ゼロ次元空間

数学において、零次元位相空間（ゼロじょうだいげんそく、または零次元空間）とは、与えられた位相空間に次元を割り当てる複数の非同値な概念のうちの1つに関して次元が零である位相空間である。 ^{[ 1 ]}零次元空間を図式的に表すと点となる。^{[ 2 ]}

定義

具体的には：

• 位相空間がルベーグ被覆次元に関して0次元であるとは、その空間のすべての開被覆が、互いに素な開集合による被覆となるような精緻化を持つ場合を言う
• 位相空間が有限対有限被覆次元に関して 0 次元であるとは、空間のすべての有限開被覆に、空間内の任意の点がこの細分化のちょうど 1 つの開集合に含まれるような有限開被覆である細分化がある場合をいいます。
• 位相空間が閉開集合からなる基底を持つ場合、その位相空間は小誘導次元に関してゼロ次元となります。

上記の 3 つの概念は、分離可能かつ計量化可能な空間については一致します( 「帰納的次元 § 次元間の関係」を参照)。

小さな誘導次元ゼロを持つ空間の性質

• 零次元ハウスドルフ空間は必然的に全不連続であるが、その逆は成り立たない。しかし、局所コンパクトハウスドルフ空間が零次元となる必要十分条件は、それが全不連続であることである。（非自明な方向については、Arhangel'skii & Tkachenko 2008 、命題3.1.7、p.136を参照。）
• 零次元ポーランド空間は、記述的集合論にとって特に便利な設定である。そのような空間の例としては、カントール空間やベール空間などが挙げられる。
• ハウスドルフ零次元空間は、離散位相が与えられたときの位相冪の部分空間そのものである。このような空間はカントール立方体と呼ばれることもある。Iが可算無限 であるとき、はカントール空間である。${\displaystyle 2^{I}}$ ${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ ${\displaystyle 2^{I}}$

多様体

0次元多様体のすべての点は孤立して いる

注記

• アルハンゲルスキー、アレクサンダー、トカチェンコ、ミハイル (2008).位相群と関連構造. アトランティス数学研究第1巻. アトランティス出版. ISBN 978-90-78677-06-2。
• エンゲルキング、リザード(1977).一般位相幾何学. PWN, ワルシャワ
• ウィラード、スティーブン（2004年）『一般位相幾何学』ドーバー出版ISBN 0-486-43479-6。

参考文献

1. Hazewinkel, Michiel (1989). Encyclopaedia of Mathematics, Volume 3. Kluwer Academic Publishers. p. 190. ISBN 9789400959941。
2. ウォルコット、ルーク、マクテルナン、エリザベス (2012). 「負次元空間の想像」(PDF) . ロバート・ボッシュ、ダグラス・マッケナ、レザ・サルハンギ (編). Bridges 2012 Proceedings of Bridges: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture . フェニックス、アリゾナ州、米国: Tessellations Publishing. pp.  637– 642. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN  1099-6702 . 2015年6月26日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。2015年7月10日閲覧