から離れるにつれて広がる様子を測るものであることを示す。^[67]

ラプラス・ベルトラミ演算子

局所的な距離を持つ表面上

ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}

およびラプラス・ベルトラミ演算子

\Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),

ここで $H 2 = EG - F 2$ 、ある点におけるガウス曲率は式^{[68]で与えられる。}

K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),

ここで、 $r は$ 点からの測地距離を表します。

ガウスによって初めて考えられた等温座標では、計量は特別な形式であることが求められる。

ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,

この場合、ラプラス・ベルトラミ演算子は次のように与えられる。

\Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)

そして $φは$ リウヴィルの方程式を満たす^[69]

\Delta \varphi =-2K.\,

等温座標は曲面上の任意の点の近傍に存在することが知られているが、これまでの証明はすべて偏微分方程式の非自明な結果に依存している。^[70]極小曲面については基本的な証明がある。^[71]

ガウス・ボネ定理

球面または双曲面上で、測地三角形、つまりすべての辺が測地線である三角形の面積は、内角の和と $π$ の差に比例します。比例定数はガウス曲率であり、これらの面の定数です。トーラスの場合、差は 0 であり、ガウス曲率が 0 であるという事実を反映しています。これらは、球面法、双曲法、高校の三角法 (下記参照) における標準的な結果です。ガウスは、測地三角形の内部でのガウス曲率の積分もこの角度の差または超過に等しいことを示して、これらの結果を任意の面に一般化しました。彼の公式は、ガウス曲率は、測地三角形がその点まで縮小する場合の面積と角度の超過の極限として、点の近くで計算できることを示しました。任意の閉曲面は測地三角形に分解できるため、この公式を使用して面全体の曲率の積分を計算することもできます。現在ガウス・ボネ定理と呼ばれるものの特殊ケースとして、ガウスはこの積分が驚くべきことに常に 2π の整数倍であることを証明しました。これはオイラー標数と呼ばれる曲面の位相不変量です。この不変量は三角形分割とも呼ばれる分解における三角形の頂点、辺、面の数を使って組み合わせ的に簡単に計算できます。この解析と位相の相互作用は、後の幾何学における多くの成果の先駆けとなり、最終的にはアティヤ・シンガーの指数定理に至りました。特に、曲率の特性は曲面の位相に制約を課します。

測地三角形

ガウスは、 $Δが$ 頂点 $A$ 、 $B$ 、 $Cで角度$ $α$ 、 $β$ 、 $γ$ を持つ表面上の測地三角形である場合、

\int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .

実際、原点 $A$ と $AB$ 、極角 0 と $α$ の半径 $AC を$ 持つ測地極座標を取ると、

{\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}

ここで、2番目の等式はガウス・ヤコビ方程式から導かれ、4番目の等式は直交座標 $（ r 、 θ ）$ におけるガウスの微分公式から導かれます。

ガウスの公式は、ある点における曲率は、その点の近傍で徐々に小さくなる測地三角形の面積に対する角の超過 $α + β + γ - π$ の極限として計算できることを示しています。定性的に言えば、面は、任意の小さな測地三角形の角の超過の符号に応じて、正または負に曲がっています。^[49]

ガウス・ボネ定理

二十面体のように三角形に分割された球のオイラー特性は、 $V - E + F = 12 - 30 + 20 = 2$ です。

あらゆるコンパクトな有向2次元多様体 $M$ は小さな測地三角形で三角形分割できるので、

\int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)

ここで $χ (M)は$ 曲面のオイラー特性を表す。

実際、面が $F$ 個、辺が $E個、頂点が$ $V$ 個ある場合、 $3 F = 2 E$ となり、左側は $2π V - π F = 2π(V - E + F) = 2π χ (M)$ となります。

これは有名なガウス・ボネの定理である。ガウス曲率の積分が多様体の位相不変量、すなわちオイラー標数であることを示している。この定理は様々な解釈が可能だが、おそらく最も広範な解釈の一つは、アティヤ・シンガーの指数定理の最も単純なケースの一つである、 $M$ 上の楕円微分作用素の指数定理であろう。ガウス・ボネの定理を用いて証明できるもう一つの関連する結果は、有限個の点でのみ零となる $M$ 上のベクトル場に対するポアンカレ・ホップの指数定理である。これらの点における指数の和はオイラー標数に等しく、点の指数は次のように定義される。孤立した零点の周りの小円上で、ベクトル場は単位円への写像を定義する。指数はこの写像の巻数に等しい。 ^[49]^[72]^[73]

曲率と埋め込み

$曲面M$ のガウス曲率が至る所で正であれば、オイラー標数は正なので、 $Mは$ $S 2$ と同相（したがって微分同相）である。さらに、曲面が $E 3$ に等長的に埋め込まれている場合、ガウス写像は明示的な微分同相写像を与える。アダマールが指摘したように、この場合、曲面は凸である。凸性のこの基準は、平面曲線の凸性に関するよく知られた2次微分基準の2次元一般化と見ることができる。ヒルベルトは、等長的に埋め込まれたすべての閉曲面は必ず正の曲率を持つ点を持つことを証明した。したがって、非正曲率の閉リーマン2次元多様体は $E 3$ に等長的に埋め込まれることはない。しかし、アドリアーノ・ガルシアが準等角写像のベルトラミ方程式を用いて示したように、これは何らかの等角的に同値な計量に対しては常に可能である。^[74]

一定曲率の曲面

定曲率 0、+1、–1 の単連結面は、ユークリッド平面、 $E 3$ の単位球面、双曲面である。これらにはそれぞれ、向きを保存する等長変換の推移的な 3 次元リー群 $Gがあり、これを使って幾何学を調べることができる。2 つの非コンパクト面はそれぞれ、商$ $G$ $/$ $K$ と同一視できる。ここで $Kは$ $G$ の最大コンパクト部分群である。ここで $Kは$ $SO(2)$ と同型である。定ガウス曲率の他の任意の閉リーマン 2 次元多様体 $M は$ 、必要に応じて計量を定数倍した後、これら 3 つの面のいずれかをその普遍被覆空間として持つことになる。向き付け可能なケースでは、 $M$ の基本群 $Γは$ $G$ の捩れのない一様部分群と同一視でき、 $M は$ 二重剰余類空間 $Γ \$ $G$ $/$ $K$ と同一視できる。球面とユークリッド平面の場合、唯一の可能な例は球面自体と、離散的な階数2の部分群による $R$ $2$ の商として得られるトーラスである。種数 $g$ $\geq 2$ の閉曲面の場合、 $Γ が$ そのような部分群すべてにわたって変化するときに得られるリーマン面のモジュライ空間は、実次元 $6$ $g$ $- 6$ を持つ。^[75]ポアンカレの均一化定理により、任意の向き付け可能な2次元閉多様体は、定曲率 0、+1、または –1 の曲面と共形的に同値である。言い換えれば、計量に正のスケーリング係数を乗じることで、ガウス曲率はこれらの値（ $M$ のオイラー特性の符号）のちょうど1つを取ることができる。^[76]

ユークリッド幾何学

ユークリッド平面の場合、対称群はユークリッド運動群、すなわち2次元並進群と回転群の半直積である。 ^[77]測地線は直線であり、その幾何学は三角法の基本公式、例えば辺が $a$ 、 $b$ 、 $c$ で角度が $α$ 、 $β$ 、 $γ$ の三角形の余弦定理で表されている。

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .

$平坦トーラスは、 R 2$ を格子、すなわち階数2の自由アーベル部分群で割ることによって得られる。これらの閉曲面は $E 3$ に等長埋め込みを持たない。しかし、 $E 4には等長埋め込みが可能である。最も簡単なケースでは、トーラスが2つの円の積であり、それぞれの円が$ $E 2$ に等長埋め込み可能であるという事実から、このことが導かれる。^[78]

球面幾何学

$E$ $3$ における単位球面 $S 2$ の等長変換群は直交群 $O(3)$ であり、回転群 $SO(3)$ $は向きを保存する等長変換の部分群である。これはSO(3)$ と反対称写像の直積であり、 $x$ $を-$ $x$ へ写す。^[79] $SO(3)$ 群は $S$ $2$ に推移的に作用する。単位ベクトル (0,0,1) の安定部分群は $SO(2)と同一視でき、$ $S$ $2$ $= SO(3)/SO(2)$ となる。

球面上の2点間の測地線は、これらの端点を与えられた大円弧です。もし2点が対蹠関係にない場合、2点間には唯一の最短測地線が存在します。測地線は群論的に記述することもできます。北極(0,0,1)を通る各測地線は、赤道上の対蹠関係にある点を通る軸を中心とした回転の部分群の軌道です。

球面三角形は球面上の測地線三角形です。球面上の点 $A$ 、 $B$ 、 $Cで定義され、各点$ $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ $は長さπ$ 未満の大円弧で形成されます。各辺の長さを $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、各辺間の角度を $α$ 、 $β$ 、 $γ$ とすると、球面余弦定理は次のようになります。

\cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .

三角形の面積は次のように与えられる。

面積 = α + β + γ - π

北極からの立体投影を用いると、球面は拡張複素平面 $C \cup {\infty}$ と同一視できる。明示的な写像は次のように与えられる。

\pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.

この対応関係の下では、 $S 2の回転はすべて$ $SU(2)$ におけるメビウス変換に対応し、符号を除いて一意である。^[80]複素平面上の座標 $($ $u$ $,$ $v$ $)$ に関して、球面計量は^{[81]となる。}

ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.

単位球面は、定曲率+1を持つ唯一の閉じた向き付け可能な曲面である。商 $SO(3)/O(2)は$ 、実射影平面と同一視できる。これは向き付け不可能であり、 $S 2$ の対蹠写像（-1を乗じる）による商として記述できる。球面は単連結であるが、実射影平面は基本群 $Z 2$ を持つ。SO $(3)$ の有限部分群は、 $O(2)の有限部分群と$ プラトン立体の対称群に対応し、 $S 2$ には自由に作用しないため、対応する商は2次元多様体ではなく、単なるオービフォールドである。

双曲幾何学

非ユークリッド幾何学^[82]はガウスの書簡の中で初めて議論された。ガウスは19世紀初頭に広範囲にわたる計算を行い、その計算結果は個人的に流布していたものの、印刷には至らなかった。1830年にロバチェフスキーが、また独立して1832年にはガウスの文通相手の息子であるボヤイが、この新しい幾何学の総合版を出版したが、これは厳しく批判された。しかし、1868年になってようやくベルトラミが、続いて1871年にクラインが、1882年にポアンカレが、クラインが双曲幾何学と名付けた幾何学の具体的な解析モデルを提示した。2次元双曲幾何学の4つのモデルが生まれた。

円板に基づく最初のモデルの利点は、測地線が実際には線分（つまり、ユークリッド直線と単位開円板の交点）であるという点です。最後のモデルの利点は、3次元ユークリッド空間における単位球面と完全に平行な構成を与えるという点です。しかし、複素解析と幾何学への応用から、ポアンカレのモデルが最も広く用いられています。円板と上半平面の間のメビウス変換により、これらのモデルは相互に互換性があります。

させて

D=\{z\,\colon |z|<1\}

ポアンカレ計量を持つ複素平面上のポアンカレ円板とする

ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.

極座標 $（ r 、 θ ）$ では、計量は次のように与えられる。

ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.

曲線 $γ :[a, b]\to D$ の長さは次式で与えられる。

\ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.

群 $G = SU(1,1)$ は次のように与えられる。

G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}

$D$ 上のメビウス変換によって推移的に作用し、 0 の安定部分群は回転群である。

K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.

商群 $SU(1,1)/\pm Iは、$ $D$ の向きを保存する等長変換群である。 $D$ 内の任意の2点 $z$ 、 $wは、$ $z$ と $w$ を通り境界円に直交する円または直線の部分で与えられる唯一の測地線で結ばれる。 $z$ と $w$ の間の距離は次のように与えられる。

d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.

特に、 $d (0, r) = 2 tanh -1 r$ および $c (t) = ⁠ 1 / 2 ⁠ tanh t$ は、実軸に沿って 0 を通る測地線であり、弧長によってパラメーター化されます。

このメトリックによって定義される位相は、メトリック空間 $(D 、 d)$ としては完全ですが、通常のユークリッド位相と同等です。

双曲三角形は、この計量において測地線三角形である。つまり、 $D$ 上の任意の 3 点は双曲三角形の頂点である。辺の長さが $a$ 、 $b$ 、 $c$ で、対応する角が $α$ 、 $β$ 、 $γ$ である場合、双曲余弦定理は次のように表す。

\cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .

双曲三角形の面積は^{[83]で与えられる。}

面積 = π - α - β - γ

。

単位円板と上半平面

H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}

メビウス変換によって等角同値となる

w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.

$この対応関係のもとでは、 H$ 上のメビウス変換による $SL(2,R)$ の作用は $D$ 上の $SU(1,1)$ の作用に対応する。H $上$ の計量は

ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.

直線または円はメビウス変換によって保存されるため、測地線は実軸に直交する直線または円によって再び記述されます。

ポアンカレ計量を持つ単位円板は、単連結で向き付けられた2次元リーマン多様体で、曲率が−1で定数である唯一のものである。この性質を持つ任意の向き付けられた閉曲面 $Mは、$ $Dを$ その普遍被覆空間とする。その基本群は、 $SU(1,1)$ の捩れのないコンパクト部分群 $Γ$ と同一視することができ、

M=\Gamma \backslash G/K.

この場合、 $Γは$ 有限提示群である。生成元と関係は、 $D$ （または $H$ ）の測地的に凸な基本測地多角形に符号化され、これは幾何学的には $M$ 上の閉測地線に対応する。

例.

種数2のボルザ面。
種数3のクラインの四次関数。
種数 7 のマクベス面。
種数 14 の最初の Hurwitz 三つ組。

均一化

ガウス曲率 $K$ を持つ有向閉曲面 $Mが与えられたとき、$ $M$ 上の計量は係数 $e$ $2$ $u$ でスケーリングすることで共形的に変化させることができる。新しいガウス曲率 $K'$ は次のように与えられる。

K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),

ここで $Δ$ は元の計量のラプラシアンである。したがって、与えられた曲面が定曲率 $K'の$ 計量と共形的に同値であることを示すには、リウヴィル方程式の次の変形を解くだけで十分である。

\Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).

$M$ がオイラー標数0のとき、トーラスに微分同相となり、 $K' = 0$ となるので、これは次の式を解くことになる。

\Delta u=K(x).

標準的な楕円理論によれば、ガウス・ボネ定理により、 $Kの$ $M$ 積分はゼロとなるため、これは可能である。^[84]

$Mが$ 負のオイラー特性を持つ場合、 $K' = -1$ となるので、解くべき方程式は次のようになります。

\Delta u=-e^{2u}+K(x).

ニール・トゥルーディンガーによるソボレフ空間上の指数写像の連続性を利用すると、この非線形方程式は常に解くことができる。^[85]

最後に、2次元球面の場合、 $K' = 1$ となり、方程式は次のようになります。

\Delta u=e^{2u}+K(x).

これまでこの非線形方程式は直接解析されていないが、リーマン・ロッホの定理のような古典的な結果から、常に解が存在することが示唆されている。^[86]リチャード・S・ハミルトンによって開発されたリッチフロー法は、非線形偏微分方程式に基づく存在の別の証明を与え、存在を証明する。^[87]実際、 $S$ $2上の共形計量上のリッチフローは、関数$ $u$ $($ $x$ $,$ $t$ $)$ 上で次のように定義される。

u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).

有限時間後、Chowは $K'が$ 正になることを示した。その後、Hamiltonの以前の結果を使用して、 $K'が$ +1に収束することを示すことができた。^{[88] Ricciフローに関するこれらの結果の前に、Osgood、Phillips、Sarnak（1988）は、} $log det Δ$ $g$ で定義されるリーマン計量 $g$ 上のフローに基づいて、技術的に単純な代替アプローチを均一化するために示していた。

1988 年に発見された楕円演算子を使用した証明は、Ding (2001) に記載されています。 $G を$ $Δ$ $G$ $= 1 + 4π$ $δ$ $P$ を満たす $S$ $2$ 上のグリーン関数とします。ここで $δ$ $P$ $はS$ $2$ の不動点 $P$ における点測度です。方程式 $Δ$ $v$ $= 2$ $K$ $- 2$ は、ガウス・ボネの定理により右辺が積分 0 を持つため、滑らかな解 $vを持ちます。したがって、$ $φ$ $= 2$ $G$ $+$ $v は、$ $P$ から離れて $Δ$ $φ$ $= 2$ $K$ を満たします。したがって、 $g$ $1$ $=$ $e$ $φ$ $gは$ $P$ の補座標上で定曲率 0 の完全計量となり、平面に等長になります。立体射影と組み合わせると、 $e$ $2$ $u$ $gが$ $P$ の補座標上でガウス曲率 +1 を持つような滑らかな関数 $u$ が存在する関数 $uは$ $S2$ $全体$ にわたって自動的に滑らかな関数に拡張される。^[d]

リーマン接続と平行移動

ガウスによる曲面の微分幾何学への古典的なアプローチは標準的な初等的アプローチであった^[89]。これは19世紀半ばにベルンハルト・リーマンが提唱したリーマン多様体の概念や、20世紀初頭にトゥリオ・レヴィ＝チヴィタ、エリー・カルタン、ヘルマン・ワイルが展開した接続の概念の出現に先立つものであった。接続、共変微分、平行移動の概念は、曲率を理解するためのより概念的で統一的な方法を与え、高次元多様体への一般化を可能にしただけでなく、特性類と呼ばれる新しい幾何学的不変量を定義するための重要なツールも提供した。^[90]共変微分と接続を用いるアプローチは、今日ではより高度な教科書で採用されている。^[91]

共変微分

曲面上の接続は、等価ではあるが同様に重要な様々な観点から定義できる。リーマン接続またはレヴィ・チヴィタ接続^[92]は、おそらく、多様体上の関数に作用する一次微分作用素と考えられるベクトル場を、接バンドルまたはフレームバンドル上の微分作用素に持ち上げるという観点から最も簡単に理解できる。埋め込まれた曲面の場合、共変微分と呼ばれるベクトル場への作用素への持ち上げは、直交射影で非常に簡単に記述できる。実際、 $R$ $3$ に埋め込まれた曲面上のベクトル場は、曲面から $R$ $3$ への関数と見なすことができる。別のベクトル場は、成分ごとに微分作用素として働く。結果として得られるベクトル場は曲面に接しないが、曲面の各点でその接空間への直交射影を取ることでこれを修正できる。20 世紀初頭にリッチとレヴィ＝チヴィタが気づいたように、このプロセスはメトリックのみに依存し、局所的にはクリストッフェル記号で表現できます。

平行輸送

曲面上の曲線に沿った接線ベクトルの平行移動は、レヴィ＝チヴィタによるこの分野における次の大きな進歩であった。^{[49]これは、曲線の速度ベクトルに関する共変微分によって定義される曲線上の}常微分方程式のモノドロミーであるため、以前の共変微分の概念と関連している。曲面上の「直線」である測地線に沿った平行移動も、容易に直接記述できる。接平面上のベクトルは、測地線の速度ベクトルと一定の角度をなす一定長さのベクトル場として、測地線に沿って移動する。一般の曲線の場合、このプロセスは測地線曲率を用いて修正する必要がある。測地線曲率は、曲線が測地線からどれだけ離れているかを測定する。^[64]

測地曲率 $k$ $g$ $($ $t$ $)$ を持つ単位速度曲線 $c$ $($ $t$ $)$ に沿ったベクトル場 $v (t)$ は、次の式で表されるとき、曲線に沿って平行であるという。

長さは一定である
$速度ベクトルċ$ $($ $t$ $)$ となす角度 $θ (t)$ は次式を満たす。

{\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)

これは、測地線または区分測地線に沿った平行移動の規則を再現するものである。なぜなら、その場合 $k g = 0$ となるため、角度 $θ (t)$ はどの測地線上でも一定となるからである。平行移動の存在は、 $θ (t) が測地線曲率の$ 積分として計算できることから明らかである。したがって、これは $k$ $g$ の $L 2$ ノルムに連続的に依存するため、任意の曲線に対する平行移動は、近似区分測地線上の平行移動の極限として得られることがわかる。^[93]

この接続は、多様体内の経路を接線または直交フレームバンドル内の経路に持ち上げるという観点から記述することができ、フランスの著者が好む「移動フレーム」の古典理論を形式化している。 ^{[94]ある点の周りのループの持ち上げは、その点における}ホロノミー群を生み出す。ある点におけるガウス曲率は、その点におけるループを徐々に小さくしていく平行移動から回復できる。同様に、持ち上げられたベクトル場のリー括弧を用いて、無限小レベルで曲率を直接計算することもできる。

接続1フォーム

$カルタンとワイルのアプローチは、 M$ の標構束上の接続 1-形式を用いて、リーマン接続を理解する第 3 の手法を提供します。彼らは、平行移動により、曲面上のパスが標構束上のパスに持ち上げられ、その接ベクトルが標構束の 3 次元接空間内の余次元 1 の特殊部分空間に存在することが指示されることに着目しました。この部分空間への射影は、直交標構束上の微分 1-形式、すなわち接続形式によって定義されます。これにより、曲面の曲率特性を、標構束上の微分形式とその外導関数を含む公式にエンコードすることが可能になりました。

このアプローチは、埋め込み曲面に対して特に単純である。小林（1956）の結果によれば、ユークリッド空間 $E 3に埋め込まれた曲面上の接続1-形式は、$ $S 2$ 上の接続1-形式のガウス写像による引き戻しに等しい。^[95] $S 2 を$ 同質空間 $SO(3)/SO(2)$ と同一視すると、接続1-形式は $SO(3)$ 上のマウラー・カルタン1-形式の成分に等しい。^[96]

曲面の大域微分幾何学

曲率の特徴づけは曲面の局所的な幾何学のみに関係するが、ガウス・ボネ定理、均一化定理、フォン・マンゴルト・アダマール定理、埋め込み可能性定理といった重要な大域的側面も存在する。曲面の大域的幾何学には他にも重要な側面がある。^[97]これらには以下が含まれる。

単射半径は、 $r$ 未満の距離にある2点が最大の $rとして定義されます。ヴィルヘルム・クリンゲンベルクは1959年に、閉曲面の単射半径は$ $δ$ $=$ $⁠$ の最小値によって下界が定められることを証明しました。 $π / \sqrt K を添える ⁠$ そしてその最小の閉測地線の長さ。これは、1855年に正のガウス曲率の閉曲面の直径は常に $δ$ で上が有界であることを示したボネの定理を改良した。言い換えれば、2点間の距離を実現する測地線の長さは $δ$ を超えることはできない。
剛性。1927年にコーン＝フォッセンは等長な2つの卵形面（正のガウス曲率を持つ閉曲面）は $E 3$ の等長変換によって必然的に合同であることを証明した。さらに、正のガウス曲率と一定平均曲率を持つ埋め込み閉曲面は必然的に球面であり、同様に一定ガウス曲率の埋め込み閉曲面は球面でなければならない（リープマン 1899）。ハインツ・ホップは1950年に一定平均曲率と種数0、すなわち球面と同相である埋め込み閉曲面は必然的に球面であることを示した。5年後、アレクサンドロフはこの位相的仮定を排除した。1980年代にウェンテはユークリッド3次元空間に一定平均曲率の埋め込みトーラスを構築した。
カラテオドリ予想：この予想は、3回微分可能な凸閉曲面には少なくとも2つの臍点が存在することを示唆する。この予想に関する最初の研究は1924年にハンス・ハンバーガーによってなされた。ハンバーガーは、この予想が、孤立した臍曲面の主曲率葉脈の半整数値指数が高々1であるという、より強い主張から導かれることを指摘した。この予想は、滑らかな曲面に対してブレンダン・ギルフォイルとヴィルヘルム・クリンゲンベルクによって3部構成で証明され^[98]^[99]^[100]、予想成立100周年となる2024年に結論が出された。
ガウス曲率ゼロ: ガウス曲率がゼロである $E 3$ の完全な表面は、円筒または平面でなければなりません。
ヒルベルトの定理（1901）：一定の負の曲率を持つ完全な表面は、 $E$ $3$ に等長的に浸ることはできない。

ウィルモア予想。この予想は、 $E 3$ に浸されたトーラスの平均曲率の2乗の積分は $2π 2$ 以下に有界となるべきである、というものである。この積分はメビウス不変であることが知られている。この予想は2012年にフェルナンド・コダ・マルケスとアンドレ・ネヴェスによって解決された。^[101]
等周不等式。1939年、シュミットはユークリッド平面上の曲線に対する古典的な等周不等式が球面上または双曲面上でも成り立つことを証明した。すなわち、彼は、一定面積の領域を囲むすべての閉曲線について、その曲線が計量的に円であるとき、周長が最小になることを示した。さらに高次元では、 $単位体積の有界領域の境界として生じるE 3$ のすべての閉曲面について、表面積が最小になるのはユークリッド球であることが知られている。
曲面上の曲線に対するシストリック不等式。閉曲面が与えられたとき、そのシストリックは、曲面上の任意の非縮約閉曲線の最小の長さとして定義される。1949年、ロウナーはトーラス上の計量に対するトーラス不等式、すなわち、トーラスの面積をシストリックの平方で割った値が、下方に $⁠$ で囲まれることを証明した $\sqrt3 / 2 ⁠$ であり、平坦（曲率一定）の場合には等式となる。 1952年の実射影平面におけるPuの不等式でも同様の結果が得られ、下限は $⁠となる。$ $2 / π ⁠$ は定曲率の場合にも達成される。クラインの壺については、ブラッターとバヴァールは後に $⁠$ の下限を得た $\sqrt8 / π ⁠ 。種数$ $g$ の閉曲面の場合、Hebda と Burago は、比が $⁠によって下界になることを示した。$ $1 / 2 ⁠$ 。3年後、ミハイル・グロモフは定数倍の $g 1 ⁄ 2$ で与えられる下限値を発見したが、これは最適ではない。定数倍の漸近的に鋭い上限値と下限値は $⁠$ $グラム / (log g) 2 ⁠$ はグロモフとブザー＝サルナクによるもので、カッツ (2007) に示されています。球面上の計量にも同様の版があり、最小の閉測地線の長さをシストールとしてとります。グロモフは $⁠$ の下限を予想しました。 $1 / 2\sqrt3 1980年: これまでの最高の結果は、$ $⁠$ の下限です $1 / 8$ 2006年にレジーナ・ロットマンによって入手されました $。$ ^[102]

読書ガイド

ガウス以前から現代までの歴史的発展を概観した、この分野の最も包括的な入門書の一つは、Berger (2004) によるものです。古典理論については、Eisenhart (2004)、Kreyszig (1991)、Struik (1988) で解説されています。より現代的な、豊富な図解を備えた学部生向けの教科書としては、Gray、Abbena & Salamon (2006)、Pressley (2001)、Wilson (2008) などが挙げられます。古典理論の分かりやすい解説は、Hilbert & Cohn-Vossen (1952) にあります。曲面上のリーマン接続を用いた、より洗練された大学院レベルの解説は、Singer & Thorpe (1967)、do Carmo (2016)、O'Neill (2006) にあります。

参照

注記

^ 滑らかな表面とは、各点がE ²内のある開集合と微分同相な近傍を持つ表面です。
^ リーマン面は、リーマン計量を備えた滑らかな面です。
^ 最近の文献では、右側の対称双線形形式が第 2 基本形式と呼ばれていることに注意してください。ただし、これは一般に、古典的に定義された第 2 基本形式に対応しません。
^これは、有限エネルギーの 調和写像の除去可能な特異点に関するサックスとウーレンベック（1981）の定理を含む議論に従う。

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外部リンク

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