マトリックスリング

抽象代数学において、行列環とは、環Rを要素とし、行列の加算および乗算によって環を形成する行列の集合である。^[1] Rを要素とするn × n行列全体の集合は行列環であり、M _n ( R ) ^{[2] [3] [4] [5]}と表記される（別名 Mat _n ( R ) ^[3]およびR ^{n × n [6]}）。無限行列の集合の中には、無限行列環を形成するものがある。行列環の部分環もまた行列環である。rng上では、行列 rng を形成できる。

Rが可換環であるとき、行列環 M _n ( R ) はR上の結合環であり、行列環と呼ばれることもある。この設定において、Mが行列でrがR の元にあるとき、行列rMは行列Mの各要素にrを乗じたものとなる。

例

• R上のn × n 正方行列全体の成す集合をM _n ( R ) と表記する。これは「 n行n列行列の完全環」と呼ばれることもある。
• R上のすべての上三角行列の集合。
• R上のすべての下三角行列の集合。
• R上のすべての対角行列の成す集合。このM _n ( R )の部分代数は、 Rのn個のコピーの直積に同型である。
• 任意の添字集合Iに対して、右R加群の自己準同型環は、添字がI × Iで、各列に非零要素が有限個しか含まれない列有限行列の環^[要出典]と同型である。左R加群として考えた場合のMの自己準同型環は、行有限行列の環と同型である。${\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}R}$ ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}$
• Rがバナッハ代数であれば、前項の行または列の有限性の条件は緩和される。ノルムが与えられれば、有限和の代わりに絶対収束する級数を用いることができる。例えば、列の和が絶対収束する数列である行列は環を形成する。^{[疑わしい–議論する]} 当然のことながら、同様に、行の和が絶対収束する級数である行列も環を形成する。^{[疑わしい–議論する]}この考え方は、例えばヒルベルト空間上の作用素を 表すのに用いることができる。
• 行有限行列環と列有限行列環の交差は環を形成します。${\displaystyle \mathbb {RCFM} _{I}(R)}$
• Rが可換である場合、 M _n ( R ) はR上の*-代数の構造を持ち、ここでM _n ( R )上の反転* は行列転置です。
• AがC*-代数 である場合、 M _n ( A ) は別の C*-代数です。Aが非ユニタルである場合、 M _n ( A ) も非ユニタルです。ゲルファント・ナイマークの定理により、ヒルベルト空間 Hと、 Aから連続作用素の代数B ( H )のノルム閉部分代数への等長 *-同型性が存在し、これにより M _n ( A ) はB ( H ^{⊕ n} )の部分代数と同一視されます。簡単にするために、さらにHが可分でA B ( H ) がユニタル C*-代数であると仮定すると、 Aをより小さな C*-代数上の行列環に分解できます。これは、射影pを固定し、したがってその直交射影 1 −  pを固定することによって行うことができます。 Aを と同一視することができ、ここで行列の乗算は射影の直交性により意図したとおりに機能します。A をC*-代数上の行列環と同一視するためには、 pと 1 −  p が同じ「階数」を持つことが必要である。より正確には、pと 1 −  pがマレー・フォン・ノイマン同値であること、すなわちp = uu *かつ1 − p = u * uとなるような部分等長写像u が存在することが必要である。これは、より大きなサイズの行列にも容易に一般化できる。${\displaystyle \subseteq }$ ${\textstyle {\begin{pmatrix}pAp&pA(1-p)\\(1-p)Ap&(1-p)A(1-p)\end{pmatrix}}}$
• 複素行列代数 M _n ( C ) は、同型性を除き、複素数体C上の唯一の有限次元単純結合代数です。行列代数の発明に先立ち、ハミルトンは1853 年に環を導入しました。この環の要素は彼が双四元数^{[7]と呼び、現代の著者は}C ⊗ _R Hのテンソルと呼びますが、これは後に M ₂ ( C )と同型であることが示されました。 M ₂ ( C )の1 つの基底は4 つの行列単位 (1 つの要素が 1 で、その他すべての要素が 0 である行列) で構成されます。もう 1 つの基底は単位行列と 3 つのパウリ行列によって与えられます。
• 体上の行列環はフロベニウス代数であり、フロベニウス形式は積のトレースで与えられます: σ ( A , B ) = tr( AB )。

構造

• 行列環 M _n ( R ) は、階数nの自由右R加群の自己準同型環と同一視できる。すなわち、M _n ( R ) ≅ End _R ( R ⁿ )である。 行列の乗算は自己準同型の合成に対応する。
• 除算環D上の環 M _n ( D )は、半単純環の特殊な型であるアルティン単純環である。環 とは、集合Iが無限集合である場合、単純環でもアルティン環でもないが、それでも完全線型環である。 ${\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(D)}$ ${\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(D)}$
• アルティン・ウェダーバーンの定理は、任意の半単純環は、ある非負整数r、正の整数n _i、および分割環D _iに対して、有限直積 に同型であることを述べています。${\textstyle \prod _{i=1}^{r}\operatorname {M} _{n_{i}}(D_{i})}$
• _{M n} ( C ) をC ⁿの線型自己準同型環と見なすと、与えられた部分空間V上で零となる行列は左イデアルを形成する。逆に、 M _n ( C ) の与えられた左イデアルIに対して、 I内のすべての行列の零空間の交差はC ⁿの部分空間を与える。この構成において、 M _n ( C )の左イデアルはC ⁿの部分空間と一対一である。
• _{M n} ( R )の両側イデアルとRの両側イデアルの間には一対一の関係があります。つまり、Rの各イデアルIに対して、 Iに要素を持つすべてのn × n行列の集合はM _n ( R )のイデアルであり、 M _n ( R ) の各イデアルはこのようにして生じます。これは、 M _n ( R ) が単純である場合に限り、 R が単純であることを意味します。 n ≥ 2の場合、 M _n ( R )のすべての左イデアルまたは右イデアルが、Rの左イデアルまたは右イデアルからの以前の構成によって生じるわけではありません。たとえば、添え字が 2 からnまでの列がすべて 0 である行列の集合は、 M _n ( R )の左イデアルを形成します。
• 前述のイデアル対応は、実際には環Rと M _n ( R ) がMorita 同値 であるという事実から生じます。大まかに言えば、これは左R加群のカテゴリと左 M _n ( R ) 加群のカテゴリが非常に類似していることを意味します。このため、左R加群と左 M _n ( R ) 加群の同型類の間、およびRの左イデアルと M _n ( R )の左イデアルの同型類の間には、自然な全単射対応があります。右加群と右イデアルについても同様のことが言えます。Morita 同値性により、 M _n ( R ) は単純、アルティン、ネーター、素数など、RのMorita 不変なプロパティをすべて継承します。

プロパティ

• SがRの部分環ならば、 M _n ( S ) は M _n ( R )の部分環となる。例えば、 M _n ( Z ) は M _n ( Q )の部分環となる。
• 行列環 M _n ( R ) が可換となるのは、 n = 0、R = 0、あるいはRが可換かつn = 1 のときのみである。実際、これは上三角​​行列の部分環についても成り立つ。以下は、 Rにおいて1 ≠ 0と仮定し、可換でない2つの上三角2×2行列を示す例である。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

  そして

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• n ≥ 2に対して、非零環上の行列環 M _n ( R )は零因子と冪零元を持つ。上三角行列の環についても同様である。2 × 2行列の例は以下のようになる。

  ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}.}$

• _{M n} ( R )の中心は単位行列I _nのスカラー倍数で構成され、そのスカラーはRの中心に属します。
• _{乗算に関して可逆な行列からなるM n} ( R )の単位群をGL _n ( R )で表す。
• Fが体であるとき、 M _n ( F )の任意の2つの行列AとBに対して、 AB = I _nが成り立つということは、 BA = I _nが成り立つことを意味します。ただし、これはすべての環Rに対して成り立つわけではありません。すべての行列環がこの性質を持つ環Rは、安定有限環と呼ばれます(Lam 1999, p. 5)。

行列半環

実際、M _n ( R ) を定義するには、 Rが半環であるだけで十分である。この場合、 M _n ( R ) は半環であり、行列半環と呼ばれる。同様に、Rが可換半環である場合、 M _n ( R ) は行列半代数。

例えば、Rがブール半環（1 + 1 = 1となる2元ブール代数 R = {0, 1}）である場合、^[8] 、 M _n ( R )は、和を加算、関係の合成を乗算、空関係（零行列）を零、恒等関係（恒等行列）を単位とするn元集合上の二項関係の半環となる。 [ 9 ^]

参照

• 中心単純代数
• クリフォード代数
• ハーヴィッツの定理（ノルム除算代数）
• 汎用マトリックスリング
• シルベスターの慣性の法則

引用

1. ラム（1999）、定理3.1
2. ラム（2001年）。
3. Lang (2005)、V.§3
4. セール（2006）、3ページ
5. セール（1979）、158ページ
6. アルティン（2018）、例3.3.6(a)
7. ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿の講義 VII (1853)四元数、ホッジス、スミスに関する講義
8. ドロステ＆クイヒ（2009）、7ページ
9. ドロステ＆クイヒ（2009）、8ページ

参考文献

• Artin (2018)、代数学、ピアソン
• Droste, M.; Kuich, W (2009)、「セミリングと形式的べき級数」、重み付きオートマトンハンドブック、理論計算機科学モノグラフ。EATCSシリーズ、pp.  3– 28、doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1、ISBN 978-3-642-01491-8
• Lam, TY (1999), モジュールと環に関する講義, Graduate Texts in Mathematics No. 189, ベルリン, ニューヨーク: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5
• ラム（2001）、非可換環入門（第2版）、シュプリンガー
• Lang (2005)、学部代数学、Springer
• Serre (1979)、Local fields、Springer
• Serre (2006)、リー代数とリー群（第2版）、Springer、第5刷訂正