許容区間

許容区間（TI）とは、ある信頼水準において、母集団の特定のサンプル割合が含まれる統計区間である。「より具体的には、 $100\times$ $p$ $%/100\times(1-α)$ 許容区間は、母集団の少なくとも特定の割合（p ）が所定の信頼水準（1−α）で含まれる限界値を提供する。」 ^[1]「サンプルに基づく（p、1−α）許容区間（TI）は、サンプル母集団の少なくとも割合pを信頼水準1−αで含むように構築される。このようなTIは通常、p含有量−（1−α）被覆TIと呼ばれる。」^[2]「（p、1−α）上限許容限界（TL）は、母集団の100 pパーセンタイルに対する1−α上限信頼限界である。」 ^[2]

意味

観測値または確率変量を、共通の分布に従う独立確率変数の実現体と仮定し、そのパラメータは不明とする。すると、定義的性質を持つエンドポイントを持つ許容区間が得られる。 ^[3] $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ $F_{\theta }$ $\theta$ $(L(\mathbf {x} ),U(\mathbf {x} )]$

\inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }\left(F_{\theta }(U(\mathbf {X} ))-F_{\theta }(L(\mathbf {X} )\right)\geq p)\}=100(1-\alpha )

ここで、は最小値関数を表します。 $\inf\{\}$

これは、エンドポイントを持つ予測区間とは対照的であり、エンドポイントを持つ予測区間には次のような定義特性がある: ^[3] $[l(\mathbf {x} ),u(\mathbf {x} )]$

\inf _{\theta }\{{\Pr }_{\theta }(X_{0}\in [l(\mathbf {X} ),u(\mathbf {X} )])\}=100(1-\alpha )

。

ここで、は最初の変数とは独立しているが同じ分布からのランダム変数です。 $X_{0}$ $F_{\theta }$ $n$

注意は、サイズnの最初のサンプルのみを扱う許容区間の定義には関係しません。 $X_{0}$

計算

片側正規分布の許容区間は、非心t分布に基づく標本平均と標本分散に関して正確な解を持つ。^[4] 両側正規分布の許容区間はカイ二乗分布を用いて推定することができる。^[4]

他の間隔との関係

「パラメータが既知の場合、95%許容区間と95%予測区間は同じです。」^[5]母集団の正確なパラメータがわかれば、母集団の特定の割合が含まれる範囲を計算できます。例えば、母集団が平均値と標準偏差で正規分布していることがわかっている場合、その区間には母集団の95%が含まれます（1.96は、正規分布する母集団の95%をカバーする Zスコアです）。 $\mu$ $\sigma$ $\mu \pm 1.96\sigma$

しかし、母集団から1つの標本しか得られない場合、真のパラメータの推定値に過ぎない標本平均と標本標準偏差しか分かりません。その場合、これらの推定値の分散のため、必ずしも母集団の95%が含まれるとは限りません。許容区間は、信頼水準を導入することでこの分散を制限します。信頼水準とは、この区間が母集団の指定された割合を実際に含める信頼度です。正規分布する母集団の場合、Zスコアは、ルックアップテーブルやいくつかの近似式を用いて、与えられた値に対する「 k係数」または許容係数^{[6]に変換できます。}^{[7] 「}自由度が無限大に近づくにつれて、予測区間と許容区間は等しくなります。」^[8] ${\hat {\mu }}$ ${\hat {\sigma }}$ ${\hat {\mu }}\pm 1.96{\hat {\sigma }}$ $\gamma$ $\gamma$

許容区間は信頼区間や予測区間ほど広く知られておらず、一部の教育者は、許容区間の方が適切な場合に他の区間を誤用する可能性があるため、この状況を嘆いています。^[9]^[10]

許容区間は信頼区間とは異なり、信頼区間は単一の値をとる母集団パラメータ（例えば平均や分散）をある信頼度で囲むのに対し、許容区間は母集団の特定の割合を含むデータ値の範囲を囲む。信頼区間の大きさは完全に標本誤差によって決まり、標本サイズが増加するにつれて真の母集団パラメータにおけるゼロ幅の区間に近づくのに対し、許容区間の大きさは標本誤差と母集団の実際の分散によって決まり、標本サイズが増加するにつれて母集団の確率区間に近づく。^[9]^[10]

許容区間は予測区間と関連しており、どちらも将来のサンプルの変動に境界を定めるという点で共通しています。しかし、予測区間は単一の将来のサンプルのみを境界とするのに対し、許容区間は母集団全体（つまり、任意の将来のサンプルの連続）を境界とします。言い換えれば、予測区間は平均して母集団の特定の割合をカバーしますが、許容区間は一定の信頼水準で母集団をカバーします。そのため、単一の区間で複数の将来のサンプルを境界とする場合は、許容区間の方が適しています。^[10]^[11]

例

^[9]は次の例を示している。

そこで、もう一度、よく知られたEPA 燃費テストのシナリオを考えてみましょう。このシナリオでは、名目上同一の特定モデルの自動車を複数台テストし、燃費データを算出します。このようなデータを処理して、モデルの平均燃費の 95% 信頼区間を算出すれば、例えば、そのデータを使用して、製造されたその自動車の全車種の最初の 5,000 マイルの使用におけるガソリン消費量の平均または合計を予測することができます。ただし、このような区間は、このような車をレンタルして、10 ガロンタンクのガソリン (満タン) で目的地までの 350 マイルを走れるかどうか疑問に思っている人にはあまり役に立ちません。このような作業には、予測区間の方がはるかに役立ちます。（「95%の確信がある」ということと、「95%の確信がある」ということの持つ意味の違いを考えてみましょう。）しかし、生産される自動車の99%が400マイルの航続距離を保証するために、モデルに実際にどれだけのガソリンタンクが必要かを決定する責任を負っている設計エンジニアにとって、1マイルの追加走行距離に対する信頼区間も予測区間も、まさに必要なものではありません。エンジニアが本当に必要としているのは、そのような自動車の走行距離の一部に対する許容区間なのです。 $y_{1},y_{2},...,y_{n}$ $\mu \geq 35$ $y_{n+1}\geq 35$ $\mu$ $p=.99$

もう一つの例は次の通りである: ^[11]

施設内のさまざまなエリアから空気中の鉛濃度を収集しました。対数変換された鉛濃度は正規分布によく適合する（つまり、データは対数正規分布から得られる）ことが注目された。およびは、それぞれ対数変換されたデータの母平均と分散を表すものとする。が対応するランダム変数を表す場合、したがってとなる。は大気中の鉛濃度の中央値である点に注意されたい。の信頼区間は、 t 分布に基づいて通常の方法で構築することができ、これにより大気中の鉛濃度の中央値の信頼区間が得られる。およびが、サイズnの標本に対する対数変換されたデータの標本平均と標準偏差を表す場合、の95%信頼区間はで与えられ、は自由度を持つt 分布の分位数を表す。大気中の鉛濃度の中央値の95%信頼区間の上限を導出することも興味深いかもしれない。のそのような境界はで与えられる。したがって、大気中の鉛の中央値の95%信頼区間の上限はで与えられる。ここで、特定のエリアの大気中の鉛濃度を予測するとしよう。実験室内で。対数変換された鉛濃度の95%予測上限はで与えられる。両側予測区間も同様に計算できる。これらの区間の意味と解釈はよく知られている。例えば、信頼区間を独立したサンプルから繰り返し計算すると、長期的には、そのように計算された区間の95%にの真の値が含まれることになる。言い換えれば、区間はパラメータに関する情報のみを提供するものである。予測区間も同様の解釈があり、単一の鉛濃度に関する情報のみを提供するものである。ここで、サンプルを用いて、母集団の鉛濃度の少なくとも95%が閾値を下回っているかどうかを結論付けたいとしよう。信頼区間は鉛濃度の中央値のみを対象とし、予測区間は単一の鉛濃度のみを対象としているため、信頼区間と予測区間ではこの質問に答えることはできない。必要なのは許容区間、より具体的には許容上限である。許容上限は、母集団の鉛濃度の少なくとも95%が閾値を下回っているという条件の下で計算され、一定の信頼度レベル、たとえば 99%。 $n=15$ $\mu$ $\sigma ^{2}$ $X$ $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ $\exp(\mu )$ $\mu$ ${\bar {X}}$ $S$ $\mu$ ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ $t_{m,1-\alpha }$ $1-\alpha$ $m$ $\mu$ ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}$ $\exp {\left({\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S/{\sqrt {n}}\right)}$ ${\bar {X}}+t_{n-1,0.95}S{\sqrt {\left(1+1/n\right)}}$ ${\bar {X}}\pm t_{n-1,0.975}S/{\sqrt {n}}$ $\mu$ $\mu$

参照

参考文献

^ DS Young (2010) 書評：「統計的許容範囲領域：理論、応用、計算」、TECHNOMETRICS、2010年2月、第52巻、第1号、pp.143-144。
^ ab Krishnamoorthy, K. and Lian, Xiaodong(2011)「一般線形モデルの比較研究における閉形式の近似許容区間」、Journal of Statistical Computation and Simulation、初版2011年6月13日doi :10.1080/00949655.2010.545061
^ ab Meeker, WQ; Hahn, GJ; Escobar, LA (2017). 統計的区間：実践者と研究者のためのガイド. Wileyシリーズ確率と統計. Wiley. ISBN 978-0-471-68717-7. 2024年11月5日閲覧。
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^ Thomas P. Ryan (2007年6月22日). 現代工学統計学. John Wiley & Sons. pp. 222–. ISBN 978-0-470-12843-5. 2013年2月22日閲覧。
^ 「データの統計的解釈 - パート6：統計的許容区間の決定」ISO 16269-6. 2014. p. 2.
^ 「正規分布の許容区間」.エンジニアリング統計ハンドブック. NIST/Sematech. 2010. 2011年8月26日閲覧。
^ De Gryze, S.; Langhans, I.; Vandebroek, M. (2007). 「予測のための正しい区間の使用：最小二乗回帰における許容区間に関するチュートリアル」. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems . 87 (2): 147. doi :10.1016/j.chemolab.2007.03.002.
^ abc Stephen B. Vardeman (1992). 「他の区間についてはどうか？」The American Statistician . 46 (3): 193– 197. doi :10.2307/2685212. JSTOR 2685212.
^ abc Mark J. Nelson (2011年8月14日). 「許容範囲を設定すると良いかもしれない」 . 2011年8月26日閲覧。
^ ab K. Krishnamoorthy (2009).統計的許容範囲領域：理論、応用、計算. John Wiley and Sons. pp. 1– 6. ISBN 978-0-470-38026-0。

さらに読む

Hahn, Gerald J.; Meeker, William Q.; Escobar, Luis A. (2017).統計的区間：実践者と研究者のためのガイド（第2版）. John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN 978-0-471-68717-7。

K. クリシュナムーシー (2009). 『統計的許容領域：理論、応用、そして計算』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. ISBN 978-0-470-38026-0。第1章「準備」はhttp://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdfでご覧いただけます。
Derek S. Young (2010年8月). 「tolerance: 許容区間推定のためのRパッケージ」. Journal of Statistical Software . 36 (5): 1– 39. ISSN 1548-7660 . 2013年2月19日閲覧.
ISO 16269-6、データの統計的解釈、第6部：統計的許容区間の決定、技術委員会ISO/TC 69、統計的手法の応用。http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458 で入手可能。