シンプルなリング

数学の一分野である抽象代数学において、単純環とは、零イデアルとそれ自身以外に両側イデアルを持たない非零環である。特に、可換環が単純環となる必要十分条件は、それが体である場合である。

単純環の中心は必然的に体である。したがって、単純環はこの体上の結合的代数となる。したがって、単純環はこの体上の 単純代数と呼ばれる。

いくつかの文献（例えば、Lang (2002) や Bourbaki (2012)）では、単純環は左または右アルティン環（あるいは同義の半単純環）であることが求められています。このような用語法では、非自明な両側イデアルを持たない非零環は準単純環と呼ばれます。

環としては単純だが、それ自身に対する単純加群ではない環も存在する。体上の完全行列環には、非自明な両側イデアルは存在しない ( の任意のイデアルは のイデアルを持つ の形式であるため) が、非自明な左イデアルは存在する (たとえば、いくつかの固定された零列を持つ行列の集合)。 ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle M_{n}(I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

単純環の直接的な例としては、すべての非零元が乗法逆元を持つ除算環（例えば、四元数）が挙げられる。また、任意の除算環に対して、除算環を要素とする行列の代数は単純である。 ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle n\times n}$

ジョセフ・ウェダーバーンは、環が体 上の有限次元単純代数であるならば、それは上の何らかの除算代数上の行列代数と同型であることを証明した。特に、実数上の有限次元代数である単純環は、実数、複素数、または四元数 上の行列環のみである。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

ウェダーバーンは1907年、ロンドン数学会報に掲載された博士論文「超複素数について」においてこれらの結果を証明した。彼の論文は、体上の有限次元単純代数と半単純代数を分類した。単純代数は半単純代数の基本単位であり、任意の有限次元半単純代数は、代数の意味で、有限次元単純代数の直積である。

用語には注意が必要です。すべての単純環が半単純環であるわけではなく、すべての単純代数が半単純代数であるわけでもありません。しかし、すべての有限次元単純代数は半単純代数であり、左または右アルティニアンであるすべての単純環は半単純環です。

ウェダーバーンの結果は後にウェダーバーン・アルティン定理において半単純環に一般化されました。これは、任意の半単純環は、分環上の行列環の有限積であるというものです。この一般化の結果として、左または右アルティンである任意の単純環は、分環上の行列環となります。

例

を実数体、を複素数体、四元数をとします。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

• 中心単純代数（ブラウアー代数と呼ばれることもある）は、を中心とする体 上の単純な有限次元代数です。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$
• 上の任意の有限次元単純代数は、、、またはを要素とする行列の代数と同型である。上の任意の中心単純代数は、またはを要素とする行列の代数と同型である。これらの結果はフロベニウスの定理から導かれる。${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$
• 上のすべての有限次元単純代数は中心単純代数であり、 上の行列環と同型です。${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 有限体上のすべての有限次元中心単純代数は、その体上の行列環と同型です。
• 特性ゼロの体上では、ワイル代数は単純だが半単純ではなく、特にその中心上の除算代数上の行列代数ではない。ワイル代数は無限次元であるため、ウェダーバーンの定理は適用されない。

参照

• シンプル（代数）
• 単純代数（普遍代数）

参考文献

• アルバート, AA (2003).代数の構造. コロキウム出版. 第24巻.アメリカ数学会. p. 37. ISBN 0-8218-1024-3。
• ブルバキ、ニコラ(2012)、Algèbre Ch. 8 (第 2 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-35315-7
• ニコルソン, ウィリアム K. (1993). 「ウェダーバーン-アルティン定理の簡潔な証明」(PDF) .ニュージーランド数学誌. 22 : 83–86 .
• ヘンダーソン, DW (1965). 「ウェダーバーンの定理の簡潔な証明」.アメリカ数学月刊誌. 72 : 385–386 . doi :10.2307/2313499.
• ラム、ツィット・ユエン（2001）、非可換環論入門（第2版）、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-1-4419-8616-0、ISBN 978-0-387-95325-0、MR  1838439
• Lang、Serge (2002)、Algebra (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0387953854
• ジェイコブソン、ネイサン（1989年）、Basic Algebra II（第2版）、WH Freeman、ISBN 978-0-7167-1933-5